1.2 等腰三角形 第3课时 教学课件 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

1.2.3 等腰三角形第三课时 北师大版八年级下册数学 学习目标 1.掌握等边三角形的两种判定定理，能准确运用判定定理判断三角形是否为等边三角形。 2.探索并掌握含 30°角的直角三角形的性质，理解性质的推导逻辑。 3.能综合运用等腰三角形、等边三角形的性质与判定，以及含 30°角的 直角三角形的性质，解决线段相等、角度计算、简单几何证明等问题。 复习引入 1.满足什么条件的三角形是等腰三角形？ 有两边相等的三角形是等腰三角形（边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形（角） 2.满足什么条件的三角形是等边三角形？ 三边都相等的三角形是等边三角形 还有其他的判定方法吗？ 情景导入 思考：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 请证明自己的结论，并与同伴进行交流。 猜测：1.三个角都是60°的三角形是等边三角形 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 新课探究 如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C=60°。求证：△ABC是等边三角形。 A B C 证明：∵∠A+∠B+∠C=180° ∠A=∠B=∠C ∴∠A=∠B=∠C=60° ∵∠B =∠A = 60° ∴AC = BC（等角对等边） ∵∠B =∠C = 60° ∴AC = AB ∴AC = AB = BC ∴△ABC 是等边三角形 归纳总结 等边三角形的判定定理1 ： 三个角都相等的三角形是等边三角形 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形 新课探究 如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=60°。求证：△ABC是等边三角形 证明： ∵AB＝AC，∠B= 60° ∴∠C=∠B=60° 则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60° ∴∠A =∠B =∠C = 60° ∴AB=AC=BC ∴△ABC 是等边三角形 A B C 归纳总结 等边三角形的判定定理1 ：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 几何语言： 在△ABC中， ∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°) ∴△ABC是等边三角形 练一练 已知，如图BD//AC,∠C=60°，DA平分∠BDC.求证：△ADC是等边三角形. 证明：∵BD//AC ∴∠BDA=∠DAC 又∵DA平分∠BDC ∴∠BDA=∠ADC ∴∠DAC=∠ADC 又∵∠C=60° ∴∠DAC=∠ADC=∠C=60° ∴△ADC是等边三角形 尝试思考 （1）用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？ （2）在上述拼接过程中，你发现了什么结论？ 发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半 如何证明这个结论？ 发现证明 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。 求证：BC = AB。 A B C 证明：如图，延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD。 ∵∠ACB = 90° ∴∠ACD = 90° ∵AC = AC ∴△ABC ≌ △ADC（SAS） ∴AB = AD(全等三角形的对应边相等) D 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)。 ∵∠BAC = 30°，∠ACB=90°， ∴∠B= 180°－30°－90°=60°。 ∴△ABD 是等边三角形(有一个角等于60°的等腰 三角形是等边三角形)。 ∴BC = BD = AB。 归纳总结 含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90° ∵∠A=30° ∴BC= AB A B C 30° 例题展示 例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半 B A D C 证明：在△ABC 中，∵AB = AC，∠B = 15° ∴∠ACB =∠B = 15°(等边对等角) ∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ∵CD 是腰 AB 上的高 ∴∠ADC = 90° ∴CD = AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半) ∴CD= AB 随堂练习 1.下列条件中，不能判定△ABC为等边三角形的是（ D ） A. AB=BC=AC B. ∠A=∠B=∠C=60° C. AB=AC，∠B=60° D. AB=AC，∠A=50° 2. 在△ABC中，AB=AC，若添加一个条件 ，则△ABC为等边三角形（写出一个即可）。 ∠A=60° 随堂练习 3. 已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，求证：△ABC是等边三角形。 证明：∵ AB=BC（已知） ∴ △ABC是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形） 又∵ ∠ABC=60°（已知） ∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 随堂练习 4. 已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=60°，AB=5cm，求△ABC的周长. 解：∵ ∠A=60°，∠B=60°（已知） ∴ ∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°（三角形内角和为180°） ∴ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ △ABC是等边三角形（三角相等的三角形是等边三角形） ∵ AB=5cm，∴ AB=BC=AC=5cm（等边三角形三边相等） ∴ △ABC的周长=5+5+5=15cm 课堂小结 5. 已知：在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，且∠BAD=30°，求证：△ABC是等边三角形。 证明：∵ AD平分∠BAC（已知） ∴ ∠BAC=2∠BAD（角平分线的定义） 又∵ ∠BAD=30°（已知），∴ ∠BAC=2×30°=60° ∵ AB=AC（已知） ∴ △ABC是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形） 又∵ ∠BAC=60°，∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 思维训练 6. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB边上的中线，求证：△BCD是等边三角形。 证明：∵ ∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴ BC=AB（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） 且∠B=180°-90°-30°=60° ∵ CD是AB边上的中线（已知） ∴ CD=AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）∴ BC=CD（等量代换） ∴ △BCD是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形） 又∵ ∠B=60° ∴ △BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 思维训练 7. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求△ABC各内角的度数，并判断△ABC是否为等边三角形。 解：设∠B=x°，∵ BD=AD（已知），∴ ∠BAD=∠B=x°（等腰三角形两底角相等） ∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=2x°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和） 又∵ DC=AC（已知），∴ ∠CAD=∠ADC=2x°（等腰三角形两底角相等） ∵ AB=AC（已知），∴ ∠C=∠B=x°（等腰三角形两底角相等） 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和为180°） 即∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180° 代入得：x+2x+x+x=180，解得x=36 ∴ ∠B=∠C=36°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=36°+72°=108° ∵ △ABC的三个内角都不相等，且三边也不相等（AB=AC≠BC） ∴ △ABC不是等边三角形 课堂总结 等边三角形的判定： 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 含30°角的直角三角形的性质： 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 A B C A B C 30° 作业布置 1.基础题：习题1，4题 2.自助餐作业 $