专题08分式寒假预习讲义（2）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题08分式寒假预习讲义(2) 1 预习目标 1.吃透核心性质：牢牢掌握分式的基本性质，能准确判断分式变形是否正确， 说出变形成立的条件，做到性质应用“零失误”。 2.掌握两大技能：(1)熟练约分，能快速将分式化为最简分式。(2)学会找最简公 分母，流畅完成多个分式的通分。 3.玩转变形技巧：学会把分子分母的最高次项系数化为正数，把分数系数全部 化为整数，让分式看起来更清爽、计算更顺手。 4.精准判断变化：能根据分式基本性质，一眼看出分子分母变化后，分式值是 不变、变号还是其他变化，培养“火眼金睛”。 预习内容概览 1.分式的基本性质 2.约分与最简分式 预习必备 3.通分与最简公分母 4.关键技能与方法 知识点梳理 3.易错点提醒 1.判断分式变形的正确性 2.确定分式变形成立的条件 3.由分式性质判断值的变化 4.化分子分母最高次项为正数 常考题型 5.化分子分母各项系数为整数 6.分式的约分 精讲精炼 7.最简分式的概念 8.确定最简公分母 9.分式的通分 强化巩固 (解答题5题) 3 知识点梳理 【知识点01.分式相关的核心概念】 试卷第1页，共3页 1.分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：鲁=能，=(C≠0) 其中A,B,C均为整式。 2.约分与最简分式 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式 的约分。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。约分的最终目标就是 使分式化为最简分式。 3.通分与最简公分母 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母的分式，叫做分式的通分。 最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做 最简公分母。 【知识点02.关键技能与方法】 1.分式变形的判断与条件 判断变形正确性：检查变形是否符合分式的基本性质，即乘（或除）的整式是否 不为0。 确定变形条件：根据性质，列出使乘（或除）的整式不为0的条件，解不等式 即可得到变形成立的条件。 2.利用基本性质判断分式值的变化 分子、分母同乘（或除）同一个正数一分式值不变。 分子、分母同乘（或除）同一个负数→分式值变为原来的相反数。 若只改变分子或分母的符号→分式值变为原来的相反数。 3.分式的符号与系数规范化 化最高次项系数为正：若分子或分母的最高次项系数为负，可通过提取负号并调 整分式整体符号，传最高次项系数为正。例如：岩= （x-1 =開 试卷第1页，共3页 化各项系数为整数：当分子或分母含有分数系数时，分子分母同乘所有分母的最 小公倍数，将系数化为整数。例如： 6级14 3x-2 (分子分母同乘12) 4.约分的步骤 5. 确定最简公分母的步骤 1.对各分母进行因式分解： 2.取各分母所有因式的最高次幂的乘积。 3.若分母是多项式，需先分解为因式形式再找最高次幂 6. 通分的步骤 1.确定各分母的最简公分母。 2.对每个分式的分子、分母同乘适当的整式，使分母变为最简公分母。 3.整理分子，保持分式的值不变。 【知识点O3.易错点提醒】 1.应用分式基本性质时，必须保证乘（或除）的整式不为0，否则变形不成立。 2约分时，只能约去分子、分母的公因式，不能约去单独的项。 3通分是改变分母的形式，而不是改变分式的值，分子必须做相应的变形。 4.处理符号时，要注意分式的符号、分子的符号、分母的符号三者之间的关系： 合=号= 常考题型精讲精练 【题型1.判断分式变形的正确性】 【典例】下列各式与上相等的是() X A.2 B.y+2 C. y D. a+b x+2 2a 【跟踪专练1】分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以） 分式的值不变，用式子可表示为 A AA÷M (其中M是不等于零的整式). BB÷M 【跟踪专练2】下列分式变形正确的是() A.a+1=a2+1B.7-ab-7-1 1 C.2a s、a D.m÷一…n=m ab ab a+2b a+b 试卷第1页，共3页 【跟踪专练3】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含“一”号. 02x ②2x-1 -3y -x+1 ③r2+y -x-1 +2 ④-x-3x+1 【题型2.确定分式变形成立的条件】 【典例】若a-2_M a,则M为() A.a2-2 B.2a-1 C.2a-2 D.a2-2a 【跟踪专练1】当a,b满足 a ab-a2 时， 55(a-b 【跟踪专练2】若3-5x-2) 则x应满足的条件是() x x(x-2) A.x≠0 B.x≠2 C.x≠0且x≠2 D.x≠0或x≠2 【跟踪专练3】根据分式的基本性质填空： （) x-2x2-4x+4 【题型3.由分式性质判断值的变化】 【典例】如果把分式+2义中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值() A.扩大为原来的10倍 B.缩小为原来的 10 C.扩大为原来的2倍 D.不变 【佩歌专练】者号子则 b 【跟踪专练2】如果将分式+ 2x 一中的x,y均扩大2倍，那么分式的值会() A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.缩小4倍 【跟踪专练3】(1)x+y=(), 0.2x-0.5y_6x-15y yxy;(2)1.1 x+y()，括号内依次填入( 631 ) 【题型4.化分子分母最高次项为正数】 -3x+1 【典例】不改变分式x+7下一2的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正 数，应该是() 试卷第1页，共3页 3x+1 3x+1 A. B. x2-7x+2 x2+7x+2 C. 3x-1 3x-1 D. x2-7x+2 x2-7x-2 【跟踪专练】不改变分式的值，使分式的分子分母都不含””号：2 【跟踪专练2】不改变分式2-3+上的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 -5x3+2x-3 的是() A. 3x2+x+2 5x3+2x-3 B. 3x2-x+2 3x2+x-2 D.3r2-x-2 5x3+2x-3 C. 5x3-2x+3 5x3-2x+3 【跟踪专练3】若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则1-2x-x -x2+1 【题型5.化分子分母各项系数为整数】 【典例】不改变分式的值，将分式0.02中各项系数均化为整数，结果为《)， 0.2a+3b A.x-2x2 B. 50x-x2 C. 50x-2x2 D.x-2x2 2a+3b 10a+150b 10a+3b 10a+150b 【跟踪专练1】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数， (1) 0.5x-0.7y 0.2x+0.6y 1 a+-b 4二 (2)4-1b 30-2 【跟踪专练2】方程910.2x-1=0.7-x 的分母、分子都化为整数后的方程是() 0.3 4 A. 0.1-0.2x-1=0.7-x B.1-2x-1= 7-10x 3 4 3 40 C.1-2x-1=7-=x D.-2x-10=7-10x 3 4 3 4 【跟踪专练3】某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种.经过 试种后发现，种植A种树苗α裸，种下后成活了（兮a+)棵，种植B种树苗b棵，种下后成 活了(b-2)棵.则两种树苗的总的成活率为」 （用分子和分母各项系数都为整数 的分数表示)；第一阶段两种树苗共种植了40棵，且两种树苗的成活棵数相同，则种植A 种树苗 棵.第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若 m=2n,在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数 种 试卷第1页，共3页 植B种树苗成活棵数（填>“<”或“=”）. 【题型6.分式的约分】 【典例】化 24ry的结果是(). -6xy A.- 4x2 B.、2 C. D. y2 4x2 4x 4x 【跟踪专练1】对+进行约分，结果为 (x+y) 【跟踪专练2】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分 式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是() 4x+2y x+y A.x9y B. x2-xy+y2 C. x2-y2 D. x2-2xy+y2 x-y 2x-2y 【跟踪专练3】已知时，中，+ 1,11111 y,-2,,x+v4’则4,4的值为 x+y+z 【题型7.最简分式的概念】 【典例】下列分式中，为最简分式的是() 3a 2a A. 5a'b2 B. D.a-ab a2+3a C.a+2 a2+2 a2-b2 b,x+y,+y,2x中，最简分式有一个 【跟踪专练1】在分式b+b'-了，2+少’2+x 【跟踪专练2】若4文表示的是一个最简分式，则口可以是0 x-2 A.2x B.x C.4x-x2 D.x2 【鼠家专练3】提琪在化向分式，4时行到的结架为子。则？部分的代数式应该 是 【题型8.确定最简公分母】 奥分式6·，2x布的最简公分母为C A.12a'b2 B.12a'b C.12ab2 D.12ab 【限除专练】分式27。己，的超简公分好是 【圆紧专练2】起分式，2-✉适分、下论不正确的是() 1 试卷第1页，共3页 A.最简公分母是(x-2)(x+3)2 B.、1 (x+3) x-2(x-2(x+3 x+3 2 2x-2 C. (x-2)(x+3)(x-2)(x+3)2 D.+3y0x-20x+3 【鼠除专练3】在解分式方程：二+2-2的过程时，去分好时，震方程两边都乘 x2-4 x2+2x 以最简公分母 【题型9.分式的通分】 【典例】要对 ，4护'602进行通分，则它们的最简公分母是」 y 1 x 图银踪专练若格分式，与公式-通分后，分式一5的分母变为 +x，则分式的分子应变为( A.6x(x-y)2 B.2(x-y) C.6x2 D.6x2(x+y) 跟踪专练2】分式。0的分母经过通分后变成2(a-b(口+)，那么分子应变为 -12 a 【跟踪专练3】将3a+6'a+2a+'a+la+2通分后，各分式的分子之和为（） A.2a2+7a+11 B.a2+8a+10 C.2a2+4a+4 D.4a2+11a+13 强化巩固通关 1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 1 ①1=cc≠0： ab abc 22x-gx≠0： bx b 6--=yx+w. x2-y2 x+y 2.化简： 02r2-8r x2-16 m4-1 (2m2-2m+1m+1) 试卷第1页，共3页 3.通分： (1)x+y, 2y2 x-y c-5b 2a (2)3b'4de'5bc 4.(1)有两块棉田，第一块xhm2,收棉花mkg;第二块hm2,收棉花nkg.这两块棉田 平均每公顷的棉产量是多少？ (2)一件商品售价x元，利润率为a%(a>0),则这种商品每件的成本是多少元？ 5.某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： 00当=2，=1时分式4号的箱为 ②当x=4,y=2时，分式 子的为 ②当分式+少中x,y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ x-v ③)若分式“少中x,y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什 x"-y" 么？ 试卷第1页，共3页 专题08分式寒假预习讲义（2） 1.吃透核心性质:牢牢掌握分式的基本性质，能准确判断分式变形是否正确，说出变形成立的条件，做到性质应用 “零失误”。 2.掌握两大技能:(1)熟练约分，能快速将分式化为最简分式。(2)学会找最简公分母，流畅完成多个分式的通分。 3.玩转变形技巧:学会把分子分母的最高次项系数化为正数，把分数系数全部化为整数，让分式看起来更清爽、计算更顺手。 4.精准判断变化:能根据分式基本性质，一眼看出分子分母变化后，分式值是不变、变号还是其他变化，培养 “火眼金睛”。 预习必备 知识点梳理 1.分式的基本性质 2.约分与最简分式 3.通分与最简公分母 4.关键技能与方法 3.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.判断分式变形的正确性 2.确定分式变形成立的条件 3.由分式性质判断值的变化 4.化分子分母最高次项为正数 5.化分子分母各项系数为整数 6.分式的约分 7.最简分式的概念 8.确定最简公分母 9.分式的通分 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.分式相关的核心概念】 1.分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示：，(C0) 其中 A,B,C 均为整式。 2.约分与最简分式 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。约分的最终目标就是使分式化为最简分式。 3.通分与最简公分母 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 【知识点02.关键技能与方法】 1. 分式变形的判断与条件 判断变形正确性：检查变形是否符合分式的基本性质，即乘（或除）的整式是否不为 0。 确定变形条件：根据性质，列出使乘（或除）的整式不为 0 的条件，解不等式即可得到变形成立的条件。 2. 利用基本性质判断分式值的变化 分子、分母同乘（或除）同一个正数 → 分式值不变。 分子、分母同乘（或除）同一个负数 → 分式值变为原来的相反数。 若只改变分子或分母的符号 → 分式值变为原来的相反数。 3. 分式的符号与系数规范化 化最高次项系数为正：若分子或分母的最高次项系数为负，可通过提取负号并调整分式整体符号，使最高次项系数为正。例如： 化各项系数为整数：当分子或分母含有分数系数时，分子分母同乘所有分母的最小公倍数，将系数化为整数。例如：（分子分母同乘 12） 4. 约分的步骤 1.分解分子、分母的多项式，找出公因式。 2.约去分子、分母的公因式。 3.检查结果是否为最简分式，若不是则继续约分。 5. 确定最简公分母的步骤 1.对各分母进行因式分解。 2.取各分母所有因式的最高次幂的乘积。 3.若分母是多项式，需先分解为因式形式再找最高次幂。 6. 通分的步骤 1.确定各分母的最简公分母。 2.对每个分式的分子、分母同乘适当的整式，使分母变为最简公分母。 3.整理分子，保持分式的值不变。 【知识点03.易错点提醒】 1.应用分式基本性质时，必须保证乘（或除）的整式不为 0，否则变形不成立。 2.约分时，只能约去分子、分母的公因式，不能约去单独的项。 3.通分是改变分母的形式，而不是改变分式的值，分子必须做相应的变形。 4.处理符号时，要注意分式的符号、分子的符号、分母的符号三者之间的关系：−=−。​ 【题型1.判断分式变形的正确性】 【典例】下列各式与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：无法约分，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， ，则C符合题意， 所含字母不同并且无法约分，则D不符合题意， 故选：C． 【跟踪专练1】分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以） ，分式的值不变，用式子可表示为 ， （其中M是不等于零的整式）． 【答案】 同一个不等于零的整式 【分析】根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．用式子可表示为， （其中M是不等于零的整式）． 故答案为：同一个不为0的整式；． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【跟踪专练2】下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．利用通分可对A选项进行判断；利用同分母的减法运算的逆运算可对B选项进行判断；根据最简分式的定义对C选项进行判断；根据常规运算顺序对D项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．为最简分式，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练3】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ① ；② ； ③ ；④ ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的三个符号（分子，分母，分式本身）任意改变其中两个不改变分式的值进行变形即可. 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故答案为： ，，， 【题型2.确定分式变形成立的条件】 【典例】若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 【跟踪专练1】当，满足 时，． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：当，满足时，． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【跟踪专练2】若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即， ， 又分式的分母不能为0， ， x应满足的条件是且， 故选C． 【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0． 【跟踪专练3】根据分式的基本性质填空：． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键． 【题型3.由分式性质判断值的变化】 【典例】如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的基本性质，把分式中的x和y都扩大为原来的倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答案． 【详解】解：分式中的x和y都扩大为原来的倍，形成的新分式为： ， 即分式的值不变． 故选：D． 【跟踪专练1】若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据题意设，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ 设， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】如果将分式中的x，y均扩大2倍，那么分式的值会（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟知分式的基本性质是正确解答此题的关键. 将分式中的x，y均扩大2倍后，通过代入并化简，比较新分式与原分式的值的变化． 【详解】解：当和均扩大2倍时，代入和，得到新分式： 原分式可化简为： 新分式是原分式的，即分式的值缩小了2倍． 故选C． 【跟踪专练3】（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握给分式的分子、分母同乘或除以一个非整式，分式的值不变成为解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：由与分母乘以x，则分子也需乘x，即； 由与分子乘以30，则分母也需乘30，即． 故答案为：，． 【题型4.化分子分母最高次项为正数】 【典例】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【跟踪专练1】不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“”号： ． 【答案】 【分析】根据分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式中的符号法则． 【跟踪专练2】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【跟踪专练3】若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝ ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解答． 【详解】原式＝． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 【题型5.化分子分母各项系数为整数】 【典例】不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 【跟踪专练1】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 【跟踪专练2】方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数． 【详解】解： 故选：B． 【跟踪专练3】某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了棵．则两种树苗的总的成活率为 （用分子和分母各项系数都为整数的分数表示）；第一阶段两种树苗共种植了40棵，且两种树苗的成活棵数相同，则种植A种树苗 棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数 种植B种树苗成活棵数（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】总的成活率将成活数除总数即可； 用未知数表示A和B的棵树然后列方程求解即可； 将成活率分别表示出来比较大小即可． 【详解】总的成活率为； 第一阶段：设A种植了x棵，则B种植了棵， 即可得：，解得； 第二阶段：，则种植A种树苗棵，B种树苗n棵， A种树苗成活（棵），B种树苗棵， 所以种植A种树苗成活棵数：， 种植B种树苗成活棵数：， 因为， 则这两个阶段种植A种树苗成活棵数种植B种树苗成活棵数； 故答案为：，，． 【点睛】此题考查分式的应用，解题关键是先读懂题意，然后找准数量关系列方程计算． 【题型6.分式的约分】 【典例】化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，解题关键是掌握分式的约分． 直接根据分式的约分法则进行约分． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练1】对进行约分，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分．对分子进行因式分解，提取公因式后与分母约分，即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 【跟踪专练2】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的约分、因式分解、新定义，根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A、，故选项A符合题意； B、的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练3】已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先对已知的三个等式的左边通分，再进行适当地变形，可分别求得，，，再将这三个式子相加，即可求出的值． 本题主要考查了分式的通分、约分等知识，熟练掌握分式的通分和月份，将原来三个式子变形成同分母的式子是解题的关键． 【详解】由得，， ∴①； 由得， ， ②； 由得， ∴③； ，得， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7.最简分式的概念】 【典例】下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 【跟踪专练1】在分式，，，中，最简分式有 个 【答案】2 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 【跟踪专练2】若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练3】琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 【题型8.确定最简公分母】 【典例】分式，，的最简公分母为（ ） A． B． C． D．12ab 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，，的分母分别是、、，故最简公分母是； 故选：A． 【跟踪专练1】分式的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 根据最简公分母的概念解答即可． 【详解】解：，， 则，，的最简公分母是， 故答案为：． 【跟踪专练2】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 【跟踪专练3】在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 【详解】解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 【题型9.分式的通分】 【典例】要对，，进行通分，则它们的最简公分母是 ． 【答案】12x3yz 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母． 【详解】解：xy、4xy3、6xyz中，各单项式的系数1、4、6的最小公倍数为12，字母x的最高次幂为3，y、z的最高次幂均为1，所以它们的最简公分母为：12x3yz， 故答案为：12x3yz． 【点睛】本题考查了最简公分母的确定，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 【跟踪专练1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 【跟踪专练2】分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握． 分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 1．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)分子、分母同时乘c (2)分子、分母同时除以x (3)分子、分母同时除以 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以c，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案； （3）根据分式的性质：分式的分子分母都除以，可得答案． 【详解】（1）解：，即分子、分母同时乘c； （2）解：，即分子、分母同时除以x； （3）解：， 即分子、分母同时除以． 2．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 3．通分： (1)， (2) 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查分式的通分： （1）先确定最简公分母为，然后再通分即可； （2）先确定最简公分母为，然后再通分即可 【详解】（1）解：； ； （2）解： 4．（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 【答案】（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元． 【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案； （2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， 答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克； （2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得： y（1+a%）=x， 则y=， 答：这种商品每件的成本是元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键． 5．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $