最大公因数的应用（教学设计）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

最大公因数的应用 教学设计 教学目标： （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过观察生活中 “用正方形地砖铺满长方形地面” 的情境，发现地砖边长需满足长和宽的共同因数，初步建立数学与现实问题的联系，增强用数学视角分析实际问题的意识。 （2）会用数学的思维思考现实世界：在探究 “地砖边长是否为整分米且无剩余” 的过程中，能运用 “找公因数” 的方法分析问题，理解 “边长是长和宽的公因数” 的本质，发展逻辑推理和数学抽象思维能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过小组合作，能用 “公因数”“最大公因数” 等数学术语清晰描述选择地砖边长的依据，解释 “无剩余铺满” 的原理，提升数学表达与合作交流能力。 教学重难点： （1）教学重点：运用最大公因数的知识解决 “长方形地面铺正方形地砖（无剩余）” 的实际问题，经历 “问题情境 — 抽象数学模型 — 验证应用” 的过程，培养数学建模能力和应用意识（体现数学应用与数学建模核心素养）。 （2）教学难点：从 “铺砖无剩余” 的实际需求中抽象出 “求长和宽的公因数” 的数学关系，理解 “地砖边长必须是长和宽的公因数” 的本质原因；同时区分 “多种可行方案” 与 “最少地砖数量的最优方案” 的联系与区别（体现数学抽象与逻辑推理核心素养）。 教学准备： （1）多媒体课件（含 PPT 演示文稿、操作步骤动画及集合图动态展示）。 （2）长 16 厘米、宽 12 厘米的长方形彩纸（学生分组操作使用）及边长为 1cm、2cm、4cm 的正方形卡片各若干（用于铺满验证）。 （3）“铺砖问题” 探究任务单（含前置知识回顾问题、操作步骤及记录表格）。 教学方法： 复习回顾法、动手操作法、小组合作法、情境教学法 教学过程： 一、复习旧知，导入新课 （1）回顾公因数与最大公因数的概念： 教师：“同学们，我们上节课学习了公因数与最大公因数的概念，还记得它们是什么意思吗？（稍作停顿，目光扫视全班）谁能举例说说什么是公因数？（生：几个数公有的因数，就叫公因数！）那最大的那个呢？（生：最大公因数！）” 教师：“好，那我们来快速口答几道题检验一下：16 的因数有哪些？（生：1、2、4、8、16！）24 的因数呢？（生：1、2、3、4、6、8、12、24！）那 16 和 24 的公因数是？（生：1、2、4、8！）最小的公因数是？（生：1！）最大的呢？（生：8！）” 教师：“再看一个复杂点的：A=2×2×5，B=2×3×5，它们的最大公因数是多少？（生：2×5=10！）” 教师：“非常好！我们已经熟练掌握了求几个数最大公因数的方法。那大家想想，学了最大公因数，它在生活中能帮我们解决什么问题呢？（生自由发言：比如分东西、选材料……）” 教师：“今天我们就来探索一个实际应用 —— 用最大公因数解决‘铺地砖’的问题，看看它如何帮我们选到最合适的地砖！（板书课题：最大公因数的应用）” 二、动手操作，探究新知 （1）创设情境，提出问题： 教师：“同学们看，这是王叔叔家客厅的地面示意图（PPT 展示长 16 分米、宽 12 分米的长方形地面图）。王叔叔想选一种边长是整分米的正方形地砖，要求地砖必须是整块，不能切割，也不能有空隙。大家猜想一下，他可以选择边长是几分米的地砖呢？（生自由猜想：1 分米、2 分米、3 分米、4 分米……）” （2）引导验证，动手操作： 教师：“说得非常好！请同学们拿出学具袋里的‘地面模型’（16cm×12cm 的长方形纸片，实际教学中可用透明卡纸代替）和‘小正方形地砖’（边长为 1cm、2cm、3cm、4cm 等的纸片，提前按不同边长分组准备），分组合作完成任务：用小正方形纸片摆一摆，或者在长方形纸上画一画，看哪些边长的正方形能正好铺满地面，哪些不能。（强调：必须是整分米，注意单位统一，这里用厘米演示，实际问题中要对应单位）。” 教师：“操作时请大家分工明确：比如有人负责计算‘长能摆几个小正方形’，有人负责计算‘宽能摆几个’，记录下‘总块数’和‘是否有剩余’。（巡视指导，重点关注学生的计算过程和操作方法）。” 教师：“某小组用边长 2cm的正方形试摆，长 16cm÷2cm=8（个），宽 12cm÷2cm=6（个），刚好摆满，没有剩余；但用边长 3cm的正方形试摆时，长 16÷3=5 余 1，宽 12÷3=4，长有剩余，所以不能铺满。” （3）交流汇报，发现规律： 小组 1：“我们用边长 1cm的正方形摆，长 16÷1=16（个），宽 12÷1=12（个），能铺满！因为没有剩余。” 小组 2：“用边长 2cm的正方形，16÷2=8，12÷2=6，8×6=48 块，也能铺满！” 小组 3：“用边长 3cm的正方形，16÷3=5 余 1，宽 12÷3=4，长有剩余，留了 1cm 的空隙，所以不能铺满。” 小组 4：“我们试了边长 4cm的正方形，16÷4=4，12÷4=3，4×3=12 块，也能铺满！” 教师：“为什么边长 3cm不行，而 2cm、4cm 就行呢？（生：因为长和宽都要能被边长整除，没有余数！）那如果边长 5cm呢？（生：16÷5=3 余 1，12÷5=2 余 2，肯定有剩余！）” （4）观察因数，明确关系： 教师：“刚才我们发现，能铺满的边长其实就是 16 和 12 的什么数呢？（引导学生联系因数概念）大家先列出 16 的所有因数，再列出 12 的所有因数，看看它们有哪些共同的数？” （学生分组列出因数： 16 的因数：1、2、4、8、16； 12 的因数：1、2、3、4、6、12； 教师：“共同的因数是哪些？（生：1、2、4！）这些共同的因数，就是 16 和 12 的‘公因数’！而能铺满的正方形边长，必须是它们的公因数，对吗？（生：对！）” 教师：“那最大的公因数是多少？（生：4！）所以如果王叔叔想用最大的正方形地砖，边长应该选 4 分米（注意单位转换，16 和 12 的单位是分米，之前操作用厘米是为了方便计算，实际问题中要对应单位），这时需要多少块地砖呢？（生：16÷4=4（块），12÷4=3（块），4×3=12 块！）” （5）明确最大公因数的意义： 教师：“如果王叔叔想用最少的地砖数量，应该选多大的正方形？（生：最大的！因为边长越大，块数越少！）那最大的正方形边长就是 16 和 12 的最大公因数，也就是 4 分米。这时候，不仅块数最少，而且地砖大小最适合，既节省材料又美观，对吗？” 三、应用规律，巩固提升 （1）基础练习： 教师：“现在我们来解决一个类似的问题：李阿姨家厨房地面长 20 厘米，宽 15 厘米，用同样的方法铺地砖（边长整厘米，无剩余），最大的正方形地砖边长是多少？能铺多少块？” 学生独立完成：先找 20 和 15 的最大公因数（20 的因数：1、2、4、5、10、20；15 的因数：1、3、5、15，最大公因数是 5），所以边长最大 5 厘米，块数（20÷5）×（15÷5）=4×3=12 块。 教师：“其他同学和他的结果一样吗？（生：一样！）看来大家已经掌握方法了！” （2）变式练习： 教师：“再看一个生活场景：学校要把一张长 24 厘米、宽 18 厘米的长方形红纸，裁剪成同样大小的小正方形，要求没有剩余，小正方形的边长最大是多少？能裁多少个？” 学生分组讨论：先找 24 和 18 的最大公因数（24 的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；18 的因数：1、2、3、6、9、18，最大公因数是 6），所以小正方形边长最大 6 厘米，个数（24÷6）×（18÷6）=4×3=12 个。 教师：“这里为什么要找最大公因数？（生：因为边长越大，裁出的小正方形数量越少，材料浪费最少！）” 四、课堂小结，回顾提升 （1）教师：“今天我们学习了用最大公因数解决实际问题，你有哪些收获？（生自由发言）” 教师：“总结一下：当我们需要用正方形铺满长方形（或裁剪成正方形无剩余）时，正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数，而最大的正方形边长就是长和宽的最大公因数。（板书关键词：长 ÷ 边长 = 整数，宽 ÷ 边长 = 整数，无余数→公因数→最大公因数）” 教师：“其实生活中这样的例子还有很多！比如包装礼盒时，用同样大小的丝带；或者裁剪布料时，避免浪费材料。（PPT 展示更多生活场景图：礼品盒包装、布料裁剪、地砖铺设等）希望同学们能把今天的方法用到生活中，做个‘数学小管家’！” 课后作业： （1）一间教室长 18 米，宽 12 米，如果用边长是整米数的正方形地砖铺满地面（地砖必须是整块），可以选择边长是多少米的地砖？最大边长是多少米？ （2）有一张长 30 厘米、宽 20 厘米的长方形彩纸，要剪成同样大小且没有剩余的正方形纸片，如果正方形纸片的边长尽可能大，那么正方形纸片的边长是多少厘米？能剪多少个这样的正方形？ 学科网（北京）股份有限公司 $