第1章 培优专题1：求锐角三角函数值的常用策略&培优专题2：走进四边形解直角三角形-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

☑同行学案 学练测九年级数学下BS 培优专题1：求锐角三 学 策略一：定义法 温馨提示 解题策略：用定义法求锐角三角函数值时，要 抽象能 注意以下两点：①要判断这个角所在的三角 形的形状，只有在直角三角形中才能用定义 运算 法；②在直角三角形中求边时，注意勾股定理 能力 的应用. 1.[方程思想]（张家界中 直观 考)我国数学家赵爽在为 《周髀算经》作注解时，用 空 间观 4个全等的直角三角形和 中间的小正方形拼成一 推 个大正方形，这个图被称为“弦图”.如图，已 知大正方形ABCD的面积是100，小正方形 EFGH的面积是4，那么tan∠ADF= 2.如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E, BE=2,DE:BD=4:5,设∠ACE=a,求 tana的值， 应用意识 创 意识 策略二：构造法 温馨提示 解题策略：待求三角函数值的角不在直角三 角形中，先构造直角三角形，再进行解答。 3.如图，△ABC中，∠BAC 90°，AB=AC,点D为边 AC的中点，则tan∠DBC B 的值为 18 做神龙题得好成绩 三角函数值的常用策略 策略三：设参数法 ?温馨提示 解题策略：已知直角三角形任意两边的关系 或某锐角的三角函数值时，可通过设参数法 来解决。 4.在△ABC中，∠C=90°，tanA= 3,则sinB= ) A.0 D.3v10 10 B. ,4 10 策略四：转化法 行温馨提示 解题策略：所求三角函数值的角不在直角三 角形中，可转化成求与它相等的在直角三角 形中的角的三角函数值，或通过相似进行等 比转化. 5.如图，已知直线11亿2∥儿3亿45，相邻两条平 行直线间的距离都相等，如果直角梯形 ABCD的三个顶点都在平行直线上，∠ABC= 90°且AB=3AD,求sina的值， 第一章直角三角形的边角关系☑ 培优专题2：走进四边形解直角三角形 的 学 素 类型一：平行四边形与解直角三角形 类型三：菱形与解直角三角形 养 1.如图，在□ABCD中，BE⊥AB于点B,交 6.[推理能力]（湖北中考）由4个形状相同、大 AD的延长线于点E,若CD=6,tan∠C=, 小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的 顶点称为格点，点A,B,C都在格点上， 则BE=() ∠O=60°，则tan∠ABC=( ) A.10 B.8 C.6 c D 13 2 能 D E B P F B 第1题图 第2题图 2如图，在7ADCD中，A=号AD=5AB=8, 第6题图 第7题图 7.[运算能力]如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB 点P是AB边上的一个动点，点E,F分别是 DP,BP的中点，则线段EF的长为( ) 于E,若AE=6m,cosA=,则菱形ABCD A.2 B.2.5C.22 D.不确定 的面积为 cm2. 3.如图，□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, 类型四：正方形与解直角三角形 若AB=4,BD=10, D 8.(株洲中考)如图所示，△BEF的顶点E在正 3 sin∠BDC= 方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与 则 B BF交于点G,连接AF,CF,满足 □ABCD的面积是 △ABF≌△CBE, 类型二：矩形与解直角三角形 (1)求证：∠EBF=90°. 4.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3, (2)若正方形ABCD的边长为1，CE=2,求 L4,l2,l1上.若直线l1∥L2∥13∥L4且间距相 tan∠AFC的值. 等，AB=4,BC=3,则tana的值为( ) D.V75 15 D B 第4题图 第5题图 5.如图，过矩形ABCD的顶点B作BE⊥AC, 垂足为点E,延长BE交AD于点F,若点F 是边AD的中点，则sin∠ACD的值 是 做神龙题得好成绩 19AB-//5(cm)sin 4W3.(2)∠C=90°，∠B=45°，∴∠A=90°-∠B=45. c=8,.a=b=c·sinB=8Xsin45°=4W2. 君-25A-是-2 15解：I):在R△ABC中，nC=号，nC= 4·又 10.解：由a=13,b=12,c=5,得a2=b2+十c2,所以△ABC为 ,AC=8,AB=6.(2)如图，过点D 直角三角形，且∠A为直角，所以sinB=b=12 作DE⊥BC于点E.,BD平分∠ABC, a13 DA⊥AB,DE⊥BC,.DA=DE.设 11.解：(1)在Rt△ABC中，c=√a2+b=√102+(103)2 DA=DE=x.在Rt△ABC中，：AB= =0mA=号-05-9A=30,∠B=w 6,AC=8,.BC=√62+82=10. B 1 1 -30°=60.(2)在Rt△ABC中，b=√c2-a= SM=2X6Xx+2X10Xx-2X6X8,..=3, √()-2-25.：s4-=22-5 3 c46 2， AD=8在R△ABD中，可得m乙ABD=铝=号 3 ∴.∠A=60°，∠B=90°-60°=30° 16.解：(1)①在△ABC中，，AD是BC边上的高，∴∠ADB 2得：在△MD中，m∠0-%-看=要 =∠ADC=90°.在△ADC中，：∠ADC=90°，∠C= 45°，AD=1,.DC=AD=1.在△ADB中，∠ADB= ∠CAD=30°，.∠CAB=60°，.∠B=30°.在 Rt△ACB中，AB=AC 6 90,sB=3,AD=1.AB=品=3，BD sinB 1 =12,.BC= 2 WAB2-AD=2√2，∴.BC=BD+DC=2√2+1. VAB2-AC=V√122-6=6√5. ②：AE是BC边上的中线，CE=合BC=E+2, 13.解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 6=35ae=号，7h- 23, aDE=cE-D=E-专im∠DAE=gS 4_35=3, (2)①如图，过点A作AE a=33,∴tanA=6=3 -合 B ∴∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=90°- ⊥BC于点E.:osC=2 2 60°=30°，.c=2b=6. ∴∠C=45°.在Rt△ACE中，CE=AC·cosC=1,∴.AE 14.解：如图，连接AC.在△ABC中，，∠B=90°，AB= 2√3cm,BC=2cm,.AC=√AB2+BC=4cm.在 =CE=1在AABE中，mB=日，即能-号BE △ACD中，AC2+CD2=42+32=25,AD2=25,.AC2+ =3AE=3,∴.BC=BE+CE=4.②：AD是△ABC的 CD2=AD2,.∠ACD=90°，A 中线，CD=号BC=2DE=CD-CE=1=AE.又 ∴.S四边形ABCD=S△AB十S△ACD= AB,BC+号AC.D=7× ·AE⊥BC,∠ADC=45,simn∠ADC= 第3课时解简单的斜三角形 2g×2+2×4×3= (2√3+6)cm2. 1.D2.33.而4C,D 第2课时已知一边一锐角解直角三角形 6.16一2√3[解析]如图，过点A 1.D2.D3.2√7 作AD⊥BC,交BC的延长线于 4.獬：∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=45°.在Rt△ABC中， 点D.在Rt△ADC中，AC=4,B ints sinA=a 8V2c0s45 a 8/a= b ∠ACD=30∴AD=2AC=2,CD=AC·cos30=4X b=8. 5.D6.207.662 -25.在R△ABD中，mB品-品=名BD 2 8.C9.610.2411.30°12.B13.12 =16,∴.BC=BD-CD=16-2√3. 14.解：(1)∠C=90°，∠A=30°，∠B=90°-∠A=60° 7.C a-4,c-品-是-86-云-v俗-平- 8.3√3[解析]如图，作CD⊥AB,垂足为D,由题意易知 ∠A=∠B=30°.又，CD⊥AB,.AD=DB.,AB=6, ·12·同行学案学练测 .AD=3.在Rt△ACD中，CD= AB=3x,.'.CE= 3 AD·taA=3,:∴SAe=2AB· ,DE=点x ,AE=AD+DE= 1 CD=2×6x-3w5. x,…tan∠CAD=CE=1 15 A= D 13.解：设BC=x.∠DBC=45°，EF⊥AE,.EF=BE,BC 9.解：由题意知，AD∥EF,所以∠ABE=∠BAD=53°.因为 ∠ABC=90°，所以∠CBF=37°，所以∠BCF=53°.在 DC.AC=2+2.nA=AG2+x=3,= Rt△ABE中，AE=AB·sin∠ABE≈10×0.80=8，BE= 3+1,∴.EF=√3+4. AB·cos∠ABE≈10X0.60=6.在Rt△BCF中，BF=BC· 14.解：如图，延长AB与DC相交于点E.,∠ABC=∠BCD sin∠BCF≈6X0.80=4.8,CF=BC·cos∠BCF≈6X =135°，.∠EBC=∠ECB=45°， B 0.60=3.6,所以EF=BE+BF=6+4.8=10.8,所以 ∴.BE=CE,∠E=90°.设BE=CE= C S四边形ABD=S矩形AEFD一S△ABE一S△BF=AE·EF x,则BC=√2x,AE=9+x,DE=3+ A 3AE·BE-BF.FC=8X10,8-号×8X6-号× x.在Rt△ADE中，∠E=90°，tanA 1.DE1 4.8×3.6=53.76.故该零件的截面面积约为53.76cm2. =2AE2即=2，x=3.经检验，x=3 10解：o=号，i∠B=5当△ABC为钝角三角形 是所列方程的解，且符合题意，∴.BC=3√2，AE=12,DE =6,.AD=V√AE2+DE=√122+62=65. 时，如图①，过点A作AD⊥BC的延长线于点D.AB 15.解：如图所示，过点B作BH⊥FC于点H.AB∥CF, =122,∠B=45°，∴.AD=BD=12.AC=13,∴.由勾 ∠A=∠ABC=45°，∴.∠BCF=45°. 股定理，得CD=√AC-AD=5,.BC=BD-CD= AC=BC=12/2,..BH=HC=12. B 12-5=7;当△ABC为锐角三角形时，如图②，过点A作 在Rt△BHD中，∠BDH=6O°， AD⊥BC于点D.同理可得AD=BD=12,CD=5,.BC =BD+CD=12+5=17.综上所述，BC的长为7或17. :.DH-BH-12-43,:CD- tan60°√3 FH D C CH-DH=12-43, 培优专题1：求锐角三角函数值的常用策略 3 1. ① 2.解：四边形ABCD是矩形，∴AC=BD,OA=OC,OB= 11.解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.·∠CED=45°， OD,.'.OA=OC=OB=OD..'BE=2,DE:BD=4:5, DH⊥AC,DE=√2，∴.DH ∴.DE=8,BD=10,.OE=3,OC=5.CE⊥BD, =EH=DE·cos45°=√2X ∠CEO=90°.在Rt△CEO中，由勾股定理，得CE= 2 =1.又∠DCE=30°， V6-3=4aw-8器=是. B ..HC=DH tan30*=3,CD= 3号 4.D 2DH=2.,∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，BE= 5.解：如图，过点A作AE⊥L5,垂足为点E,交12于点F,则 2/2,..AB=AE=2,..AC=AE+EH+HC=2+1+ ∠AFD=∠AEB=90°.，直线L1∥L2∥L3L4∥L,相邻两 条平行直线间的距离都相等，直角梯形ABCD的三个顶点 1 V3=3十V3,.S网边形AD=SAc十SAAc=2AB·AC 都在平行直线上，∠ABC=90°，∴∠BAE十∠EAD=90, +号A,DH=2×2×3+5)+7×(3+5)×1 ∠ADF+∠DAF=90°，∠Q=∠ADF,∴.∠BAE= -3V3+9 ∠ADF,△ABEO△DAP.:AB=3AD,铝-=3= 2 架设AE=,则DF=音，AF=y,AD= 12.解：如图，作CE⊥AD交AD √AF2+DF= 5 的延长线于点E,则∠CED= AF 3 ,sina-AD-5 90°.又∠BAD=90°， ∠ADB=∠CDE,.△CDE ∽△BDA.DC= 2 BD, 需器品公mB-号设A0-5则 培优专题2：走进四边形解直角三角形 ∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE.设BD 1.B2B3244A59 =x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=√3x,.AC= 6.C7.80 AD十DE+CE=2√3x+2x.'AC=30,.2√3x+2x= 8.（1)证明：△ABF≌△CBE,∴.∠ABF=∠CBE ,∠ABF+∠CBF=90°，∴.∠CBF+∠CBE=90°， 30,解得z=15W5-D≈5.49，即海岛B离此航线的最 2 即∠EBF=90°.(2)解：，△ABF≌△CBE,∠AFB 近距离约为5.49海里. =∠CEB.·∠FGA=∠EGB,∴.∠FAC=∠EBF=90°， 10.解：(1)BG/CD,∴∠GBA=∠BAC=30°.又，∠GBE 正方形ABCD的边长为1，CE=2,∴.AC=√2，AF= =15°，.∠ABE=45°.∠EAD=60°，∠BAC=30°， CR-2nAPC-怨-号 ,.∠BAE=90°，∴.∠AEB=45°，，∴.AB=AE=10W3.故 AE的长为10W3米.(2)在Rt△ADE中，sin∠EAD= 5三角函数的应用 第1课时三角函数在实际问题中的应用(1) DE=103× 2=15.又DF=1,.EF= 1.D 14 14,0.5-28(秒).故这面旗到达旗杆顶端需要28秒， 2.(403+120)3.A 4.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.由 第2课时三角函数在实际问题中的应用(2) 题意，得∠CDF=37°，CD=200米，在Rt△CDF中， 1.A2.A sinCDF--需-sn7r=0.60,o∠CDF-2S-as7 3.D 4.(4√3-4) ≈0.80，.∴.CF≈200×0.60=120（米），DF≈200X0.80= 5.3.75[解析]如图，连接BD,作OB A 160(米).AB⊥BC,DF⊥BC,DE⊥AB,∴.∠B= ⊥CD于点O.∠BCD=60°，AB C ∠DFB=∠DEB=90°，.四边形BFDE是矩形，.BF= 长为4m,C为AB的中点，∴.QC= 0 DE,BE=DF=160米，∴.AE=AB-BE=300-160= 1 140(米).在Rt△ADE中，tan∠DAE=DE BC=1 m,OB-/30C-/3m.CD AE =tan65°≈ 为xm,则OD=DC-QC=(x一1)m, 地面 2.14,.DE≈140×2.14=299.6（米），∴.BF=DE=299.6米， BD=CD-0.5=(x-0.5)m,OB=√3m,由勾股定理，得 ∴.BC=BF+CF=299.6+120≈420（米），故革命纪念碑 (x-0.5)2=(x-1)2+(W3)2,解得x=3.75.故立柱CD 与党史纪念馆之间的距离约为420米. 的长为3.75m. 门口 6.解：(I):点B为AD'的中点，∴AB=号AD.:AD' 659 40cm,.AB=20cm.(2)如图，过点B作BE⊥AD于 E D人民英雄雕塑 点E.由题知AB=BD,.AD=2AE.,AP平分∠BAC, 37°↑ Bh ∠BAC=140,i∠BAE-号∠BAC=70:在RAABE中，本 革命纪念碑 F 党史纪念馆 AB=20cm,.AE=AB· cos70°≈20×0.34=6.8(cm), 5.D6.(2√3-2√2) .AD=2AE=13.6(cm). 7B[解折]在R△ACD巾，：np-S:AD- AC sinB' 在 .AD'=40cm,.40-13.6 =26.4(cm).故伞圈D沿着 AC Rt△ABC中，，sina= ..AB= AC AC AB sina 伞柄向下滑动的距离约为 sina ,…ADAC 26.4cm sing 7.解：如图，过点D作DF⊥BC于点F,A 二，放选B 延长DE交AC于点M.由题意，得M9E 北 EM⊥AC,DF=MC,∠AEM=29° 8.(70-10√3) 9.解：如图所示，由题意知， 在RADFB中，sns0r-BS则Dr 80° ∠BAC=30°，∠ACB=15°，作 =BD·sin80°，AM=AC-CM= BD⊥AC于点D,以点B为顶 1790-1700×sin80°.在Rt△AME中，sin29°= AM AE,故 点，BC为边，在△ABC内部作 AE=A4=1790-1700×sin80°≈238(m.答：斜坡 sin29 sin29 RAB6r中，mBF-票P=-B装 0.75 AE的长度约为238m. =276.8(m).,CE=8×(15+50)=520(m),∴.AB=CF =CE-EF≈243(m).答：隧道AB的长度约为243m. 8.解：(l),新坡面的坡度为1：√3，.tana=tan∠CAB= 1 北 C160° YD 37°yE 一3，∴a=30.答：新坡面的坡角&为30，(2)文化墙 PM不需要拆除.理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D, 则CD=6.:坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为 B 1:3,..BD=CD=6,AD=6√3，.AB=AD-BD= 培优专题3：解直角三角形的几种基本模型 6√5一6<8，.文化墙PM不需要拆除. 1.√52.7 M 3.解：(1)在Rt△AOC中，，∠AOC=90°，∠AC0=30°，AC =8kmA0=号AC=号×8=4(km.(2)在 PAB D Rt△AOC中，，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km, 9.解：(1)如图①，过点C作CP⊥AE于点P,过点B作BQ ⊥CP于点Q,则PQ=AB=50cm.:∠ABC=143°， 00-AC=45km在R△BC中，∠B0C=90, .∠CBQ=53°，.在Rt△BCQ中，CQ=BC·sin53°≈70 ∠BC0=45°，∴.∠B00=∠OBC=45°，.OB=OC=4W3km, ×0.8=56(cm).,CD∥l,.DE=CP=CQ+PQ=56+ ∴.AB=OB-OA=(4√5一4)km,∴.飞船从A处到B处的 50=106(cm).故手臂端点D离操作台1的高度DE的长 约为106cm.(2)能.理由如下：当点B,C,D共线且点D 平均建度为。a3m/。 在l上时，如图②，BD=BC+CD=70+60=130(cm),AB 4.(100+1003) =50cm.在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2,.AD=120cm 5.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D,在点A的正北方向 >110cm,'.手臂端点D能碰到点M. 上取点M,在点B的正北方向上取点N,由题意，得 ∠MAB=∠NBA=90°，∠MAC=60°，∠NBC=45°，AC =60√2海里，∴.∠CDA=∠CDB=90°.，'在Rt△ACD .0Q 中，∠CAD=∠MAB-∠MAC=90°-60°=30°，.CD= ?AC=302海里，：在R△BCD中，∠CBD=∠NBD日 EM MD I ① ② ∠NBC=90°-45°=45°，.BC=√2CD=60海里.，60÷ 50=1.2(小时)，∴.从B处到达C处需要1.2小时. 6利用三角函数测高 M 1.C2.A3.34.4055.12.7 609 6.B7.C8.(20√3-20)9.5.7 10.解：延长AD交FG于H,则四边形ABGH是矩形，AB= CD=GH=35m,AH=BG.设FH=xm.在Rt△AFH 6.8 中，AH=器孟G=DH=击-20，在 7.解：如图，延长CD,交AE于点E,可得DE⊥AE.在 Rt△AED中，AE=BC=40m,∠EAD=45°，'.ED=40m.在 R△F0G中，s5r-器2.1≈+35，=8.7， Rt△ABC中，∠BAC=90°-60°=30°，BC=40m,∴.AB= 1.120 x 403≈69.3(m),则CD=EC-ED=AB-ED=40√3-40 ≈29.3(m).答：这两座建筑物AB,CD的高度分别约为 .FG=FH十GH=84.7+35≈120(m).答：该信号发射 69.3m和29.3m. 塔顶端到地面的高度FG约为120m. 11.解：(1)由题意，得CD=8×15=120(m).在Rt△ACD 中，ADC=2SAC=CD·t6乙ADC=CD· tan60°=120X√3=120√3(m).答：无人机的高度AC是 1203m.(2)如图，过点B作BF⊥CD于点F,则四边 形ABFC是矩形，∴.BF=AC=120V3m,AB=CF.在 B C 同行学案学练测·13·