第五章基本平面图形预习讲义2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下学期

第五章 基本平面图形 第一节 线段、射线、直线 一、知识梳理 知识点一 ：线段、射线、直线的概念 名称 线段 射线 直线 定义 直线上两点及两点间的部分，自行车轮的辐条、黑板的边沿都可以近似地看做线段 将线段向一个方向无限延长就形成了射线，手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看做射线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 图示 端点个数 两个 一个 无 表示方法 ①用一个小写字母表示： 线段； ②用表示端点的两个大写字母表示：线段或线段 ①用一个小写字母表示： 射线 ②用含端点的两个大写字母表示：射线（端点必须在前） ①一个小写字母表示： 直线 ②两个大写字母表示： 直线 特点 ①无法延伸 ②两个端点 ③有长度，可度量，可比较 ①朝一端无限延伸 ②有一个端点 ③有方向 ④无长短，无法度量，无法比较 ①无限延伸 ②没有端点 ③无长度，无法度量，无法比较 作法叙述 作线段作线段，连接 作射线作射线 作直线作直线 知识点二：直线 1、基本事实： 经过两点有且只有一条直线，这一事实可以简述为：两点确定一条直线．经过一点有无数条直线． 2、点与直线的位置关系： 如图，点在直线上或直线过点，点不在直线上或直线不过点． 3、两直线相交： 当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做他们的交点．两条直线相交，只有一个交点． 知识点三：线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短．这一事实可以简述为：两点之间线段最短．我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离． 知识点四：线段大小比较 1、比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法． 2、①目测法：直接观察； ②度量法：用刻度尺量出它们的长度，再进行比较； ③叠合法：把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较．如下图． 【注】用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上． 尺规作图定义：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图． 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度．它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点五：线段的中点 1、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点是线段的中点，则，或． 【说明】若点是线段的中点，则点一定在线段上． 2、线段的等分点： 二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分． 三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推． 知识点六：线段的和与差 如下图：线段上有一点，则；；，在这里线段、、表示线段的长度，如表示长度与长度之和等于长度． 二、经典例题 题型一：直线、射线、线段的联系与区别 【典例1】下列说法正确的是（ ）． A．过一点只能作一条直线 B．直线和直线表示同一条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【答案】 【分析】本题考查线段、射线、直线，理解线段、射线、直线的定义及表示方法是正确解答的前提．根据线段、射线、直线的定义及表示方法逐项进行判断即可． 【详解】、过一点可以作无数条直线，因此选项不符合题意； 、直线和直线表示同一条直线，因此选项符合题意； 、射线和射线，他们的端点不同，不是同一条射线，因此选项不符合题意； 、射线、直线无限长，因此不能比较射线与直线的长短，所以选项不符合题意． 故选：． 【变式1-1】如图，下列说法正确的是（ ）． A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．点在线段上 【答案】 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的定义．根据直线，射线，线段的定义，逐项判断即可求解． 【详解】、直线和直线是同一条直线，故本选项错误，不符合题意； 、直线没有端点，故本选项错误，不符合题意； 、射线和射线是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； 、点在线段上，故本选项正确，符合题意； 故选：． 【变式1-2】如图，有下列结论：①以点为端点的射线共有条；②以点为端点的线段共有条；③射线和射线是同一条射线；④直线和直线是同一条直线．以上结论正确的是（ ）． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】①以点为端点的射线共有条，故该结论正确，符合题意； ②以点为端点的线段共有条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④．故选：． 【变式1-3】下列说法正确的是（ ）． A．若，则点在线段上 B．射线和射线表示同一条射线 C．直线比射线长，射线可以延长 D．若，则点是线段的中点 【答案】 【分析】本题考查了线段，射线，直线．根据线段，射线，直线对各选项进行判断作答即可． 【详解】由题意知，当若，点在线段上，正确，故符合要求； 射线和射线不表示同一条射线，错误，故不符合要求； 直线与射线无法比较大小，错误，故不符合要求； 由，无法判断点是线段的中点，错误，故不符合要求； 故选：． 题型二：画线段、射线、直线 【典例2】如图，平面上有四个点，请根据下列语句作图． （1）画直线； （2）线段与线段相交于点； （3）射线与射线相交于点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了画直线，射线，线段；（1）根据题意画直线；（2）根据题意画线段与线段相交于点；（3）根据题意画射线与射线相交于点． 【详解】（1）直线如图所示， （2）线段与线段相交于点，如图所示． （3）射线与射线相交于点，如图所示． 【变式2-1】如图，平面上有三个点，利用尺规按要求作图；    （1）作直线； （2）作射线； （3）在线段上作线段，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解． 【分析】本题考查作图——复杂作图，直线，射线线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义．（1）过点和点画直线即可；（2）连接并延长即可；（3）以为圆心，长为半径画弧，交射线于，则点即为所求． 【详解】（1）如图，直线即为所求； （2）如图，射线即为所求； （3）如图，线段即为所求．    【变式2-2】如图，已知平面上有四点．用圆规和直尺完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．    （1）连接；并在线段上取一点，使点到点的距离之和最小； （2）画射线，并在射线上取一点，使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】此题考查了尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图的有关方法．（1）连接，交于点，点即为所求；（2）作射线，在射线上截取即可． 【详解】（1）如图，线段，点即为所求； （2）如图，射线，点即为所求．    【变式2-3】画图：已知四点，根据下列要求画图．   （1）画线段； （2）画射线，； （3）画直线； （4）与相交于点； （5）以点为圆心，为半径，画圆． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）作图见解析；（5）作图见解析． 【分析】本题考查基本作图，熟记线段、射线、直线、直线交点及圆的定义是解决问题的关键． （1）根据线段定义作图即可；（2）根据射线定义作图即可；（3）根据直线定义作图即可；（4）先作出直线与，他们的交点即是所要求作的图；（5）根据圆的定义作图即可． 【详解】（1）如图所示： 线段即为所求； （2）如图所示： 射线，即为所求； （3）如图所示： 直线即为所求； （4）如图所示： 点即为所求； （5）如图所示： 圆即为所求． 题型三：点与直线的位置关系 【典例3】平面上有三点，如果，，，那么下列说法正确的是（ ）． A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线外 D．点的位置无法确定 【答案】 【分析】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．根据，，，有进行判断即可． 【详解】如图，在平面内，， ∵，， ∴点为以为圆心，为半径，与以为圆心，为半径的两个圆的交点， 由于，所以，点在线段上，故选：．    【变式3-1】如图，直线和直线相交于点，对于图形，说法正确的语句有（ ）． ①点在直线上；②点在直线上；③点在直线上，也在直线上；④直线经过点． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】 【分析】本题考查直线、线段、射线的画法，解题的关键是根据点与直线的位置关系进行判断得出答案． 【详解】①点在直线上，说法正确；②点在直线上，说法正确； ③点在直线上，也在直线上，说法正确；④直线经过点，说法正确；故选：． 【变式3-2】下列几何图形与相应语言描述不相符的是（ ）． A．如图甲所示，直线不经过点 B．如图乙所示，直线与直线交于点 C．如图丙所示，点在线段上 D．如图丁所示，线段与射线一定相交 【答案】 【分析】本题考查直线，射线，线段的含义，点与直线，射线，线段的位置关系． 【详解】如图甲所示，直线不经过点，描述正确，故不符合题意； 如图乙所示，直线与直线交于点，描述正确，故不符合题意； 如图丙所示，点在直线上，原描述错误，故符合题意； 如图丁所示，线段与射线一定相交，描述正确，故不符合题意；故选：． 【变式3-3】如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ）．    A．点在直线外 B．点在直线外 C．直线不经过点 D．直线经过点 【答案】 【分析】本题考查的是点与直线的位置关系，理解点在直线上，点在直线外，再逐一分析即可得到答案． 【详解】点在直线外，描述正确，故不符合题意；点在直线上，故符合题意； 直线不经过点，描述正确，故不符合题意；直线经过点，描述正确，故不符合题意； 故选：． 题型四：两点确定一条直线 【典例4】如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ）．    A．两点确定一条直线 B．过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．点动成线 【答案】 【分析】本题考查直线的性质．根据两点确定一条直线，即可求解． 【详解】小亮这样操作的原因是：两点确定一条直线．故选：． 【变式4-1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）． ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A． B． C． D． 【答案】 【分析】此题考查直线的性质以及线段的性质．直接利用直线的性质以及线段的性质分析求解即可． 【详解】①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； 综上可得：可以用“两点确定一条直线”来解释，故选：． 【变式4-2】要种一列排列笔直的树，小明说：只要先定下两棵树的位置，然后其他树的位置就容易确定了，你认为小明这样说根据的数学原理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】要种一列排列笔直的树，小明说：只要先定下两棵树的位置，然后其他树的位置就容易确定了，你认为小明这样说根据的数学原理是两点确定一条直线，故答案为：两点确定一条直线． 【变式4-3】暑假期间，小华参加了夏令营打靶瞄准训练，如图所示，打靶瞄准用到的数学原理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查直线的性质，掌握“两点确定一条直线”的基本事实是正确判断的关键．根据“两点确定一条直线”进行判断即可． 【详解】打靶瞄准用到的数学原理是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线． 题型五：线段、射线、直线的数量问题 【典例5】图中，共有 条线段． 【答案】 【分析】本题考查了线段的数量问题．线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，据此数出两个端点之间的线段即可． 【详解】图中共有个端点，则共有线段（条）．故答案为：． 【变式5-1】图中线段有 条，射线有 条． 【答案】； 【分析】本题考查线段和射线的认识，注意不要数重或漏数．根据线段和射线的意义分类数一数即可． 【详解】线段有：，共条；射线有：，共条； 故答案为：，． 【变式5-2】如图，该图形中共有（ ）条不同的射线． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了射线：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线．根据射线的定义解答即可得． 【详解】以点为端点的射线有条，以点为端点的射线有条，以点为端点的射线有条， 以点为端点的射线有条，所以该图形中不同的射线共有（条），故选：． 【变式5-3】如图，图中直线有 条；以点为端点的射线有 条；线段有 条． 【答案】；； 【分析】本题考查直线，射线，线段的识别，根据定义列举即可． 【详解】根据图形可知直线有：直线、直线共条； 以点为端点的射线有：射线、射线、射线共条； 线段有：线段、线段、线段、线段、线段共条；故答案为；；． 题型六：直线相交的交点个数问题 【典例6】在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（ ）． A．或或或 B．或或 C．或 D． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线相交的问题，熟练掌握相交是解题的关键．根据领直线平行和相交的定义作出图形即可得到答案． 【详解】若三条直线均平行，故交点个数为；若三条直线交于一点，此时交点个数为； 若两条直线平行，第三条直线与这两条直线相交，此时交点个数为； 若三条直线两两相交，此时交点个数为．故选：． 【变式6-1】如图，条直线相交有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点按这样的规律若条直线相交交点最多有个，则此时的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】此题考查的是相交线及规律性题目，解答此题关键是根据直线的条数变化得到的交点个数的变化，得出规律，再利用规律进行计算即可解答问题．条直线相交有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点按这样的规律，条直线相交的交点最多是个交点，再把各选项的的值代入计算即可解答问题． 【详解】条直线相交有个交点， 条直线相交最多有个交点， 条直线相交最多有个交点， 按照这样的规律，条直线相交的交点最多是个交点， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 答：若条直线相交交点最多有个，则此时的值为． 故选：． 【变式6-2】为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（ ）个． A．，或 B．，，或 C．或 D．以上都不对 【答案】 【分析】本题考查平面内直线之间的位置关系，注意不要因遗漏造成出错．画出图形即可判断． 【详解】直线的位置关系如下图： 由上图可知：平面内三条直线的交点个数可以是，，或者．故选：． 【变式6-3】小明学习相交直线时发现：条直线两两相交最多有个交点，条直线两两相交最多有个交点，按照这样的规律， （1）条直线两两相交最多有 个交点； （2）条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母的式子表示，） 【答案】； 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类；根据所给数据，发现规律：条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可． 【详解】（1）∵两条直线最多有个交点， ∴有条直线，每一条直线与其他条直线都最多有个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有条直线，两两相交最多有个交点， ∴条直线两两相交最多有个交点，故答案为：； （2）由（1）得条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． 题型七：线段的应用 【典例7】乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】 【分析】本题考查线段条数的问题，根据题意确定数学模型，求出五点确定出线段的条数即可得到答案． 【详解】∵一共有五个站，相当于有个点， ∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票张数即为个点所能组成的线段条数， ∵点能确定一条线段， ∴个点一共最多能确定条线段， ∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有种，故选：． 【变式7-1】由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有 种． 【答案】 【分析】本题考查线段、直线、射线，掌握线段条数的计算方法是解决问题的关键．将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的倍即可． 【详解】如图： 图中线段的条数为（条）， （种），即铁路运营公司为这条路线制作的往返车票有种． 故答案为：． 【变式7-2】若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线上有个点，则可以确定 条线段． （2）如图②所示，直线上有个点，则可以确定 条线段． 探索归纳： （3）若直线上有个点，一共可以确定多少条线段？ （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）直接利用线段的定义即可得到结论．（2）直接利用线段的定义即可得到结论．（3）根据（1）、（2）得到的结论进行解答．（4）单程两个站点有一种票，相当于两两组合，由结论式来解答．此题考查直线、线段、射线，关键是掌握结论式．以及根据直线、线段、射线的区别解答． 【详解】（1）直线上有，线段总条数是：，故答案为：； （2）若直线上有四个点，线段总条数是：，故答案为：； （3）若直线上有个点时，线段总条数． （4）（种），要为这次列车制作的单程火车票种，故选：． 【变式7-3】如图：    （1）试验观察：如果经过两点画直线，那么： 第①组最多可以画____条直线；第②组最多可以画____条直线；第③组最多可以画____条直线． （2）探索归纳：如果平面上有个点，且任意个点均不在条直线上，那么经过两点最多可以画____条直线．（用含的式子表示） （3）解决问题：某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，那么共握____次手． 【答案】（1），，；（2）；（3）． 【分析】本题考查了图形的变化类问题，运用了从特殊到一般的数学思想，解题的关键是仔细的观察并找到其中的规律．（1）根据两点确定一条直线，画出直线即可；（2）根据上面得到的规律用代数式表示即可； （3）将代入即可求解． 【详解】（1）根据图形得：如图：（1）试验观察：如果每过两点可以画一条直线，那么： 第①组最多可以画条直线；第②组最多可以画条直线；第③组最多可以画条直线． （2）如果平面上有个点，且每个点均不在条直线上，那么最多可以画条直线．（用含的代数式表示） （3）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，那么共握次手． 题型八：两点之间线段最短 【典例8】在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）． A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】 【分析】本题考查的是线段的性质：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．，根据线段的性质解答即可． 【详解】依据两点确定一条直线；依据两点之间，线段最短．故选：． 【变式8-1】如图所示，从地到地有多条道路可走，人们往往会选择走中间的直路，这是因为（ ）． A．两点之间线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．其他的路行不通 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，解题的关键是熟练掌握线段的性质：两点之间线段最短．由题意从地到地有多条道路，肯定要尽量选择两地之间最短的路程，就用到两点间线段最短的数学知识． 【详解】从到有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为两点之间线段最短．故选：． 【变式8-2】如图，从地到地有四条道路，其中最短的一条道路是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合四个选项中的路线，由两点之间线段最短逐个验证即可得到答案． 【详解】结合“两点之间，线段最短”，选项都是折线或曲线，都是错误的，故选：． 【变式8-3】下列生活现象：①建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用“两点之间线段最短”来解释的有 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查两点之间线段最短．根据“两点之间，线段最短”的性质，判断各现象是否涉及路径缩短或距离优化． 【详解】现象①：建筑工人拉线砌墙，是利用两点确定一条直线，与线段最短无关； 现象②：把弯曲的公路改直，能缩短路程，直接应用两点之间线段最短； 现象③：植树时确定两棵树的位置以确定直线，是利用两点确定一条直线，与线段最短无关； 现象④：从地到地架设电线沿线段，是为了节省材料，应用两点之间线段最短； 故答案为：②④． 题型九：两点间的距离 【典例9】下列说法正确的是（ ）． ①两点之间的距离是线段；②两点之间的距离是线段的长度；③两点之间的距离是线段的长度 A．② B．③ C．②③ D．①②③ 【答案】 【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是熟记概念连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．根据题意利用连接两点间的线段的长度叫两点间的距离进行分析判定即可． 【详解】①两点之间的距离是线段的长度，故原说法错误， ②两点之间的距离是线段的长度，故原说法错误， ③两点之间的距离是线段的长度，说法正确， 故正确的是③，故选：． 【变式9-1】如果点在直线上，线段，，那么两点间的距离为（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，分两种情况求解：点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，进而即可求解． 【详解】根据题意点可能在线段上也可能在线段的延长线上． 若点在线段上，则； 若点在线段的延长线上，则． 故选：． 【变式9-2】已知平面内有三点，且，，那么两点之间的距离为（ ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】 【分析】本题考查两点之间的距离的概念，需要注意点的位置关系是否明确，避免错误地假设三点共线而选择选项． 【详解】由于三点在平面内的位置关系不确定，可能共线也可能不共线，因此两点之间的距离无法确定，∴的值不固定，无法确定．故选：． 【变式9-3】如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（ ）．    A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确即可． 【详解】∵点是线段上一点，∴不一定是的二倍，故选项中的结论不成立，符合题意； 由图可得，，故选项中的结论成立，不符合题意； ，故选项中的结论成立，不符合题意； ∵是线段的中点，∴，故选项中的结论成立，不符合题意．故选：． 题型十：尺规作图——线段 【典例10】如图，已知线段，用尺规做一条线段，使（保留画图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．先画一条直线，在上找一点，以为圆心，线段的长为半径画圆交直线于点，再以为圆心，以线段的长为半径画圆，交于点（在外），则线段即为所求． 【详解】如图所示： 【变式10-1】已知线段，求作线段，使线段．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，作射线，以点为端点，以线段的长为半径画弧交射线于，再以点为端点，在射线上以线段的长为半径画弧交射线于，接着以点为端点，线段的长为半径在射线上画弧交射线于点，则即为所求线段． 【详解】如图所示，线段即为所求线段．    【变式10-2】作图题：如图，已知线段，用尺规作线段，使． 要求：保留作图痕迹，不必写出作图过程，标注字母和的位置． 【答案】图见解析 【分析】本题考查基本作图——线段．利用基本作图（作一条线段等于已知线段），在射线上依次截取，，，再在线段上截取，则线段即为所求． 【详解】如图所示：线段即为所求； 【变式10-3】尺规作图． （1）如图，已知线段，请求作线段，使得． （2）如图，已知线段，画出一条线段，使它等于． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查尺规作图画线段：（1）作射线，先在射线上截取，再在线段上截取．（2）以点为端点作射线，在射线上顺次截取，，． 【详解】（1）线段即为所求． （2）线段即为所求． 题型十一：线段的和与差 【典例11】点在同一条直线上，，，则的长度是（ ）． A． B． C．或 D．无法确定 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，根据点在同一直线上，然后分为当点在之间时，当点在之间时两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵点在同一直线上，且，， 当点在之间时，如图， ∴； 当点在之间时，如图， ∴， ∴的长度为或，故选：． 【变式11-1】点在同一条直线上，．则线段的长为（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分两种情况：点在上和点在的延长线上，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】当点在上时，，∴； 当点在的延长线上时，，∴； 综上所述，线段的长为或，故选：． 【变式11-2】延长线段至点，使，如果，那么的长为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差计算，根据已知的线段比例关系求出的长度，再通过线段和的关系计算的长度． 【详解】∵，且， ∴． 又∵， ∴． 故选：． 【变式11-3】如图，已知线段，在直线上作线段，再在线段的延长线上作，在线段上，下列结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差．根据，得到，根据线段的和差逐一判断即可． 【详解】∵，，，∴， ∴，． 可知结论正确．故选：． 题型十二：线段中点的有关计算 【典例12】如图，、是线段上的点，是线段中点．若，，则线段的长度是（ ）．    A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差关系，是解决问题的关键．根据线段的和差关系得到，根据中点定义得到，得到，即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度是，故选：． 【变式12-1】如图，是直线上的顺次四点，分别是线段，的中点，且，，则线段的长为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是找准线段之间的和差，倍数关系．根据，求出，根据中点定义，推出，再利用，进行求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴，， ∴， ∴． 故选：． 【变式12-2】如图，为线段上一点，分别为的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查线段中点的有关计算，线段和差的计算， （1）根据题意，，由此即可求解； （2）由（1）可得，，由此可得，，代入计算即可求解． 【详解】（1）∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴． 【变式12-3】如图，点在线段上，点是线段的中点，已知，． （1）求线段的长度； （2）若点在直线上，，点是线段的中点，求线段的长度． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】本题考查线段的和差关系，线段中点有关的计算，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据中点的定义得，再根据求解； （2）分点在点左侧与右侧两种情况，根据中点的定义及线段的和差关系分别求解即可． 【详解】（1）点是线段的中点，， ， ； （2）分两种情况，当点在点左侧时，如图：， 由（1）得， ， ， ， 点是线段的中点， ， ； 当点在点右侧时，如图：， 由（1）得， ， ， ， 点是线段的中点， ， ． 综上可知，线段的长度为或． 题型十三：线段等分点点的有关计算 【典例13】已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或，故选：． 【变式13-1】点是线段的四等分点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系．由题意可确定是线段的三等分点，而，即可求解的长度． 【详解】∵点是线段的四等分点，， ∴是线段的三等分点，∴，故答案为：． 【变式13-2】已知线段，点是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】或 【分析】本题考查线段的三等分点，分靠近点和靠近点两种情况，进行求解即可． 【详解】∵点是线段的三等分点，， ∴当点靠近点时，；当点靠近点时，． ∴线段的长度为或． 【变式13-3】如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． （1）求线段的长度； （2）若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，三等分点的定义， （1）根据，即可求解；（2）先求出的长，再根据三等分点的定义可求解； 【详解】（1），， ， 点为线段的中点， ； （2）分两种情况： 当时，，； 当时，，； 综上可知，线段的长度为或． 题型十四：与线段有关的动点问题 【典例14】如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）． ①对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】 【分析】本题考查数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为，且， ∴对应的数为，故①正确； ∵， ∴点到达点时，，故②是正确的； 当点在点右边时， ∵， ∴， ∴； 当点在点左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点的运动过程中，当点在点右边时，； 在点的运动过程中，当点在点左边时，； ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②，故选：． 【变式14-1】如图，数轴上点表示，点表示，动点分别从同时出发，分别以个单位长度/秒个单位长度/秒的速度向射线方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（ ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时，，解得或；故②不符合题意； ③，故正确，③符合题意． 故答案为：． 【变式14-2】如图，是线段上一点，，两点分别从两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设在线段上且不与点重合，在线段上且不与点重合） （1）【知识技能】当点运动了时，这时图中有______条线段； （2）【数学思考】当点运动了时，求的值； （3）【思维延伸】当点运动时，总有，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题，（1）确定运动秒后点的位置，以为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可．（2）根据题意算出，，再由，即可解题．（3）设运动时间为，则，，根据，，结合，即可解题． 【详解】（1）运动时，点从向左移动，点从向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共条． 故答案为：； （2）当点运动了时，，， ， ． （3）设运动时间为，则，， ，， 又， ，即， ， ， ； ∵， ． 【变式14-3】如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以每秒个单位的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止，设点运动的时间为． （1）当时， ；时， ； （2）用含的式子表示整个运动过程中的长度； （3）设点是线段的中点，是线段的中点，点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【答案】（1），；（2）当时，；当时，；（3）． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，线段的和差以及线段中点的有关计算，分情况计算是解题关键．（1）根据题意先得出当时，点运动到点处，时，点从点处返回点，然后求出以及时的结果即可；（2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的长度；（3）根据线段中点的相关计算即可求解． 【详解】（1）由题意可知当时，点运动到点处，时，点从点处返回点， ∴ 当时，， 当时，（厘米）， 故答案为：，． （2）由题意可知时，点从点运动到点，，点从点处返回点， ∴时，， 当点从运动到点时，即时，； （3）当点从点向点运动，线段的长度不变化， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴． 三、课后练习 【基础训练】 1、下列图形中，可以表示为“线段”的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据线段的性质即可得解．线段是直线的一部分，有两个端点．熟练掌握线段的性质是解题关键． 【详解】、是直线，不符合题意；、是射线，不符合题意； 、是线段，符合题意；、是射线，不符合题意；故选：． 2、如图，对于图中直线的描述，正确的是（ ）． A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点 D．直线与直线m交于点 【答案】 【分析】本题考查的是直线的表述方法，直线与直线的交点的含义，根据直线的表示方法逐一判断即可． 【详解】图中有直线，直线，直线，直线， 直线与直线交于点，直线与直线交于点， ∴错误，不符合题意；正确，符合题意；故选：． 3、秦岭终南山公路隧道是我国自主设计最长的双洞单向高速公路隧道，隧道线形为直线，被誉为“天下第一隧”，建成后通行里程大大缩短，其路程缩短的原因是（ ）． A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有无数条直线 D．垂线段最短 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质两点之间，线段最短，根据“两点之间，线段最短”即可得解，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】∵两点之间，线段最短，∴隧道作为直线路径缩短了通行里程，故选：． 4、如图，点，是线段上的两点，点是线段的中点，若，，则线段的长等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】此题考查了两点间的距离．先根据线段的和差关系求出，再根据中点的定义求得的长，再根据即可解答． 【详解】，， ， 点是的中点， ， ， 故选：． 5、如图，点，在线段上，是的中点，若，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，由，，求解， 再由是的中点，可得答案． 【详解】∵，，∴ ∵是的中点，∴，故选：． 6、要在墙壁上固定一根小木条，至少需要两枚钉子，其数学原理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键；根据直线的性质即可求解； 【详解】要在墙壁上固定一根小木条，至少需要两枚钉子，其数学原理是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 7、线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键．根据已知分别得出的长，即可得出线段的长． 【详解】∵线段，延长到，使，再反向延长到，使， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8、如图，在平面上有四点，请按照下列语句画出图形． （1）画直线； （2）画射线； （3）连接； （4）线段和线段相交于点． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解． 【分析】本题主要考查了作图，作直线，射线，线段，以及两线段的交点等作图知识．（1）过点作直线，要向两方延伸；（2）过作射线，向点方向延伸，点方向不延伸；（3）就是作线段； （4）连接、交点标注为． 【详解】（1）直线如下图所示： （2）射线如下图所示： （3）线段如下图所示： （4）线段和线段相交于点如下图所示： 9、如图，已知线段，用尺规做一条线段，使（保留画图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本复考查了作图——复杂作图：是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先画一条直线，在上找一点，以为圆心，线段的长为半径画圆交直线于点，再以为圆心，以线段的长为半径画圆，交于点（在外），则线段即为所求． 【详解】如图所示：． 10、一列火车往返于芜湖、杭州两个城市，中途经过宣城、广德、长兴南和德清西个站点（共个站点），不同的车站往返需要不同的车票． （1）共有多少种不同的车票？ （2）一列火车往返两个城市，如果共有个站点，则需要多少种不同的车票？ 【答案】（1）种；（2）． 【分析】本题考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． （1）两站之间的往返车票各一种，即两种，个车站每两站之间有两种，则个车站的票的种类数种，时，即个车站，代入上式即可求得票的种数． （2）与（1）同理，即共有个站点，则需要种不同的车票，即可作答． 【详解】（1）依题意，两站之间的往返车票各一种，即两种， 则个车站每两站之间有两种，则个车站的票的种类数种， 则个车站的票的种类数（种）； （2）依题意，与（1）同理，个车站的票的种类数种． 【巩固训练】 1、小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（ ）． ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 【答案】 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确；故选：． 2、下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上．②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】 【分析】此题考查了两点确定一条直线及线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键．根据直线的性质及线段的性质依次分析判断即可． 【详解】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线，故符合题意； ②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，根据是两点之间线段最短，故不符合题意； ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线；故符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．故不符合题意； 综上所述：能用“两点确定一条直线”来解释的现象有①③；故选：． 3、如果三点在同一直线上，且线段，，若分别为的中点，那么两点之间的距离为（ ）． A． B．或 C．或 D．无法确定 【答案】 【分析】本题考查线段的和差、线段中点的定义，分两种情况：点在的延长线上和点在上，然后画出图形，根据线段的和差、线段中点的定义分别解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】如图，当点在的延长线上， ∵点为，的中点， ∴，， ∴； 如图，当点在上， ∵点为，的中点， ∴，， ∴； 故选：． 4、如图，延长线段至点使，延长线段至点使，点是线段的中点，点是线段的中点，若，则的长度为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查线段和差关系与中点性质，将几何图形中的线段长度转化为可计算的数值，关键是明确各线段的位置关系（延长方向）及中点对线段的分割作用，从而逐步推导得出结果． 【详解】已知， ，， ，． ； ． 点是的中点， ， ； 点是的中点， ． ． 故选：． 5、如图，两条直线相交，有个交点，三条直线相交最多有个交点，四条直线相交最多有个交点，则七条直线相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．四条直线相交最多的交点个数可通过画图得出交点个数，通过继续增加直线的条数可以找出规律即可解答． 【详解】如图，两条直线相交最多有个交点，即； 三条直线相交最多有个交点，即； 四条直线相交最多有个交点，即， 五条直线相交最多有个交点，即， …… ∴条直线两两相交，最多有个交点（为正整数，且）． ∴当时，最多有个交点，故答案为：． 6、已知四点（如图）： （1）画线段，射线，直线； （2）连，与直线交于点； （3）连接，并延长线段与射线交于点； （4）连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的特征，准确掌握直线、线段、射线的特征是解题的关键． （1）根据直线，射线，线段的特征可作图求解；（2）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （3）根据直线，射线，线段的特征可作图求解；（4）根据直线，射线，线段的特征可作图求解． 【详解】（1）根据题意画出图如图所示； （2）根据题意画出图如图所示； （3）根据题意画出图如图所示； （4）根据题意画出图如图所示． 7、如图，已知线段，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示所作线段． （1）作一条线段，使它等于； （2）作一条线段，使它等于． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图： （1）如图所示，先作射线，再以为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，再以为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，最后以为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，则线段即为所求； （2）如图所示，先作射线，再以为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，再以为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于，则线段即为所求． 【详解】（1）如图所示，先作射线，再以为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，再以为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，最后以为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，则线段即为所求； （2）如图所示，先作射线，再以为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，再以为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，则线段即为所求． 8、已知线段． （1）若点是线段上一点，，则的长为 ； （2）若点是线段的中点，则的长为 ； （3）若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点．（1）根据线段的和差计算即可；（2）根据线段中点的特点计算即可；（3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可． 【详解】（1）； 故答案为：． （2）点是线段的中点， ；故答案为：． （3）点是线段的一个三等分点， ①当点靠近点时， ； ②当点靠近点时， ； 综上所述，的长为或．故答案为：或． 9、如图，动点在线段上，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，，设点的运动时间为秒． （1）当时， ①________； ②求线段的长度． （2）用含的代数式表示运动过程中线段的长度． 【答案】（1）①；②；（2）或． 【分析】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出与的关系是解题关键．（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得答案；（2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得的长． 【详解】（1）①当时，；故答案为：． ②∵，， ∴． ∵是线段的中点， ∴． （2）∵是线段上一动点，沿以的速度往返运动， ∴当点沿点运动时，， 点沿点运动时，， ∴综上所述，（）或（）． 10、如图，是直线上一点，以为顶点作，且位于直线两侧，平分．    （1）当时，求的度数； （2）请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析． 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同理（1）． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【拔高训练】 1、下列几何图形与相应语言描述相符的有（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】 【分析】本题考查两直线的位置关系，射线、线段的特征，点与直线的位置关系．根据两直线的位置关系，射线、线段的特征，点与直线的位置关系逐图判断即可． 【详解】由第个图可知，直线相交于点，正确，符合题意； 由第个图可知，射线与线段有公共点，故原说法错误，不符合题意； 由第个图可知，延长线段和图示相符，符合题意； 由第个图可知，直线不经过点，故原说法错误，不符合题意； 故几何图形与相应语言描述相符的有个，故选：． 2、在平面上任意画个点，那么这个点确定的直线共有（ ）． A．条或条 B．条或条 C．条或条 D．条或条或条 【答案】 【分析】本题考查了直线，射线，线段的数量问题，解题的重点在于分情况讨论．先根据题意，分点共线，点共线，任意三点不共线三种情况画图，根据图示找出答案． 【详解】如图，点共线时，可以确定条直线；如图2，点共线时可以确定条直线； 如图，任意点都不共线时，可以确定条直线；综上所述，这个点确定的直线共有条或条或条． 故选：． 3、如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有四点．点沿直线从右向左移动，当出现点与四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点最多有（ ）个． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点与四点中的至少两个点距离相等时，也就是点恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段条，所以出现报警次数最多次． 【详解】由题意知，当点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、，∴发出警报的点最多有个．故选：． 4、如图，已知点为线段的中点，点分别在线段上，且，则下列结论不正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段的和与差等知识点．根据线段中点的意义，可得，再结合，利用线段差可判断；根据，结合线段差可判断；根据，结合线段差可判断；根据已知无法得出，由此可判断． 【详解】∵点为线段的中点，∴， ∵，∴，∴，故正确，不符合题意； ∵，，∴，故正确，不符合题意； ∵，，∴，故正确，不符合题意； 根据已知条件无法得出，故错误，符合题意； 故选：． 5、点是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ）．    A． B．当点为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出，，当时，，即可推出，进而即可得解． 【详解】、∵分别是、的中点，∴，， ∵为上任意一点，∴不一定等于，∴不一定等于，∴错误，不符合题意； 、当为中点时，，∴，∴， ∴错误，不符合题意； 、∵，∴，∴，∴正确，符合题意； 、∵，∴，∴，∴错误，不符合题意； 故选：． 6、如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（ ）． A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，线段线段中点的定义．根据线段中点的定义以及线段的和差逐一判断即可得到结论． 【详解】是线段中点，，故①正确；，，故②正确； ，，故③④错误； 是线段中点，，，，故⑤正确； ，，，故⑥正确；故选：． 7、如图，线段，是线段上的中点，是线段上的动点，点沿以的速度运动，点沿以的速度运动．若点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】 【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为，分别表示出和的长，再结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】线段，是线段上的中点，， 设运动时间为，则， ， ， 点沿以的速度运动， 分两种情况讨论：①当点沿运动时，点到达点需要时间， 当时，， ， ，， 或，解得：或， ②当点沿运动时，此时，， ， ， ，， 或，解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：． 8、已知点在直线上，且，若，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查线段的和差运算，清晰的分类讨论是解题的关键．分三种情况讨论，当在线段上，当在的左侧，在线段上，当在的左侧，在的右侧，再利用线段的和差关系可得答案． 【详解】当在线段上时，如图： ； 当在点左侧，在线段上时，如图： ； 当在点左侧，在点右侧时，如图： ， 故答案为：或或． 9、如图①，已知线段，点为线段上的一点，点分别是和的中点． （1）若，则的长为_____________； （2）若，求的长； （3）如图②，动点分别从两点同时出发，相向而行，点以每秒个单位长度的速度沿线段向右匀速运动，点以点速度的两倍沿线段向左匀速运动，设运动时间为秒，问当为多少时，之间的距离为？ 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．（1）根据图形，由，得出再根据点分别时和中点，得出，，再根据线段的和求出，（2）根据图形，由，得出再根据点分别时和中点，得出，，再根据线段的和求出，（3）用含的式子表示，再画出两种图形，根据线段的和等于，得到两个一元一次方程，即可求出． 【详解】如图， （1）∵，，∴， ∵点分别时和中点， ∴，， ∴， （2）∵，，∴， ∵点分别时和中点， ∴，， ∴， （3）由题意得，如图所示， 或 ，， ∴或， ∴或，解得或， 故当或时，之间的距离为． 10、如图，线段，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． （1） 秒后，． （2）当在线段上运动时，试说明为定值． （3）当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了两点间的距离，用含时间的式子表示出各线段的长度是解本题的关键．（1）分两种情况讨论，①当点在线段上，②当点在线段的延长线上时分别求出的值即可；（2），，，，表示出后，化简即可得出结论；（3），，，表示出的长度，即可作出判断． 【详解】（1）点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动， 设点的运动时间为秒， ， 为的中点， ， ， ， 当点在线段上时， ， ， ，解得 当点在线段的延长线上时， ，无解； 综上所述，当点出发秒后，； （2）由（1）知，，， ，， 为定值； （3）由（1）知，，， 当点在线段的延长线上时，， 为的中点， ． 第二节 角 一、知识梳理 知识点一：角的概念 1、角的定义： （1）静态定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线是角的两条边．如下图所示，角的顶点是点，边是射线． （2）动态定义：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部． 如图下所示，射线绕它的端点旋转到的位置时，形成的图形叫做角，起始位置是角的始边，终止位置是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． 2、角的表示法：角的几何符号用“”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3、平角与周角： 如图1所示射线绕点旋转，当终止位置和起始位置成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，和重合时，所形成的角叫做周角． 4、角的画法 （1）用三角板可以画出等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点二：角度制及其换算 1、角的度量： 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成等份，每一份就是的角，的为分，记作“”，的为秒，记作“”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2、角的换算：周角，平角，，． 【注意】进行度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于时要向高一位进位． 知识点三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有个大格，把周角等分、每个大格对应的角，分针分钟转，时针每小时转，时针分钟转，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线的方向是北偏东；射线的方向是南偏西．这里的“北偏东”和“南偏西”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东”一般不说成“东偏北”． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点是观测点，所有方向线（射线）都必须以为端点． 知识点五：角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较和的大小： 如下图，由图（1）可得；由图（2）可得；由图（3）可得． 知识点六：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，是的角平分线，，． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点七：角的运算 如图所示，是与的和，记作：；是与的差，记作：． 注意：（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；②重合（一边与刻度尺上的零度线重合）；③读数（读出另一边所在线的度数）． （2）利用三角板除了可以做出、、、外，根据角的和、差关系，还可以画出、、、、、、的角． 二、经典例题 题型一：角的概念理解 【典例1】下列说法错误的是（ ）． A．由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角 B．角是由始边绕着端点旋转形成的图形 C．角是由两条直线相交形成的图形 D．角的两边是射线 【答案】 【分析】本题考查了角的定义，由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，也可以看作由一条射线绕其端点旋转而成的图形，根据定义逐一判断，即可解题． 【详解】、由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角，正确，不符合题意； 、角是由始边绕着端点旋转形成的图形，正确，不符合题意； 、角是由两条直线相交形成的图形，说法错误，两条相交直线可以形成四个角，符合题意； 、角的两边是射线，正确，不符合题意；故选：． 【变式1-1】下列说法中，一定正确的说法有（ ）． ①射线和射线是同一条射线；②若点为线段的中点，则； ③两条射线组成的图形叫做角；④两点之间，线段最短． A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．④ 【答案】 【分析】本题考查线段的性质以及线段中点的性质、射线、角的定义，掌握以上知识是解题的关键．根据线段的性质以及线段中点的性质、射线、角的定义逐项分析判断即可． 【详解】①射线和射线不是同一条射线，故①不正确； ②若点为线段的中点，则，故②正确； ③两条有公共端点射线组成的图形叫做角，故③不正确； ④两点之间，线段最短，故④正确 所以正确的是②④，故选：． 【变式1-2】有下列结论：①由两条射线组成的图形叫做角；②连接两点的线段叫两点之间的距离；③射线与射线是两条不同的射线；④与是同一个角；⑤两点之间直线最短．其中正确的是（ ）． A．④⑤ B．③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 【答案】 【分析】本题考查角、两点之间线段最短、两点间的距离、射线．根据角的定义、两点之间线段最短、两点间的距离、射线的定义逐一分析可得答案． 【详解】①具有共同端点两条射线组成的图形叫做角，那么①错误； ②连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，那么②错误； ③射线与射线是两条不同的射线，那么③正确； ④根据角的表示，与是同一个角，那么④正确； ⑤两点之间线段最短，那么⑤错误； 综上：正确的有③④，故选：． 【变式1-3】下列说法中，正确的个数是（ ）． （1）两条射线所组成的图形叫做角；（2）角是有公共端点的两条射线；（3）角的大小与边的长短无关； （4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角；（5）有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查角的定义及性质，角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；一条射线绕着它的端点从一个位置旋转至另一个位置所形成的图形．根据角的定义及性质逐项判断即可． 【详解】（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故（1）错误； （2）角是有公共端点的两条射线组成的图形，故（2）错误； （3）角的大小与边的长短无关，说法正确； （4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角，说法正确； （5）有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故（5）错误． 所以正确的个数为个，故选：． 题型二：角的表示方法 【典例2】下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 【变式2-1】下列图中的也可以用表示的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了角的表示方法；角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、……）表示，或用阿拉伯数字（，……）表示，据此进行分析即可． 【详解】、可以用表示，符合题意； 、可以用表示，但不能用表示，不符合题意； 、可以用表示，但不能用表示，不符合题意； 、可以用表示，但不能用表示，不符合题意； 故选：． 【变式2-2】如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查角的概念．根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【详解】、不能用，，三种方法表示同一个角，故选项错误； 、能用，，三种方法表示同一个角，故选项正确； 、不能用，，三种方法表示同一个角，故选项错误； 、不能用，，三种方法表示同一个角，故选项错误； 故选：． 【变式2-3】下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题主要考查的是角的表示方法．利用角的定义及表示方法，进行判断即可得出结果． 【详解】、图中角可表示为：，，，正确；、图中角只能表示为：，，错误； 、图中角可表示为：，，错误；、图中角可表示为：，，错误． 故选：． 题型三：角的单位与角度制 【典例3】图中角的个数是（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】 【分析】本题主要考查角的定义，熟练掌握角的定义是解题的关键．根据角的定义可进行求解． 【详解】图中属于角的有：，共个；故选：． 【变式3-1】如图，从点出发的四条射线．可以组成角的个数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了角的概念．根据角的概念，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以从点出发的条射线，可以组成角的个数为，据此求出从点出发的四条射线可以组成角的个数即可． 【详解】从点出发的四条射线，可以组成角的个数为：，故选：． 【变式3-2】在的内部从顶点引出条射线，则图中共有角的个数是（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】 【分析】本题考查角的概念，在数角的个数时要从一个边开始把它上的角数完后再换另一条射线，这样可使数的角不重不漏．有公共顶点的射线：两条射线构成个角；三条射线构成个角；四条射线构成个角；……条射线构成个角． 【详解】根据题意可知，角的顶点处有条射线，共有个角．故选：． 【变式3-3】如图，图中有个角，图中有个不同角，图中有个不同角，……，按此规律下去图中有不同角的个数为（ ）． …… A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了角中的规律，熟练掌握图形中规律的枚举法寻找策略是解题的关键．根据已知，采用枚举法确定其中的规律，计算即可． 【详解】∵第一个图形中有条射线，有个角， 第二个图形中有条射线，有个角， 第三个图形中有条射线，有个角， ∴第六个图形中有条射线，有个角， 故选：． 题型四：角的单位与角度制 【典例4】用度、分、秒表示 ． 【答案】；；． 【分析】本题考查了度、分、秒的转化运算．进行度、分、秒的转化运算，注意以为进制．，． 【详解】． 故答案为：；；． 【变式4-1】 ． 【答案】 【分析】角的单位换算计算即可．本题考查了角的单位换算，熟练掌握换算进制是阶梯的关键． 【详解】，故答案为：． 【变式4-2】 度 分 秒． 【答案】，， 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒的进制关系是解决本题的关键．先把化为分，再把小数分化为秒即可． 【详解】，，．故答案为：，，． 【变式4-3】 ； ． 【答案】，，． 【分析】此题主要考查度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以为进制．根据大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率可得答案． 【详解】，．故答案为：，，． 题型五：角度的四则运算 【典例5】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了角度的四则运算，熟知角的四则运算法则是解题的关键． （1）度与度相加，分与分相加，再根据度等于分计算即可； （2）先计算乘法，再根据度、分、秒之间的进率为化简，再计算减法即可． 【详解】（1）； （2）． 【变式5-1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． （1）根据度分秒的减法法则计算即可求解；（2）根据度分秒的乘法和加法法则计算即可求解． 【详解】（1）； （2）． 【变式5-2】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查度分秒的加减计算，熟练掌握换算方法是解题关键．（1）先计算括号内的加法，两个度数相加，需要将度与度，分与分，秒与秒对应相加，分或秒的结果满60分别化为度和分．再计算减法，两个度数相减，借化为，借化为，然后进行计算即可．（2）先计算乘法，再计算减法即可． 【详解】（1）． （2）． 【变式5-3】计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键；根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 题型六：与方位角有关的计算题 【典例6】如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（ ）． A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】 【分析】本题考查了方向角．熟练掌握方向角是解题的关键．如图，由题意知，，，则，，然后作答即可． 【详解】如图， 由题意知，，，∴， ∴， ∴的方向是北偏东，故选：． 【变式6-1】如图，李华同学从点沿北偏东的方向行走到点，再从点沿南偏西方向行走到点，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方位角．画图正确表示出方位角，利用角的和与差计算即可求解． 【详解】如图， 由题意得，，．故答案是：． 【变式6-2】如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，根据题意即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】如图所示标注字母， 由题意知：， ， ∴，故答案为：． 【变式6-3】如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． （1）射线的方向是________； （2）求的度数； （3）若射线平分，求的度数． 【答案】（1）北偏东；（2）；（3）． 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据，，得出，进而求出的度数； （3）根据射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）如图， 的方向是北偏西，的方向是北偏东， ，， ， ，， ， 的方向是北偏东；故答案为：北偏东； （2）如图， ，， ． 又射线是的反向延长线， ． ． （3）如图， ，平分，． ．． 题型七：钟面角 【典例7】自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 【答案】 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角为把圆分成等分是解题的关键，根据题意当时钟显示为，时针与分针的夹角由两部分组成，分别是之间的两格和之间的半格，求出它们的度数即可得到答案． 【详解】如图， ∴时针与分针的夹角为． 【变式7-1】若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，先求出时钟上相邻数字之间的度数，再根据时，时针指向数字，分钟指向数字进行求解即可． 【详解】，∴此时时针与分针的夹角为度，故答案为：． 【变式7-2】点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考考查了钟面角度的计算和时针、分针的转动速度．钟面被平均分成了个大格，每个大格的角度是；时针每分钟转，分针每分钟转．先求出点时，时针与分针的初始夹角，再根据时针和分针的转动速度，计算分钟后它们的夹角即可． 【详解】点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数为：． 故答案为：． 【变式7-3】如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午点分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查钟面角，整个圆分为个大格，每个大格度，下午点分时，时针与分针所成的钝角含个大格，由此可解． 【详解】下午点分时，时针与分针所成的钝角含个大格，每个大格度， 因此时钟的分针与时针所成的钝角的度数为：（度），故答案为：． 题型八：角的度数大小比较 【典例8】已知，，，下列说法正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较即可． 【详解】∵，∴， ∵，，∴．故选：． 【变式8-1】已知，那么（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题主要考查了两个角比较大小．在比较时要注意统一单位后再比较．、已经是度、分、秒的形式，只要将化为度、分、秒的形式，即可比较大小得出答案． 【详解】，， ∵， 故．故选：． 【变式8-2】已知：，，，下列关系正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查角度单位的换算及大小比较．需将不同单位的角度统一为以度为单位的数，再进行比较． 将三个角统一转换为度后比较大小． 【详解】∵，，， ∴，即． 故选：． 【变式8-3】若，，， 则（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了角度的大小比较，先将进行单位换算，再进行比较即可求解，掌握角度的单位换算是解题的关键． 【详解】， ∵，， ∴，故选：． 题型九：角平分线的有关计算 【典例9】如图，是的平分线，平分，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线，理解角平分线的概念是正确计算的前提．根据角平分线的概念进行计算即可． 【详解】平分，，， 又是的平分线，，故答案为：． 【变式9-1】如图，射线在内，是的平分线，是的平分线． （1）如果，求的度数； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的计算，灵活运用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可求得的度数，进而可求解； （2）根据角平分线的定义可求得，进而可求解． 【详解】（1）在内，是的平分线，是的平分线， ∴， ∴； （2）∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴． 【变式9-2】如图所示，是的平分线，是的平分线，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角的计算、角平分线的性质，利用角平分线的性质求解角的度数是解题的关键．首先根据是的平分线得到，再根据是的平分线得到，进而即可求解的度数． 【详解】∵是的角平分线，且， ∴， ∵是的角平分线，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和角的和差关系可得，即可得到的度数； （2）利用角平分线的定义和角的和差关系求得的度数，进而求得的度数． 【详解】（1）平分， ， 平分， ， ， ，， ，即的度数为； （2）平分，， ， ， 平分， ， 的度数为． 题型十：三角板中角度计算问题 【典例10】如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度计算问题．根据三角板的性质得，可得，结合图形即可求解． 【详解】∵这是一副三角板，∴， ∵，∴， ∴，故选：． 【变式10-1】将一副三角板按如图所示的方式放置，，则的度数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查与三角板有关的角度计算，由三角板得到，，再求出，最后根据求解即可． 【详解】∵将一副三角板按如图所示的方式放置，∴，， ∵，∴， ∴， 故选：． 【变式10-2】两块直角三角板按如图所示放置．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角板中的角度计算，能够得到角度之间的关系是解题关键；先通过算出，然后再通过即可求出． 【详解】∵，∴， ∵，∴， 故答案为：． 【变式10-3】如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，若，为的角平分线，则的度数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】设，则， 由题意可知，， ， ∴，解得， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：． 题型十一：角等分线的有关计算 【典例11】射线是的三等分线之一，，则的最大度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等分线的有关计算．是的三等分线之一，因此可能是的三分之一或三分之二．根据，解出可能为或，最大值为． 【详解】设的度数为．由于是的三等分线之一，则有两种情况： 若为靠近的三等分线，则，解得； 若为靠近的三等分线，则，解得． 因此的最大度数为．故答案为： 【变式11-1】条射线是的九等分线，，则相邻两条等分射线的夹角为 ． 【答案】 【分析】本题考查等分线的有关计算．射线将角九等分，相邻射线夹角等于总角度除以等分数，即可求解． 【详解】∵被九等分，每个小角为﹒ 相邻两条等分射线的夹角即为，故答案为． 【变式11-2】射线是的四等分线，，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的份，即可求解． 【详解】∵射线是的四等分线，， ∴， ∴，故选：． 【变式11-3】射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．将进行五等分，即可得相邻两个等分射线所成角的度数． 【详解】∵射线是的五等分线，， ∴相邻两个等分射线所成角的度数为．故选：． 题型十二：尺规做一个角等于已知角 【典例12】尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，解题的关键是掌握尺规作图作一个角等于已知角的方法和步骤．利用尺规作图的基本方法，作出与已知相等的． 【详解】如图所示，即为所求． 【变式12-1】请用无刻度的直尺和圆规作图． 如图，已知，求作：，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见详解 【分析】本题考查作图——基本作图．根据作一个角等于已知角的方法作图即可． 【详解】如图所示，为所求． 【变式12-2】以点为顶点，射线为一边，在射线上方作，使.（要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题关键；根据作一个角等于已知角的尺规作图方法即可得． 【详解】当在射线的上方时，如图，即为所作． 【变式12-3】如图，已知和两点，先作射线，再以为顶点，用尺规作图法作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的方法，作图即可. 【详解】由题意，作图如下： 题型十三：尺规做角的和差 【典例13】用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不必写作法）如图，已知， 且， 作，使； 【答案】见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．先根据作一个角等于已知角的方法作，再在的内部作，则即为所求． 【详解】如图，为所求： 【变式13-1】如图，已知．求作，使（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于两角的和，解题的关键是掌握尺规作一个角等于已知角的步骤．利用作角的和的步骤，即先作，再进行叠加，作即可． 【详解】如图，即为所求． 【变式13-2】如图，射线的端点在直线上．请用尺规作出射线，使得射线是的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是理解题意正确作出图形．以点为角的顶点，为角的一条边，在上方，作即可． 【详解】如图，射线即为所求．      【变式13-3】已知：．请你用直尺和圆规画一个，使．（要求：要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，作两角的和，掌握作法步骤是关键；按照作一个角等于已知角的步骤进行即可． 【详解】如图所示，作，再在射线的左侧作，则． 则即为所求作． 三、课后练习 【基础训练】 1、下列说法错误的是（ ）． A．的顶点是 B．的边是两条射线 C．射线，射线分别是表示的两边 D．与表示同一个角 【答案】 【分析】本题考查角的概念与表示方式，根据角的概念逐项判断即可． 【详解】、“的顶点是点”说法正确； 、“的边是两条射线”说法正确； 、“射线，射线分别表示的两边”说法错误，因为的两边是射线和射线； 、“与表示同一个角”说法正确； 故选：． 2、下列选项中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题主要考查角的表示，掌握角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法即可求解． 【详解】当以点为顶点的角有多个时，不能用表示，故不符合题意；故选：． 3、仅用一副三角尺不能画出的度数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度加减运算即可求解． 【详解】依题意，一副三角板中的角度有、、、， 、一副三角板中有的角度，故选项不符合题意；、，故选项不符合题意； 、，故选项不符合题意； 、不能画出的角度，故选项符合题意； 故选：． 4、下午时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题主要考查钟面角，掌握钟面角的特征是解题的关键．求出每一大格的度数即可得到答案． 【详解】钟面上有个大格，故每一格度数为：， 下午时，时针和分针对应两个半大格，故下午时，时针和分针所夹锐角的度数是． 故选：． 5、如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（ ）． A．的方向是北偏东 B．的方向是北偏西 C．的方向是南偏西 D．的方向是东南方向 【答案】 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义，掌握角的计算方法是正确解答的前提．由方向角的定义逐项进行判断即可． 【详解】、的方向是北偏东，错误，故符合题意； 、的方向是北偏西，正确，不符合题意； 、的方向是南偏西，正确，不符合题意； 、的方向是南偏东，即东南方向，正确，不符合题意， 故选：． 6、将直角三角板按如图所示放置，直角顶点落在直线上．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，根据计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 7、关于度、分、秒的换算． （1）用度表示； （2）用度表示； （3）用度、分、秒表示． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【详解】（1）∵，∴，∴； （2）∵，∴，∵，∴，∴； （3）∵，∴，∵，∴，∴． 8、如图，以点为顶点，射线为一边，在外作，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，解题的关键是掌握相关的作图方法．以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长度为半径画弧，两弧在外相交于点，最后作射线，即可求解． 【详解】如图，即为所求． 9、已知为直线上一点，，平分．若，求、的度数． 【答案】， 【分析】本题考查几何图中角度的计算，与角平分线有关的计算，先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，从而求出的度数；根据即可求出的度数． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为直线上一点， ∴． 10、如图，点是直线上一点，射线均以点为端点，平分，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查角度运算，涉及角平分线与直角，解决此类角度问题的关键是利用角平分线的定义（将角分成相等的两部分）和平角的性质，通过逐步推导各角之间的数量关系来求解． （1）利用角平分线定义先求出，再结合平角求出，最后由平分得到； （2）先根据比例求出，再由角平分线结合和的关系求出． 【详解】（1）平分，， ， 点在直线上，， ， 平分， ； （2）， 设，， ，则，解得， ， 平分， ， 点在直线上，， ， 平分， ， ，， ， ． 【巩固训练】 1、如图，下列说法正确的是（ ）．    A． B．图中只有两个角，即和 C．与表示同一个角 D．与表示同一个角 【答案】 【分析】此题考查角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点字母来表示，由此可得结论． 【详解】、与不一定相等，该选项原说法错误，故符合题意； 、图中有三个角，分别为、和，该选项原说法错误，故不符合题意； 、与表示同一个角，该选项原说法错误，故不符合题意； 、与表示同一个角，该选项正确，符合题意． 故选：． 2、下列说法正确的是（ ）． A．两条直线相交所组成的图形叫做角 B．两条有公共端点的线段所组成的图形叫做角 C．由两条射线组成的图形叫做角 D．从同一点引出的两条射线所组成的图形叫做角 【答案】 【分析】本题考查角的定义．熟练掌握角的定义是解题的关键．根据角的定义进行判断即可． 【详解】角的定义：从同一点引出的两条射线组成的图形．故选：． 3、如图所示，，则图中锐角有（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】 【分析】本题考查了交点分类，角的个数，分类讨论是解题的关键，注意数角的个数时，不要将直角算进去．根据角的分类求解即可，顺时针方向数，以为边可得个锐角，以为边可得个锐角，以为边可得个锐角，以为边可得个锐角，以为边可得个锐角，即可求得答案． 【详解】顺时针方向数，以为边可得个锐角，以为边可得个锐角，以为边可得个锐角， 以为边可得个锐角，以为边可得个锐角，共有锐角个．故选：． 4、下列各式中，正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查角的单位转化，解题关键是明确，．按照角的度量单位进行转化即可判断． 【详解】、，不符合题意；、，不符合题意；     、，不符合题意；、，符合题意； 故选：． 5、如图，已知为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，若是的平分线，则下结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算．平角的定义，角平分线平分角，得到，，进行转化即可得到和的关系． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵ ∵， ∴，整理，得：． 故选：． 6、如图，当过点画不重合的条射线时，共组成个角；当过点画不重合的条射线时，共组成个角；当过点画不重合的条射线时，共组成个角；…，根据以上规律，当过点画不重合的条射线时，共组成角的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的概念，图形的变化规律，根据题意推出规律公式是解题的关键．根据题意分别写出当过点画不重合的、、、条射线时，组成的角的个数，总结规律代入即可． 【详解】当过点画不重合的条射线时，共组成个角；当过点画不重合的条射线时，共组成个角； 当过点画不重合的条射线时，共组成个角；当过点画不重合的条射线时，共组成个角； 当过点画不重合的条射线时，则组成的角的个数为： ， 故当时，，即：当过点画不重合的条射线时，共组成角的个数是． 故答案为：． 7、如图，已知，，请用尺规作图法求作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据题意，作直线，先作出，在的左侧作，则，即为所求作的角． 【详解】如图，即为所求作的角． 8、如图，为直线上一点，，平分，． （1）求出的度数； （2）请通过计算说明是否平分； （3）请你数一数，图中有多少个小于平角的角． 【答案】（1）；（2）平分，理由见解析；（3）个． 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的概念．（1）先根据角平分线的定义求出，再根据平角的定义求解；（2）判断是否等于即可；（3）根据角的定义求解即可． 【详解】（1），平分， ， ； （2）平分，理由如下： ， ， ， 平分； （3）图中小于平角的角有， 共个． 9、如图，，，是的平分线，是的平分线． （1）求的大小； （2）若，，其他条件不变，求的大小． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查角与角的关系，角平分线的性质．（1）可先求出的度数，再根据、的关系即可求出；（2）可以根据（1）的步骤求出的大小． 【详解】（1）因为，， 所以． 因为是的平分线，是的平分线， 所以，， 所以； （2）因为，， 所以， 由（1）可知， ∴． 10、已知内部有三条射线，，． （1）如图1，若，，平分，平分．求的度数； （2）如图2，若，，，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的定义求得，然后求得的度数，根据角平分线的定义求得，然后根据求解； （2）根据，，得出，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）∵平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴． 【拔高训练】 1、下列说法： （1）经过两点有且只有一条直线；（2）连接两点间的线段叫做这两点间的距离； （3）射线与射线是同一条射线；（4）射线比直线小一半；（5）平角是直线． 其中正确的个数为（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】 【分析】本题考查了直线、射线、角、两点间的距离，熟练掌握这些概念以及它们之间的联系与区别是解题关键．根据直线、射线、角、两点间的距离的定义和性质逐个判断即可得． 【详解】（1）经过两点有且只有一条直线；原说法正确； （2）连接两点间的线段的长度叫做这两点间的距离；原说法错误； （3）射线与射线的端点不同，方向也不同，所以它们不是同一条射线；原说法错误； （4）射线和直线都是无限长，不可度量；原说法错误； （5）平角是角，与直线不是同一概念；原说法错误； 综上，说法正确的个数为个，故选：． 2、如图，为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的是（ ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义．利用平角的性质可判断①结论；根据平角和角平分线的定义，可判断②结论；根据角平分线的定义，可判断③结论；根据角平分线的定义可判断④结论． 【详解】，，①结论正确； ，， 平分，，②结论正确； ，平分， ，， ， ， ，③结论正确； ，，且无法证明， 无法证明平分，④结论错误； 故选：． 3、在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或．故选：． 4、如图所示，在已知锐角内部，画条射线，图中共有个角；画条射线，图中共有个角；画条射线，图中共有个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 【详解】在已知角内画射线，画条射线，图中共有个角； 画条射线，图中共有个角； 画条射线，图中共有个角； 画条射线，图中共有个角，故答案为：． 5、如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义，设，根据，，分别表示出图中的各个角，然后再计算的值即可． 【详解】如图：∵平分， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6、如图，已知，是内部的一条射线． （1）尺规作图：在的内部作，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，请求的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】本题考查几何图形角度的计算，尺规作一个角等于已知角． （1）以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，交于点，然后以为半径，以点为圆心画弧，在内部交前弧于点，连接并延长即可；（2）根据，求出，根据即得． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2），，， ， ， 7、（1）如图1，射线在的内部，平分，平分，若，求的度数； （2）射线，在的内部，平分，平分，若，，求的度数； （3）在（2）中，，，其他条件不变，请用含，的代数式表示的度数（不用说理）．    【答案】（1）；（2），（3） 【分析】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想． （1）根据角平分线的定义可得：，，相加可得的度数； （2）根据角平分线的定义可得：，，将分成三个角相加，并等量代换可得结论；（3）同理可得结论． 【详解】（1）平分，， 同理， ， ； （2）平分，， 同理可得：， ， ， ， ， ， ，， ， （3）平分，， 同理可得：， ， ， ， ， ， ，， ． 8、如图①，已知射线、在的内部在右侧），，． （1）如果射线平分，，如图②，则 ； （2）如果射线分别平分、，如图③，求的度数； （3）在（2）的条件下，当时，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角的运算，利用角的和差得出是解题关键． （1）根据角平分线的性质，数形结合可得答案；（2）根据角平分线的性质，角的和差，数形结合可得答案； （3）根据角的和差，可得，根据角平分线的性质，可得，根据角的和差可得答案． 【详解】（1），， ， 平分， ， 故答案为：； （2）平分， ， ，， ； （3）平分，， ， 由，得， ，， 平分，， 由角的和差可得． 9、刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． （1）如图1，若射线在的内部，且，求的度数； （2）如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 （3）若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）是的平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2），， ， ； （3）是的平分线，是的平分线， ，， ①延长至点，当在的内部， ，， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ，， ； ③延长至点，当在内部， ，， ， 综上，度数为或． 10、图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． （1）求图1中的度数； （2）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 【答案】（1）；（2）①；②或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义；（1）根据平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②分用含的代数式表示出和，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴，解得． 当射线在内部时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得 综上所述，满足条件的的值为或． 第三节 多边形和圆的初步认识 一、知识梳理 知识点一：多边形的有关概念 1、定义：由若干条不在同一条直线的线段首位相连组成的封闭平面图形叫做多边形． 2、几个相关概念：（1）边：组成多边形的每一条线段叫做多边形的边； （2）顶点：相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点； （3）内角：多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角； （4）外角：多边形内角的一边与另一边反向延长线所组成的角叫做多边形的外角． 3、分类：“凸多边形&凹多边形”． 知识点二：多边形的对角线 1、定义：连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；边形有条对角线． 2、分割：一个边形从一个顶点出发可以连接条对角线，可以将其分割成个三角形． 知识点三：正多边形 1、定义：各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形． 2、判定：一个多边形是正多边形必须具备两个条件：①各边相等，②各角相等． 但对于正三角形来说，具备其中一个条件就可以． 知识点四：圆、圆弧、扇形、圆心角的概念 1、圆：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆． 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．（现阶段一般研究小于半圆的弧） 3、扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形． 4、圆心角：顶点在圆心的角． 知识点五：扇形圆心角和面积的计算 1、扇形圆心角的计算：每一个扇形圆心角的度数每一个扇形占圆周的百分比． 2、扇形面积公式：． 二、经典例题 题型一：多边形的概念与分类 【典例1】下列图形是正多边形的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形，根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案． 【详解】、是等腰三角形，不是正多边形，故不合题意；是圆角矩形，不是正多边形，故不合题意； 、是正五边形，符合题意；、是一般六边形，不是正多边形，故不合题意；故选：． 【变式1-1】下列说法正确的是（ ）． A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 【答案】 【分析】本题考查正多边形的定义．根据正多边形的定义进行判断即可． 【详解】每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形，故选：． 【变式1-2】如图所示的多边形中，不是凸多边形的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了凸多边形的定义．根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】、是一个三角形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； 、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：． 【变式1-3】下列说法错误的是（ ）． A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的定义，根据各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形的概念判定即可求解，掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】正多边形的各条边都相等，各个角都相等，正确； 各内角都相等，各条边也相等的多边形是正多边形，正确， 各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形，故错误． 故选：． 题型二：多边形截角后的边数问题 【典例2】已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（ ）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】 【分析】本题考查多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加，可能减少，或不变．根据截去一个角后边数增加，不变，减少，即可确定原多边形的边数． 【详解】∵截去一个角后边数可能增加，不变或减少，∴原多边形的边数为或或．故选：． 【变式2-1】一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】或或 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少，②边数可能增加，③边数可能不变． 【详解】一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：或或． 【变式2-2】将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的与截面，理解多边形边与角的关系，图形结合分析是解题的关键．根据题意作图分析，即可求解． 【详解】、如图所示，四边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； 、如图所示，五边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； 、如图所示，六边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； 、如图所示，七边形纸片按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个六边形，不可能得到五边形，故该项符合题意； 故选：． 【变式2-3】一个多边形截去一个角后，变成边形，那么原来的多边形的边数为（ ）． A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案． 【详解】如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为边形，则原多边形为边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为边形，则原多边形为边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为边形，则原多边形为边形， 故选：． 题型三：多边形对角线与边数的关系 【典例3】如果过多边形的一个顶点可以引出条对角线，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】 【分析】根据边形的一个顶点可以引出条对角线，即可求出多边形的边数． 【详解】设这个多边形为边形，边形的一个顶点可以引出条对角线，，即， 故答案为：． 【变式3-1】一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是4，这个多边形的边数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】从边形的一个顶点出发可以引条对角线，利用原理列方程即可得到答案． 【详解】从边形的一个顶点出发可以引条对角线， 而一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是，，，故选：． 【变式3-2】若某多边形从一个顶点一共可引出条对角线，则这个多边形是（ ）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】 【分析】本题考查多边形的对角线问题，边形从一个顶点一共可引出条对角线，熟记相关结论即可． 【详解】∵边形从一个顶点一共可引出条对角线，∴，则这个多边形是七边形，故选：． 【变式3-3】从一个多边形的一个顶点可以引条对角线，则这个多边形的边数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查根据多边形对角线的条数确定多边形的边数．熟练掌握从多边形一个顶点可以引出条对角线，是解题的关键．根据从多边形一个顶点可以引出条对角线，即可求解． 【详解】设多边形有条边，∴，解得：．故选：． 题型四：对角线分成的三角形个数问题 【典例4】过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形对角线分成三角形个数问题．经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求解即可． 【详解】∵过边形的一个顶点的所有对角线，把边形分成了个三角形， ∴，解得， 故这个多边形的边数是，故选：． 【变式4-1】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成个三角形，则此多边形的边数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据多边形对角线定义可知，一个边形某个顶点除了不能和自身以及左右两个相邻的顶点连成对角线外，其余的个顶点都能与其连成对角线，这个对角线将多边形分成个三角形，结合此多边形被对角线分成个三角形，得到，解方程求出多边形边数即可得到答案． 【详解】根据题意，一个边形过某个顶点所有对角线条数为，这个对角线将多边形分成个三角形， 此多边形被对角线分成个三角形，，解得， 故选：． 【变式4-2】从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形．则的值分别为（ ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是，分成的三角形数是．从一个边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是，分成的三角形数是． 【详解】对角线的数量（条）；分成的三角形的数量为（个）．故选：． 【变式4-3】从一个多边形的某顶点出发，连接其余各顶点，把该多边形分成了个三角形，则这个多边形是（ ）． A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】 【分析】本题考查多边形的对角线分割多边形为三角形，掌握边形从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形是解题关键．根据边形从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形解答． 【详解】设这个多边形为边形．根据题意得：．解得：．故选：． 题型五：圆及相关概念 【典例5】下列说法正确的是（ ）． A．圆周率就是 B．半径等于直径的一半 C．半径的长短决定圆的大小 D．圆有一条直径 【答案】 【分析】本题考查圆的概念及特点、圆的周长．根据圆的概念和特点可知：圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数；在同圆或等圆中，圆的直径是半径的倍；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；同一个圆里，有无数条直径，所有直径长度都相等．据此即可判断． 【详解】、因为，故该选项说法错误，不符合题意； 、在同圆或等圆中，圆的半径是直径的一半，故该选项说法错误，不符合题意； 、半径的长短决定圆的大小，故该选项说法正确，符合题意； 、圆有无数条直径，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：． 【变式5-1】在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（ ）． A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的倍 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，圆上各点到圆心的距离相等．人们围成圆形是为了使每个人到舞台（圆心）的距离相等，从而获得相同的观看体验，这利用了同圆中所有半径相等的性质． 【详解】∵在同圆中，所有半径都相等，∴当人们围成圆形时，每个人到圆心的距离相等， ∴这是应用了同圆中半径都相等的特征．故选：． 【变式5-2】下列说法正确的是（ ）． A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键．根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； 、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； 、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； 、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式5-3】下列说法错误的是（ ）． A．圆内最长的线段是直径 B．圆的周长是直径的倍 C．半径厘米的圆的圆周率比直径厘米的圆的圆周率大 D．用同一根绳子围成长方形、正方形和圆形，圆的面积最大 【答案】 【分析】本题考查圆的相关概念（直径、周长、圆周率）以及周长相等的长方形、正方形、圆的面积比较，解题的关键是明确圆周率的定义以及不同图形面积与周长的关系．依次分析每个选项，根据圆的相关知识和不同图形面积规律判断对错． 【详解】、在圆中，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，圆内的线段中，直径是最长的，该说法正确，不符合题意； 、根据圆的周长公式（表示周长，表示直径），可知圆的周长是直径的倍，该说法正确，不符合题意； 、圆周率是一个固定的值，用表示，它与圆的半径．直径大小无关，所以不管圆的半径或直径是多少，圆周率都是一样的，该说法错误，符合题意； 、用同一根绳子围成长方形．正方形和圆形，即它们的周长相等．在周长相等的情况下，圆的面积最大，该说法正确，不符合题意． 故选：． 题型六：扇形圆心角和面积的计算 【典例6】将一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，它们面积之比为，扇形乙圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形统计图，根据题意，先求出乙的面积在整个圆中所占的百分比即可． 【详解】∵将一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，它们面积之比为， ∴扇形乙圆心角度数为．故答案为：． 【变式6-1】在同一个圆中，各扇形的面积之比为，则最大扇形的圆心角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的圆心角．用度乘以份数最大的对应的百分比，即可求解． 【详解】根据题意得：最大扇形的圆心角为．故答案为： 【变式6-2】如图，阴影部分扇形的圆心角大小是 ． 【答案】 【分析】本题可先求出阴影部分扇形所占的比例，再根据圆心角与比例的关系求出圆心角的度数．本题主要考查了扇形统计图的相关知识，熟练掌握扇形统计图中各部分比例与圆心角的关系是解题的关键． 【详解】∵整个圆的比例为，已知其中两部分分别占和， ∴阴影部分扇形所占比例为， ∵整个圆的圆心角为，∴阴影部分扇形的圆心角为 故答案为：． 【变式6-3】如图，将一个圆分割成三个扇形，若这个圆的半径为，则扇形的面积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查求扇形的面积，解题的关键是掌握扇形面积公式．先求出圆心角度数，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】，∴扇形的面积为，故选：． 三、课后练习 【基础练习】 1、八边形的对角线一共有（ ）条． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握多边形对角线条数的计算公式是解题的关键．根据边形对角线条数计算公式计算，即得答案． 【详解】当时，，所以八边形的对角线共有条．故选：． 2、九边形从一个顶点出发最多可以引（ ）条对角线． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查多边形的对角线，根据边形一个顶点可以引条对角线直接求解即可得到答案； 【详解】由题意可得，，∴九边形从一个顶点出发最多可以引条对角线，故选：． 3、正十边形的所有对角线的条数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握边形的所有对角线的条数是．把代入计算即可． 【详解】正十边形的所有对角线的条数为：，故选：． 4、从多边形一顶点出发，连接其余各个顶点得到个三角形，则多边形的边数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了从多边形的一顶点出发，连接其余各个顶点得到的“三角形个数多边形的边数”这一性质，熟练掌握本性质是解题的关键．可根据多边形的一顶点，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【详解】根据“多边形的边数三角形个数”，题干得到个三角形，则这个多边形的边数为，故选：. 5、把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．若一个多边形可以剖分成个三角形，则这个多边形是（ ）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】 【分析】本题考查了多边形的三角剖分规律，解题的关键是掌握“边形三角剖分可得到个三角形”这一关系．设多边形边数为，根据三角剖分的三角形个数与边数的关系列方程求解． 【详解】设这个多边形是边形，根据边形三角剖分得到的三角形个数为， 由题意得，解得，故这个多边形是七边形．故选：． 6、在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积和圆心角的关系，掌握每部分占整个部分的分率等于这部分的圆心角占的分率，是解题的关键．扇形面积占整个圆形的，用乘以进行计算即可． 【详解】根据题意，扇形的圆心角为：，故选：． 7、如图，为圆的直径，若，，则扇形乙与扇形丙的面积之比为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的求解，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．先求出两个扇形的圆心角，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】由题意得，，， 设圆的半径为， ∴扇形乙与扇形丙的面积之比为，故选：． 8、如果过某多边形的一个顶点有条对角线，这个多边形是 边形． 【答案】 【分析】本题考查了多边形对角线的公式，根据从边形的一个顶点可以画条对角线，求出边数即可得解，牢记公式是解题的关键． 【详解】∵过某多边形的一个顶点的对角线有条，∴，解得，故答案为：． 9、从十一边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十一边形分成三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查多边形的对角线，从边形的一个顶点出发，有条对角线，把多边形分成个三角形，这是解题的关键．根据多边形的对角线规律求解即可． 【详解】从十一边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十一边形分成三角形的个数是：．故答案为：． 10、如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比是，则扇形“丁”的圆心角度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形统计图：扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．各扇形面积之比等于各扇形的圆心角之比，则扇形“丁”的圆心角． 【详解】扇形“丁”的圆心角．故答案为：． 【巩固训练】 1、下列说法正确的是（ ）． A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 【答案】 【分析】本题考查多边形的概念；多边形内角、外角的概念；对角线的概念，熟练掌握由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形是解题关键．根据多边形的概念，逐项判断即可求解． 【详解】、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，故本选项错误，不符合题意； 、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意； 、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意； 、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 2、将一个圆分割成三个扇形，若三个扇形的面积比是，则扇形的圆心角的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了认识平面图形，将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由三个扇形的面积比是，可求出扇形的圆心角度数． 【详解】由题意可得，三个圆心角的和为，又因为三个扇形的面积比是， 所以这三个扇形的圆心角的度数比为，所以扇形的圆心角的度数为：，故选：． 3、如图，过一个顶点，四边形有条对角线；五边形有条对角线：六边形有条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（ ）． A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】∵四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ……， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线，故选：． 4、把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．通过探究一个四边形、五边形、六边形的三角剖分成的三角形个数与边数的关系，试猜想将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的特征与性质，通过探究四边形、五边形、六边形的三角剖分，分别得到、、个三角形，发现三角形个数与边数的关系为． 【详解】∵四边形三角剖分得个三角形（即），五边形得个三角形（即），六边形得个三角形（即）， ∴对于边形，三角剖分得的三角形个数为．故选：． 5、已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（ ）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】 【分析】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加，可能减少，或不变．根据截去一个角后边数增加，不变，减少，即可确定原多边形的边数． 【详解】∵截去一个角后边数可能增加，不变或减少，∴原多边形的边数为或或．故选：． 6、从十二边形的一个顶点出发可引出（ ）条对角线，把十二边形分割成（ ）个三角形． A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线的条数以及三角形的个数，根据n边形的对角线条数为条，把形分割成的三角形的个数为条，据此即可作答． 【详解】从十二边形的一个顶点出发可引出的对角线条数为（条）， 它们把十二边形分割成的三角形的个数为（个），故选：． 7、下列说法正确的是（ ）． A．圆的一部分是扇形 B．过七边形的一个顶点有条对角线 C．各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形 D．在一个圆中，圆心角等于周角的，则圆心角的度数为 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线，正多边形，圆心角等知识．根据扇形定义可判断；根据对角线计算公式可判断；根据正多边形的定义可判断；根据圆心角的计算方法可判断． 【详解】、圆的一部分不一定是扇形，故不正确； 、过七边形的一个顶点有条对角线，故不正确； 、各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形，正确； 、在一个圆中，圆心角等于周角的，则圆心角的度数为，故不正确． 故选：． 8、将一个半径为的圆分成个扇形，其圆心角的比为，其中最小的圆心角 ，最小的扇形的面积 （结果保留）． 【答案】； 【分析】本题考查扇形的面积，分配问题等知识，解题的关键是求出扇形的圆心角．根据周角为，根据三个扇形的圆心角的度数之比为．列出式子，可得最小的圆心角；用圆的面积乘以最小的圆心角占周角的百分比求解即可． 【详解】∵将一个半径为的圆分成个扇形，其圆心角的比为， ∴， ∵， ∴最小扇形的面积为：． 故答案为：，． 9、将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为，则这三个扇形中最大的圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形圆心角的度数问题，掌握周角的度数即三个扇形圆心角的和是360°是解题关键．利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘，从而可求得各个扇形的圆心角的度数． 【详解】由题意可知，三个圆心角的和为，又∵三个圆心角的度数比为， ∴最大的圆心角度数为：．故答案为：． 10、已知：从边形的一个顶点出发共有条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成个三角形；正边形的边长为，周长为．求的值． 【答案】 【分析】本题考查多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，一共有条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．掌握这些规律是解题的关键．根据多边形的性质，即可求得． 【详解】依题意有，，，则 【拔高训练】 1、若将四边形减去一个角，则剩余的图形可能是 ． 【答案】四边形或三角形或五边形 【分析】本题主要考查了截的关键一个几何图形，解题的关键是分情况讨论．根据截线经过的不同的位置可得剩余图形的相应的形状． 【详解】当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形； 当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形； 当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形； 故答案为：四边形或三角形或五边形． 2、下列说法中错误的是（ ）． A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【答案】 【分析】本题考查多边形的有关知识，熟练掌握多边形的定义是解题关键．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】、多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； 、四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故该选项不符合题意； 、多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； 、各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故该选错误，项符合题意． 故选：． 3、把六边形分割成三角形，至少可以分割成个三角形，这时分割六边形的线段的条数为，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查多边形分对角线问题和多边形分三角形问题，过边形的一个顶点的对角线条数为条，过边形的一个顶点的对角线把多边形分割成个三角形，据此求出的值即可得到答案． 【详解】∵把六边形分割成三角形，至少可以分割成个三角形，这时分割六边形的线段的条数为， ∴，，∴，故选：． 4、已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为个三角形，则的值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分，根据题意画出图形，得到的值，即可解答． 【详解】如图，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为个三角形， 如图，从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为个三角形； 如图，从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为个三角形， ∴，，， ∴． 故选：． 5、如图，圆的四条半径分别是，其中点在同一条直线上，，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查的是圆的面积计算．先求出各角的度数，再得出其比值即可． 【详解】∵点在同一条直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 6、如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据列式求解即可． 【详解】由题意得，，故答案为：． 7、阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ （1）观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； （2）边形有个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； （3）类比应用：数学社团共有名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】（1）①，②；（2）；（3）个． 【分析】本题考查多边形对角线规律及其应用．（1）根据所给图形总结规律解答即可；（2）当多边形的顶点数为时，从一个顶点可以引出条对角线，则个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为．（3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， ……， ∴边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为时，从一个顶点可以引出条对角线，则个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）名学生看成是顶点数为的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 8、如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． （1）根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； （2）若一个多边形按以上方法可分割成个小三角形，求该多边形的边数； （3）求边形的对角线条数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据找到的规律即可解题；（2）由（1）中的结论解题；（3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形，故答案为：； （2）由（1）知，，∴； （3）从边形的一个顶点可引出条对角线，∴对角线的总数为条． 9、将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为． （1）求这四个扇形的圆心角的度数； （2）若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积． 【答案】（1），，，（2），，，． 【分析】本题考查圆内扇形与圆的关系．（1）四个圆心角的度数和为，再根据每个角所占整个圆心角的几分之几求解即可；（2）根据扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）四个扇形的圆心角度数分别如下： ；；；； （2）扇形的面积：；扇形的面积：； 扇形的面积：；扇形的面积：． 10、（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 【答案】（1）个．三角形的个数与边数相等．（2）个．三角形的个数比边数小．（3）个．三角形的个数比边数小． 【分析】本题考查多边形与三角形的个数关系，掌握根据点的位置分类分析三角形个数与多边形边数的对应关系是解题的关键．（1）数出四边形内点连接各顶点后得到的三角形个数，对比四边形的边数，找出两者的关系；（2）数出五边形边上的点连接其他顶点后得到的三角形个数，对比五边形的边数，找出关系；（3）数出六边形过顶点作对角线后得到的三角形个数，对比六边形的边数，找出关系． 【详解】（1）连接后，得到，共个三角形； ∵四边形边数为，∴三角形个数等于边数． （2）连接后，得到，共个三角形； ∵五边形边数为，∴三角形个数等于边数少． （3）过点作对角线，连接后，得到，共个三角形； ∵六边形边数为，∴三角形个数等于边数少． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 基本平面图形 第一节 线段、射线、直线 一、知识梳理 知识点一 ：线段、射线、直线的概念 名称 线段 射线 直线 定义 直线上两点及两点间的部分，自行车轮的辐条、黑板的边沿都可以近似地看做线段 将线段向一个方向无限延长就形成了射线，手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看做射线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 图示 端点个数 两个 一个 无 表示方法 ①用一个小写字母表示： 线段； ②用表示端点的两个大写字母表示：线段或线段 ①用一个小写字母表示： 射线 ②用含端点的两个大写字母表示：射线（端点必须在前） ①一个小写字母表示： 直线 ②两个大写字母表示： 直线 特点 ①无法延伸 ②两个端点 ③有长度，可度量，可比较 ①朝一端无限延伸 ②有一个端点 ③有方向 ④无长短，无法度量，无法比较 ①无限延伸 ②没有端点 ③无长度，无法度量，无法比较 作法叙述 作线段作线段，连接 作射线作射线 作直线作直线 知识点二：直线 1、基本事实： 经过两点有且只有一条直线，这一事实可以简述为：两点确定一条直线．经过一点有无数条直线． 2、点与直线的位置关系： 如图，点在直线上或直线过点，点不在直线上或直线不过点． 3、两直线相交： 当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做他们的交点．两条直线相交，只有一个交点． 知识点三：线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短．这一事实可以简述为：两点之间线段最短．我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离． 知识点四：线段大小比较 1、比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法． 2、①目测法：直接观察； ②度量法：用刻度尺量出它们的长度，再进行比较； ③叠合法：把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较．如下图． 【注】用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上． 尺规作图定义：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图． 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度．它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点五：线段的中点 1、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点是线段的中点，则，或． 【说明】若点是线段的中点，则点一定在线段上． 2、线段的等分点： 二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分． 三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推． 知识点六：线段的和与差 如下图：线段上有一点，则；；，在这里线段、、表示线段的长度，如表示长度与长度之和等于长度． 二、经典例题 题型一：直线、射线、线段的联系与区别 【典例1】下列说法正确的是（ ）． A．过一点只能作一条直线 B．直线和直线表示同一条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【变式1-1】如图，下列说法正确的是（ ）． A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．点在线段上 【变式1-2】如图，有下列结论：①以点为端点的射线共有条；②以点为端点的线段共有条；③射线和射线是同一条射线；④直线和直线是同一条直线．以上结论正确的是（ ）． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【变式1-3】下列说法正确的是（ ）． A．若，则点在线段上 B．射线和射线表示同一条射线 C．直线比射线长，射线可以延长 D．若，则点是线段的中点 题型二：画线段、射线、直线 【典例2】如图，平面上有四个点，请根据下列语句作图． （1）画直线； （2）线段与线段相交于点； （3）射线与射线相交于点． 【变式2-1】如图，平面上有三个点，利用尺规按要求作图；    （1）作直线； （2）作射线； （3）在线段上作线段，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式2-2】如图，已知平面上有四点．用圆规和直尺完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．    （1）连接；并在线段上取一点，使点到点的距离之和最小； （2）画射线，并在射线上取一点，使． 【变式2-3】画图：已知四点，根据下列要求画图．   （1）画线段； （2）画射线，； （3）画直线； （4）与相交于点； （5）以点为圆心，为半径，画圆． 题型三：点与直线的位置关系 【典例3】平面上有三点，如果，，，那么下列说法正确的是（ ）． A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线外 D．点的位置无法确定 【变式3-1】如图，直线和直线相交于点，对于图形，说法正确的语句有（ ）． ①点在直线上；②点在直线上；③点在直线上，也在直线上；④直线经过点． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】下列几何图形与相应语言描述不相符的是（ ）． A．如图甲所示，直线不经过点 B．如图乙所示，直线与直线交于点 C．如图丙所示，点在线段上 D．如图丁所示，线段与射线一定相交 【变式3-3】如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ）．    A．点在直线外 B．点在直线外 C．直线不经过点 D．直线经过点 题型四：两点确定一条直线 【典例4】如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ）．    A．两点确定一条直线 B．过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．点动成线 【变式4-1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）． ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A． B． C． D． 【变式4-2】要种一列排列笔直的树，小明说：只要先定下两棵树的位置，然后其他树的位置就容易确定了，你认为小明这样说根据的数学原理是 ． 【变式4-3】暑假期间，小华参加了夏令营打靶瞄准训练，如图所示，打靶瞄准用到的数学原理是 ． 题型五：线段、射线、直线的数量问题 【典例5】图中，共有 条线段． 【变式5-1】图中线段有 条，射线有 条． 【变式5-2】如图，该图形中共有（ ）条不同的射线． A． B． C． D． 【变式5-3】如图，图中直线有 条；以点为端点的射线有 条；线段有 条． 题型六：直线相交的交点个数问题 【典例6】在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（ ）． A．或或或 B．或或 C．或 D． 【变式6-1】如图，条直线相交有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点按这样的规律若条直线相交交点最多有个，则此时的值为（ ）． A． B． C． D． 【变式6-2】为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（ ）个． A．，或 B．，，或 C．或 D．以上都不对 【变式6-3】小明学习相交直线时发现：条直线两两相交最多有个交点，条直线两两相交最多有个交点，按照这样的规律， （1）条直线两两相交最多有 个交点； （2）条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母的式子表示，） 题型七：线段的应用 【典例7】乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【变式7-1】由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有 种． 【变式7-2】若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线上有个点，则可以确定 条线段． （2）如图②所示，直线上有个点，则可以确定 条线段． 探索归纳： （3）若直线上有个点，一共可以确定多少条线段？ （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【变式7-3】如图：    （1）试验观察：如果经过两点画直线，那么： 第①组最多可以画____条直线；第②组最多可以画____条直线；第③组最多可以画____条直线． （2）探索归纳：如果平面上有个点，且任意个点均不在条直线上，那么经过两点最多可以画____条直线．（用含的式子表示） （3）解决问题：某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，那么共握____次手． 题型八：两点之间线段最短 【典例8】在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）． A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【变式8-1】如图所示，从地到地有多条道路可走，人们往往会选择走中间的直路，这是因为（ ）． A．两点之间线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．其他的路行不通 【变式8-2】如图，从地到地有四条道路，其中最短的一条道路是（ ）． A． B． C． D． 【变式8-3】下列生活现象：①建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用“两点之间线段最短”来解释的有 ．（填序号） 题型九：两点间的距离 【典例9】下列说法正确的是（ ）． ①两点之间的距离是线段；②两点之间的距离是线段的长度；③两点之间的距离是线段的长度 A．② B．③ C．②③ D．①②③ 【变式9-1】如果点在直线上，线段，，那么两点间的距离为（ ）． A． B． C．或 D．或 【变式9-2】已知平面内有三点，且，，那么两点之间的距离为（ ）． A． B． C．或 D．不能确定 【变式9-3】如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（ ）．    A． B． C． D． 题型十：尺规作图——线段 【典例10】如图，已知线段，用尺规做一条线段，使（保留画图痕迹）． 【变式10-1】已知线段，求作线段，使线段．    【变式10-2】作图题：如图，已知线段，用尺规作线段，使． 要求：保留作图痕迹，不必写出作图过程，标注字母和的位置． 【变式10-3】尺规作图． （1）如图，已知线段，请求作线段，使得． （2）如图，已知线段，画出一条线段，使它等于． 题型十一：线段的和与差 【典例11】点在同一条直线上，，，则的长度是（ ）． A． B． C．或 D．无法确定 【变式11-1】点在同一条直线上，．则线段的长为（ ）． A． B． C．或 D．或 【变式11-2】延长线段至点，使，如果，那么的长为（ ）． A． B． C． D． 【变式11-3】如图，已知线段，在直线上作线段，再在线段的延长线上作，在线段上，下列结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 题型十二：线段中点的有关计算 【典例12】如图，、是线段上的点，是线段中点．若，，则线段的长度是（ ）．    A． B． C． D． 【变式12-1】如图，是直线上的顺次四点，分别是线段，的中点，且，，则线段的长为（ ）． A． B． C． D． 【变式12-2】如图，为线段上一点，分别为的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的值． 【变式12-3】如图，点在线段上，点是线段的中点，已知，． （1）求线段的长度； （2）若点在直线上，，点是线段的中点，求线段的长度． 题型十三：线段等分点点的有关计算 【典例13】已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（ ）． A． B． C．或 D．或 【变式13-1】点是线段的四等分点，若，则 ． 【变式13-2】已知线段，点是线段的三等分点，求线段的长度． 【变式13-3】如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． （1）求线段的长度； （2）若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 题型十四：与线段有关的动点问题 【典例14】如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）． ①对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式14-1】如图，数轴上点表示，点表示，动点分别从同时出发，分别以个单位长度/秒个单位长度/秒的速度向射线方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（ ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式14-2】如图，是线段上一点，，两点分别从两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设在线段上且不与点重合，在线段上且不与点重合） （1）【知识技能】当点运动了时，这时图中有______条线段； （2）【数学思考】当点运动了时，求的值； （3）【思维延伸】当点运动时，总有，求的长． 【变式14-3】如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以每秒个单位的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止，设点运动的时间为． （1）当时， ；时， ； （2）用含的式子表示整个运动过程中的长度； （3）设点是线段的中点，是线段的中点，点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 三、课后练习 【基础训练】 1、下列图形中，可以表示为“线段”的是（ ）． A． B． C． D． 2、如图，对于图中直线的描述，正确的是（ ）． A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点 D．直线与直线m交于点 3、秦岭终南山公路隧道是我国自主设计最长的双洞单向高速公路隧道，隧道线形为直线，被誉为“天下第一隧”，建成后通行里程大大缩短，其路程缩短的原因是（ ）． A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有无数条直线 D．垂线段最短 4、如图，点，是线段上的两点，点是线段的中点，若，，则线段的长等于（ ）． A． B． C． D． 5、如图，点，在线段上，是的中点，若，，则（ ）． A． B． C． D． 6、要在墙壁上固定一根小木条，至少需要两枚钉子，其数学原理是 ． 7、线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 8、如图，在平面上有四点，请按照下列语句画出图形． （1）画直线； （2）画射线； （3）连接； （4）线段和线段相交于点． 9、如图，已知线段，用尺规做一条线段，使（保留画图痕迹）． 10、一列火车往返于芜湖、杭州两个城市，中途经过宣城、广德、长兴南和德清西个站点（共个站点），不同的车站往返需要不同的车票． （1）共有多少种不同的车票？ （2）一列火车往返两个城市，如果共有个站点，则需要多少种不同的车票？ 【巩固训练】 1、小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（ ）． ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 2、下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上．②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3、如果三点在同一直线上，且线段，，若分别为的中点，那么两点之间的距离为（ ）． A． B．或 C．或 D．无法确定 4、如图，延长线段至点使，延长线段至点使，点是线段的中点，点是线段的中点，若，则的长度为（ ）． A． B． C． D． 5、如图，两条直线相交，有个交点，三条直线相交最多有个交点，四条直线相交最多有个交点，则七条直线相交最多有 个交点． 6、已知四点（如图）： （1）画线段，射线，直线； （2）连，与直线交于点； （3）连接，并延长线段与射线交于点； （4）连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 7、如图，已知线段，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示所作线段． （1）作一条线段，使它等于； （2）作一条线段，使它等于． 8、已知线段． （1）若点是线段上一点，，则的长为 ； （2）若点是线段的中点，则的长为 ； （3）若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 9、如图，动点在线段上，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，，设点的运动时间为秒． （1）当时， ①________； ②求线段的长度． （2）用含的代数式表示运动过程中线段的长度． 10、如图，是直线上一点，以为顶点作，且位于直线两侧，平分．    （1）当时，求的度数； （2）请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【拔高训练】 1、下列几何图形与相应语言描述相符的有（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2、在平面上任意画个点，那么这个点确定的直线共有（ ）． A．条或条 B．条或条 C．条或条 D．条或条或条 3、如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有四点．点沿直线从右向左移动，当出现点与四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点最多有（ ）个． A． B． C． D． 4、如图，已知点为线段的中点，点分别在线段上，且，则下列结论不正确的是（ ）． A． B． C． D． 5、点是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ）．    A． B．当点为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 6、如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（ ）． A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 7、如图，线段，是线段上的中点，是线段上的动点，点沿以的速度运动，点沿以的速度运动．若点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 8、已知点在直线上，且，若，则的长为 ． 9、如图①，已知线段，点为线段上的一点，点分别是和的中点． （1）若，则的长为_____________； （2）若，求的长； （3）如图②，动点分别从两点同时出发，相向而行，点以每秒个单位长度的速度沿线段向右匀速运动，点以点速度的两倍沿线段向左匀速运动，设运动时间为秒，问当为多少时，之间的距离为？ 10、如图，线段，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． （1） 秒后，． （2）当在线段上运动时，试说明为定值． （3）当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度． 第二节 角 一、知识梳理 知识点一：角的概念 1、角的定义： （1）静态定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线是角的两条边．如下图所示，角的顶点是点，边是射线． （2）动态定义：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部． 如图下所示，射线绕它的端点旋转到的位置时，形成的图形叫做角，起始位置是角的始边，终止位置是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． 2、角的表示法：角的几何符号用“”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3、平角与周角： 如图1所示射线绕点旋转，当终止位置和起始位置成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，和重合时，所形成的角叫做周角． 4、角的画法 （1）用三角板可以画出等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点二：角度制及其换算 1、角的度量： 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成等份，每一份就是的角，的为分，记作“”，的为秒，记作“”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2、角的换算：周角，平角，，． 【注意】进行度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于时要向高一位进位． 知识点三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有个大格，把周角等分、每个大格对应的角，分针分钟转，时针每小时转，时针分钟转，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线的方向是北偏东；射线的方向是南偏西．这里的“北偏东”和“南偏西”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东”一般不说成“东偏北”． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点是观测点，所有方向线（射线）都必须以为端点． 知识点五：角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较和的大小： 如下图，由图（1）可得；由图（2）可得；由图（3）可得． 知识点六：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，是的角平分线，，． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点七：角的运算 如图所示，是与的和，记作：；是与的差，记作：． 注意：（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；②重合（一边与刻度尺上的零度线重合）；③读数（读出另一边所在线的度数）． （2）利用三角板除了可以做出、、、外，根据角的和、差关系，还可以画出、、、、、、的角． 二、经典例题 题型一：角的概念理解 【典例1】下列说法错误的是（ ）． A．由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角 B．角是由始边绕着端点旋转形成的图形 C．角是由两条直线相交形成的图形 D．角的两边是射线 【变式1-1】下列说法中，一定正确的说法有（ ）． ①射线和射线是同一条射线；②若点为线段的中点，则； ③两条射线组成的图形叫做角；④两点之间，线段最短． A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．④ 【变式1-2】有下列结论：①由两条射线组成的图形叫做角；②连接两点的线段叫两点之间的距离；③射线与射线是两条不同的射线；④与是同一个角；⑤两点之间直线最短．其中正确的是（ ）． A．④⑤ B．③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 【变式1-3】下列说法中，正确的个数是（ ）． （1）两条射线所组成的图形叫做角；（2）角是有公共端点的两条射线；（3）角的大小与边的长短无关； （4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角；（5）有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角． A． B． C． D． 题型二：角的表示方法 【典例2】下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）． A． B． C． D． 【变式2-1】下列图中的也可以用表示的是（ ）． A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（ ）． A． B． C． D． 【变式2-3】下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）． A． B． C． D． 题型三：角的单位与角度制 【典例3】图中角的个数是（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-1】如图，从点出发的四条射线．可以组成角的个数为（ ）． A． B． C． D． 【变式3-2】在的内部从顶点引出条射线，则图中共有角的个数是（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-3】如图，图中有个角，图中有个不同角，图中有个不同角，……，按此规律下去图中有不同角的个数为（ ）． …… A． B． C． D． 题型四：角的单位与角度制 【典例4】用度、分、秒表示 ． 【变式4-1】 ． 【变式4-2】 度 分 秒． 【变式4-3】 ； ． 题型五：角度的四则运算 【典例5】计算： （1）； （2）． 【变式5-1】计算： （1）； （2）． 【变式5-2】计算： （1）； （2）． 【变式5-3】计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 题型六：与方位角有关的计算题 【典例6】如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（ ）． A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【变式6-1】如图，李华同学从点沿北偏东的方向行走到点，再从点沿南偏西方向行走到点，则的大小为 ． 【变式6-2】如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【变式6-3】如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． （1）射线的方向是________； （2）求的度数； （3）若射线平分，求的度数． 题型七：钟面角 【典例7】自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 【变式7-1】若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度． 【变式7-2】点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是 ． 【变式7-3】如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午点分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度． 题型八：角的度数大小比较 【典例8】已知，，，下列说法正确的是（ ）． A． B． C． D． 【变式8-1】已知，那么（ ）． A． B． C． D． 【变式8-2】已知：，，，下列关系正确的是（ ）． A． B． C． D． 【变式8-3】若，，， 则（ ）． A． B． C． D． 题型九：角平分线的有关计算 【典例9】如图，是的平分线，平分，且，则 ． 【变式9-1】如图，射线在内，是的平分线，是的平分线． （1）如果，求的度数； （2）如果，求的度数． 【变式9-2】如图所示，是的平分线，是的平分线，且，，求的度数． 【变式9-3】如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 题型十：三角板中角度计算问题 【典例10】如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 【变式10-1】将一副三角板按如图所示的方式放置，，则的度数是（ ）． A． B． C． D． 【变式10-2】两块直角三角板按如图所示放置．已知，，则 ． 【变式10-3】如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，若，为的角平分线，则的度数是（ ）． A． B． C． D． 题型十一：角等分线的有关计算 【典例11】射线是的三等分线之一，，则的最大度数为 ． 【变式11-1】条射线是的九等分线，，则相邻两条等分射线的夹角为 ． 【变式11-2】射线是的四等分线，，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 【变式11-3】射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（ ）． A． B． C． D． 题型十二：尺规做一个角等于已知角 【典例12】尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 【变式12-1】请用无刻度的直尺和圆规作图． 如图，已知，求作：，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式12-2】以点为顶点，射线为一边，在射线上方作，使.（要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 【变式12-3】如图，已知和两点，先作射线，再以为顶点，用尺规作图法作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 题型十三：尺规做角的和差 【典例13】用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不必写作法）如图，已知， 且， 作，使； 【变式13-1】如图，已知．求作，使（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）． 【变式13-2】如图，射线的端点在直线上．请用尺规作出射线，使得射线是的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）    【变式13-3】已知：．请你用直尺和圆规画一个，使．（要求：要保留作图痕迹．） 三、课后练习 【基础训练】 1、下列说法错误的是（ ）． A．的顶点是 B．的边是两条射线 C．射线，射线分别是表示的两边 D．与表示同一个角 2、下列选项中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）． A． B． C． D． 3、仅用一副三角尺不能画出的度数是（ ）． A． B． C． D． 4、下午时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）． A． B． C． D． 5、如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（ ）． A．的方向是北偏东 B．的方向是北偏西 C．的方向是南偏西 D．的方向是东南方向 6、将直角三角板按如图所示放置，直角顶点落在直线上．若，则 ． 7、关于度、分、秒的换算． （1）用度表示； （2）用度表示； （3）用度、分、秒表示． 8、如图，以点为顶点，射线为一边，在外作，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 9、已知为直线上一点，，平分．若，求、的度数． 10、如图，点是直线上一点，射线均以点为端点，平分，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【巩固训练】 1、如图，下列说法正确的是（ ）．    A． B．图中只有两个角，即和 C．与表示同一个角 D．与表示同一个角 2、下列说法正确的是（ ）． A．两条直线相交所组成的图形叫做角 B．两条有公共端点的线段所组成的图形叫做角 C．由两条射线组成的图形叫做角 D．从同一点引出的两条射线所组成的图形叫做角 3、如图所示，，则图中锐角有（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 4、下列各式中，正确的是（ ）． A． B． C． D． 5、如图，已知为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，若是的平分线，则下结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 6、如图，当过点画不重合的条射线时，共组成个角；当过点画不重合的条射线时，共组成个角；当过点画不重合的条射线时，共组成个角；…，根据以上规律，当过点画不重合的条射线时，共组成角的个数是 ． 7、如图，已知，，请用尺规作图法求作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 8、如图，为直线上一点，，平分，． （1）求出的度数； （2）请通过计算说明是否平分； （3）请你数一数，图中有多少个小于平角的角． 9、如图，，，是的平分线，是的平分线． （1）求的大小； （2）若，，其他条件不变，求的大小． 10、已知内部有三条射线，，． （1）如图1，若，，平分，平分．求的度数； （2）如图2，若，，，求的度数． 【拔高训练】 1、下列说法： （1）经过两点有且只有一条直线；（2）连接两点间的线段叫做这两点间的距离； （3）射线与射线是同一条射线；（4）射线比直线小一半；（5）平角是直线． 其中正确的个数为（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2、如图，为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的是（ ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 3、在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）． A． B． C．或 D．或 4、如图所示，在已知锐角内部，画条射线，图中共有个角；画条射线，图中共有个角；画条射线，图中共有个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 5、如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则 ． 6、如图，已知，是内部的一条射线． （1）尺规作图：在的内部作，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，请求的值． 7、（1）如图1，射线在的内部，平分，平分，若，求的度数； （2）射线，在的内部，平分，平分，若，，求的度数； （3）在（2）中，，，其他条件不变，请用含，的代数式表示的度数（不用说理）．    8、如图①，已知射线、在的内部在右侧），，． （1）如果射线平分，，如图②，则 ； （2）如果射线分别平分、，如图③，求的度数； （3）在（2）的条件下，当时，求的度数． 9、刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． （1）如图1，若射线在的内部，且，求的度数； （2）如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 （3）若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 10、图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． （1）求图1中的度数； （2）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 第三节 多边形和圆的初步认识 一、知识梳理 知识点一：多边形的有关概念 1、定义：由若干条不在同一条直线的线段首位相连组成的封闭平面图形叫做多边形． 2、几个相关概念：（1）边：组成多边形的每一条线段叫做多边形的边； （2）顶点：相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点； （3）内角：多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角； （4）外角：多边形内角的一边与另一边反向延长线所组成的角叫做多边形的外角． 3、分类：“凸多边形&凹多边形”． 知识点二：多边形的对角线 1、定义：连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；边形有条对角线． 2、分割：一个边形从一个顶点出发可以连接条对角线，可以将其分割成个三角形． 知识点三：正多边形 1、定义：各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形． 2、判定：一个多边形是正多边形必须具备两个条件：①各边相等，②各角相等． 但对于正三角形来说，具备其中一个条件就可以． 知识点四：圆、圆弧、扇形、圆心角的概念 1、圆：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆． 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．（现阶段一般研究小于半圆的弧） 3、扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形． 4、圆心角：顶点在圆心的角． 知识点五：扇形圆心角和面积的计算 1、扇形圆心角的计算：每一个扇形圆心角的度数每一个扇形占圆周的百分比． 2、扇形面积公式：． 二、经典例题 题型一：多边形的概念与分类 【典例1】下列图形是正多边形的是（ ）． A． B． C． D． 【变式1-1】下列说法正确的是（ ）． A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 【变式1-2】如图所示的多边形中，不是凸多边形的是（ ）． A． B． C． D． 【变式1-3】下列说法错误的是（ ）． A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 题型二：多边形截角后的边数问题 【典例2】已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（ ）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【变式2-1】一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【变式2-2】将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）． A． B． C． D． 【变式2-3】一个多边形截去一个角后，变成边形，那么原来的多边形的边数为（ ）． A．或或 B．或 C．或 D．或或 题型三：多边形对角线与边数的关系 【典例3】如果过多边形的一个顶点可以引出条对角线，那么这个多边形的边数是 ． 【变式3-1】一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是4，这个多边形的边数是（ ）． A． B． C． D． 【变式3-2】若某多边形从一个顶点一共可引出条对角线，则这个多边形是（ ）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【变式3-3】从一个多边形的一个顶点可以引条对角线，则这个多边形的边数为（ ）． A． B． C． D． 题型四：对角线分成的三角形个数问题 【典例4】过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（ ）． A． B． C． D． 【变式4-1】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成个三角形，则此多边形的边数为（ ）． A． B． C． D． 【变式4-2】从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形．则的值分别为（ ）． A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】从一个多边形的某顶点出发，连接其余各顶点，把该多边形分成了个三角形，则这个多边形是（ ）． A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 题型五：圆及相关概念 【典例5】下列说法正确的是（ ）． A．圆周率就是 B．半径等于直径的一半 C．半径的长短决定圆的大小 D．圆有一条直径 【变式5-1】在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（ ）． A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的倍 【变式5-2】下列说法正确的是（ ）． A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【变式5-3】下列说法错误的是（ ）． A．圆内最长的线段是直径 B．圆的周长是直径的倍 C．半径厘米的圆的圆周率比直径厘米的圆的圆周率大 D．用同一根绳子围成长方形、正方形和圆形，圆的面积最大 题型六：扇形圆心角和面积的计算 【典例6】将一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，它们面积之比为，扇形乙圆心角度数为 ． 【变式6-1】在同一个圆中，各扇形的面积之比为，则最大扇形的圆心角为 ． 【变式6-2】如图，阴影部分扇形的圆心角大小是 ． 【变式6-3】如图，将一个圆分割成三个扇形，若这个圆的半径为，则扇形的面积为（ ）． A． B． C． D． 三、课后练习 【基础练习】 1、八边形的对角线一共有（ ）条． A． B． C． D． 2、九边形从一个顶点出发最多可以引（ ）条对角线． A． B． C． D． 3、正十边形的所有对角线的条数是（ ）． A． B． C． D． 4、从多边形一顶点出发，连接其余各个顶点得到个三角形，则多边形的边数为（ ）． A． B． C． D． 5、把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．若一个多边形可以剖分成个三角形，则这个多边形是（ ）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 6、在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为（ ）． A． B． C． D． 7、如图，为圆的直径，若，，则扇形乙与扇形丙的面积之比为（ ）． A． B． C． D． 8、如果过某多边形的一个顶点有条对角线，这个多边形是 边形． 9、从十一边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十一边形分成三角形的个数是 ． 10、如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比是，则扇形“丁”的圆心角度数是 ． 【巩固训练】 1、下列说法正确的是（ ）． A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 2、将一个圆分割成三个扇形，若三个扇形的面积比是，则扇形的圆心角的度数为（ ）． A． B． C． D． 3、如图，过一个顶点，四边形有条对角线；五边形有条对角线：六边形有条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（ ）． A．条 B．条 C．条 D．条 4、把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．通过探究一个四边形、五边形、六边形的三角剖分成的三角形个数与边数的关系，试猜想将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是（ ）． A． B． C． D． 5、已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（ ）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 6、从十二边形的一个顶点出发可引出（ ）条对角线，把十二边形分割成（ ）个三角形． A．， B．， C．， D．， 7、下列说法正确的是（ ）． A．圆的一部分是扇形 B．过七边形的一个顶点有条对角线 C．各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形 D．在一个圆中，圆心角等于周角的，则圆心角的度数为 8、将一个半径为的圆分成个扇形，其圆心角的比为，其中最小的圆心角 ，最小的扇形的面积 （结果保留）． 9、将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为，则这三个扇形中最大的圆心角度数为 ． 10、已知：从边形的一个顶点出发共有条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成个三角形；正边形的边长为，周长为．求的值． 【拔高训练】 1、若将四边形减去一个角，则剩余的图形可能是 ． 2、下列说法中错误的是（ ）． A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 3、把六边形分割成三角形，至少可以分割成个三角形，这时分割六边形的线段的条数为，则的值为（ ）． A． B． C． D． 4、已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为个三角形，则的值是（ ）． A． B． C． D． 5、如图，圆的四条半径分别是，其中点在同一条直线上，，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（ ）． A． B． C． D． 6、如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 7、阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ （1）观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； （2）边形有个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； （3）类比应用：数学社团共有名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 8、如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． （1）根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； （2）若一个多边形按以上方法可分割成个小三角形，求该多边形的边数； （3）求边形的对角线条数． 9、将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为． （1）求这四个扇形的圆心角的度数； （2）若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积． 10、（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $