安徽省合肥市蜀山区2025--2026学年九年级上学期期末模拟预测数学试卷

安徽省合肥市蜀山区2025--2026学年九上数学期末模拟预测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中可以看作是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．若点在反比例函数的图象上，则下列各点在该图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别交于点P，M．对于下列结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 4．如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大2倍 B．保持不变 C．缩小到原来的 D．以上都有可能 5．若点都在抛物线上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C． D．5 7．如图，在△ABC中，，，的垂直平分线分别交，于点，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 9．如图，在△ABC中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线过点、，已知，点在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为．则下列结论正确的是（    ） A． B．若，当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，则t的取值范围为 C．关于的方程有实数根 D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．已知，且，则的值为 ． 12．如图，△ABC是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 13．如图，在平行四边形中，点E为的中点，点F为延长线上一点，交于点G，若，则 ． 14．如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点D在边上，点E在边上，反比例函数的图象经过点D、E及的中点． （1）若 ； （2）若的面积为6，则 ． 三.（本题共16分） 15．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC的边上，且AD＝8，DB＝4，AE＝6，求AC的长． 16．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 四.（本题共16分） 17．已知反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的解析式． 18．某学习小组外出研学时发现在山坡上有一棵笔直的树木，该小组结合锐角三角函数相关知识，制定测量方案，获得相关数据，并利用数据测算出这棵树的高度，方案如下： 请你根据上表中测量数据计算这棵树的高度（精确到）．参考数据：， 课题 测算树木的高度 工具 卷尺，测角仪等 示意图 说明 先在点C处测得树顶A的仰角，再从点C处前进至坡底D处，测得山坡与平地之间的夹角，最后测得坡底D与树底B之间的距离 测量数据 点C处测得树顶A的仰角为，，，m 五.（本题共20分） 19．某企业拟向县青少年体育集训队捐赠一批训练用球，篮球、足球共计80个，用于保障日常训练损耗．市场上篮球的价格为100元/个，足球的价格为80元/个，设该企业计划捐赠x个篮球，总捐赠支出为y元． (1)求该企业总捐赠支出y与捐赠的篮球个数x的函数表达式． (2)若捐赠的篮球个数不少于足球的个数，求该企业总捐赠支出的最小值． 20．如图，在△ABC中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 六.（本题共12分） 21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标及的面积． 七.（本题共12分） 22．已知菱形，是边上一点，连接交于点． (1)如图，当是中点时，求证：； (2)如图，连接，若，，当为直角三角形时，求的长； (3)如图，当时，若，则_____．（请直接写出） 八.（本题共14分） 23．如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； (3)已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《安徽省合肥市蜀山区2025--2026学年上学期九年级期末模拟预测数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B B B D A B D 1．B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是利用“反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于比例系数”求解． 先根据已知点求出反比例函数的值，再验证选项中点的横、纵坐标乘积是否等于． 【详解】解：反比例函数的解析式为，图象上的点满足， 已知点在该图象上，则． 依次验证各选项： A、，不在图象上； B、，不在图象上； C、，不在图象上； D、，在图象上． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案． ①由等腰和等腰三边关系可证；②由题可得P、E、D、A四点共圆，进而得到，即可判定；③通过证明，即可得到． 【详解】解：由已知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以①正确； ∵， ∴， ∵， ∴P、E、D、A四点共圆， ∴， ， 所以②正确； ∵， ∴， ∴， 所以③正确． 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可． 【详解】解：在中，不妨设， ∴， ∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后， ∴锐角A的正切值保持不变， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 将各点横坐标代入解析式求出相应的纵坐标进行比较即可．． 【详解】解：由题意： ， ， ， ∴， 故． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得到，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，等边对等角，求出，中垂线的性质，得到，进而得到，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，线段的和差关系求出的长． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 8．A 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，根据菱形的性质和已知条件推出是等边三角形，得到，证明，得，得到点在射线上，当时，有最小值，据此可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在射线上运动， ∴由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时， ∵菱形的对角线交于点O， ∴， ∴，即的最小值为， 故选：A。 9．B 【分析】本题考查了解直角三角形，过点A作于点，由可求出，由勾股定理求出，由可求出，在中由勾股定理得． 【详解】解：过点A作于点，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，，由二次函数的顶点的坐标为得出，将代入二次函数的解析式可得，即可判断A错误；求出，结合点在点与点之间（包含端点），得出，即可判断D正确；由二次函数的顶点的坐标为，二次函数的图象开口向上，得出抛物线与直线没有交点，即可判断C错误；由题意可得，当时，函数取得最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，由此即可判断B错误；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵二次函数的顶点的坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴，即，故A错误； 在中，当时，，即， ∵点在点与点之间（包含端点）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； ∵二次函数的顶点的坐标为，二次函数的图象开口向上， ∴抛物线与直线没有交点，则关于的方程没有实数根，故C错误； 由题意可得，当时，函数取得最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵若，当时函数取得最大值，当时函数取得最小值， ∴，且， 解得：，故B错误； 故选：D． 11．/0.4 【分析】本题考查成比例的数的计算，掌握好比和比例的性质是解题关键． 由比例关系设参数，代入求值即可． 【详解】解：设 ，则 ，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴劣弧， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，由平行四边形的性质可推出，则可得到；证明四边形是平行四边形，可推出；证明，可推出，则． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 6 8 【分析】（1）求出C、A、M的坐标，再求出k，然后求出即可； （2）设，表示出M的坐标，用a、c表示k，求出D的横坐标，从而可求出；连接，根据矩形的性质可知三点共线，则，据此即可计算； 本题考查反比例函数图象的性质、矩形的性质、中点坐标公式的应用． 【详解】解：（1）由题可知，，则， 将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴； （2）设，则， 连接， 根据矩形的性质可知三点共线， 将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6；8． 15．AC的长为9 【分析】由证明可得：再代入数据求值即可. 【详解】解： AD＝8，DB＝4，AE＝6， 经检验：符合题意； 所以AC的长为9． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键. 16．(1)见解析 (2))，) (3) 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）根据坐标系可得)，)； （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式．把代入，求出k的值，即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 该反比例函数的解析式为． 18． 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．过点作交的延长线于点，由，可得，再由，求得，再求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 在中，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 在中，， ， ∴． ． 19．(1)（x为0到80之间的整数） (2)当时，y有最小值，最小值为7200元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．一元一次不等式的应用. （1）根据题意列出y关于x的一元一次函数即可． （2）先根据题意求出x的取值范围，再根据一次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设该企业计划捐赠x个篮球，则捐赠的足球个数为， 根据题意可得（x为0到80之间的整数）． （2）解：根据题意可得， 解得． ∵中的， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值， 最小值为元． 20．(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查与圆的性质概念，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，得，即有，根据三线合一得，从而得出是的中位线，得，即可推出，根据切线的判定定理得证； （2）由题意证明，求出，从而得出结论． 【详解】（1）证明：连接、，如图： 是的直径， ，， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：若，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 21．(1) (2)， 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、等边三角形的性质、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算；解题的关键是利用等边三角形的性质求出点的坐标，进而确定反比例函数表达式，再通过求直线解析式与反比例函数的交点得到点的坐标． （1）由及为等边三角形，可得点的坐标为；将点代入反比例函数，求出，从而得到反比例函数表达式． （2）先求出直线的解析式，再联立反比例函数解析式求出点的坐标；最后以为底，点的纵坐标为高，计算的面积． 【详解】（1）解：，为等边三角形， ， 过点B作，垂足为H， 则，， ． 点在上， ，得． 反比例函数的表达式为． （2）解：点与点关于原点对称 ． 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得， 直线的解析式为． 联立得， 解得或． 将代入得，， ． 的面积． 答：点的坐标为，的面积为． 22．(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）连接交于，证明，再分三种情况：当时；当时；当点在线段上时；分别求解即可； （3）证明四边形为正方形，得出为等腰直角三角形，从而可得在中，，证明，得出，结合，得出，从而可得，即可得解． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ∴， ∴， ； （2）解：连接交于，如图， 四边形是菱形，， 、互相平分， ，， 在上， ， 在中，，， ， ， ∵， ，， ∴， 当时，在中，， ∴， 在中，，； 当时，在中，，点是的中点， ， ，， ∵， ∴，即， ； 点在边上， 点在线段上，故， 故这种情况不存在， 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； （3）解：∵菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23．(1) (2)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）先求出关于轴对称的抛物线，再设平移后的抛物线表达式为，代点运算求解即可； （3）设秒后，点，，分析当恰好在抛物线上时和当恰好在抛物线上时的取值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得 ，， ∴，， ∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段， ∴平移后的 ，， ∴线段的三等分点的坐标为，， ∵，顶点坐标为，开口向下， ∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴， ∵与的交点为：，， ∴的对称轴为：， ∴则设平移后的抛物线表达式为， 将代入，得， ∴， ∵，， ∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； （3）秒后，点，， 抛物线的表达式为， 令时，得，则与抛物线所截线段长小于6， 如图1，当恰好在抛物线上时， 则，化简得， 解得，（舍去）， 如图2，当恰好在抛物线上时， 则， 化简得，解得 ，（舍去）， ∴的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $