精品解析：湖北荆门市2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025—2026学年度上学期荆门市期末考试九年级数学试题 本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 2. 将抛物线向下平移2个单位，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 刻舟求剑 C. 水中捞月 D. 水涨船高 4. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是（） A. B. C. D. 7. 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 ( ) A. x(x+12)=864 B. x(x-12)=864 C. x2+12x=864 D. x2+12x-864=0 8. 如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，则的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 9. 如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④点在抛物线上时，关于x的方程的两根为，，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若抛物线开口向上，写出一个满足条件的a的值为_____． 12. 在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 13. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，米，圆心角，则该马面裙的面积为_________． 15. 如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则____°；若，，则的长为__________． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解方程：． 17. 如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 18. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出的坐标； （2）求出旋转过程中点B经过的路径长度． 19. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试，并将20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为10分），收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 8.3 8 8 乙组 8.3 a b 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________， ； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（）的图象上，点D的坐标为． （1）求反比例函数的关系式； （2）设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标． 21. 已知A，B，C，D是上的点，为的直径，延长到E，连接，． （1）求证：为的切线； （2）若，当，时，求半径的长． 22. 如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 23. 1．综合与实践 【初步探索】 如图1，在中，，，点在边（端点除外）上，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到对应线段，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，，交于点．在上截取，连接． ①请补全图形； ②若，，求的长． 【迁移应用】 （3）如图3，在中，，，点在边上，点为线段的中点，过点作，连接，使． ①判断的形状，并说明理由； ②若，，直接写出的值． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）交x轴于点A，B，交y轴于点，点A坐标为，点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动点，且点E的横坐标为t． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，若E在的上方，当时，求点E的坐标； （3）如图2，设的面积为S，点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式； ②以点E为对称中心，构造正方形，且在y轴上（点M在点N的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时S的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期荆门市期末考试九年级数学试题 本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身重合，逐一进行判断即可． 【详解】A、笛卡尔心形线不是中心对称图形，不符合题意； B、三叶玫瑰曲线不是中心对称图形，不符合题意； C、蝴蝶形曲线不是中心对称图形，不符合题意； D、太极曲线是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 将抛物线向下平移2个单位，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移2个单位，得到的抛物线是：． 故选：D． 3. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 刻舟求剑 C. 水中捞月 D. 水涨船高 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，正确； B、刻舟求剑是不可能事件，不正确； C、水中捞月是不可能事件，不正确 D、水涨船高是必然事件，不正确； 故选：A． 4. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，将已知根代入方程求解参数m的值即可． 【详解】解：代入到方程，得， 解得． 故选：C． 5. 如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于点， 由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为， 故选：A． 6. 如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，可求的度数，由圆周角定理知可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 ( ) A. x(x+12)=864 B. x(x-12)=864 C. x2+12x=864 D. x2+12x-864=0 【答案】B 【解析】 【详解】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步． x（x-12）=864． 故选B． 8. 如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，则的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，灵活运用相关性质定理是解决问题的关键．连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案． 【详解】解：连接， 、是的两条切线， ， ， 是等边三角形， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 故选：． 9. 如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④点在抛物线上时，关于x的方程的两根为，，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，根据图象和对称轴判断①②，特殊点判断③，对称轴，以及二次函数图象与一元二次方程的关系，判断④即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于负半轴， ∴；故①正确； ∵对称轴为直线， ∴；故②正确； 由图象可知，当时，；故③错误； ∵点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点在抛物线上， ∴方程的两根为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴， ∴；故④错误； 故选B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若抛物线开口向上，写出一个满足条件的a的值为_____． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，抛物线开口向上，据此即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∴一个满足条件的a的值为1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（2，） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点（，4）关于原点对称的点的坐标为（2，）． 故答案为：（2，）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 13. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，根据方程求出两根之和与两根之积，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，米，圆心角，则该马面裙的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式．根据的长度为米，可求出米，再由该马面裙的面积为，即可求解． 【详解】解：∵的长度为米，， ∴， ∴米， ∵米， ∴该马面裙的面积为． 故答案为： 15. 如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则____°；若，，则的长为__________． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理． 连接并延长，作，交的延长线于点F，则，由，得到，由旋转得出，则，，可证明垂直平分，则，，推导出，进而证明，证明出，得，则，求得，由，，求得，，则，利用勾股定理得到，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，作，交的延长线于点F，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵将边绕点C旋转至处， ∴， ∴，， ∵经过的中点E， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45，． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键． 利用解一元二次方程-因式分解法进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 17. 如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，则有，再证出，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 18. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出的坐标； （2）求出旋转过程中点B经过的路径长度． 【答案】（1） 如图： （2） 【解析】 【分析】此题考查旋转作图，勾股定理，弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据点的旋转规律，确定点绕点逆时针旋转后的对应点的坐标，再同理确定点的对应点的坐标，最后顺次连接、、得到旋转后的三角形； （2）利用勾股定理计算出线段的长度，再结合旋转角为，代入弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴点B经过的路径为：． 19. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试，并将20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为10分），收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 8.3 8 8 乙组 8.3 a b 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________， ； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）8.5；7 （2）估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． （1）从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； （2）利用估计总体，即可求解； （3）运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【小问1详解】 解：从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； 【小问3详解】 解：将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（）的图象上，点D的坐标为． （1）求反比例函数的关系式； （2）设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，菱形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值； （2）设点的坐标为，根据的面积是菱形面积的，列方程解出即可． 【小问1详解】 解：过点作轴的垂线，垂足为，而，如图1所示． 点的坐标为， ，， ． 四边形为菱形， ，， ，，三点共线， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ； ∴. 【小问2详解】 解：由（1）知：反比例函数的关系式为， 设点的坐标为， 的面积是菱形面积的， ∴， ∴或3， ∴点M的坐标为或． 21. 已知A，B，C，D是上的点，为的直径，延长到E，连接，． （1）求证：为的切线； （2）若，当，时，求半径的长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得，则，再根据直径所对的圆周角是直角得，则，，然后根据切线的判定定理得到为的切线； （2）连接，与交于H，先根据平行线的性质证明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，与交于H， ∵， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， 在中，， ∴， 设的半径为r，则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 22. 如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 【答案】（1） （2）小丽的判断是正确的，计算过程如下： 把代入抛物线解析式， 得， ， 此球不能投中，小丽的判断是正确的． （3）张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功 【解析】 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性； （3）将代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 把代入，得． ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 解之，得或． ，． 答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 1．综合与实践 【初步探索】 如图1，在中，，，点在边（端点除外）上，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到对应线段，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，，交于点．在上截取，连接． ①请补全图形； ②若，，求的长． 【迁移应用】 （3）如图3，在中，，，点在边上，点为线段的中点，过点作，连接，使． ①判断的形状，并说明理由； ②若，，直接写出的值． 【答案】（1）证明：，， ，． 将线段绕点顺时针旋转， ，， ， ， ， ， ； （2）①补充图形如下， ②8； （3）①解：是等边三角形；理由如下， 延长至，使，连接，，如下图， ，，， ， ， 是等边三角形， ∴， 又，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又∵，， ， ，， ， 是等边三角形； ② 【解析】 【分析】（1）由直角三角形性质得、，旋转性质得、，推出；结合，用证，进而即可得证； （2）①在上截取，连接，使H在上，完成图形补充即可；②由（1）全等得，推，进而，得为等边三角形；证，得，进而即可求解； （3）①延长至，使，连接，，构造平行四边形（得）和等边；用SAS证，得，且，故为等边三角形；②过作的延长线于，过作于，由得，利用、角性质表示边长；设，结合平行四边形、等边三角形边关系，用勾股定理列方程求解，最终即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②证明：， ，， 将线段绕点顺时针旋转， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ； （3）①略 ②解：在中，，， ∴． ∵， ∴， 由①得，，是等边三角形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 设， 过作的延长线于，过作于，如下图， ∵， ∴是含的直角三角形 ∴，， ∵， ∴ ， 在中， ， ∵是等边三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，勾股定理： ， 将②代入①得， ， 解得或（舍去）， 将代入③得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、一元二次方程的应用、旋转的性质、等边三角形的判定和性质和勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）交x轴于点A，B，交y轴于点，点A坐标为，点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动点，且点E的横坐标为t． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，若E在的上方，当时，求点E的坐标； （3）如图2，设的面积为S，点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式； ②以点E为对称中心，构造正方形，且在y轴上（点M在点N的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时S的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）将已知的点和点的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出和的值，即可确定抛物线的解析式； （2）延长交x轴于F，利用推导出，进而得到确定点的坐标，再求出直线的解析式，将直线解析式与抛物线解析式联立，解方程组并舍去不符合条件的解，得到点的坐标； （3）①求出直线的解析式，过点作轴的平行线交直线于点，用含的代数式表示出点和点的坐标，进而得到线段的长度，再结合三角形面积公式，推导出与的函数关系式； ②根据正方形的对称中心性质确定顶点坐标，再分情况讨论正方形与抛物线的交点个数，找到交点个数为3个时的临界状态，确定对应的的范围，结合的取值范围和二次函数函数的性质，最终转化为的取值范围． 【小问1详解】 解：将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：． ∴该抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：延长交x轴于F． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线解析式为． 联立抛物线得， 解得：（舍），， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 解：①过E作轴交直线于H． ∵，， ∴直线的解析式为， ∴，， ， ． 即 ②由题可得，，， ⅰ）当边经过点， 正方形与抛物线有3个交点， ， 解得：或， ∵， ∴， ⅱ）当时，正方形与抛物线有2个交点； ⅲ）当点N与点C重合时，正方形与抛物线有3个交点， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ⅳ）当时正方形与抛物线有2个交点． ⅴ）当时正方形与抛物线有4个交点 综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，或． ∵， 当或，随的增大而增大 ∴或． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的判定与性质，二次函数的图像和性质，图形面积的计算方法，正方形的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $