专题11二次根式寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题11二次根式寒假预习讲义（1) 预习目标 吃透核心概念，秒判二次根式，精准避开“有意义条件”的坑： ·玩转5大性质，解锁根式化简“万能密码”，做到提笔就会； 拿下乘除运算，轻松搞定分母有理化，运算又快又准： ·练就简捷思维，能解基础综合题，新学期课堂紧跟老师节奏，做题不卡壳； ·梳理知识框架，搭建根式学习基础，为后续加减运算和综合应用铺好路。 预习内容概览 1.二次根式的概念与识别 2.二次根式有意义的条件 预习必备 3.二次根式的性质 4.二次根式的化简 知识点梳理 5.二次根式的乘除运算 1.二次根式的识别 2.二次根式的求值 3.二次根式中参数的求解 4.二次根式有意义的条件 常考题型 5.利用二次根式的性质化简 6.二次根式的乘法 精讲精炼 7.二次根式的除法 8.二次根式的乘除混合运算 9.分母有理化 10.最简二次根式的判断 强化巩固 (解答题6题) 3 知识点梳理 【知识点01.二次根式的概念与识别】 L.定义 形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式，其中“√”是二次根号，a是被开方 数（根指数为2，通常省略不写）。 试卷第1页，共3页 2. 识别要点 3.(1)形式要求：必须含有二次根号“”，根指数为2（若根指数为3，如 ,则是三次根式，不是二次根式)。 2)被开方数要求：被开方数a可以是数或代数式，但必须满足a≥0（若a<0,则 V在实数范围内无意义)。 【知识点02.二次根式有意义的条件】 1. 核心规则 二次根式√a有意义的充要条件是：被开方数非负，即a≥0。 2.拓展场景（与其他代数式结合） 若式子含分式、多个二次根式，需同时满足所有约束： ()分式的分母不为0： (2)每个二次根式的被开方数非负。 【知识点03.二次根式性质】 1.非负性 对于二次根式Va(a≥0)，其结果必然是非负数，即V≥0。 若几个非负数（如二次根式、绝对值、平方）的和为0，则每一项都为0。 2.平方还原性质 对非负数a,先开二次根号再平方，结果等于原数：(Wa)2=a(a≥0) 3.开方取绝对值性质 对任意实数a,先平方再开二次根号，结果等于该数的绝对值： a2=|a 再根据a的正负去绝对值： 当a≥0时，Va2=a 当a<0时，Va2=-a 4.积的算术平方根性质 试卷第1页，共3页 两个非负数的积的算术平方根，等于它们各自算术平方根的积：√ab√aVb(a ≥0，b≥0)常用于拆分被开方数，分离出能开得尽方的因数来化简。 5.商的算术平方根性质 两个非负数的商的算术平方根，等于它们各自算术平方根的商：层= (a☑ 0,b>0) 用于处理被开方数中的分母，是分母有理化的基础之一。 【知识点04.二次根式的化简】 1.目标 化为最简二次根式（满足两个条件）： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（质因数指数<2，因式次数<2）。 2.步骤与方法 ()去分母：若被开方数含分母，用“商的算术平方根”性质或分母有理化处理： (2)开方化简：分解被开方数，把能开得尽方的因数/因式开出来； 【知识点05.二次根式的乘除运算】 1. 乘法法则 VaVb=Vab(a≥0，b≥0) 推广：多个二次根式相乘，Va·VbVC√abc(a,b,≥0) 2.除法法则 a =悟 (a≥0，b>0) 3.乘除混合运算 (①)运算顺序：从左到右依次计算，或统一化为乘法后结合化简： (2)技巧：利用交换律、结合律，将能开方的因数结合简化。 常考题型精讲精练 【题型1.二次根式的识别】 【典例】下列代数式中，不是二次根式的是() 试卷第1页，共3页 A.5 B.3 C. 【跟踪专练1】小红说：“因为√9=3，所以√不是二次根式.”小红的说法是」 的 （填“对”或“错”)， 【跟踪专练2】在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式 信号代码，其单项式依次为：2a,4√2a2,6√5a3,84a,105a3,则第n个单项式 是() A.2nvna' B.2n√m+la C.2(n+1)na D.2(n-1)na" 【题型2.二次根式的求值】 【典例】当x=1时，二次根式V5-x2的值是一 【跟踪专练1】下列各式中是二次根式的是() A.√5 B.8 C.x D.7 【跟踪专练2】观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对(m,n),例如数2在第2行第1列， 记它的位置为有序数对2，，按照这种方式，位置为有序数对4,5)的数是 数 √74的位置为有序数对」 第1列第2列第3列第4列第5列· 第1行1 2 3 √1o 5 √26 第2行2 √⑧ √24 第3行 √6 万 2 23 … 第4行 4 5 4 3 22 … 第5行 … 【题型3.二次根式中参数的求解】 【典例】下列式子中，是二次根式的是() A.√6 B.5 C.7 D.a 【跟踪专练1】二次根式√24a是一个整数，那么正整数a的最小值是 【跟踪专练2】己知√75m是整数，则满足条件的最小正整数m=(). A.5 B.0 C.3 D.75 试卷第1页，共3页 【题型4.二次根式有意义的条件】 【典例】使√x-5有意义的x的取值范围是， 1 【跟踪专练1】在函数y= 中，自变量x的取值范围是() x-2 A.x>2 B.x≠2 C.x≥2 D.x≤2 【跟踪专练2】若式子x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围 Vx-1 是 【题型5.利用二次根式的性质化简】 【典例】计算V(-2)2的结果是() A.±2 B.-2 C.2 D.4 【跟踪专练1】已知x+√(x-2025)2=2025,则x的取值范围是 【跟踪专练2】下列运算中，计算错误的有() 111,19 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型6.二次根式的乘法】 【典例】计算√x√万的结果为 【跟踪专练1】下列各式变形正确的是() A.V-4)x-9)=√4x√9 B.V9+4=√5+V4 C D.√4x9=V4xV9 【跟踪专练2】计算：（√3+2）224（√5-2）2025= 【跟疾专练有别路式：0但2，②月冷：@V6A6,如果b>0▣ Vb Va a+b<0,那么等式成立的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【题型7.二次根式的除法】 试卷第1页，共3页 3 【典例】计算： 的结果为—一 V20*5 【跟踪专练1】√2x=√14的解在() A.1到2之间 B.2到3之间 C.3到4之间 D.4到5之间 【跟踪专练2】若√5=a,√5=b,用含a,b的式子表示0.6= 【跟踪专练3】下列各式成立的是() 33 B. -7-7 A. 5=5 66 D. 【题型8.二次根式的乘除混合运算】 【典例】计算：35×万 跟踪专练】估计2V3×,的值应在(）》 A.1和2之间B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 【跟踪专练2】已知直角三角形两直角边长为√9-3和9+3，则面积为一· 【跟踪专练3】若一个三角形的三条边长分别是√2、√3、√17，则此三角形的面积是() A.3.5 B.3 C.2.5 D.2 【题型9.分母有理化】 【典例】√a+b的有理化因式是 【跟紧专练1】若a=5+1.6=,2,则a与b的关系是《) A.互为相反数B.互为倒数 C.相等 D.互为负倒数 1 【跟踪专练2】 1 1+22+5+++ 2015+√2016 【(跟踪专练3】设5的整数部分为a,小数部分为b,则2-a的值为() 6 A.3 B.5-1 C.2W3+1 D.5 2 2 【题型10.最简二次根式的判断】 试卷第1页，共3页 【典例】请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是 【跟踪专练1】在下列代数式中： 1 1V3 、27a、42、07x-yx+0、诉、 √2+y严，最简二次根式的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【跟踪专练2】将二次根式a, a+2 化为最简二次根式为() A.a-2 B.--a-2 C.√a-2 D.-a-2 强化巩固通关 1.下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简. (1)35; ⊙月， (3)√24： 9 2.我们知道式子互'5-5不是最简结果，我们可以这样进行化简，如： 1221 5+V5 5+5 22.2=2’5-5(5-55+5 21 这样的化简过程叫做分母有理化我们把√2叫做√2的有理化因式，√5+√3叫做√5-√3的 有理化因式，完成下列各题。 ()5的有理化因式是， 3-√2的有理化因式是 (2)请你尝试化简： 2 3-2V5 3.己知-4<x<1,化简：√x2+8r+16-2Vx2-2x+1. 4.计算： 03压G屑 @3得 试卷第1页，共3页 5.若√a-1+(2a+b-1)2=0求V4a+b2的值. 6.已知a、b、c满足a-2+Vb-c+2+b2-2b+1=0. 1)求a、b、c的值； (2)判断：以a、b、C为三角形的三边长能否构成三角形？若能，判断这个三角形的形状： 若不能，请说明理由 试卷第1页，共3页 专题11二次根式寒假预习讲义（1） · 吃透核心概念，秒判二次根式，精准避开 “有意义条件” 的坑； · 玩转 5 大性质，解锁根式化简 “万能密码”，做到提笔就会； · 拿下乘除运算，轻松搞定分母有理化，运算又快又准； · 练就简捷思维，能解基础综合题，新学期课堂紧跟老师节奏，做题不卡壳； · 梳理知识框架，搭建根式学习基础，为后续加减运算和综合应用铺好路。 预习必备 知识点梳理 1.二次根式的概念与识别 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的性质 4.二次根式的化简 5.二次根式的乘除运算 常考题型 精讲精炼 1.二次根式的识别 2.二次根式的求值 3.二次根式中参数的求解 4.二次根式有意义的条件 5.利用二次根式的性质化简 6.二次根式的乘法 7.二次根式的除法 8.二次根式的乘除混合运算 9.分母有理化 10.最简二次根式的判断 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.二次根式的概念与识别】 1. 定义 形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，其中 “​” 是二次根号，a 是被开方数（根指数为 2，通常省略不写）。 2. 识别要点 3. (1)形式要求：必须含有二次根号 “​”，根指数为 2（若根指数为 3，如​，则是三次根式，不是二次根式）。 (2)被开方数要求：被开方数a可以是数或代数式，但必须满足 a≥0（若a<0，则在实数范围内无意义）。 【知识点02.二次根式有意义的条件】 1. 核心规则 二次根式 有意义的充要条件是：被开方数非负，即 a≥0。 2. 拓展场景（与其他代数式结合） 若式子含分式、多个二次根式，需同时满足所有约束： (1)分式的分母不为 0； (2)每个二次根式的被开方数非负。 【知识点03.二次根式性质】 1.非负性 对于二次根式 (a≥0)，其结果必然是非负数，即 ≥0。 若几个非负数（如二次根式、绝对值、平方）的和为 0，则每一项都为 0。 2.平方还原性质 对非负数 a，先开二次根号再平方，结果等于原数：()2=a(a≥0) 3.开方取绝对值性质 对任意实数 a，先平方再开二次根号，结果等于该数的绝对值： ​=∣a∣ 再根据 a 的正负去绝对值： 当 a≥0 时，=a 当 a<0 时，=−a 4.积的算术平方根性质 两个非负数的积的算术平方根，等于它们各自算术平方根的积：=(a≥0,b≥0)常用于拆分被开方数，分离出能开得尽方的因数来化简。 5.商的算术平方根性质 两个非负数的商的算术平方根，等于它们各自算术平方根的商：(a≥0,b>0) 用于处理被开方数中的分母，是分母有理化的基础之一。 【知识点04.二次根式的化简】 1. 目标 化为最简二次根式（满足两个条件）： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（质因数指数 < 2，因式次数 < 2）。 2. 步骤与方法 (1)去分母：若被开方数含分母，用 “商的算术平方根” 性质或分母有理化处理； (2)开方化简：分解被开方数，把能开得尽方的因数 / 因式开出来； 【知识点05.二次根式的乘除运算】 1. 乘法法则  (a≥0,b≥0) 推广：多个二次根式相乘，= (a,b,c≥0)。 2. 除法法则  (a≥0,b>0) 3. 乘除混合运算 (1)运算顺序：从左到右依次计算，或统一化为乘法后结合化简； (2)技巧：利用交换律、结合律，将能开方的因数结合简化。 【题型1.二次根式的识别】 【典例】下列代数式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，二次根式是指形如的代数式，据此逐项判断即可求解． 【详解】解： A. 是二次根式，不合题意； B. 不是二次根式，符合题意； C. 是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，不合题意． 故选：B 【跟踪专练1】小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【跟踪专练2】在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 【题型2.二次根式的求值】 【典例】当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 【跟踪专练1】下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．    【答案】 【分析】根据题意，找出题目的规律，中含有4个数，中含有9个数，中含有16个数，……，中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，偶数列是从上至下开始，然后根据这个规律即可得出答案． 【详解】解：根据题意，如图：    ∴有序数对的数是； 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，奇数列是从下至上， ∵，， ∴是第9列的第8个数； ∴数位置为有序数对是． 故答案为：；． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题． 【题型3.二次根式中参数的求解】 【典例】下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式；     B．是二次根式；     C．的根指数是3，不是二次根式； D．当时，不是二次根式． 故选B． 【跟踪专练1】二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简后判断是个平方数，即可求解． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数的最小值是， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 【题型4.二次根式有意义的条件】 【典例】使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即． 故答案为：． 【跟踪专练1】在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查函数自变量的取值范围．根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】解：依题意得， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式有意义的条件、零指数幂有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是理解上述条件． 式子在实数范围内有意义，需同时满足分母不为零、零指数幂的底数不为零，以及二次根式的被开方数非负，由此即可解答． 【详解】解：为了使式子 在实数范围内有意义，需满足以下条件： ①零指数幂 有意义的条件是底数不为零，即， ∴． ②分母有意义的条件是被开方数，且分母不能为零， ，即 ． 综合以上，的取值范围是且． 故答案为：且． 【题型5.利用二次根式的性质化简】 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的性质，理解该知识点是解题的关键． 利用二次根式的性质：，进行计算即可． 【详解】解： ， ∴ 结果为. 故选：C． 【跟踪专练1】已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，二次根式的性质与化简，正确理解题意是解题的关键． 将方程中的平方根转化为绝对值形式，然后分情况讨论绝对值符号内的正负性，求解方程并确定取值范围． 【详解】解：由 = ，原方程化为 ． 当 时，，代入得 ，解得 ． 当 时，，代入得 ，即 ，恒成立． 综上所述，． 故答案为： ． 【跟踪专练2】下列运算中，计算错误的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决此题的关键．逐一分析各运算的正确性即可． 【详解】①： 将带分数化为假分数：，故．原式结果为，错误； ②： 算术平方根的非负性：．原式结果为，错误； ③： 在实数范围内无意义，无法计算，故错误； ④： ，故错误； 综上，错误个数为4， 故选：D． 【题型6.二次根式的乘法】 【典例】计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则，，直接计算即可． 【详解】解：，其中已是最简二次根式， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算性质，解题关键是明确二次根式乘法性质的适用条件（被开方数为非负数），以及区分“根式下的和”与“和的根式”的不同运算逻辑． 依据二次根式的运算性质逐一判断选项． 【详解】解：A、中，被开方数和均为负数，不满足二次根式乘法性质中“，”的条件，不能拆分为​，不符合题意； B、，而，，不符合题意； C、，而，，不符合题意； D、中，，，满足二次根式乘法性质，可拆分为，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 利用平方差公式，将原式转化为幂的乘积形式，结合指数运算法则简化计算． 【详解】解；原式 = = = = = ． 故答案为：． 【跟踪专练3】有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质化简，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键． 由 和可知 和均为负数，根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质逐一化简即可判断等式是否成立． 【详解】解：∵   ，， ∴，． 对于①：，成立，符合题意； 对于②：中 ，但和在实数范围内无定义，故不成立，不符合题意； 对于③：， ∵， ∴，成立，符合题意； ∴等式成立的是①③． 故选：B． 【题型7.二次根式的除法】 【典例】计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】的解在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法，估算无理数的大小，熟练掌握估算方法是解题的关键． 先解方程，然后通过比较平方数估计所求解的范围. 【详解】解：∵ ， ∴，即， ∵ ， ，且 ， ∴， 因此在到之间. 故选：B． 【跟踪专练2】若，，用含的式子表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键．根据二次根式的除法法则可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0. A、，成立，符合题意； B、，但右边无意义，不成立，不符合题意； C、和无意义，不成立，不符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：A. 【题型8.二次根式的乘除混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，按照乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【跟踪专练1】估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先根据二次根式的运算化简，再利用无理数的估算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴估计的值应在2和3之间， 故选：B． 【跟踪专练2】已知直角三角形两直角边长为和，则面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据三角形的面积进行计算即可； 【详解】解：面积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 【题型9.分母有理化】 【典例】的有理化因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式为． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题关键在于掌握运算法则．把的分子分母同乘，进一步化简与a比较得出结论即可． 【详解】解：， ∴a与b互为相反数. 故选：A． 【跟踪专练2】 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化； 先进行分母有理化，再计算二次根式的加减即可． 【详解】解：， 同理可得：，，…，， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分母有理化，无理数的估算： 求一个数的算术平方根在哪两个整数之间，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间．先估算出的范围，根据可得a，b的值，最后代入，利用分母有理化化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【题型10.最简二次根式的判断】 【典例】请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是 ． 【答案】答案不唯一，如 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据二次根式的性质和最简二次根式的概念进行解答即可． 【详解】解：被开方数不大于5的最简二次根式， 可取，答案不唯一． 故答案为：． 【跟踪专练1】在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式”进行逐一判断即可． 【详解】解：对于，是无理数，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式； 对于，被开方数，被开方数不含有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； 对于，被开方数是小数，不满足被开方数的因数是整数这一条件，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对于，它是三次根式，不是二次根式； 对于，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 综上。最简二次根式有、． 故选：C． 【跟踪专练2】将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，先根据有意义得到，再根据二次根式的性质化成最简二次根式即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且， 解得， ∴， 故选：B． 1．下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是最简二次根式； (2)不是最简二次根式，化简见解析； (3)不是最简二次根式，化简见解析； (4)是最简二次根式． 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义及二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义（被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母，分母不含根号）是解题的关键． （1）判断被开方数是否为整数且不含能开得尽方的因数或因式． （2），先将带分数化为假分数，再判断是否为最简二次根式，若不是则化简． （3）将被开方数分解因数，找出能开得尽方的因数进行化简． （4）判断被开方数是否为整数且不含能开得尽方的因数或因式，分母是否为1． 【详解】（1）解：∵，5和7都是质数， ∴是最简二次根式． （2）解：不是最简二次根式， ； （3）解：不是最简二次根式， ； （4）解：∵是质数，分母为， ∴是最简二次根式． 2．我们知道式子不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，． 这样的化简过程叫做分母有理化我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______； (2)请你尝试化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据有理化因式的定义进行解答即可； （）分子分母同时乘以化简即可； 本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）解：的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解：． 3．已知，化简：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将被开方数因式分解，然后再根据二次根式性质结合，进行化简求值即可． 【详解】解：原式 ． ， ，， 原式 ． 4．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 5．若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 6．已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】(1)，， (2)以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，，， 解得：，，； （2），，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $