第1章 直角三角形的边角关系 单元试卷 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版数学九下 第1章 直角三角形的边角关系 单元试卷 一、单选题 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，�此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（  ）． A．1200m B．2400m C．400m D．1200m 3．如图，在中，，，，点为的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B．5 C．8 D．10 4．根据国家标准《自动扶梯和自动人行道的制造与安装安全规范》，自动扶梯的倾斜角不应大于．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．若小光乘扶梯从扶梯底端A处以的速度用时到达扶梯顶端B处，则小光上升的铅直高度为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近，为n米，则铅垂高度约为（   ）米． A． B． C． D． 7．如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i＝1：0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i＝3：4，则大坝底端增加的长度CF是（　　）米． A．7 B．11 C．13 D．20 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，记与轴正半轴的夹角为，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　） A．（ +）海里 B．2海里 C．（+1）海里 D．2海里 二、填空题 11．= ． 12．如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为 ．（将无人机近似为一个点） 13．如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 14．如图，中，，，，于点，则的值为 ． 15．如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则 ． 16．如图，利用无人机测量雕像的高度，在点处测得雕像底部点的俯角为，水平前行9米到达点，在点处测得雕像顶部点和底部点的俯角分别为和，若点、与雕像均在同一平面内，则雕像的高约为 米．（参考数据：，） 17．如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为 ． 18．如图，在中，，，点是平面内一点，连接、、，若，，则的最大值为 ． 三、解答题 19．如图，在中，，，，求的长． 20．如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长． 21．如图1、图2，是一款家用的垃圾箱，踏板（与地面平行）绕定点P（固定在垃圾箱底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持，），通过向下踩踏点A到（与地面接触点）使点B上升到点，与此同时传动杆运动到位置，点H绕固定点D旋转（为旋转半径）至点，从而使桶盖打开一个张角．如图3，桶盖打开后，传动杆所在直线分别与水平直线、垂直，垂足为点M、C，设．测得，，，要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字，） 22．某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）    （1）求点D到地面的距离； （2）求该建筑物的高度． 23．如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） （1）求两地的距离（结果保留根号）； （2）小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 24．正定开元寺的须弥塔，始建于唐，历史悠久．在一次综合实践活动中，某中学数学小组用无人机测量须弥塔的高度． 活动主题 测量须弥塔的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 测量过程与数据信息 ①如图，塔高垂直于地面．将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得须弥塔顶端A的俯角为； ②在C处测出须弥塔底端B的俯角为（参考数据：，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）________，________； （2）求测得须弥塔的高度是多少米？（结果保留整数） 参考答案 1．【答案】B 【详解】在直角三角形中，由正弦定义可知sinA=. 考点：三角函数值. 2．【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质可得∠ABC=∠α=32°；接下来依据正弦函数的定义，得到sin∠ABC=，然后将已知代入进行计算即可. 【详解】由平行线的性质得 ∠ABC=∠α=30°， 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=1200m， ∴AB==2400（m）. 故选B. 3．【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识． 根据锐角三角函数求出，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选B． 4．【答案】C 【分析】本题主要考查坡比的概念，勾股定理及解一元一次方程，理解题意，设未知数，构建方程是解题的关键． 先求得，设，再由勾股定理得，解得，即可求解. 【详解】根据题意，， 扶梯的坡度， ，设， ， 解得， ． 故选C． 5．【答案】B 【分析】本题考查求角的余弦，取格点，连接，先由勾股定理逆定理得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6．【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意，得到，设，勾股定理求出米，进而求出的值，即可得解． 【详解】解：由题意，得：， 设， 在中，， ∴米， ∴米； 故选B． 7．【答案】C 【分析】过D作DG⊥BC于G，EH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过D作DG⊥BC于G，EH⊥BC于H， ∴GH＝DE＝2， ∵DG＝EH＝15，背水坡CD的坡度i＝1：0.6，背水坡EF的坡度i＝3：4， ∴CG＝9，HF＝20， ∴CF＝GH+HF﹣CG＝13米， 故选C． 8．【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标、勾股定理、正弦的定义． 先根据点P的坐标得出、的长，再根据勾股定理得出的长，然后根据正弦的定义即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则 点的坐标为 故选C． 9．【答案】A 【分析】根据矩形和折叠的性质证明，再进行求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选A． 10．【答案】A 【分析】过点B作OC的垂线BD，过点A作AE⊥OB，根据题意要求长度即为转化为求BD的长度.根据△OBD的特殊角度的三角函数可求得AE=，利用△AOE特殊角度的三角函数求得OE=2，OB=2+2.通过△BOD可求得BD长度. 【详解】如图，作BD⊥OC于D，则船A离灯塔B的最近距离是BD的长．作AE⊥OB于E． 在直角△ABE中， ∵∠AEB＝90°，∠ABE＝∠BAD﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，AB＝4， ∴AE＝BE＝AB＝2． 在直角△AOE中，∵∠AEO＝90°，∠AOE＝30°， ∴OE＝＝＝2， ∴OB＝OE+BE＝2+2． 在直角△BOD中，∵∠ODB＝90°，∠BOD＝30°， ∴BD＝OB＝+． 故选A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本类题型的关键是构造直角三角形，利用特殊角度的三角函数求线段长度. 11．【答案】/ 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： . 12．【答案】 【分析】此题考查了俯角的定义，解直角三角形的应用，根据题意可得，，，米，则，即可得解． 【详解】解：如图， 根据题意可得，，，米， ∴（米）. 13．【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，分别解和，求出和，进而即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴. 14．【答案】 【分析】本题考查求锐角的余弦值、直角三角形两锐角互余及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．利用勾股定理求出，根据角的和差关系得出，根据三角函数的定义即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15．【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，. 16．【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．设延长线与延长线交于点，由题意得，，推出，设，利用正切的定义可得，，得出，再利用求出的值，即可求出． 【详解】解：如图，延长线与延长线交于点， 由题意得，，，， ， ， ， 设（米）， 在中，， （米）， 在中，， （米）， （米）， ， ， 解得：， （米） 雕像的高约为米． 17．【答案】 【分析】过点P作PH⊥AB于点H，由题意易得BD=4，则有AD=3，然后可得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解． 【详解】解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若使的值为最小，也就相当于为最小， ∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 18．【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握辅助线构造直角三角形是解题的关键． 先作，且，连接，运用勾股定理解出的值，再根据边成比例，夹角相等，推出，解出的值，最后根据三角形边长的关系，求出的最大值． 【详解】解：作，且，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵在和中， ，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ， ． ∴的最大值为． 19．【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键．过点作交于点，设，求出，根据，则，列出方程求出的值，再利用即可求解． 【详解】解：过点作交于点， ∴，在中，， ∴设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 20．【答案】， 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． 根据函数值直接得到的度数以及的长，在中，利用勾股定理可得的长，再由，可得到的长，即可求解． 【详解】解：为锐角，且，， ， ， ． 在中，， ， ． ． 21．【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用和相似三角形的判定与性质，理解题意，找到对应线段的关系是解题关键． 先通过题意，求出张角最大值时的长，根据线段和差求出的长，再过点作的垂线，利用相似三角形的性质求出垂线段的值即可． 【详解】解：由题意，得当张角时，取得最大值， 此时， 由题意，得， ∴，即， 如图，过点作的垂线，垂足为N， ∵，， ∴， ∴， 由题意，得，， ∴， ∴， ∴踏板离地面的高度至少约为． 22．【答案】（1）5米 （2）米 【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解； （2）通过证明，然后解直角三角形分析求解． 【详解】（1）解：过点D作，    由题意可得， ∴在Rt中，， 即点D到地面的距离为5米； （2）如图，    由题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在Rt中，，即， 解得， 在Rt中，，即， 解得， 答：该建筑物的高度为15米． 23．【答案】（1）米； （2）194.6米． 【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点A作，垂足为M，根据题意求出各角的度数，再求出，在中，，，根据即可求出答案； （2）过E作，垂足为N，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米），求出即可得到答案． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为M，如图： 由题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， （米） （米）， ∴（米） 在中，，， ∴， ∴， （米）， 答：A、C两地的距离为米； （2）解：当小育跑到一半时，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米）， 过E作，垂足为N，如图： 在中，，， ∴， ， 在中，， ，， 解得：，（米） 答：小才与点A的距离为194.6米． 24．【答案】（1）18,135 （2） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用等知识． （1）延长，交于点D，根据角的计算即可求解； （2）由题意得四边形为矩形，得到．在中，根据得到．证明，得到，即可求出． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点D． 由题意得， ∵， ∴，． （2）解：由题意得：， 则四边形为矩形， ∴． 在中，， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $