精品解析：山东淄博市2025～2026学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试题（五四学制）

2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测初三数学试题 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5.评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. a＋b B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：A．a＋b是整式，故选项不符合题意； B．是整式，故选项不符合题意； C．是整式，故选项不符合题意； D．是分式，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 2. 某部队一军人在一次射击训练时，连续10次的成绩为6次10环，1次9环，3次8环，则该军人这10次射击的平均成绩为（　　） A. 9.6环 B. 9.5环 C. 9.4环 D. 9.3环 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得该军人这10次射击的平均成绩． 【详解】解： （环， 即该军人这10次射击的平均成绩为9.3环， 故选：D． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 3. 已知，，那么的值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将多项式进行因式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：， 将，，代入可得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解，整体代入思想，能够熟练地将整式因式分解是解决此类题型的关键． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，则AD的长度是（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】D 【解析】 【分析】由已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC可推出△DCE为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE，从而求出AD． 【详解】解：已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC， ∴AD∥BC，CD=AB=6cm，∠EDC=∠ADE，AD=BC， ∴∠DEC=∠ADE， ∴∠DEC=∠CDE， ∴CE=CD=6cm， ∴BC=BE+CE=4+6=10cm， ∴AD=BC=10cm， 故选：D． 【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的性质及角平分线的性质，关键是由平行四边形的性质及角平分线的性质得等腰三角形通过等量代换求出AD． 5. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. (－1)cm D. (2－1)cm 【答案】D 【解析】 【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可． 【详解】解：由题意，BD=cm， 由平移性质得=1cm， ∴点D，之间的距离为==（）cm， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键． 6. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 7. 如图，在五边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，求一个角的补角，理解相关知识是解答关键． 根据平行线的性质得到，再求出五边形的内角和度数，再利用求、、之和的补角，结合五边形的内角度数求解． 【详解】解：， ． 五边形的内角和为， ． 故选：A． 8. 小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， 故选：B． 9. 把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．先求出，再根据旋转角可得，可判定是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出，从而得到，最后由勾股定理即可得到． 【详解】解：， 绕点顺时针旋转得到 又 是等腰直角三角形 又，， 在中， 故选：D． 10. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 或0 D. 0或1 【答案】D 【解析】 【分析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可． 【详解】， 去分母得：， 整理得： 当时，方程无解， 当时, 解得：， 当时，方程无解， 解得， 综上：或时原分式方程无解， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，如解图，根据平移的性质，得到，进而求出的长，利用大长方形的面积减去空白的长方形的面积，再乘以2，即为阴影部分的面积． 【详解】解：由题意，，空白部分为长方形， ∵平移， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：18． 13. 如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对边相等，对角线互相平分，故此可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 14. 如图，正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与对应，则旋转角为_________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，通过连接对应点与旋转中心，观察夹角大小来确定旋转角． 【详解】在正方形网格中，找到与的垂直平分线的交点，点即为旋转中心， 如图所示，连接、、、、 观察可得，旋转角为， 故答案为：． 15. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】∵四边形是平行四边形，周长为20， ， ， 在和中， ， ， ， 则四边形的周长， ， 故答案为：14． 三、解答题：本题共8小题，共90分，请把解答过程写在答题纸上． 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. （1）已知，求的值； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值及解分式方程，熟练掌握运算法则及解分式方程的步骤是解本题的关键． （1）原式先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，得到最简结果，把代入计算即可求出值． （2）先化为整式方程，再解方程即可． 【详解】（1） ． 当时，原式 （2） 解：方程两边都乘，得 ， 解得：， 检验：当时，， 所以，是原方程的解． 18. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的倍，用元单独购买甲种图书比用元单独购买乙种图书要少本．求： （1）乙种图书每本价格为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲种图书？ 【答案】（1） 乙种图书每本价格为元 （2） 该图书馆最多可以购买本甲种图书 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用． (1)设乙种图书每本元，则甲种图书每本元，根据用元单独购买甲种图书比用元单独购买乙种图书要少本，可列方程，解方程即可求出乙种图书每本的价格； (2)设图书馆购买本甲种图书，则购买乙种图书本，根据购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，可列不等式，解不等式即可求出甲种图书最多购买的数量． 【小问1详解】 解：设乙种图书每本元，则甲种图书每本元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：乙种图书每本价格为元； 【小问2详解】 解：设图书馆购买本甲种图书，则购买乙种图书本， 乙种图书每本价格为元， 甲种图书每本价格为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：该图书馆最多可以购买本甲种图书． 19. 为了解学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了部分学生，a．将学生每天阅读时长数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 七年级学生每天阅读时长情况统计表 组 别 平均每天阅读时长 （单位：分钟） 人数 （单位：人） A 8 B n C 16 D 8 b．平均每天阅读时长在的具体数据如下：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中___________，图中___________； （2）A组这部分扇形的圆心角是 ___________°； （3）平均每天阅读时长在这组具体数据的中位数是 ___________，众数是 ___________； （4）若该校七年级共有学生500人，根据调查结果估计平均每天阅读时长少于半小时的学生约有 ___________人． 【答案】（1）48，60 （2）36 （3）71，73 （4）50 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用A组的频数除以可得样本容量，再用样本容量减去其它三组的频数可得n的值；用B组的频数除以样本容量可得m的值； （2）用乘A组所占百分比可得答案； （3）根据中位数和众数的定义解答即可； （4）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意得，样本容量为：， 故， ，即． 故答案为：48，60； 【小问2详解】 A组这部分扇形的圆心角是， 故答案为：36； 【小问3详解】 平均每天阅读时长在这组具体数据的中位数是，众数是73． 故答案为：71，73； 【小问4详解】 （人）， 即估计平均每天阅读时长少于半小时的学生约有50人． 故答案为：50． 20. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°＝∠B， ∵DF＝DC， ∴AB＝DF， 在△ABE和△DFA中，， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AE＝AD， ∴AE＝BC； （2）1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得AD＝BC，再通过证明△ABE≌△DFA（AAS），可得AE＝AD，即可得证AE＝BC． （2）根据△ABE≌△DFA，可得BE＝AF＝4，AE＝BC，再根据勾股定理求出BC的长度，最后根据EC＝BC﹣BE求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA， ∴BE＝AF＝4，AE＝BC， ∵∠B＝90°， ∴AE＝＝＝5， ∴BC＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、矩形的性质是解题的关键． 21. 如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，，相交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由角平分线的定义可得，，进而可得，则可得，从而可得． （2）过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，．进而可得，再证 四边形是平行四边形，则可得，，进而可得 ，再证，由勾股定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 【答案】（1） 证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， ∴，BO＝DO， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△BOE与△DOF中，， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴DF＝BE， 又∵， ∴四边形BEDF是平行四边形． （2）①； ②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE， ∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°， ∴∠EDN＝∠ECG， ∵DE＝DC，DN⊥EC， ∴∠EDN＝∠CDN， ∴∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN， ∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN， ∴∠CDB＝∠DHC， ∴CD＝CH． 【解析】 【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又，即可证明四边形BEDF是平行四边形； （2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案； ②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDB＝∠DHC，即可得出CD＝CH． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，过点D作DN⊥EC于点N， ∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4， ∴EN＝CN＝2， ∴DN＝＝＝4， ∵∠DBC＝45°，DN⊥BC， ∴∠DBC＝∠BDN＝45°， ∴DN＝BN＝4， ∴BE＝BN﹣EN＝4； ②略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质与判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 23. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测初三数学试题 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5.评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. a＋b B. C. D. 2. 某部队一军人在一次射击训练时，连续10次的成绩为6次10环，1次9环，3次8环，则该军人这10次射击的平均成绩为（　　） A. 9.6环 B. 9.5环 C. 9.4环 D. 9.3环 3. 已知，，那么的值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，则AD的长度是（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 5. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. (－1)cm D. (2－1)cm 6. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 7. 如图，在五边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 或0 D. 0或1 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 因式分解： ______． 12. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为_____． 13. 如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 14. 如图，正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与对应，则旋转角为_________． 15. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分，请把解答过程写在答题纸上． 16. 因式分解： （1） （2） 17. （1）已知，求的值； （2）解方程：． 18. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的倍，用元单独购买甲种图书比用元单独购买乙种图书要少本．求： （1）乙种图书每本价格为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲种图书？ 19. 为了解学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了部分学生，a．将学生每天阅读时长数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 七年级学生每天阅读时长情况统计表 组 别 平均每天阅读时长 （单位：分钟） 人数 （单位：人） A 8 B n C 16 D 8 b．平均每天阅读时长在的具体数据如下：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中___________，图中___________； （2）A组这部分扇形的圆心角是 ___________°； （3）平均每天阅读时长在这组具体数据的中位数是 ___________，众数是 ___________； （4）若该校七年级共有学生500人，根据调查结果估计平均每天阅读时长少于半小时的学生约有 ___________人． 20. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 21. 如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，，相交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 23. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $