2025-2026学年阳江市第三中学第一学期高二数学期末考试复习题（一）

2025-2026学年阳江三中第一学期高二期末考试复习题（一） 一、单选题 1．天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（   ） A．0.44 B．0.5 C．0.56 D．0.6 2．已知随机事件满足，则（　　） A． B． C． D． 3．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 4．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．设、分别为双曲线（，）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 10．已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 11．已知双曲线E：（，）的渐近线方程为，其焦点分别为F1，F2，点P在E上，则（    ） A． B．E的离心率为 C．当时，F1到渐近线的距离为4 D．当时， 三、填空题 12．已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是 . 13．如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，的中点，则点到平面的距离为 . 14．若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是 . 四、解答题 15．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的中位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 16．如图，在四棱锥中，，，点E在上，且    (1)若F为线段PE中点，求证：平面PCD. (2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 17．已知圆. (1)过点作圆的切线，求切线的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 18．已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. (1)求的方程. (2)已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 19．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二期末考试复习题（一）解析版 一、单选题 1．天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（   ） A．0.44 B．0.5 C．0.56 D．0.6 【答案】A【详解】“设“甲地降雨”为事件A，“乙地降雨”为事件B，则，，“甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即，，，利用独立事件的性质可知，事件与相互独立，所以，所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为． 2．已知随机事件满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为，即， 所以. 3．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B【详解】，即，得，所以， ，. 4．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由空间向量，，则向量在向量上的投影向量为. 5．已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 6．设、分别为双曲线（，）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】取中点Q，连接，如图所示，因为，Q为的中点，所以，因为到直线的距离等于双曲线的实轴长，所以， 则，所以，由双曲线定义得，则，即，又，整理得，左右同除以，得，即，解得或（舍）. 7．已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】依题意，，，又，所以，整理得， 所以，所以双曲线E的渐近线方程为， 8．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则. 又，故点到平面的距离为. 二、多选题 9．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 【答案】AC【详解】对于A，对于事件A与事件B，可得， 且，即事件A与事件B是相互独立事件，故A正确；对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误； 对于C，与相互独立，所以，故C正确. 对于D，因为，，，所以，而事件等价于事件， 即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数，可得，故D错误. 10．已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD【详解】方程表示以为圆心，半径的圆， 对于A，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得，所以的最小值为，故A错误； 对于B，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得，所以最小值为，B正确； 对于C，表示圆上的点到的距离的平方， 设圆上的点到的距离，又，所以，即，所以的最大值为49，故C正确；对于D，点到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值为，故D正确. 11．已知双曲线E：（，）的渐近线方程为，其焦点分别为F1，F2，点P在E上，则（    ） A． B．E的离心率为 C．当时，F1到渐近线的距离为4 D．当时， 【答案】ACD【详解】对于A，双曲线的渐近线方程为，故E的渐近线方程为，由得，故A正确，对于B，E：，当时，，其半焦距为，实半轴长为，可得离心率为，故B错误， 对于C，此时E：，半焦距为，由对称性不妨设，其到渐近线的距离，故C正确，对于D，此时E：，由定义知，故D正确. 三、填空题 12．已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是 . 【答案】【详解】记事件：摸出的是红球，事件 ：摸出的是白球，事件：摸出的是黑球，则 因为从口袋中有放回地摸球两次，两次摸球是相互独立的，两次摸出的球的颜色相同的事件可以表示为，所以， 13．如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】 14．若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是 . 【答案】【详解】可整理为，其图象为双曲线的一支，其渐近线为.过定点，过该定点且与渐近线平行的直线为与.由双曲线的性质，并结合图象可知，当时，与双曲线的右支只有一个公共点. 四、解答题 15．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数；(2)求样本成绩的中位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【详解】（1）由频率分布直方图面积和为，可得， 解得；成绩在的频率为，[40,90)频率为0.9，则第75百分位数为. （2）由频率分布直方图可知成绩在的频率为，则样本成绩的中位数为；由频率分布直方图可得样本平均数为. （3）可知成绩落在的人数为人，成绩落在的人数为人， 则两组总体成绩平均数为，则总体方差. 16．如图，在四棱锥中，，，点E在上，且 (1)若F为线段PE中点，求证：平面PCD. (2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点为，连接，则，， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面，所以平面； （2）因为，故，故，故四边形为平行四边形，故，所以平面，而平面，，而，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，则，，，，设平面的法向量为，则由可得，取，设平面PCD的法向量为，则由可得，取，故，故平面与平面夹角的余弦值为. 17．已知圆. (1)过点作圆的切线，求切线的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，则直线的方程为，即，由题意得，解得，此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. （2）圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 直线被圆所截得的弦长为. 18．已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. (1)求的方程.(2)已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：.（ⅱ）若，证明：过定点. 【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 准线与x轴的交点，则，解得（舍）， 故抛物线C的标准方程为； （2）（i）直线，代入，消去，可得，则，由韦达定理，则，得证； （ii），则， 即，因，则，此时直线的方程为，故直线必过定点，得证. 19．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件，“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立，则 .所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D，“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此， 解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $