专题7.3 定义、命题、定理 （4大知识点总结+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

本讲义聚焦初中数学“定义、命题、定理”核心知识点，系统梳理定义的本质特征、命题的构成与真假判断、定理与证明的逻辑推理，搭建从概念理解到推理应用的学习支架，为后续几何证明等内容奠定基础。 该资料通过分层题型设计与易错点精准突破，如“拆分口诀”助学生掌握命题结构，“反例三要求”培养推理意识，例题与变式题结合提升抽象能力，同步练习助力课后查漏补缺，体现用数学思维分析问题、用数学语言表达推理的核心素养。

专题7.3 定义、命题、定理 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.定义（明确概念含义的语句） 1.判断语句是否为定义； 2.依据定义辨析概念； 3.结合定义解决简单推理问题 1.混淆“定义”与“命题”（定义是解释概念，命题是判断事情）； 2.未紧扣定义的本质特征辨析概念； 3.忽略定义中的关键限制条件（如“同一平面内”） 2.命题（判断事情的语句） 1.判断语句是否为命题； 2.拆分命题的题设与结论； 3.将命题改写为“如果……那么……”形式； 4.判断命题的真假 1.误将祈使句、疑问句、作图语句当作命题； 2.拆分题设与结论时遗漏关键条件； 3.改写命题时改变原意； 4.判断假命题时未结合定义/定理，主观臆断 3.真命题与假命题（正确/错误的命题） 1.直接判断简单命题的真假； 2.为假命题举反例； 3.结合相交线、平行线知识判断命题真假 1.举反例不满足“题设成立但结论不成立”的要求； 2.混淆“真命题”与“定理”（定理是经过证明的真命题）； 3.未利用平行线、对顶角等知识辅助判断真假 4.定理与证明（经过证明的真命题/推理过程） 1.识别定理与普通真命题； 2.填写证明过程的理论依据； 3.简单命题的证明（已知、求证、证明）； 4.依据论断组命题并证明 1.证明时遗漏关键推理步骤； 2.错误标注理论依据（如混淆“对顶角相等”与“同位角相等”）； 3.组命题时选择的条件与结论不构成逻辑关系； 4.证明过程书写不规范（无已知、求证，依据未标注） 【易错题型】 【题型1】命题的题设结论拆分与真假判断混淆 1.易错点总结 拆分错误：将命题的题设与结论颠倒，或遗漏题设中的关键限制条件（如“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”误拆为“题设：两条直线垂直，结论：平行”，遗漏“同一平面内”“同一直线”）； 真假误判：未结合定义、定理判断，仅凭直觉（如误将“相等的角是对顶角”当作真命题）； 反例不当：举反例时不满足“题设成立但结论不成立”。 2.纠错技巧 拆分口诀：“先找关键词，‘如果’领题设，‘那么’带结论；无关键词时，先补全逻辑，再拆分”； 真假判断三步骤：①看是否符合定义/定理；②看是否能举反例；③复杂命题先化简（如利用对顶角、平行性质转化）； 反例三要求：①满足题设条件；②结论不成立；③例子简洁典型（优先选特殊角、特殊图形）。 【例题1】.（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： ，它是 命题． 【答案】 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 真 【分析】本题考查了命题的改写，判断真假命题． 将命题改写成“如果……那么……”的形式，需明确条件和结论，并基于对顶角性质判断命题真假． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”； 对顶角相等，故该命题是真命题； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；真． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·重庆江北·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．相等的两个角是对顶角 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平方的性质、平行线的性质、对顶角的定义和同旁内角的性质． 根据相关的知识点逐项分析即可． 【详解】解：A、若，则或，不一定成立，故A是假命题，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理，成立，故B是真命题，符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，故C是假命题，不符合题意； D、同旁内角只有在两直线平行时才互补，故D是假命题，不符合题意； 故选B． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）请将命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数 【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式是：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数． 故答案为：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·福建福州·期末）下列命题中，真命题的个数有（   ） ①同位角相等；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④射线和射线是同一条射线；⑤垂线段最短． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据射线的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行线公理等知识逐一判断每个命题的真假：②和⑤是真命题，其余为假命题． 【详解】解：①同位角相等需两直线平行，否则不一定成立，故①是假命题； ②对顶角总是相等，故②是真命题； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题； ④射线以A为端点，射线以B为端点，方向不同，不是同一条射线，故④是假命题； ⑤从点到直线的所有线段中垂线段最短，故⑤是真命题． 综上所述，真命题有②和⑤，一共2个． 故选：C． 【基础题型】 【题型2】判断语句是否为命题 1.考点总结 核心：识别命题的本质特征——对事情作出肯定或否定判断的完整陈述句，祈使句、疑问句、作图语句均非命题； 常见形式：判断单个语句或多个语句是否为命题，选择题或填空题。 2.解题技巧 两步判断法：①是否为完整陈述句（排除疑问句、祈使句）； ②是否对事情作出肯定或否定判断（排除无判断的描述）； 关键词标注：命题中常含“是”“不是”“相等”“不相等”“平行”“垂直”等判断词。 【例题2】.（25-26八年级上·贵州·期末）下列语句中是命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．三角形三个内角的和等于 C．美丽的月亮湖 D．你的寒假想好怎么过了吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键．根据命题是可以判断真假的陈述句的定义进行判断即可． 【详解】解：A．作线段的垂直平分线，为指令句，故不是命题； B．三角形三个内角的和等于，为陈述句，故是命题； C．美丽的月亮湖，为短语，故不是命题； D．你的寒假想好怎么过了吗？为疑问句，故不是命题； 故选：B． 【变式题2-1】.（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项． 【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题； ∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题； ∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴ C、D不是命题． 故选：A． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列不属于命题的是（   ） A．取任何数时的值都是正数 B．对顶角相等 C．作线段的垂直平分线 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的判断，熟练掌握命题的定义，是解题的关键．命题是能判断真假的陈述句，C项为作图指令，不是陈述句，因此不是命题． 【详解】解：A．取任何数时的值都是正数，是命题，故A不符合题意； B．对顶角相等，是命题，故B不符合题意； C．作线段的垂直平分线，是作图指令，非陈述句，不是命题，故C符合题意； D．如果，那么，是命题，故D不符合题意． 故选：C． 【变式题2-3】.（2025八年级上·山东青岛·专题练习）下列语句中，是命题的是（   ） A．作线段 B．能在线段上任取一点吗? C．作的平分线 D．两个锐角的和大于直角 【答案】D 【分析】本题考查命题的定义，解答的关键是理解命题定义：判断一件事情的句子，叫做命题．据此逐项判断即可． 【详解】解：根据命题定义，命题是能判断真假的陈述句， A为祈使句（指令），不是陈述句，不是命题； B为疑问句，不是陈述句，不是命题； C为祈使句，不是陈述句，不是命题； D为陈述句，且能判断真假，是命题． 故选：D． 【题型3】拆分命题的题设与结论 1.考点总结 核心：明确命题的两个组成部分——题设（已知条件，“如果”后的部分）和结论（由题设推出的结果，“那么”后的部分）； 常见形式：直接拆分命题，或填空“题设是______，结论是______”。 2.解题技巧 直接拆分法：命题含“如果……那么……”时，直接提取“如果”后为为题设，“那么”后为结论； 补全拆分法：命题无关键词时，先补全为“如果……那么……”形式（不改变原意），再拆分（如“同角的余角相等”补全为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”）； 关键标注：题设中需包含所有已知条件。 【例题3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题的结构组成，在命题“如果P，那么Q”中，P是条件，Q是结论，据此即可解答． 【详解】解：∵命题是“如果，那么 ”， ∴ 条件部分是， 故选A． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·甘肃武威·月考）分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假： (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)个位数是3的整数一定能被3整除； (3)对顶角的平分线在同一条直线上． 【答案】(1)题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等，是假命题 (2)题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除，是假命题 (3)题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，是真命题 【分析】本题主要考查了写出原命题的题设和结论，判断命题的真假，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可； （2）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可； （3）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可． 【详解】（1）解：题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等， 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题； （2）解：题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除， 所有数位上的数字之和为3的倍数的整数一定能被3整除，个位数是3的整数不一定能被3整除，原命题是假命题； （3）解：题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，原命题是真命题． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南周口·期中）命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的结构及对顶角的定义，命题“对顶角相等”是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的简写，因此条件部分是“两个角是对顶角”． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”等价于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴条件为“两个角是对顶角”， 故选：D． 【变式题3-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）完成下面表格空格部分 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等． （2）内错角相等，两直线平行． （3）如果，那么． （4）如果，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，不等式的性质，命题的真假，正确的命题就是真命题，命题是由条件和结论组成的，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正确的命题就是真命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． （2）根据正确的命题就是真命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． （3）通过举反例来判断其为假命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． （4）通过举反例来判断其为假命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． 【详解】解：假设，满足，但不满足，故如果，那么是错误的命题； 假设，满足，但不满足，故如果，那么是错误的命题； 如表： 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等． 两直线平行 内错角相等 真命题 （2）内错角相等，两直线平行． 内错角相等 两直线平行 真命题 （3）如果   ，那么 ． 假命题 （4）如果  ，那么 ． 假命题 【题型4】判断命题的真假 1.考点总结 核心：依据定义、基本事实（如对顶角相等）、定理（如平行线性质）判断命题是否正确，正确为真命题，错误为假命题； 常见形式：判断单个或多个命题的真假，选择题或填空题。 2.解题技巧 真命题判断：符合定义、定理或能通过推理证明成立； 假命题判断：能找到至少一个反例； 易错提醒：涉及“所有”“一定”“都”的命题，大概率可通过反例推翻；涉及“存在”“可能”的命题，大概率为真命题。 【例题4】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）“两点之间线段最短”是 （填“真”或“假”）命题； 【答案】真 【分析】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握相关的性质是解题的关键．根据线段的性质进行解答即可得． 【详解】解：∵任意两点，连接它们的线段长度小于任何其他路径的长度， ∴两点之间线段最短， ∴该命题为真命题． 故答案为：真． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江西萍乡·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．两个锐角的和是钝角 C．若，则 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据对顶角的性质，平行线的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故本选项不符合题意； B、两个锐角的和不一定是钝角，原命题为假命题，故本选项不符合题意； C、若，则，原命题为假命题，故本选项不符合题意； D、对顶角相等，为真命题，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查真命题的判断，涉及平行公理、对顶角性质、线段公理和平方根性质，根据以上知识点和性质逐项判断即可． 【详解】A．缺少“直线外一点”的条件，故A错误； B．相等的角不一定是对顶角，故B错误； C．两点之间，线段最短，故C正确； D．若，则，故D错误． 故选：C． 【变式题4-3】.（2025-2026学年上学期七年级期末检测试卷数学科目）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查命题，几何公理，定义和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个命题的真假． 【详解】解：∵ 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身， ∴ 命题①错误； ∵ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质， ∴ 命题②正确； ∵ 过一点作与已知直线平行的直线：如果点在直线外，有且只有一条；如果点在直线上，则没有（因为过直线上一点的任何直线都会与已知直线相交，重合不算平行）， ∴ 命题③错误； ∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但是不在同一平面内，过一点作已知直线的垂线不满足有且仅有一条． ∴ 命题④错误； 综上，真命题共1个． 故选：A． 【提升题型】 【题型5】为假命题举反例 1.考点总结 核心：举反例需满足题设成立，但结论不成立，反例需简洁、典型，符合数学逻辑； 常见形式：填空题或简答题，要求写出一个反例证明命题为假。 2.解题技巧 反例三要素：①满足题设（严格符合命题的已知条件）； ②结论不成立（与命题的结果矛盾）； ③例子具体（如角度、线段长度、图形等，避免模糊表述） 【例题5】.（25-26八年级上·浙江金华·月考）说明命题“对于任意实数a，都有”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是举反例说明命题是假命题，命题“对于任意实数a，都有”，即要求所有实数都满足，若存在a使即为反例，当时，则，不满足． 【详解】解：∵当时，，不满足， ∴命题不成立， 故反例是：． 故选：C． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，使，据此求解即可． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）要说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举反例． 要说明命题“若，则”是假命题，需找到满足且的反例．选项D中，满足且，符合要求． 【详解】解：要说明命题“若，则”是假命题，需找到满足且的反例． A．，满足但，不符合要求； B．，满足但，不符合要求； C．，满足但，不符合要求； D．，满足且，符合要求； 故选：D． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题， (1)如果，那么； (2)两直线被第三条直线所截，同位角相等． 【答案】(1)反例： (2)若两条直线不平行，则被第三条直线所截得的同位角不相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理，论证得到的真命题称为定理． （1）根据命题举出使得命题不成立的命题即可． （2）根据命题举出使得命题不成立的命题即可． 【详解】（1）解：当时，满足，但不成立； （2）解：如图，为同位角，但是， 只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等． 【题型6】将命题改写为“如果……那么……”形式 1.考点总结 核心：保持命题原意不变，将题设与结论明确分离，用“如果”引导题设，“那么”引导结论； 常见形式：简答题，改写简单命题或复杂命题。 2.解题技巧 改写步骤：①找判断词（如“是”“相等”“平行”），确定题设和结论； ②补全省略的限制条件； ③用“如果”“那么”连接，确保语句通顺； 易错提醒：不改变命题的真假和核心含义，避免添加额外条件或遗漏关键限制。 【例题6】.（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式． (1)对顶角相等． (2)互余的两个角的和一定为直角． 【答案】(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 (2)如果两个角互余，那么这两个角的和是直角 【分析】本题考查了命题与定理，根据命题的定义转化即可，理清命题的题设与结论是解题的关键． 【详解】（1）解：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． （2）解：如果两个角互余，那么这两个角的和是直角． 【变式题6-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)内错角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)同角的余角相等． 【答案】(1)如果内错角相等，那么两直线平行 (2)如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等 (3)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (4)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查命题，掌握改写命题的方法是关键， 先确定命题的题设和结论，根据命题改写的方法，即可求解（1），（2），（3），（4）． 【详解】（1）解：∵命题：内错角相等，两直线平行， ∴题设是内错角相等，结论是两直线平行， 则改写成“如果……，那么……”的形式：如果内错角相等，那么两直线平行； （2）解：∵命题：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等， ∴题设是两个三角形的两条边和它们的夹角对应相等，结论是两个三角形全等， 则改写成“如果……，那么……”的形式：如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等 （3）解：∵命题：直角三角形两个锐角互余， ∴题设是直角三角形，结论是两个锐角互余， 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； （4）解：∵命题：同角的余角相等 ∴题设：两个角是同一个角的余角，结论是两个角相等， 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行 【分析】本题考查了命题改写，掌握“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析解答即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”， 写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”． 故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 【答案】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题 (2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键． （1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假； （2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假． 【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； （2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，和是同旁内角， 但两直线不平行，故和不互补． 【培优题型】 【题型7】简单命题的证明（已知、求证、证明） 1.考点总结 核心：掌握证明的基本步骤——根据命题写出已知、求证，画出图形，通过推理得出结论，标注每一步依据； 常见形式：解答题，证明简单的真命题（如“邻补角的平分线互相垂直”）。 2.解题技巧 证明三步骤：①写已知求证：将命题的题设转化为已知，结论转化为求证（结合图形标注字母）； ②画图：根据已知条件画出准确图形，标注相关角、线段； ③推理证明：从已知出发，结合定义、定理逐步推导，每一步注明依据（如“∵（邻补角的定义），平分（已知），∴（角平分线的定义）”）； 易错提醒：证明过程需逻辑连贯，不可跳跃步骤，依据标注准确，图形与已知条件一致。 【例题7】.（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明： ， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·河北石家庄·月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 【答案】(1)如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】（1）依据“如果……那么……”形式的要求，梳理命题条件与结论进行改写； （2）先补充已知和求证，再利用垂直定义得到角的度数，结合平行线判定定理完成证明 ． 本题主要考查了命题的改写、垂直的定义以及平行线的判定定理，熟练掌握命题的结构、垂直定义和平行线判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果……那么……”的形式为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）解：， ． 证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义）， ∴．（同位角相等，两直线平行） 【题型8】根据论断组命题并证明（素养探究） 1.考点总结 核心：从给定的多个论断中选择2个作为条件，1个作为结论，组成真命题并证明，培养逻辑推理与探究能力； 常见形式：解答题，给定3个及以上论断（如与平行线、角相关的论断），组命题并证明。 2.解题技巧 组命题步骤：①分析论断间的逻辑关系； ②验证命题真假（优先选择易证明的真命题，避免组假命题）； ③按证明规范书写已知、求证、证明过程； 【例题8】.（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分． (1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接） (2)证明（1）中的结论． 【答案】(1)①②④⇒③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的性质和判定、角平分线的定义． （1）根据命题的概念写出一个命题，任意三个选项为题设，另一个为结论即为真命题； （2）根据角平分线的定义、平行线的性质和判断分别证明结论． 【详解】（1）解：如果，平分，平分，那么； 即①②④③， 同理这个命题可以是①②③④，①③④②，②③④①， 故答案为：①②④⇒③（答案不唯一）； （2）解：①②④③是真命题，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ． ①②③④是真命题，理由如下： ， ， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∴平分． ①③④②是真命题，理由如下： ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∴平分． ②③④①是真命题，理由如下： 平分，平分， ，， ， ∴ ， ∴． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【答案】(1)一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么 (2)见解析 【分析】本题考查了命题的含义，平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）根据命题的定义与组成部分写出命题的题设与结论即可； （2）根据平行线的性质或判定进行证明即可. 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么 ； （2）解：如果，，那么， 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴． 如果，，那么； 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么 ； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可； （2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②） （2）证明：选条件：①②，结论：③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 选条件：①③，结论：② ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 选条件：②③，结论：① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】(1)命题1：若，，则． 命题2：若，，则． 命题3：若，，则． (2)证明见解析 【分析】此题考查命题与定理问题，平行线的判定和性质、对顶角相等知识，分情况证明是解题的关键． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】（1）解：命题1：若，，则． 命题2：若，，则． 命题3：若，，则． （2）解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 同步练习 一、单选题 1．下列命题中，真命题是（    ） A．同旁内角互补 B．如果和是对顶角，那么 C．若，则 D．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，平行的性质，乘方运算，有理数的绝对值，对顶角等知识，能够熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 【详解】解：A、同旁内角互补需两直线平行，否则不一定，故A为假命题，不符合题意； B、如果和是对顶角，那么（对顶角相等），故B为真命题，符合题意； C、若，则，故C为假命题，不符合题意； D、绝对值等于本身的数是非负数，包括0，0不是正数，故D为假命题，不符合题意． 故选：B． 2．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中n的值可以是（   ） A． B． C．0．5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查举反例，反例需满足命题条件但结论不成立，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A、当时，不满足，故不能成为该命题的反例； B、当时，不满足，故不能成为该命题的反例； C、当时，满足，不满足，故可以成为该命题的反例； D、当时，不满足，故不能成为该命题的反例． 故选：C． 3．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义的概念，熟练掌握定义的概念是解题的关键． 定义是描述概念或术语含义的语句，据此逐项判断即可． 【详解】解：定义是给出术语含义的语句， 选项A是公理，选项B和D是定理，均需证明， 选项C直接定义“三角形的边”为组成三角形的三条线段，符合定义特征， 故选：C． 4．下列是真命题的个数有（   ） ①过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②一条直线有且只有一条垂线；③不相交的两条直线叫做平行线；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线、垂线、点到直线的距离等概念．需根据以上知识逐一分析每个命题的正确性． 【详解】解：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行，需点不在直线上，否则不成立，故①是假命题； ②一条直线有无数条垂线，故②是假命题； ③平行线定义需在同一平面内，故③是假命题； ④点到直线的距离是垂线段的长度，不是线段本身，故④是假命题； ⑤只有两直线平行时，同位角才相等，故⑤是假命题； 综上，真命题个数为0个． 故选：A． 5．下列命题中正确的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 C．两点之间，直线最短 D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条 【答案】B 【分析】此题考查真假命题的判断，根据相关知识逐项进行判断即可． A选项同位角相等需两直线平行才成立，否则不一定；C选项应为两点之间线段最短；D选项过一点作已知直线的平行线，需分点在直线上或外，不一定有且只有一条；B选项根据平行线的判定定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确． 【详解】解：A选项：只有当两直线平行时，同位角才相等，否则不一定，∴ A错误． ∵ 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，∴ B选项正确． C选项：两点之间，线段最短，直线是无限长的，∴ C错误． D选项：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；但过直线上一点，不存在与已知直线平行的直线（除本身），∴ D错误． 故选：B． 二、填空题 6．对于命题“若，则”请你举个反例说明这个命题是假命题 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了举反例说明命题的真假，通过举出满足但的具体数值，证明命题为假． 【详解】解：∵，，则，， 又∵， ∴， 但， 因此不成立， 故该命题为假命题． 故答案为：，．（答案不唯一） 7．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果两个角相等，那么它们的余角相等 【分析】本题考查了改写命题． 将命题改写成“如果…那么…”的形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设是“两个角相等”，结论是“它们的余角相等”， 因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们的余角相等． 8．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角、补角的定义以及平行线的性质；通过举反例和定义分析即可判断． 【详解】①一个角的余角不一定大于这个角，反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与不一定是对顶角，反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故③是真命题； ④根据平行线的性质，如果两条直线平行，且其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故④是真命题． 故答案为：③④． 9．某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 【答案】623 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 【详解】解：∵每人都只猜对了不同数位的一个数字，若个位是4，则小致和小萌猜对的数位相同，与题意不符， ∴个位数为3， ∵由上述可知小莉猜对的是个位数，故她猜的百位数5是错误的， ∴百位数字为6， ∴小萌猜对十位数字，即十位数字为2， ∴这个密码锁的密码是623． 故答案为：623 10．有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③两直线平行，同位角相等；④互补的两个角中一定有一个角为钝角，另一个角为锐角．其中是真命题的是 （填序号）． 【答案】 ③ 【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的定义，互补角的定义．根据平行线的性质、对顶角的定义、互补角的定义逐一判断各命题的真假 【详解】解：命题①：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，此命题成立的前提是两条直线平行，否则不成立，故为假命题； 命题②：相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故为假命题； 命题③：两直线平行，同位角相等，这是平行线的性质定理，故为真命题； 命题④：互补的两个角之和为，但可能均为直角，不一定一个为钝角一个为锐角，故为假命题； 故答案为：③． 三、解答题 11．如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意写出命题即可； （2）根据平行线的判定和性质证明． 【详解】（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 12．判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 【答案】(1)假命题，反例见解析； (2)真命题． (3)假命题，反例见解析． 【分析】本题考查了绝对值的性质，被5整除的数的特征，钝角的定义，判断命题真假，以及写反例． （1）根据绝对值的性质，即可解答； （2）根据能被5整除的数的特征即可解答； （3）根据钝角的定义，即可解答． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：，但是． （2）解：该命题为真命题； （3）解：该命题为假命题， 反例：为锐角． 13．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 14．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 15．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 定义、命题、定理 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.定义（明确概念含义的语句） 1.判断语句是否为定义； 2.依据定义辨析概念； 3.结合定义解决简单推理问题 1.混淆“定义”与“命题”（定义是解释概念，命题是判断事情）； 2.未紧扣定义的本质特征辨析概念； 3.忽略定义中的关键限制条件（如“同一平面内”） 2.命题（判断事情的语句） 1.判断语句是否为命题； 2.拆分命题的题设与结论； 3.将命题改写为“如果……那么……”形式； 4.判断命题的真假 1.误将祈使句、疑问句、作图语句当作命题； 2.拆分题设与结论时遗漏关键条件； 3.改写命题时改变原意； 4.判断假命题时未结合定义/定理，主观臆断 3.真命题与假命题（正确/错误的命题） 1.直接判断简单命题的真假； 2.为假命题举反例； 3.结合相交线、平行线知识判断命题真假 1.举反例不满足“题设成立但结论不成立”的要求； 2.混淆“真命题”与“定理”（定理是经过证明的真命题）； 3.未利用平行线、对顶角等知识辅助判断真假 4.定理与证明（经过证明的真命题/推理过程） 1.识别定理与普通真命题； 2.填写证明过程的理论依据； 3.简单命题的证明（已知、求证、证明）； 4.依据论断组命题并证明 1.证明时遗漏关键推理步骤； 2.错误标注理论依据（如混淆“对顶角相等”与“同位角相等”）； 3.组命题时选择的条件与结论不构成逻辑关系； 4.证明过程书写不规范（无已知、求证，依据未标注） 【易错题型】 【题型1】命题的题设结论拆分与真假判断混淆 1.易错点总结 拆分错误：将命题的题设与结论颠倒，或遗漏题设中的关键限制条件（如“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”误拆为“题设：两条直线垂直，结论：平行”，遗漏“同一平面内”“同一直线”）； 真假误判：未结合定义、定理判断，仅凭直觉（如误将“相等的角是对顶角”当作真命题）； 反例不当：举反例时不满足“题设成立但结论不成立”。 2.纠错技巧 拆分口诀：“先找关键词，‘如果’领题设，‘那么’带结论；无关键词时，先补全逻辑，再拆分”； 真假判断三步骤：①看是否符合定义/定理；②看是否能举反例；③复杂命题先化简（如利用对顶角、平行性质转化）； 反例三要求：①满足题设条件；②结论不成立；③例子简洁典型（优先选特殊角、特殊图形）。 【例题1】.（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： ，它是 命题． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·重庆江北·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．相等的两个角是对顶角 D．同旁内角互补 【变式题1-2】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）请将命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·福建福州·期末）下列命题中，真命题的个数有（   ） ①同位角相等；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④射线和射线是同一条射线；⑤垂线段最短． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【基础题型】 【题型2】判断语句是否为命题 1.考点总结 核心：识别命题的本质特征——对事情作出肯定或否定判断的完整陈述句，祈使句、疑问句、作图语句均非命题； 常见形式：判断单个语句或多个语句是否为命题，选择题或填空题。 2.解题技巧 两步判断法：①是否为完整陈述句（排除疑问句、祈使句）； ②是否对事情作出肯定或否定判断（排除无判断的描述）； 关键词标注：命题中常含“是”“不是”“相等”“不相等”“平行”“垂直”等判断词。 【例题2】.（25-26八年级上·贵州·期末）下列语句中是命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．三角形三个内角的和等于 C．美丽的月亮湖 D．你的寒假想好怎么过了吗？ 【变式题2-1】.（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列不属于命题的是（   ） A．取任何数时的值都是正数 B．对顶角相等 C．作线段的垂直平分线 D．如果，那么 【变式题2-3】.（2025八年级上·山东青岛·专题练习）下列语句中，是命题的是（   ） A．作线段 B．能在线段上任取一点吗? C．作的平分线 D．两个锐角的和大于直角 【题型3】拆分命题的题设与结论 1.考点总结 核心：明确命题的两个组成部分——题设（已知条件，“如果”后的部分）和结论（由题设推出的结果，“那么”后的部分）； 常见形式：直接拆分命题，或填空“题设是______，结论是______”。 2.解题技巧 直接拆分法：命题含“如果……那么……”时，直接提取“如果”后为为题设，“那么”后为结论； 补全拆分法：命题无关键词时，先补全为“如果……那么……”形式（不改变原意），再拆分（如“同角的余角相等”补全为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”）； 关键标注：题设中需包含所有已知条件。 【例题3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·甘肃武威·月考）分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假： (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)个位数是3的整数一定能被3整除； (3)对顶角的平分线在同一条直线上． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南周口·期中）命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【变式题3-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）完成下面表格空格部分 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等． （2）内错角相等，两直线平行． （3）如果，那么． （4）如果，那么． （1）两直线平行，内错角相等． 两直线平行 内错角相等 真命题 （2）内错角相等，两直线平行． 内错角相等 真命题 （3）如果   ，那么 ． 假命题 （4）如果  ，那么 ． 假命题 【题型4】判断命题的真假 1.考点总结 核心：依据定义、基本事实（如对顶角相等）、定理（如平行线性质）判断命题是否正确，正确为真命题，错误为假命题； 常见形式：判断单个或多个命题的真假，选择题或填空题。 2.解题技巧 真命题判断：符合定义、定理或能通过推理证明成立； 假命题判断：能找到至少一个反例； 易错提醒：涉及“所有”“一定”“都”的命题，大概率可通过反例推翻；涉及“存在”“可能”的命题，大概率为真命题。 【例题4】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）“两点之间线段最短”是 （填“真”或“假”）命题； 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江西萍乡·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．两个锐角的和是钝角 C．若，则 D．对顶角相等 【变式题4-2】.（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则 【变式题4-3】.（2025-2026学年上学期七年级期末检测试卷数学科目）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【提升题型】 【题型5】为假命题举反例 1.考点总结 核心：举反例需满足题设成立，但结论不成立，反例需简洁、典型，符合数学逻辑； 常见形式：填空题或简答题，要求写出一个反例证明命题为假。 2.解题技巧 反例三要素：①满足题设（严格符合命题的已知条件）； ②结论不成立（与命题的结果矛盾）； ③例子具体（如角度、线段长度、图形等，避免模糊表述） 【例题5】.（25-26八年级上·浙江金华·月考）说明命题“对于任意实数a，都有”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是 ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）要说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题， (1)如果，那么； (2)两直线被第三条直线所截，同位角相等． 【题型6】将命题改写为“如果……那么……”形式 1.考点总结 核心：保持命题原意不变，将题设与结论明确分离，用“如果”引导题设，“那么”引导结论； 常见形式：简答题，改写简单命题或复杂命题。 2.解题技巧 改写步骤：①找判断词（如“是”“相等”“平行”），确定题设和结论； ②补全省略的限制条件； ③用“如果”“那么”连接，确保语句通顺； 易错提醒：不改变命题的真假和核心含义，避免添加额外条件或遗漏关键限制。 【例题6】.（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式． (1)对顶角相等． (2)互余的两个角的和一定为直角． 【变式题6-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)内错角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)同角的余角相等． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 【培优题型】 【题型7】简单命题的证明（已知、求证、证明） 1.考点总结 核心：掌握证明的基本步骤——根据命题写出已知、求证，画出图形，通过推理得出结论，标注每一步依据； 常见形式：解答题，证明简单的真命题（如“邻补角的平分线互相垂直”）。 2.解题技巧 证明三步骤：①写已知求证：将命题的题设转化为已知，结论转化为求证（结合图形标注字母）； ②画图：根据已知条件画出准确图形，标注相关角、线段； ③推理证明：从已知出发，结合定义、定理逐步推导，每一步注明依据（如“∵（邻补角的定义），平分（已知），∴（角平分线的定义）”）； 易错提醒：证明过程需逻辑连贯，不可跳跃步骤，依据标注准确，图形与已知条件一致。 【例题7】.（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【变式题7-2】.（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【变式题7-3】.（24-25七年级下·河北石家庄·月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 【题型8】根据论断组命题并证明（素养探究） 1.考点总结 核心：从给定的多个论断中选择2个作为条件，1个作为结论，组成真命题并证明，培养逻辑推理与探究能力； 常见形式：解答题，给定3个及以上论断（如与平行线、角相关的论断），组命题并证明。 2.解题技巧 组命题步骤：①分析论断间的逻辑关系； ②验证命题真假（优先选择易证明的真命题，避免组假命题）； ③按证明规范书写已知、求证、证明过程； 【例题8】.（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分． (1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接） (2)证明（1）中的结论． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 同步练习 一、单选题 1．下列命题中，真命题是（    ） A．同旁内角互补 B．如果和是对顶角，那么 C．若，则 D．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数 2．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中n的值可以是（   ） A． B． C．0．5 D．2 3．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 4．下列是真命题的个数有（   ） ①过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②一条直线有且只有一条垂线；③不相交的两条直线叫做平行线；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列命题中正确的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 C．两点之间，直线最短 D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条 二、填空题 6．对于命题“若，则”请你举个反例说明这个命题是假命题 ． 7．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 8．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号） 9．某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 10．有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③两直线平行，同位角相等；④互补的两个角中一定有一个角为钝角，另一个角为锐角．其中是真命题的是 （填序号）． 三、解答题 11．如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 12．判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 13．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 14．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 15．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $