最小公倍数的应用（教学设计）-2025-2026学年数学五年级下册人教版

最小公倍数的应用 教学设计 教学目标： （1）数学眼光：能从铺正方形、浇水、发车等生活情境中，观察并发现需要用两个数的公倍数和最小公倍数解决的实际问题，初步感知数学与现实生活的联系。 （2）数学思维：通过分析和解决 “铺正方形”“同时浇水” 等问题，掌握将实际问题转化为求两个数最小公倍数的方法，能运用逻辑推理和小组合作探究解决问题的策略，提升数学思维能力。 （3）数学语言：能用 “公倍数”“最小公倍数” 等数学术语描述问题中的数量关系，清晰表达 “正方形边长需是长和宽的公倍数”“求同时浇水日期需先算最小公倍数” 等解决问题的思路，并用算式或步骤说明推理过程。 教学重难点： （1）教学重点：能够运用两个数的最小公倍数解决 “铺正方形”“同时完成任务” 等生活实际问题，培养数学应用意识和运算能力，初步形成建模思想（核心素养：应用意识、运算能力）。 （2）教学难点：理解 “用整块墙砖铺成正方形”“同时浇水 / 相遇” 等实际情境中，“正方形边长”“共同完成时间” 等关键量与两个数公倍数的内在联系，实现从具体操作到抽象数学关系的转化（核心素养：几何直观、推理意识）。 教学准备： （1）多媒体教学资源包（含最小公倍数应用相关动画、PPT 演示文稿，如墙砖铺正方形动态过程）。 （2）3dm×2dm 长方形硬纸板（每组若干，用于学生动手拼摆正方形）。 （3）铺砖问题探究任务单（含问题情境、数据记录表格、拼摆步骤引导）。 教学方法： 小组合作法、动手操作法、情境教学法 教学过程： 一、复习回顾，揭示课题 师： 同学们，上节课我们一起研究了 “公倍数和最小公倍数”，现在老师想通过几个小问题检验一下大家的掌握情况。请看屏幕上的三道题（依次展示课件内容）： 第一题（课件：“判断对错：两个数的公倍数一定比这两个数都大。”） 师： 谁来判断这句话的对错，并说说理由？ 生： 我认为是错的。比如 2 和 4，它们的最小公倍数是 4，4 和其中一个数相等，不是 “都大”。 师： 非常好！还能举其他例子吗？ 生： 3 和 3 的最小公倍数是 3，也等于其中一个数，所以这句话不对。 师： 没错，看来大家对 “公倍数” 的范围理解很清晰，它可以等于其中一个数，也可以比两个数都大。 第二题（课件：“找出下面每组数的最小公倍数：（1）12 和 18；（2）5 和 7；（3）6 和 9。”） 师： 请大家快速口答，先说第一组：12 和 18 的最小公倍数是多少？怎么想的？ 生： 12 的倍数有 12、24、36、48……18 的倍数有 18、36、54…… 所以最小公倍数是 36。 师： 第二组 5 和 7 呢？ 生： 5 和 7 是互质数，最小公倍数是 5×7=35。 师： 第三组 6 和 9 呢？ 生： 6 的倍数：6、12、18、24……9 的倍数：9、18、27…… 最小公倍数是 18。 第三题（课件：“在表中圈出 4 和 6 的公倍数，再填一填。”） 师： 我们之前学过，4 的倍数特征是……？ 生： 个位是 0、2、4、6、8，且各位数字之和是 4 的倍数。 师： 6 的倍数呢？ 生： 既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，即个位是偶数，且各位数字之和是 3 的倍数。 师： 现在请大家在练习纸上按要求圈出 4 和 6 的公倍数，完成后汇报你找到的数。 生： 我圈出的数有 12、24、36…… 因为 12 是 4×3=12，6×2=12；24 是 4×6=24，6×4=24，以此类推。 师： 太棒了！通过这三道题，我们发现大家对 “公倍数” 的概念、求法和特征都掌握得非常扎实。那这些知识在生活中能解决什么实际问题呢？今天我们就来学习 “最小公倍数的应用”（板书课题：最小公倍数的应用）。 二、自主探索，形成策略 （一）阅读与理解 师： 请打开课本第 70 页，看例 3 的题目：“用长 3dm、宽 2dm 的长方形墙砖铺一个正方形（用的墙砖必须是整块）。正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？”（课件同步出示题目和墙砖示意图：长方形长 3dm，宽 2dm，下方标注 “整块墙砖”） 师： 请大家默读题目，思考：“用整块墙砖铺正方形” 意味着什么？正方形的边长和墙砖的长、宽之间有什么关系？ 生： 边长必须同时是 3dm 和 2dm 的倍数，否则墙砖会被切割或无法铺成正方形。 师： 说得非常好！比如，如果边长是 2dm，宽刚好够 1 块砖，但长 3dm 就需要切割（因为 2dm<3dm），所以必须满足 “边长既是 3 的倍数，又是 2 的倍数”，这样才能用整块砖铺满。 （二）分析与解答 1. 动手操作，初步感知 师： 现在请同学们拿出学具袋里的长方形纸片（或用画有 3cm×2cm 格子的练习纸代替），以小组为单位，试着用这些 “墙砖” 拼出正方形，看看能拼出几种不同的边长。拼的时候注意：不能切割、不能重叠，必须用 “整块墙砖”。（学生分组活动，教师巡视指导，重点观察学生是否从 “倍数” 角度思考） （巡视时，教师活动：“如果先拼边长最小的正方形，应该从哪个数开始尝试？”） 2. 展示交流，发现规律 师： 时间到！哪个小组愿意分享你们的拼法和发现？ 生 1： 我们小组先拼边长 6dm 的正方形。用长 3dm 的砖，6÷3=2 块，所以横向摆 2 块；宽 2dm 的砖，6÷2=3 块，纵向摆 3 块，正好拼成 2×3=6 块砖的正方形。 师： 请大家观察，6dm 和墙砖的长 3dm、宽 2dm 有什么关系？ 生： 6 是 3 的倍数，也是 2 的倍数。 生 2： 我们尝试了边长 12dm 的正方形。12÷3=4 块（横向），12÷2=6 块（纵向），4×6=24 块砖，也能铺成。 师： 12dm 和 3、2 是什么关系？ 生： 12 是 3 的 4 倍，是 2 的 6 倍，还是 6 的 2 倍。 师： 大家发现了吗？这些能铺成的正方形边长（6dm、12dm、18dm……）有什么共同特点？ 生： 它们都是 3 和 2 的公倍数！因为只有同时是 3 和 2 的倍数，才能用整块砖铺满正方形。 3. 深入分析，明确最小公倍数 师： 非常好！那 “最小的正方形边长” 为什么是 6dm 呢？ 生： 因为 6 是 3 和 2 的最小公倍数，比 6 小的数比如 4dm，4÷3=1 余 1，需要切割；5dm，5÷2=2 余 1，也需要切割，所以最小只能是 6dm。 师： 用数学语言来说，“正方形的边长必须是 3 和 2 的公倍数，其中最小的边长就是它们的最小公倍数”。通过动手操作和分析，我们可以总结出解决这类问题的策略：当用长方形墙砖铺正方形且必须用整块砖时，正方形的边长是长方形长和宽的公倍数，最小边长是最小公倍数。 三、运用策略，解决问题 （一）基础练习：浇水问题 师： 现在我们来解决一个生活中的问题（课件出示练习十七第 6 题）：“月季每 4 天浇一次水，君子兰每 6 天浇一次水。5 月 1 日同时浇水，下次同时浇水是 5 月几日？” 师： 请大家思考：“同时浇水” 意味着什么？ 生： 两次浇水的间隔天数既是 4 的倍数，也是 6 的倍数，即 4 和 6 的公倍数，最小间隔天数就是最小公倍数。 师： 那 4 和 6 的最小公倍数是多少？ 生： 12，因为 4 的倍数：4、8、12……6 的倍数：6、12…… 最小是 12。 师： 5 月 1 日加 12 天是 5 月几日？ 生： 5 月 13 日。 （二）拓展练习：跑步问题 师： 再看这道题（课件：“爸爸每 3 分钟跑一圈，妈妈每 4 分钟跑一圈，同时从起点出发，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？这时各跑了几圈？”） 师： “起点再次相遇” 和 “同时浇水” 的本质一样吗？ 生： 一样！都是求两人跑的时间的最小公倍数，因为只有时间是 3 和 4 的公倍数，才能同时回到起点。 师： 3 和 4 的最小公倍数是 12 分钟，对吗？ 生： 3×4=12，因为它们互质，最小公倍数是乘积。 师： 那爸爸跑了几圈？ 生： 12÷3=4 圈。 师： 妈妈呢？ 生： 12÷4=3 圈。 （三）对比练习：分物与发车问题 师： 请大家独立完成练习十七第 7、9、10 题，重点思考 “什么时候用最小公倍数，什么时候用最大公因数”： 第 7 题（分组）：“每 4 人或 6 人一组正好分完，至少多少人？” 生： 求 4 和 6 的最小公倍数，12 人。 第 9 题（裁玻璃）：“长 24cm、宽 18cm，裁正方形无剩余，边长可以是？最大是？” 生： 求 24 和 18 的公因数，边长可以是 1、2、3、6cm，最大是 6cm。 第 10 题（发车）：“3 路每 6 分钟发一次，5 路每 8 分钟发一次，第二次同时发车是几分钟后？各发几次？” 生： 最小公倍数24 分钟，3 路发 4 次，5 路发 3 次。 （四）提升练习：周期问题 师： 最后一道拓展题（课件：“5 个小朋友分苹果余 2 个，7 个小朋友分苹果余 3 个，至少多少个苹果？”） 师： 这道题看起来不像直接求公倍数，谁能找到突破口？ 生： 设苹果数为 x，x=5a+2=7b+3，即 5a=7b+1，尝试 b=2 时，7×2+1=15=5×3，所以 x=15+3=18？但 18÷5=3 余 3，不对…… 哦，b=7 时，7×7+1=50=5×10，x=50+3=53，53÷5=10 余 3，还是不对。 师： 其实这类 “有余数的周期问题” 也可以用公倍数解决，课后大家可以尝试用 “设最小公倍数为 L，找到满足条件的 L+n” 的方法，我们下节课再深入探讨！ 四、课堂小结 师： 回顾这节课，我们从 “铺正方形” 的问题入手，通过动手操作和分析，发现 “用整块长方形砖铺正方形时，边长是长和宽的公倍数，最小边长是最小公倍数”。之后用这个策略解决了浇水、跑步、分组等生活问题，还对比了 “公倍数” 和 “公因数” 的不同应用场景。 师： 谁能用自己的话说说，解决这类问题的关键步骤是什么？ 生： 第一步，明确问题本质 —— 需要找到共同的倍数；第二步，求相关数的最小公倍数；第三步，根据题目要求确定具体数值（如最小边长、最小间隔时间等）。 师： 非常好！希望大家今后遇到 “同时发生”“正好分完”“无剩余” 的问题时，能想起用最小公倍数的策略来解决。这节课就到这里，下课！ 课后作业： （1）用长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形卡片铺成一个正方形，正方形的边长最小是多少厘米？至少需要多少张这样的卡片？ （2）李老师买了两种笔记本，A 笔记本每 2 天买一次，B 笔记本每 5 天买一次，3 月 1 日同时买了这两种笔记本，下次同时购买是 3 月几日？ 学科网（北京）股份有限公司 $