精品解析：广东省实验中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025学年上学期高二期末考试试卷 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用代入法求出数列前几项，进而能判断出函数的周期，再利用周期进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， ， ， 因此该数列的周期为， 于是. 故选：C 2. 如图，在四面体中，．设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理直接求解即可. 【详解】由题知， . 故选：D 3. 一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 4. 已知方程所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线表示一条直线 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示双曲线 D. 存在实数，使得曲线为抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，结合曲线的形状与方程之间的关系判断即可. 【详解】对于A，当时，曲线方程为，即或， 此时曲线表示两条直线，故A错误； 对于B，当时，曲线的方程可化为， 若，即时，此时曲线的方程为，表示圆， 若，即且时，此时曲线表示椭圆，故B错误； 对于C，当时，曲线的方程可化为，曲线表示双曲线，故C正确； 对于D，由ABC可知，当时，曲线表示两条直线， 当时，曲线表示椭圆或圆，当时，曲线表示双曲线， 因此，不存在实数，使得曲线为抛物线，故D错误. 故选：C. 5. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：一座七层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．则该塔中间层（即第四层）悬挂灯的盏数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知灯数构成等比数列，用等比数列的通项公式及前n项和公式解得. 【详解】设每层塔的灯数从上到下构成数列，则数列是公比的等比数列，且， 由等比数列的前n项和公式，得， 由等比数列的通项公式得. 故选：B. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的最小值为，则双曲线离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可，进而可得，从而可得离心率的值. 【详解】根据双曲线的定义，有， 两式相加得，如图： 又，所以，即 所以的最小值为，，即 又因为通径是过焦点的弦中最短的弦，所以轴时最小，此时， 所以的最小值为，即， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得，或 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率为2． 故选：B 7. 如图所示，四边形为正方形，将绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积求出棱长，再由为三棱锥的外接球球心，求出球的半径，利用球的表面积公式得解. 【详解】设正方形的边长为，则， 取中点，连接，如图， 则，又，所以为正三角形． 因为，平面 所以平面，则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且为斜边，为中点， 所以为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径． 则该三棱锥外接球的表面积为． 故选：D 8. 记椭圆的右焦点为，右顶点为，直线过且与椭圆交于两点，为坐标平面上一点，若的重心为原点，则直线斜率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和椭圆的位置关系，设出点的坐标，联立方程组，根据韦达定理，求出参数之间的关系，根据重心坐标公式，列出方程组，求出直线斜率的表达式，根据基本不等式求出最小值即可. 【详解】 由图可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 设， 联立，整理可得， 可知恒成立， 可得， 又因为的重心为原点，则， 则， 又，所以， 可知时，；时，， 所以当时，，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即直线斜率的最小值为. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等差数列的公差为，前项和为，已知，．以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由题设结合等差数列求和公式可求得，进而得到，进而求解判断各选项即可. 【详解】由题意得，，而，则， 所以，则，故A错误； 而，则，故B正确； 因为时，，时，，则，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：BC 10. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为．直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，其中位于第一象限．以下说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 存在实数，使为直角 D. 若轴，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由抛物线的准线方程可得，所以A正确；对B由可得，进而可得直线的方程，与抛物线方程联立可得B点坐标，进而可得焦点弦长；对C可用向量的方法判断角为钝角；对于D由轴可得，进而可得及，所以可得t的值. 【详解】如图： 对于A，抛物线的准线为，所以，所以A正确； 对于B，抛物线的方程为，若，则，得， 再代入方程，得，因为A点在第一象限，所以． 又，再将代入，得，所以的方程为． 再由，得，,是上述方程的两个实根， 所以，因为，所以． 将代入，得，所以， 所以，所以B正确； （另法：由和，得，所以） 对于C，由得， 所以是上述方程的两个实根，所以． 因为，所以恒为钝角，所以C错误； 对于D，设分别交轴于点．由轴与抛物线的对称性得； 由得，又，所以， 于是，所以． 所以，再代入，得，因为A点在第一象限， 所以，代入，得，故D正确． 故选：ABD. 11. 如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，三棱锥的体积为 B. 当时，的最小值为 C. 若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D. 当时，的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项中取的靠近的三等分点的靠近的三等分点，得出点在线段上，根据等体积计算；先得出点在线段上，再结合对称性将问题转化为求的最小值；C选项中设，根据求出即可确定点的轨迹；D选项中以为原点建系，根据坐标求出长度，结合一元二次函数求取值范围. 【详解】对于A，当时，， 取的靠近的三等分点的靠近的三等分点， 由平面向量线性运算法则可知，点在线段上， 又，所以，即A错误； 对于B，当时，由，利用共线定理可得，三点共线，即点在线段上， 由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等， 所以，等号成立时三点共线，故B正确； 对于C，由且可知，点在四边形内， 因为平面， 所以平面， 设，又平面，所以， 因为直线与所成角为，所以， 则点的轨迹是以为圆心，半径为，且在四边形内的半圆弧， 所以点的轨迹长为，故C正确； 对于D，由，，得， 以为原点，为轴，建立空间直角坐标系． 则，则， 则， 则，， 所以， ， ， 则， 因为，所以， 故，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设空间向量，，若，则的值为_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】由向量的坐标运算求得，然后通过向量垂直数量积为零建立方程，解得的值. 【详解】，， 所以， ∵， ∴，即，∴. 故答案为：8. 13. 已知圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心和半径，再根据两圆位置关系与公切线条数的关系，列出关于的不等式，进而求出的范围. 【详解】圆可化为， 所以圆的圆心坐标为，半径. 圆的圆心坐标为，半径， 两圆的圆心距， 因为两圆有且仅有两条公切线，所以两圆的位置关系是相交， 所以， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 设数列的前n项和为，，且对任意的都有．若存在，使得，则实数等于_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】由，可求出，通过递推关系还得到，从而可知奇数项、偶数项分别构成等差数列，若存在，使得，则，所以，对的奇偶分类讨论，列方程组可求得的值. 【详解】依题意，，对任意的都有， 则，所以， 两式相减得， 可知数列的奇数项是首项为，公差为2的等差数列； 偶数项是首项为，公差为2的等差数列． 若存在，使得， 则，所以 当为奇数时，为偶数，由得： ， 解得. 当为偶数时，为奇数，由得： ， 解得． 综上所述，的值为或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共77分． 15. 设数列的前项和为，若，且． （1）求证：是常数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） 当时，有 两式相减得：，即， 所以 当时，由 即，得 因为，所以 故， 当时，， 所以， 结合时，可知数列是从第1项起，所有项均等于首项2的常数列， 故是常数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系代入条件化简可证； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，．故， 于是 16. 在平面直角坐标系中，圆（）被直线截得的弦长为． （1）求实数的值； （2）直线上有一点，过点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长公式，结合点到直线距离公式进行求解即可； （2）根据圆的切线长定理，结合三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 化成标准式得圆， 其圆心为，半径． 点到直线的距离为， 圆被直线截得的弦长为， 所以， 化简得 解得. 【小问2详解】 因为与相切于点，所以. 由（1）知圆的半径，则， 则， 故． 所以． 又圆心， 设点的坐标为，则， 解得或，所以点的坐标为或． 17. 在中，角所对边分别为，已知，且． （1）求； （2）若在边上，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理等式后由余弦定理求得，即可求得； （2）方法一：由（1）得，由得，通过诱导公式及和差角公式求得，在和中由正弦定理建立等式，即可求得； 方法二：作于于，设，由（1）中结论及条件求得线段，由求得，即可求得. 【小问1详解】 由， ， 化简后：， 由余弦定理：， 又. 【小问2详解】 方法一：由（1）可知， 又， 不妨设， 中，由正弦定理， 中，由正弦定理， 两式相除，， 展开化简得， 即， ． 综上，则. 方法二：如图，作于于， 设， 由，， 又，， ， 又，， . 18. 如图，在三棱锥中，，平面平面． （1）若，证明：平面； （2）若，且直线与平面所成角为，求． 【答案】（1） 由，平面， 则平面，平面，则， 取中点，连接，，则， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 由，平面，则平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理得，取中点，连接，结合面面、线面垂直的性质定理得，最后应用线面垂直的判定证结论； （2）法一：构建合适的空间直角坐标系，设，并标注相关点坐标，应用向量法求线面角，结合已知列方程求参数，即可得；法二：应用几何法，过作于，过作于，连接，证得，记，利用等体积法求得，记，结合射影定理求参数，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：以中点为原点，方向为轴和轴，建立如图所示坐标系． 设，则，其中， 故， 记平面的法向量为，则，即， 令，所以， 因为直线与平面所成角为，则， 化简得，又，解得， 此时，又，故； 法二：过作于，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 而，平面，则平面， 由平面，所以， 记，利用等体积法， 则，则， 记，则，又， 利用直角三角形射影定理，则，解得， 则，故. 19. 已知双曲线左右焦点分别为，且，在上，为坐标原点． （1）求的方程； （2）设直线与右支交于两点，且直线倾斜角互补，记中点为． （i）判断直线斜率是否为定值，请说明理由； （ii）若不在上，记，，求的最大值． 【答案】（1） （2） （i）结论：直线斜率为定值，理由如下 讨论：若直线斜率不存在，记， 则，记直线斜率分别为， ，不符合题意，舍去． 故直线斜率存在，设， 代入，整理得， ，则， 记直线斜率分别为， 由 ， 化简得，（不符合题意舍去） 此时，．设直线斜率为，， 故直线斜率为定值． （ii）． 【解析】 【分析】（1）结合已知条件列出关于的方程组求解可得双曲线方程； （i）根据直线斜率分类讨论，证明直线的斜率为定值；（ii）根据已知条件求得距离，结合不等式得到最大值； 【小问1详解】 方法①：由题意，则，解得， 故双曲线方程为． 方法②：由题意，则， 利用定义：， ，故双曲线方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）方法①：由（i）可知，， 直线，记到的距离为， ，又， 同理， 令 （当取等号） （当且仅当取等号） 故最大值为． 方法②：如图，中，利用正弦定理 记分别到直线的距离为， 利用双曲线第二定义，， 由（为倾斜角）， ． （当且仅当时取等号） 故最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年上学期高二期末考试试卷 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四面体中，．设，则（ ） A. B. C. D. 3. 一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线表示一条直线 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示双曲线 D. 存在实数，使得曲线为抛物线 5. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：一座七层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．则该塔中间层（即第四层）悬挂灯的盏数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的最小值为，则双曲线离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图所示，四边形为正方形，将绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 记椭圆的右焦点为，右顶点为，直线过且与椭圆交于两点，为坐标平面上一点，若的重心为原点，则直线斜率的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等差数列的公差为，前项和为，已知，．以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为．直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，其中位于第一象限．以下说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 存在实数，使为直角 D. 若轴，则 11. 如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，三棱锥的体积为 B. 当时，的最小值为 C. 若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D. 当时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设空间向量，，若，则的值为_____________． 13. 已知圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围是_____________． 14. 设数列的前n项和为，，且对任意的都有．若存在，使得，则实数等于_____________． 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共77分． 15. 设数列的前项和为，若，且． （1）求证：是常数列； （2）设，求数列的前项和． 16. 在平面直角坐标系中，圆（）被直线截得的弦长为． （1）求实数的值； （2）直线上有一点，过点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积为，求点的坐标． 17. 在中，角所对边分别为，已知，且． （1）求； （2）若在边上，且，求． 18. 如图，在三棱锥中，，平面平面． （1）若，证明：平面； （2）若，且直线与平面所成角为，求． 19. 已知双曲线左右焦点分别为，且，在上，为坐标原点． （1）求的方程； （2）设直线与右支交于两点，且直线倾斜角互补，记中点为． （i）判断直线斜率是否为定值，请说明理由； （ii）若不在上，记，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $