精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州2025-2026学年度高二第一学期期末检测数学试题

2025-2026学年度第一学期高二期末检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 双曲线的虚轴长为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 3. 若直线与圆相离，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若数列的前项和，则（ ） A. 84 B. 85 C. 86 D. 87 5. 若抛物线的焦点为椭圆的一个顶点，则上一点到的焦点的距离为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 若，直线与直线垂直，则数列的前31项和（ ） A. 425 B. 435 C. 450 D. 465 7. 在四面体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中，，，若，，则的取值范围为（ ） A. B. （-1,1） C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列，分别是等差、等比数列，则必有（ ） A. B. C. D. 10. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 向量在向量上的投影向量的坐标为 11. 记到两定点、的距离之积为的动点的轨迹为，则（ ） A. 经过点 B. 直线与恰有个公共点 C. 上所有点的横坐标的绝对值均不大于 D. 当点在椭圆上，且时，点在上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到双曲线的渐近线的距离为__________. 13. 小张暑假期间到一家商场勤工俭学，该商场第1天支付40元，从第2天起，该商场每天支付的金额都是前一天的1.2倍，小张工作了10天，则他领取的总报酬为__________元．（参考数据：取） 14. 已知椭圆的右焦点为，点在的左半部分上，点在的右半部分上，且平行于轴，若的离心率，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心为，半径为，抛物线的焦点为. （1）求的值与的准线方程； （2）若直线与交于，两点，求. 16. 设等比数列的公比，，且 （1）求的值； （2）若，，成等差数列，求的值； （3）设数列的前项和为，证明：． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）证明：平面与平面的夹角大于. 18. 在数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若数列满足，为数列的前项和，证明：. 19. 已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. （1）求C的方程. （2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. （3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二期末检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式计算可得. 【详解】因为在等差数列中，，， 所以. 故选：B 2. 双曲线的虚轴长为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出，即可求出虚轴长. 【详解】双曲线，则， 所以双曲线的虚轴长为. 故选：C 3. 若直线与圆相离，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据直线与圆的位置关系性质即可求解． 【详解】圆的半径为，圆心为， 圆心到直线的距离为， 由题意可知有， 解得或，即． 故选：D． 4. 若数列的前项和，则（ ） A. 84 B. 85 C. 86 D. 87 【答案】B 【解析】 【分析】根据、分别求出、，即可得解. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故选：B 5. 若抛物线的焦点为椭圆的一个顶点，则上一点到的焦点的距离为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标，椭圆在长轴上的顶点，即可求出，从而求出抛物线方程及准线方程，最后由焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线的焦点为， 又椭圆在长轴上的顶点为和， 所以，解得， 所以抛物线，则抛物线的准线方程为， 所以上一点到的焦点的距离为. 故选：A 6. 若，直线与直线垂直，则数列的前31项和（ ） A. 425 B. 435 C. 450 D. 465 【答案】D 【解析】 【分析】根据一般式方程两直线垂直系数的关系得到，从而求出的通项，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即， 所以， 所以. 故选：D 7. 在四面体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可． 【详解】如图所示， 因为是CD的中点，所以，也即， 因此． 故选：B． 8. 在数列中，，，若，，则的取值范围为（ ） A. B. （-1,1） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，依题意可得对恒成立，再分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得. 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列，分别是等差、等比数列，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质判断A，根据等差数列通项公式判断B，根据等比数列下标和性质判断C、D. 【详解】对于A：因为， 所以由等差数列的性质可得，故 A 正确； 对于B：设等差数列的公差为， 因为，， 当时，故B错误； 对于C：因为， 所以由等比数列的性质可得不一定等于，故C错误； 对于D：因为， 所以由等比数列的性质可得，故D正确. 故选：AD 10. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 向量在向量上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示判断A，利用空间向量法求点到直线的距离判断B，求出平面的法向量，利用空间向量法求点到平面的距离判断C，利用投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，，所以，故A正确； 对于B：因为 ，，所以 ， 又，则， ，， 所以点到直线的距离为 ，故B错误； 对于C：因为，，， 设平面的法向量为， 则，取，则点到平面的距离 ，故C正确； 对于D：因为，，所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 11. 记到两定点、的距离之积为的动点的轨迹为，则（ ） A. 经过点 B. 直线与恰有个公共点 C. 上所有点的横坐标的绝对值均不大于 D. 当点在椭圆上，且时，点在上 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用曲线的定义可判断A选项；求出曲线的方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出方程组的公共解，可判断B选项；由可得出关于的不等式，解出的取值范围可判断C选项；分析可知、为椭圆的焦点，利用椭圆的定义以及勾股定理、曲线的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项， ， 故点在曲线上，A正确； 对于B选项，设点在曲线上，则， 即， 即，所以. 由，得，得，则， 则直线与只有个公共点，B错误； 对于C选项，因为， 所以，可得，解得，则，C正确； 对于D选项，在椭圆中，，，则， 所以、为椭圆的焦点，所以， 因为，所以， 则，得， 所以点在上，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到双曲线的渐近线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 则点到（）的距离, 即点到双曲线的渐近线的距离为. 故答案为： 13. 小张暑假期间到一家商场勤工俭学，该商场第1天支付40元，从第2天起，该商场每天支付的金额都是前一天的1.2倍，小张工作了10天，则他领取的总报酬为__________元．（参考数据：取） 【答案】1038 【解析】 【分析】直接根据等比数列求和公式求解即可． 【详解】该问题是一个等比数列求和的问题，第1天的金额元，公比， 工作天数，则10天总报酬． 故答案为：1038． 14. 已知椭圆的右焦点为，点在的左半部分上，点在的右半部分上，且平行于轴，若的离心率，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，设，即可表示、，再在中利用余弦定理表示出，从而得到，即可得解. 【详解】设的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为. 依题意可得四边形为等腰梯形，则， 设，则，，， 由椭圆的定义得， 在中， ， 所以整理得，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心为，半径为，抛物线的焦点为. （1）求的值与的准线方程； （2）若直线与交于，两点，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而求出抛物线方程，即可得到抛物线的准线方程； （2）联立直线与抛物线方程消元得到，求出方程的解，再由弦长公式计算可得. 【小问1详解】 由，得， 所以圆心为，半径，又抛物线的焦点为， 所以，解得，所以抛物线， 所以的准线方程为. 【小问2详解】 由，得，解得， 所以. 16. 设等比数列的公比，，且 （1）求的值； （2）若，，成等差数列，求的值； （3）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 因为，所以，， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 【解析】 【分析】(1)由 计算公比； (2)根据等差中项性质计算； (3)由是以为首项，为公比的等比数列计算，再计算出的表达式，通过比较证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以． 又，所以． 【小问2详解】 因为，，成等差数列，所以， 所以． 因为，，所以，解得． 【小问3详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）证明：平面与平面的夹角大于. 【答案】（1） 因为，平面平面，平面平面， 平面， 所以平面，又平面，所以， 因为是棱的中点，侧面是正三角形， 所以， 又，平面，所以平面. （2） （3） 因为，由（1）知平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面的夹角为，则， 因为，，所以， 即平面与平面的夹角大于. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到底面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得； （3）由（1）可得平面的一个法向量为，利用空间向量法求出平面与平面的夹角的余弦值，再由余弦函数的性质即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以底面， 以为坐标原点，过点作，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得； 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 略 18. 在数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若数列满足，为数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2） （3）因为， 当时，. 所以当时，， 所以当时，， 当时，，满足上式，所以. 因为，所以. 所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由题可知，数列是首项为，公差为的等差数列.由此求得其通项公式，进而求得的通项公式； （2）由（1）求得的通项公式，分为偶数和为奇数两种情况进行分析 ，求得数列的前项和； （3）根据和与项的关系求得的通项公式，从而求得数列的通项公式，求得数列的通项公式，根据裂项相消求和法求得，根据不等式的性质，即可证明. 【小问1详解】 由，得. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，所以. 即的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知， 当为偶数时，， 所以……①， ……②， ①②，得， 所以； 当为奇数时，， 所以， 令，则， 两式作差，得， 所以， 所以. 综上，. 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. （1）求C的方程. （2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. （3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是，定值是. 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式可得，再利用两点间距离公式即可求解C的方程； （2）利用点差法来求中点弦斜率，即可得中点弦直线方程； （3）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来证明斜率比值为定值即可. 【小问1详解】 设，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即， 因为，所以， 又由，所以可得，则， 即， 所以C的方程为； 【小问2详解】 设，，则，两式相减得. 因为P，Q关于点对称，所以，，则， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， 设，，直线的方程为. 由，得到，则且， 由韦达定理得，， 则 ， 即为定值，定值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $