寒假预习：因数和倍数的认识（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

寒假预习讲义：因数和倍数的认识 知识精讲+例题讲解+强化训练 知识精讲 一、因数和倍数的意义 1、因数和倍数的概念 （1）定义：在整数除法中，如果 （ 均为不为0的自然数），那么 和 就是 的因数， 就是 和 的倍数。 （2）举例： ，所以2和6是12的因数，12是2和6的倍数。 2、因数和倍数的关系 （1）相互依存：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。必须说“谁是谁的因数”、“谁是谁的倍数”。 （2）范围：为了方便，在研究因数和倍数时，所说的数一般指不包括0的自然数。 3、找一个数的因数的方法 （1）列举法：从1开始，一对一对地找，看哪两个数相乘等于这个数。 （2）除法法：用这个数依次除以1, 2, 3...，看商是否为整数。 4、找一个数的倍数的方法 （1）列举法：用这个数依次乘1, 2, 3...，所得的积就是它的倍数。 二、一个数的因数和倍数的特征 1、因数的特征 （1）个数：一个数的因数的个数是有限的。 （2）范围：最小的因数是1，最大的因数是它本身。 2、倍数的特征 （1）个数：一个数的倍数的个数是无限的。 （2）范围：最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 三、因数和倍数的应用 1、用集合表示因数和倍数 （1）因数集合：用大括号把一个数的所有因数括起来。 （2）倍数集合：用大括号把一个数的几个倍数括起来（通常写前几个）。 2、解决实际问题 （1）拼长方形：用若干个小正方形拼成一个长方形，长和宽就是小正方形个数的因数。 （2）分组问题：把一定数量的人或物平均分组，每组的人数或组数就是总数的因数。 例题讲解 【典型例题1】 判断：因为 ，所以4和0.5是2的因数，2是4和0.5的倍数。这种说法对吗？为什么？ 【解析】 （1）分析：根据因数和倍数的定义，必须是在整数除法（或乘法）中，且不包括小数。0.5是小数，不是自然数。 （2）结论：这种说法是错误的。因为因数和倍数只在非0自然数范围内研究。 【跟踪练习】 （1）判断：因为 ，所以18是倍数，3和6是因数。（ ） （2）下面各组数中，有因数和倍数关系的是（ ）。 A. 和 B. 和 C. 和 【典型例题2】 找出36的所有因数。 【解析】 （1）方法一（乘法）：看哪两个数相乘得36。 （2）列举：36的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36。 （3）方法二（除法）：用36依次除以1, 2, 3...，直到重复。 ， ， ， ， （重复停止）。 【跟踪练习】 （1）30的因数有哪些？ （2）一个数既是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？ 【典型例题3】 写出50以内8的全部倍数。 【解析】 （1）方法：用8依次乘1, 2, 3...，直到积大于50为止。 （超过50，停止） （2）答案：50以内8的倍数有：8, 16, 24, 32, 40, 48。 【跟踪练习】 （1）写出100以内9的全部倍数。 （2）一个数是6的倍数，这个数一定也是几的倍数？ 强化训练 一、填空题 1．请写出下面各数的因数或倍数。 21的因数： 　 　 45的因数： 　 　 12的倍数(50以内)： 　 　 15的倍数(50以内)： 　 　 2．720÷8=90，所以　 　和　 　是　 　的因数。 3．在81和9这组数中，　 　是　 　的因数，　 　是　 　的倍数。 4．在算式4×5＝20中，20是　 　和　 　的倍数；4和5是　 　的因数。 5．如果m的最大因数是17，n的最小倍数是3，那么　 　；的所有因数有　 　个。 二、判断题 6．6的倍数一定是2和3的倍数。（　　） 7．，所以42是倍数，6，7 是因数。(　　) 8．一个数的倍数总比这个数的因数大。（　　） 9．因为7.5÷2.5=3， 所以 7.5是2.5的倍数。(　　) 10．一个数的最大因数是a，最小倍数是b，则a=b。 (　　) 三、选择题 11．一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（　　）。 A．6 B．12 C．24 D．144 12．下面各数中，(　　)是7 的倍数。 A．20 B．32 C．49 D．65 13．已知a×2=b(a、b均是不为0的自然数)，下面说法正确的是(　　)。 A．a是b的倍数 B．2是a的因数 C．2是b的因数 D．b是2的因数 14．已知一个自然数a，它的所有因数有1，3，7，21，那么a是（　　）。 A．7 B．14 C．21 D．42 15．6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是： 1+2+3=6。像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，(　　)是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 四、解决问题 16．阳光幼儿园新买进78个玩具，如果平均分给4个小班，至少再买几个才能正好分完？ 17．某个电影院电影票的价格比7的倍数多5。如果电影票的价格是在40和50之间，且是质数，那么电影票的价格可能是多少元？ 18．月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。赵师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 答案解析部分 【跟踪练习1】答案 （1）×。解析：必须说清楚“谁是谁的因数”，不能单独说“18是倍数”。 （2）B。解析：只有B选项都是非0自然数，且9是3的倍数。 【跟踪练习2】答案 （1）1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30。 （2）5, 10, 20, 40。解析：40的因数有1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40；其中是5的倍数的有5, 10, 20, 40。 【跟踪练习3】答案 （1）9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99。 （2）2和3。解析：因为6是2和3的倍数，所以6的倍数一定也是2和3的倍数。 【强化训练】 1．1，3，7，21；1，3，5，9，15，45；12，24，36，48；15，30，45 2．8；90；720 3．9；81；81；9 4．4；5；20 5．20；4 6．正确 7．错误 8．错误 9．错误 10．正确 11．B 12．C 13．C 14．C 15．B 16．解：78÷4=19（个）......2（个）， 4-2=2（个）； 答：至少再买2个才能正好分完。 17．解：6×7＋5 =42＋5 =47（元） 答：电影票的价格可能是47元。 18．解：48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，其中大于3而小于9的有4，6，8； 48÷4=12（个） 48÷6=8（个） 48÷8=6（个） 答：有3种装法，每种装法各需要12个，8个和6个盒子。 1 学科网（北京）股份有限公司 $