2026年中考数学重难点一轮复习：专题13 函数基础知识

专题13 函数基础知识 一、选择题（共8小题） 1．（2025•青海）如图，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的路程y（km）与时刻t之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（　　） A．乙车先到达B地 B．A、B两地相距300km C．甲车的平均速度为100km/h D．在8：30时，乙车追上甲车 2．（2025•昌江区二模）如图，烧杯中装有适量Ca（OH）2溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的PH值变化情况用图象可近似表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•朝阳区校级期末）在某次综合与实践活动中，小明同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如表： 鞋号（码） … 33 34 35 36 37 … 脚长（毫米） … 215±2 220±2 225±2 230±2 235±2 … 小明的脚长为249毫米，则他的鞋号（码）是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 4．（2025秋•永定区校级期末）像y＝2这样的函数称为常值函数，函数y＝2的图象经过（　　） A．（0，0） B．（1，1） C．（2，1） D．（2，2） 5．（2025秋•成都校级期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•丰城市校级期末）下图表示y是x函数的图象是（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•襄阳月考）定义新运算a※b例如：1※2．则函数y＝1※x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•高陵区校级月考）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠﹣5 B．x≠5 C．x＞5 D．x＜5 二、填空题（共8小题） 9．（2025秋•莱山区校级月考）下列数据： ①10月1日某部电影的票房； ②今天烟台开发区的空气质量； ③你每天参加体育活动的时间； ④你早餐是否有喝牛奶的习惯， 是定量数据的有　 　 ． 10．（2025春•旌阳区期中）下列各式：①y＝2x+8；②|y|＝3x；③y＝2|x|；④y＝0.5x﹣2，其中y是x的函数的有　 　 ． 11．（2024秋•通河县期末）在函数中，自变量x的取值范围是　 　 ． 12．（2025秋•南明区校级期中）在一次函数y＝x+1中，若x＝3，则函数值y＝　 　 ． 13．（2025秋•西安校级期中）如图，根据程序框图计算函数y的值，若输入x的值为7，则输出y的值为﹣2，若输入x的值为﹣8，则输出y的值为　 　 ． 14．（2025秋•普陀区月考）已知，那么f（5）＝　 　 ． 15．（2025秋•三明期末）在函数中，自变量x的取值范围是 　 　 ． 16．（2025•建华区三模）函数y中，自变量x的取值范围是 　 　 ． 三、解答题（共4小题） 17．（2024秋•焦作期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．研究过程如下： 绘制函数的图象． 列表：表格中是x，y的几组对应值． x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 ⋯ y ⋯ 0 ﹣1 ﹣2 4 3 m ⋯ 描点：根据表中数值描出点（x，y），并补充描出点（0，m）． 连线：用平滑的曲线顺次连接各点． 请你帮助小明解决下列问题 （1）表格中m＝　 　 ，并把图象补充完整； （2）探究函数的性质： 判断下列说法是否正确（正确的填√，错误的填×）． ①函数值y随x的增大而减小．（　 　 ） ②函数图象关于点（﹣1，1）对称．（　 　 ） ③函数图象与直线x＝﹣1没有交点．（　 　 ） 18．（2025春•祥符区期末）已知小林同学的家、碧沙岗公园、新华书店在同一条直线上，小林从家匀速走15分钟到碧沙岗公园，在公园休息了一阵后又匀速走到新华书店买书，然后再匀速走回家．下面给出的图象反映了在这个过程中小林离家的距离y（km）与离家的时间x（分钟）之间的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量是 　 　 ；因变量是 　 　 ． （2）填空：①在这个变化过程中，碧沙岗公园到新华书店的距离为 　 　 km； ②小林从碧沙岗公园到新华书店的步行速度为 　 　 km/分钟． （3）当小林离家的距离为1km时，请你求出他离家的时间． 19．（2025春•环翠区期末）定义运算：max{a，b}，当a＜b时，max{a，b}＝b；当b＜a时，max{a，b}＝a；当a＝b时，max{a，b}＝a或b．例如：max{1，0}＝1：max{0，0}＝0．完成下列任务： （1）max{2﹣1，3﹣1}＝ 　 　 ； （2），则x的取值范围是 　 　 ； （3）已知y关于x的函数y＝max{﹣x﹣3，kx+b}的部分图象如图， ①补全图象； ②k＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； ③若y＞2，则x的取值范围是 　 　 ； ④若m≤x≤m+1时，y的最大值与最小值的差为，求m的值． 20．（2025秋•河间市期中）一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 12 15 30 … 需要读的天数（天） 25 ■ 10 … （1）小林需要读的总页数为　 　 页，“■”盖住的数字为　 　 ； （2）随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ （3）设每天读的页数为x，需要读的天数为y，判断x与y之间成什么比例关系？ 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】C 【分析】根据函数图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【解答】解：由图象可知， 乙车先到达B地，故选项A说法正确，不符合题意； A、B两地相距300km，故选项B说法正确，不符合题意； 甲车的速度为：300÷（11+6）＝60（km/h），故选项C说法错误，符合题意； 在8：30时，乙车追上甲车，故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 2．【答案】C 【分析】先分析初始溶液（Ca（OH）2溶液，碱性，PH＞7），再分析滴加稀盐酸时的反应过程（碱性逐渐减弱，PH逐渐减小，恰好反应时PH＝7，盐酸过量后PH＜7），最后结合选项图象进行判断． 【解答】解：选项A：PH从小于7开始上升，不符合初始碱性的情况，故本选项不符合题意； 选项B：PH始终不变，不符合中和反应的变化，故本选项不符合题意； 选项C：PH从大于7开始，逐渐减小至7，符合上述变化规律，故本选项符合题意； 选项D：PH最终稳定在7，不符合盐酸过量后呈酸性的情况，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．【答案】B 【分析】根据表格，找出脚长与鞋码之间的关系，列出脚长与鞋码之间的函数关系式，把脚长代入计算出鞋码即可． 【解答】解：∵215＝33×5+50，220＝34×5+50，225＝35×5+50，230＝36×5+50，235＝37×5+50， ∴脚长＝鞋码×5+50， 设脚长为y，鞋码为x，则y＝5x+50， 把x＝249代入y＝5x+50得： 5x＝199， x＝39.8， ∴他的鞋号是40码， 故选：B． 4．【答案】D 【分析】在函数y＝2的图象上的点的纵坐标为2，据此可得答案． 【解答】解：∵点（2，2）的纵坐标是2， ∴点（2，2）在函数y＝2的图象上， 故选：D． 5．【答案】D 【分析】根据函数的定义，即对任意的x，y有唯一的值与之对应，逐一判断即可． 【解答】解：根据函数的定义，即对任意的x，y有唯一的值与之对应， A．当x＝0时，y有3个值，不符合题意； B．当x＝0时，y有2个值，不符合题意； C．当x＝0时，y有2个值，不符合题意； D．对任意的x，y有唯一的值，符合题意． 故选：D． 6．【答案】B 【分析】根据函数的定义：一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x，y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数进行判断． 【解答】解：A、选项图像中，y不是x的函数的图象，不符题意； B、选项图像中，y是x的函数的图象，符合题意； C、选项图像中，y不是x的函数的图象，不符题意； D、选项图像中，y不是x的函数的图象，不符题意． 故选：B． 7．【答案】B 【分析】按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【解答】解：当x＜0时，，其图象在第二象限， 当x＞0时，，其图象在第一象限； ∴函数y＝1※x的图象大致是B． 故选：B． 8．【答案】B 【分析】根据分母不为0列式计算即可作答． 【解答】解：由题意得：x﹣5≠0， 解得：x≠5， 故选：B． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】①③． 【分析】运用定量数据和定性数据的定义进行辨别、求解． 【解答】解：∵10月1日某部电影的票房是定量数据， ∴今天烟台开发区的空气质量是定性数据， 你每天参加体育活动的时间是定量数据， 你早餐是否有喝牛奶的习惯是定性数据， ∴以上数据中是定量数据的是①③， 故答案为：①③． 10．【答案】①③④． 【分析】根据函数的定义，一个变化的过程中，有两个变量x，y，其中y随着x的变化而变化，且对于每一个确定的x的值都有唯一确定的y值与之对应，我们就称y是x的函数，进行判断即可． 【解答】解：由题意，y是x的函数的有y＝2x+8，y＝2|x|，y＝0.5x﹣2共3个． 故答案为：①③④． 11．【答案】x≠2 【分析】根据分式有意义的条件即可求出x的取值范围． 【解答】解：∵x﹣2≠0， ∴自变量x的取值范围是x≠2． 故答案为：x≠2． 12．【答案】4． 【分析】把x＝3代入y＝x+1即可． 【解答】解：当x＝3时 y＝x+1＝3+1＝4， 故答案为：4． 13．【答案】19． 【分析】把x＝7代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值，再将x＝﹣8代入y＝﹣2x+3中即可得出结论 【解答】解：当x＝7时，可得， 可得：b＝3， 当x＝﹣8时，可得：y＝2×（﹣8）+3＝19， 故答案为：19． 14．【答案】． 【分析】根据新运算法则把x＝5代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴f（5），故答案为：． 15．【答案】x≠2． 【分析】根据分式的分母不等于0求解即可得． 【解答】解：由题意得：x﹣2≠0， 解得x≠2， 故答案为：x≠2． 16．【答案】x≥﹣2且x≠3 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：y中自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠3； 故答案为：x≥﹣2且x≠3． 三、解答题（共4小题） 17．【答案】（1）m＝2，函数图象： （2）①×，②√，③√． 【分析】（1）根据题意，把x＝0代入计算得到m＝2，运用描点、连线的方法得到函数图象； （2）根据函数图象进行判定解． 【解答】解：（1）根据题意，当x＝0时，， ∴m＝2， 描点，连线如图所示， 故答案为：2； （2）每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，故①×； 函数图象关于点（﹣1，1）对称，故②√； 函数图象与直线x＝﹣1没有交点，故③√； 故答案为：①×，②√，③√． 18．【答案】（1）时间，距离； （2）①1，②； （3）6分钟或73分钟． 【分析】（1）根据函数的定义可得答案； （2）①根据函数图象相应点的纵坐标可得碧沙岗公园到新华书店的距离；②根据“速度＝路程÷时间”可得答案； （3）分去和返回两种情况解答即可． 【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是距离． 故答案为：时间，距离； （2）①在这个变化过程中，碧沙岗公园到新华书店的距离为：2.5﹣1.5＝1（km）， 故答案为：1； ②小林从碧沙岗公园到新华书店的步行速度为：1÷（45﹣30）（km/分钟）， 故答案为：； （3）当小林离家的距离为1km时，他离家的时间为：16（分钟）或65+（90﹣65）73（分钟）． 19．【答案】（1）； （2）x； （3）① ②1，﹣1； ③x＜﹣5或x＞3； ④m． 【分析】（1）根据新定义，仿照示例，比较2﹣1＞31，可得到结果； （2）仿照示例，可得到，解不等式，可得到结果； （3）根据题意，求出k，b，画出分段函数的图象即可，再结合图象，得到函数的最值，得到结果． 【解答】解：（1）2﹣1，3﹣1， ∵， 即2﹣1＞3﹣1， ∴max{2﹣1，3﹣1}， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴x， 故答案为：x； （3）①∵y＝max{﹣x﹣3，kx+b}， 结合图象可知，y＝kx+b的图象过点（﹣1，﹣2），（1，0）， ∴， 解得k＝1，b＝﹣1， ∴y＝x﹣1， ∴， 图象如下： ②由①可知k＝1，b＝﹣1， 故答案为：1，﹣1； ③当y＝2时，﹣x﹣3＝2，即x＝﹣5， 当y＝2时，x﹣1＝2，即x＝3， ∴结合函数图象知，当y＞2，则x的取值范围是x＜﹣5或x＞3， 故答案为：x＜﹣5或x＞3； ④∵若当m+1＜﹣1，即m＜﹣2时，对应的函数图象的左支，解析式为y＝﹣x﹣3，（x＜﹣1）， ∴y的最大值为﹣m﹣3，y的最小值为﹣（m+1）﹣3＝﹣m﹣4， 若y的最大值与最小值的差为， 则﹣m﹣3﹣（﹣m﹣4）， 方程无解； 若当m≥﹣1时，对应的函数图象的右支，解析式为y＝x﹣1，（x≥﹣1）， ∴y的最大值为m，y的最小值为m﹣1， ∴m﹣（m﹣1）， 方程无解； 当﹣2≤m＜﹣1时，y的最小值为﹣2， 结合函数图象，y的最大值为﹣m﹣3或m， ∴﹣m﹣3﹣（﹣2）或m﹣（﹣2）， 解得m， 综上，m． 20．【答案】（1）300，20； （2）越来越少； （3）x与y成反比例关系． 【分析】（1）用表格中的一组数据，求出两数的积即可； （2）观察表格数据可得； （3）根据书的总页数等于每天看的页数乘以天数，得到x与y的关系，根据积一定，两个变量成反比例关系，作答即可； 【解答】解：（1）12×25＝300，300÷15＝20， 故答案为：300，20； （2）越来越少； （3）∵12×25＝15×20＝20×15＝30×10＝300， ∴x与y的关系是xy＝300， ∴x与y成反比例关系. 学科网（北京）股份有限公司 $