第1章 直角三角形的边角关系—三角函数的应用 题型分类解答题专题提升训练 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册 《第1章直角三角形的边角关系—三角函数的应用》 题型分类解答题专题提升训练（附答案） 一、坡度、坡比问题 1．阳光明媚的春日，外出游玩的小颖发现了种在草地斜坡下方的樱花树，这些樱花树的影子一部分落在斜坡下方的地面上，一部分落在斜坡上，为了测量最高那棵樱花树的高度，小颖测量了有关数据，绘制了如图所示的示意图，其中表示最高的樱花树，表示地面，表示斜坡，阳光的光线与斜坡垂直．若米，米，斜坡的坡角为，求最高的那棵樱花树的高度（其中）（结果精确到米）． 2．某校数学社团开展"探索生活中的数学"研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，其中观景平台斜坡的长是30米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，．） 3．为积极响应健康中国行动，落实“体重管理年”三年行动，小王买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知点C到地面的距离为0.8 m，踏板与地面的坡比，支架的长为0.8m，跑步机手柄为，且，点A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求踏板的长； (2)小王身高为1．8m，通过尝试发现，当h是身高的0.8倍时运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 4．2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息： ①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑； ②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角，，，坝顶米，坝底黏土宽度米，且，点，，在同一水平线上，… 请根据上述数据，计算背水坡的长．（参考数据：，，．） 5．项目主题：阳光综合实践小组为学校图书馆设计无障碍通道． 研究步骤： ①查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； ②实地测量图书馆门口场地的大小； ③为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其他通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适． 设计方案：小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱均垂直于地面，米，米． 解决问题：若原台阶坡道（线段）的长度为5米，坡角的度数为，求无障碍通道和的总长．（参考数据：，） 二、仰角、俯角问题 6．双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，如图，在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角；沿着方向走到处，用皮尺测得；在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角．已知测角仪的高度为，点，，在同一水平直线上，求塔的高度．（参考数据：，，） 7．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，该无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．若，米，求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 8．如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）后，小明沿坡度为的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)填空： ______度， ______度； (2)求F距离地面的高度（结果保留根号）； (3)求宣传牌的高度（结果保留根号）． 9．如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 10．如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 三、方位角问题 11．如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 12．为增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次越野拉练活动．如图是行进过程中某时刻A，B，C三个小组所在的位置，B在A的北偏东方向上，B与A相距，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求此时A，C两个小组之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 13．如图，小红和小明相约去动物园游玩，表示公园大门，表示金鱼馆，为熊猫馆，为恐龙馆．小红的游览路线是，小明的游览路线为，两人最终在处汇合．在的南偏西方向，在的西南方向1200米处，与的距离为1000米，在的正东方向米处．（（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若小明的平均游览速度是小红平均游览速度的两倍（停留在、的玩耍时间相同），谁先到达处熊猫馆？请通过计算说明（结果保留整数）． 14．如图，甲、乙两名外卖小哥同时从A餐厅出发，分别向B、C两个小区和F、E两个小区送餐，最后到达位于A餐厅正东方向的D餐厅再次取餐．甲外卖小哥沿A餐厅北偏东方向行驶一定距离到达B小区，再沿正东方向行驶4千米到达C小区，最后沿东南方向行驶一定距离到达D餐厅．乙外卖小哥沿A餐厅的正南方向行驶4千米后到达F小区，再沿南偏东方向行驶4千米后到达E小区，最后沿东北方向行驶一定距离到达D餐厅．（参考数据： (1)求A、D两餐厅之间的距离；（结果保留根号） (2)甲，乙外卖小哥均到达D餐厅后，求乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了多少千米？（结果保留小数点后一位） 15．小明和他的宇树机器狗“汪汪”周末准备在湖心公园散步，湖心公园步道如图所示，公园书吧D在湖心公园大门A的西北方向上，儿童游乐场E在公园书吧D的北偏东方向上，湖心公园后门C在儿童游乐场E的正东方向米处，休闲美食区B在公园大门A的东北方向米处．（参考数据： (1)求公园大门A和公园书吧D的距离；（精确到个位） (2)周日上午小明和他的宇树机器狗到达湖心公园大门A，小明为了测试机器狗的性能，设定机器狗沿着路线到达公园后门C，而小明沿着路线步行走到公园后门，小明步行速度是60米／分，宇树机器狗的速度是80米／分，请通过计算说明，机器狗和小明谁先到达后门. 四、其它问题 16．图①是一种手机平板支架放在桌面上，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，若，时，求点到桌面的距离（计算结果精确到个位）（参考数据：，） 17．如图，监控摄像头固定在与构成的支架上，，．若该摄像头的可视角为的平分线，当时，求摄像头的最远可视点与支架底部的距离（精确到）．参考数据：，． 18．某科学实验小组用如图1所示的装置做小球摆动实验，进行如下操作： ①用一条不可伸长的细线固定一个金属小球，将细线的上端固定于点O； ②测出悬点O到水平地面l的距离为； ③打开光源，测出小球静止时在竖直墙面上的投影中心到地面的高度为； ④将小球拉开一个角度，然后由静止释放． 实验说明：如图2所示，于点A，点B在上，，，将小球拉开一个角度，然后由静止释放后，小球可摆动到点C处，于点D（点O，A，B，C，D在同一平面内）． 问题解决：当时，求点C到水平地面l的距离．（结果精确到．参考数据：，） 19．在物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景．如图，一束光从天花板点射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑．第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们的高度为，当，时，请求出第一小组和第二小组的光斑距离． 20．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 参考答案 1．解：如图所示，延长交于E， 由题意得，， ∴， 在中，米， ∴米， ∵， ∴， 在中，米， 答：最高的那棵樱花树的高度为米． 2．解：如图，延长交于点M，过点A作于点N． 由题意，得， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，， ∴， 即， ∴． 又， ∴， ∴． 故大楼的高度约为米． 3．解：（1）如图，过点作于点． 踏板与地面的坡比， ， ， ， 即踏板的长为． （2）如图，延长交于点，则． 小王身高为1.8m，通过尝试发现，当是身高的倍时运动起来更加舒服， ． ， ． 即此时点到手柄的距离为． 在中，， ． 由（1）得， ． 4．解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． 则四边形为矩形． ，． 设． 在中，，． ． ． 在中， ，． ， ． ， ． 解，得． 在中， ，， （米）． 答：背水坡的长为25米． 5．解：如图，延长，两线交于点，过点作于点，则． ， ． ， ． ． 四边形为矩形． ． 米，， （米）． 米 ． ． ． ， 米． （米）． 在Rt中，（米） （米）． 无障碍通道和的总长为米． 6．解∶根据题意，得， ∵在中，  ， ， ∵在中， ， ∴． ， ∴． ∴． 即塔的高度为． 7．解：过点B作，垂足为N， 由题意可知， 米， ，，， ∴四边形为矩形， 米， 在中，米， ， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， ∴河流的宽度约为263米． 8．（1）解：由题意，得， ， ， 由题意，得， ， ； （2）如图，过点作于， 由题意得， ， 四边形是矩形， ， 在中，米， 米， 答：距离地面的高度为米； （3）解：斜坡的坡度为， 在中，米， 米， 在中，， 米， 在中，米， 米． 答：宣传牌的高度约为米． 9．（1）解：如图，过点作，垂足为． 坡度，米， ， ． 在中． 米． （2）由（1）可得，米． 如图，过点作，垂足为． 设米， ， 米． )米，米． 在中，， 米． （3）在中，， 即 米． 由（2）可得(米)． (米)． 10．解：（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 11．（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 12．（1）解：根据题意得：，， ∵， ∴ （2）解：过点作于点，如图， ∴， ∴； ∵， ∴， 又， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， 所以，此时A，C两个小组之间的距离为． 13．（1）解：如图所示，过点C作交延长线于H， 由题意得，， 在中，米， 米； 在中，由勾股定理得米， ∴米， 答：的长度为； （2）解：如图所示，过点A作于T， 在中，， ∴米， 米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴米； ∵， ∵， ∴小明先到达C处熊猫馆． 14．（1）解：如图所示，过点E作于M，过点E作交延长线于 K， 在中，千米， ∴千米，千米， ∴千米 ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， 在中，， ∴千米， ∴千米， 答：A、D两餐厅之间的距离为千米； （2）解：如图所示，过点B作于N，过点C作于H， 在中，， ∴，， 设千米，则千米，千米， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 在中，千米，千米， ∵千米， ∴， 解得， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴千米， 千米， 答：乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了千米． 15．（1）解：过点D作，过点A作，分别交的延长线于一点，交于一点，交的延长线于一点，如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意可得，， 如图所示：， 在中，， 即， 解得米； 在中， 即， 解得米； ∴米； ∴米； ∴米； 在中，， ∴， 设， 则 ∴ ∴，， 在中，， 即 解得， 经检验：是 原分式方程的解， ∴（米）； （2）解：由（1）得，，米，米，米； ∴（米） ∴（米） ∴米； ∴米； ∴（米）， 在中，， ∴ ∴（米） 则机器狗所走的路程为（米） ∴机器狗所花费的时间（分）， 则小明所走的路程为（米） ∴小明所花费的时间（分）， ∵， ∴小明先到后门． 16．解：过点，作，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点到桌面的距离为． 17．解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，， ， ， ， ， ，， ， 为的平分线，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 摄像头的最远可视点与支架底部的距离约为． 18．解：根据题意可知，， ∵，， ∴． 如图，过点作，垂足为， ． 在中，． ． ， ． 四边形为矩形， ． 答：点到水平地面的距离约为． 19．解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得和都是等腰三角形， ， ， ， ， ， 20．（1）解： ，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $