专题7.2 平行线 （5大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

专题7.2 平行线 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平行线的定义与表示（同一平面内不相交的两条直线） 1.判断两条直线是否为平行线； 2.规范表示平行线（如）； 3.结合方格纸/实际图形画平行线 1.忽略“同一平面内”的前提（误将异面直线当作平行）； 2.画平行线后未标注平行符号或垂足； 3.混淆“线段平行”与“直线平行”（线段平行指所在直线平行） 2.平行公理及推论（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；平行于同一直线的两条直线平行） 1.应用平行公理判断过一点画平行线的条数； 2.利用推论证明多条直线平行； 3.结合实际情境应用公理（如施工放线） 1.忽略平行公理中“直线外一点”的限制（误说“过任意一点有且只有一条直线与已知直线平行”）； 2.误用推论（未确认两条直线都平行于第三条直线，直接判定平行） 3. 平行线的判定（同位角相等（∠1=∠2）、内错角相等（如∠1=∠4）、同旁内角互补（如∠1+∠3=180°） 1.简单图形中用角的关系判定两直线平行； 2.复杂图形中分离“三线八角”判定平行； 3.开放题中添加条件使两直线平行 1.复杂图形中找不准截线与被截直线； 2.混淆“同旁内角互补”的条件（误将“和为90°”当作互补）； 3.未先化简角的关系（如角平分线、对顶角）就判定平行 4.平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补） 1.利用性质求未知角的度数； 2.结合角平分线、垂直等知识综合求角； 3.用性质解释实际现象（如光的反射、道路拐弯） 1.混淆“判定”与“性质”（由平行推角的关系是性质，由角的关系推平行是判定）； 2.未确认两直线平行就误用性质； 3.忽略“对顶角相等”“邻补角互补”的辅助转化 5.平行线的判定与性质综合 1.先判定平行，再用性质求角； 2.先由性质得角的关系，再判定另一组平行； 3.解决含折叠、旋转的动态问题 1.逻辑顺序混乱（先用性质再判定时，未先证明平行）； 2.动态问题中漏考虑“平行的两种情况”（如旋转方向不同导致平行）； 3.折叠问题中未利用“折叠前后角相等”的隐含条件 【易错题型】 【题型1】平行线的判定与性质混淆 1.易错点总结 逻辑颠倒：由“角相等”推“两直线平行”时误用“性质”表述，或由“两直线平行”推“角相等”时误用“判定”表述； 条件缺失：未证明两直线平行，直接用性质求角；或未确认角的关系，直接判定平行； 图形误判：复杂图形中错把非同位角/内错角当作判定依据（如找错截线）。 2.纠错技巧 口诀区分：“先角后线是判定，先线后角是性质”（由角的数量关系推直线位置关系→判定；由直线位置关系推角的数量关系→性质）； 三步验证：①明确目标（是判平行还是求角）；②找依据（判定用角的关系，性质用平行关系）；③补辅助：复杂图形先分离“三线八角”基本图形； 实例对比：“∵∠1=∠2，∴a∥b”（判定）；“∵a∥b，∴∠1=∠2”（性质），标注依据时避免混淆。 【例题1】.（25-26七年级上·四川遂宁·期末）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵与不是同位角，也不是内错角，∴无法证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴，无法证明，也无法证明，故该选项不符合题意； D、∵，，∴，∴，故该选项符合题意； 故选：D 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴直线，故此选项不合题意； B、，不能得出直线，故此选项符合题意； C、∵，∴直线，故此选项不合题意； D、∵，∴直线，故此选项不合题意； 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H．已知，．试说明：． 解：因为   （ ）， ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ． 所以（ ）． 【答案】 对顶角相等 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与对顶角的性质，掌握利用对顶角相等转化角度，得到相等的同位角，从而判定两直线平行是解题的关键． 先利用对顶角相等的性质，将转化为，再结合已知的度数，得到与相等，最后根据同位角相等，两直线平行的判定定理，证明． 【详解】解：（对顶角相等）， ， ， 又， （ 同位角相等，两直线平行）． 【基础题型】 【题型2】平行线的识别与规范表示 1.考点总结 核心：依据“同一平面内不相交的两条直线是平行线”识别平行，规范用符号“∥”表示（如直线）； 常见形式：方格纸中识别平行线段、根据文字描述判断直线平行、规范书写平行线的表示方法。 2.解题技巧 识别关键：同一平面内无公共点→平行，有公共点→相交（重合视为一条直线）； 表示规范：直线用两个大写字母表示，平行符号“∥”写在中间（如，读作“平行于”）； 方格纸判断：横向/纵向线段直接看是否对齐，斜向线段看“横移格数与纵移格数的比值是否相等”。 【例题2】.（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）若两条线段没有相交，则这两条线段所在直线是平行的．( ) 【答案】× 【分析】本题考查平面内直线的位置关系，线段没有交点，不代表两条线段所在的直线没有交点，据此进行判断即可． 【详解】解：两条线段没有相交，可能存在两种情况： ①它们所在的直线平行，此时线段不相交； ②它们所在的直线不平行（即相交），但线段未延伸至交点处； 故原说法错误； 故：× 【变式题2-1】.（24-25七年级下·全国·单元测试）同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【答案】 三 相交、平行、重合 【分析】本题主要考查了同一平面内的两条直线的位置关系，根据同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合回答即可． 【详解】解：同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合， 故答案为：三；相交、平行、重合． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的符号表示，属于基础知识． 直线与直线平行，可以记作为：或，即可得到答案． 【详解】解：平行用符号∥表示，直线与直线平行，，可以记作为：或． 故选：D． 【变式题2-3】.（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列说法正确的有（   ） ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，平行线的性质，平行公理，平面内两直线的位置关系，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：同位角不一定相等，故①错误； 对顶角相等，故②正确； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误； 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；故④正确； 故选B． 【题型3】平行公理及推论的应用 1.考点总结 核心：应用“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”“平行于同一直线的两条直线平行”解决问题； 常见形式：判断过一点画平行线的条数、证明多条直线平行、实际情境中应用（如施工放线、晾衣架设计）。 2.解题技巧 公理应用：先确认“点在直线外”，再判断平行线的唯一性（直线上的点无法画已知直线的平行线）； 推论应用：若且，则（平行传递性），可直接用于证明多条直线平行； 实际情境：如“晾衣架的两根横杆平行”，可通过“都平行于中间横杆”证明，依据推论。 【例题3】.（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式题3-1】.（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 ．也叫做平行线的传递性． 【答案】互相平行 【分析】本题主要考查平行线公理及推论，根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 【详解】平行线的传递性定理指出：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 故答案为：互相平行． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故模型中与平行的棱共有3条； 故选C． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 【答案】(1)见解析； (2)平行． 【分析】本题主要考查平行线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别过点作直线a的平行直线； （2）根据“如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； （2）解：所作的直线的位置关系是平行，理由是：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 故答案为：平行． 【题型4】用同位角/内错角/同旁内角判定两直线平行 1.考点总结 核心：识别“三线八角”中的同位角（∠1与∠2）、内错角（∠1与∠4）、同旁内角（∠1与∠3），利用“同位角相等→平行”“内错角相等→平行”“同旁内角互补→平行”判定； 常见形式：简单图形直接用角的关系判定、复杂图形中先化简角（对顶角、邻补角）再判定。 2.解题技巧 三步法：①找截线（与两个角都相交的直线）；②辨角型（同位角“F”形、内错角“Z”形、同旁内角“U”形）；③判关系（相等/互补→平行）； 化简角：遇到对顶角（相等）、邻补角（互补）先转化，再用判定定理（如∠1=∠3，∠3=∠2→∠1=∠2→平行）； 口诀：“截线定，角型辨，关系明，平行判”。 【例题4】.（25-26八年级上·广东广州·月考）如图所示，若，则 // ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定，是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行即可判定． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：，． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·期中）如图，要使，必须使 （写出你认为正确的一个条件即可）． 【答案】或或或（任选一个） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可求解，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：要使，则必须使或或或， 故答案为：或或或（任选一个）． 【变式题4-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 【题型5】利用平行线的性质求角度 1.考点总结 核心：已知两直线平行，利用“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”求未知角的度数； 常见形式：直接应用性质求角、结合垂直（90°）求角、多组平行线综合求角。 2.解题技巧 关键前提：先确认两直线平行（题目已知或隐含条件）； 角度转化：平行→角相等/互补，再结合对顶角、邻补角、角平分线进一步转化（如→∠1=∠2，∠2=∠3→∠1=∠3）； 验算：结果需符合“三角形内角和180°”“平角180°”等基本规律，避免计算错误。 【例题5】.（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，是的平分线，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，关键是通过平行线的性质推导角的关系，结合角平分线计算角度．先利用平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，最后通过平行线的内错角相等得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， 故选：C． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质，得到，结合已知条件，得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有、、三个地点，且，从地测得地的方位角是北偏西，那么从地测得地的方位角是（   ） A．南偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题考查与方向角有关的计算，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，结合角的和差关系求出，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：对图形标注，如图所示： ∵， ∴， 由题意，， ∵， ∴， ∴从地测得地的方位角为北偏东， 故选：B． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·全国·期末）如图，点在线段上，点，在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质，由得到角相等关系，再结合已知，通过等量代换得出内错角相等，从而证明． （2）根据，利用平行线同旁内角互补求出，再由角平分线定义得出相关角的度数，结合，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】（1）证明：如图所示， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【提升题型】 【题型6】平行线判定的开放题（添加条件使平行） 1.考点总结 核心：根据图形特征，补充一个角的关系（同位角、内错角、同旁内角），使两直线平行； 常见形式：填空题补充条件、解答题说明添加理由，答案不唯一。 2.解题技巧 逆向思维：目标是，先找截线，再想需要什么角关系（如缺同位角相等，就补同位角相等）； 多解思路：同一组直线可通过不同角关系判定； 规范表述：添加条件后，需简要说明依据。 【例题6】.（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如下图，根据图中已标注出的角，添加一个恰当条件使直线，应添加条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由“同位角相等，两直线平行”可知当时，， 由“内错角相等，两直线平行”可知当时，， 若，由题可知，由此可得，则， 综上，可添加的条件为：或或等． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，若仅添加一个条件使成立，则可添加条件： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 【答案】（补充的条件不唯一），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加的条件是（补充的条件不唯一），这样有． 理由：，， ，即， （同位角相等，两直线平行）． 【变式题6-3】.（23-24七年级下·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境： 如图，和被直线所截，分别交于点E，交于点F，，． 探究发现：（1）由已知条件发现，请说明理由； 拓展探究：（2）在图1中添加条件，解答相关的问题： ①如图2，勤奋小组添加的条件是：作直线与交于点M，与交于点N，且，求的度数； ②如图3，创意小组添加的条件是：的平分线交于点G，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据同位角，两直线平行，作答即可； （2）①根据对顶角相等，结合平行线的性质，进行求解即可；②邻补角结合角平分线，求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）理由如下： ∵，， ∴ ∴． （2）解：①∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ②∵，， ∴． ∵的平分线交CD于点G， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【题型7】平行线与角平分线的综合应用 1.考点总结 核心：结合角平分线的定义（平分角→两角相等）与平行线的判定/性质，综合求角或判定平行； 常见形式：已知平行+角平分线→求角、已知角平分线+角关系→判定平行。 2.解题技巧 两步转化：①角平分线→∠1=∠2；②平行→∠2=∠3；→∠1=∠3（等量代换）； 关键标注：在图形中用符号标注相等的角，避免混淆； 易错提醒：角平分线平分的是“哪个角”，需结合图形明确。 【例题7】.（24-25七年级下·安徽淮南·期中）补全下面的证明： 已知：如图，，平分、平分．求证：． 证明：∵（已知）， ∴______（______）． ∵平分，平分（已知）， ∴，______（_____）． ∴______． ∴（______）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．根据平行线性质可得，然后根据角平分线的定义可得，，等量代换得出，进一步利用平行线的判定定理即可证明． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）， ， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；；同位角相等，两直线平行． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知，，点为之间的任意一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，，分别是，的平分线，若． ①请用含的式子表示； ②若平分平分，得到平分平分，可得，依次平分下去，则________．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①   ② 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解题的关键： （1）过作，根据平行线的性质得出，，进而可得出结论； （2）过作，根据平行线的性质得出，，进而可得出结论； （3）①根据角平分线的定义得出，由（1）得，由（2）得，得出，进而可得出答案； ②由（1）和①知：，， ，即可得出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：（1）证明：如图，过作， ， ， ，， ， 即 （2）证明：如图，过作， ， ， ，， ， 即； （3）①分别是的平分线， ， 由（1）得， 由（2）得， ， 则， ， ， ； ②由（1）和①知：， ． 故答案为： ． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：由（1）得：， 同理：， 平分，平分， ，， ， ； ， ； （3）解：，理由如下， ∵平分， ， 平分， ， ，即， ，即， ， ，即， ， 由（2）得：， ． 【题型8】跨学科情境应用（光的反射/道路设计） 1.考点总结 核心：将跨学科情境（光的反射、道路拐弯、建筑施工）转化为平行线问题，应用判定或性质解决； 常见情境：光的反射（入射角=反射角，法线与镜面垂直）、道路两次拐弯后保持平行、建筑横梁平行判定。 2.解题技巧 情境转化：提取几何元素（如镜面为直线、光线为射线、道路为直线），标注已知角； 利用隐含条件：光的反射中“法线⊥镜面”→90°，道路拐弯中“两次拐弯后方向不变”→平行； 逻辑链：情境→几何模型→平行判定/性质→求解。 【例题8】.（2025·辽宁丹东·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【变式题8-1】.（2023七年级下·全国·专题练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质与判定．首先根据题意作辅助线：过点作，即可得，则可求得：，，进而可得的值． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ，， ， ， 故选：D． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 【变式题8-3】.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，，，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么 ． 【答案】/30度 【分析】根据由光的反射定律以及平行线的判定与性质进行说明即可． 本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解答本题的关键． 【详解】由光的反射定律得：，， ∵， ， ， ，， ， ． 故答案为： 【培优题型】 【题型9】复杂图形中添加辅助线证平行/求角 1.考点总结 核心：图形中无直接的“三线八角”，通过添加辅助线（过拐点作平行线）构造平行关系，再求解； 常见形式：折线图形（如“Z”形、“U”形、多拐点图形）、四边形/多边形中证平行/求角。 2.解题技巧 辅助线方法：过拐点作已知直线的平行线（如过点P作），利用平行传递性得； 角度拆分：拐点处的角被辅助线拆分为两个角，分别与两组平行线的同位角/内错角相等； 口诀：“拐点处，作平行，拆角度，转关系”。 【例题9】.（25-26八年级上·江西抚州·期末）问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点E作，可得，从而得到，，即可解答； （3）分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ，， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图1，过点E作， ， ， ，， ； （3）解：如图2所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 如图3所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 综上所述，与α，β之间的数量关系为或． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）． ①当，时，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3)①② 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质定理和平角定义解答即可； （2）利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可； （3）①在点G右侧作，利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可； ②在点G右侧作，设，则，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）解：，理由： 由题意得：，， ∵， ， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴, ∴． （3）解：①在点G右侧作，如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ②α与β之间的数量关系为．理由： 在点G右侧作，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·四川乐山·期末）综合探究在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴，（___________） ∵， ∴，（___________） ∴， ∴（___________） ∴． (2)方法运用：如图，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图，、的角平分线相交于点， ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；等量代换 (2)猜想，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程求解即可； （2）同理可得，由平角的定义可得，则； （3）①根据（2）的结论得到，再由角平分线的定义和角之间的关系得到，，则；②仿照①求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∴（等量代换） ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；等量代换． （2）解：猜想，理由如下： 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：①同理可得， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②如图 ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【题型10】动态旋转中的平行问题 1.考点总结 核心：直线/射线绕点旋转，分析旋转过程中两直线平行的时刻（求旋转角度或时间）； 常见形式：三角尺旋转、射线旋转、线段平移，求满足平行的旋转角度/时间。 2.解题技巧 定初始位置：标注旋转前直线的位置关系，明确旋转方向（顺时针/逆时针）和速度； 列等量关系：旋转后两直线平行→对应角相等/互补，设旋转角度为，列方程求解； 分类讨论：旋转一周内可能有两个位置满足平行（顺时针、逆时针各一次），避免漏解。 【例题10】.（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线，一副三角板，，，按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．    (1)求的度数； (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，的对应点分别为，．设旋转时间为秒． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，的对应点分别为，．请直接写出当边时的值． 【答案】(1) (2)①6②满足条件的的值为或． 【分析】考查了平行线的性质，旋转动角问题，角平分线的定义等知识， （1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题． （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题． ②分两种情形：如图③中，当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题．如图③中，当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 掌握平行线的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①中，   ， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）①如图②中，   ， ， ， ， ， ． 在旋转过程中，若边，的值为6． ②如图③中，当时，延长交于．       ， ， ， ， ， ， ； 如图③中，当时，延长交于，   ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，满足条件的的值为或． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·浙江·月考）如图1，点分别在直线和上，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． (1)①的度数为___________（用的代数式表示）； ②当射线经过点时，此时的度数为____________． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，t值为秒或秒． (3)与的数量关系发生变化，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）①根据旋转角度等于旋转速度乘以时间，列式即可；②由，得，则，求解得，即可求解． （2）分三种情况：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ；当射线与射线相交于G，且时；当射线与射线相交于G，且时；分别求解即可． （3）当时，射线与射线交于点，求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ∵射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴ 故答案为：； ②如图： ∵ ∴ ∴， 解得：， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ，如图， ∵ ∴ ∵， ∴ 解得：； 当射线与射线相交于G，且时，如图， ∵，， ∴ 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线与射线相交于G，且时，如图， ∵ ∴ 解得：； 综上，存在，射线与射线所在直线的夹角为，t值为秒或秒． （3）解：与的数量关系要发生变化． 理由：当时，射线与射线交于点，如图， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴与的数量关系要随着t的发生而变化． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）阅读下列材料，完成任务 浦阳江灯光秀 素材一 今年除夕夜，小枫在浦阳江观赏灯光秀（如图①）时，发现两岸灯光在有规律地旋转．如图②，灯射出的光束从开始逆时针旋转至便立即回转，灯射出的光束从开始逆时针旋转至便立即回转，两灯不停地旋转，假定江两岸平行，即． 素材二 为了呈现不同的灯光投射效果，小枫发现灯先转动秒后，灯才开始转动，已知灯射出的光束的转动速度为，且灯转动秒时两灯的光束刚好互相垂直． 问题解决 任务一 当灯转动秒时，光束与的夹角=__________． 任务二 求灯射出的光束的转动速度． 任务三 当灯射出的光束第一次到达之前，两灯射出的光束能否互相平行，若能，请求出此时灯旋转的时间． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：秒、秒、秒、秒． 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，分类讨论是解题的关键； 任务一：根据题意计算即可求解； 任务二：设交于点，过作，根据垂直的定义得出，设灯射出的光束的转动速度为 ，根据平行线的性质可得，进而建立方程，解方程，即可求解． 任务三：根据题意得出，进而分四种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】任务一：解：依题意， 故答案为：． 任务二：如图，设交于点，过作 ∵ ∴ ∴ ∴ 设灯射出的光束的转动速度为 ， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得： 即灯射出的光束的转动速度为． 任务三：∵， ∴ ①当时， ∴ 解得： ②当第一次回转时， ∴ 解得： ③当第二次从出发， ∴ 解得： 当第二次回转时， ∴ 解得： 综上所述，灯旋转的时间为秒、秒、秒、秒两灯射出的光束平行． 【变式题10-3】.（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)75 (2)12或 (3)或15 【分析】（1）根据平角的定义求解即可； （2）根据的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，平角的定义，熟练掌握旋转性质，平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； 故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ③当时，， ∴和重合， ∴， 即， 解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 同步练习 一、单选题 1．如图，直线c与直线a，b都相交．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，关键是识别与的位置关系，利用“两直线平行，内错角相等”求解． 【详解】解：∵，直线为截线， ∴与是内错角， ∴得； 故选：B． 2．如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠可得，，由长方形得到，，因此，再由平行线的性质得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平角是一条直线 D．若，则与是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查几何基本概念，包括线段的性质、平行公理、平角的定义和对顶角的性质，熟记相关几何概念是解决问题的关键． 由两点之间线段最短、平行公理、平角定义及对顶角定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、根据两点之间线段最短可知选项说法正确，符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项说法未指定点是否在直线外，选项说法错误，不符合题意； C、平角是由两条射线组成的角，不是一条直线，选项说法错误，不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 4．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平面镜反射光线的规律和，可得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由平面镜反射光线的规律和，可得，， ∴， ∵反射光线与平行， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．在下题括号内填上推理的依据．   已知：如图，点B，A，E在一条直线上，． 求证：． 证明：∵，( ) ∴．( ) ∴．( ) 【答案】 已知 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 直接根据“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”作答即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴．（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，内错角相等） 故答案为：已知，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等． 7．如图，直线、被直线所截，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 8．如图，，P为上一点，若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行线的性质及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质及垂直的定义是解题的关键．根据平行线的性质及垂线的定义即可解答． 【详解】解：由题可得： ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点作，过点作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点作，则，因此． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，，， ， ， 即， ， ， 平分，平分， ，， ． 过点作， ， ， ，， ． 故答案为：142． 10．将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 三、解答题 11．如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 12．完成下面推理过程： 如图，四边形中，为线段、上的点，当，时，可推得的理由如下： ∵（已知） ∴（① ） ∴② （③ ） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④ ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查直线平行的判定与性质．根据直线平行的判定定理与性质定理即可求解． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 13．如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)试说明：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质及角平分线的有关计算． （1）由平行得，结合已知求出即可证出结论； （2）先求出，根据角平分线得，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵， ， 与互余， ， ， ； （2）解：∵，， ， ，平分， ， ． 14．将一副直角三角尺的直角顶点按照如图所示的方式叠放在一起(其中，，)，并能绕点C自由旋转． (1)写出与之间的数量关系，并说明理由． (2)固定直角三角尺，将直角三角尺绕点C自由旋转． ①当时，的度数为 ； ②要使，则的度数为____，请说明理由； ③写出分别使得，的的度数，并在备用图中画出相应的草图． 【答案】(1)，见解析 (2)①或；②或，见解析；③当时，的度数为或；当时，的度数为或；见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键； （1）依题意得，进而得，，由此得与的数量关系； （2）①当时，有两种情况：（ⅰ）当在上方时，（ⅱ）当在下时，画出图形，根据平行线的性质可得的度数； ②要使，有两种情况：（ⅰ）当在上方时，（ⅱ）当在下方时，画出图形，根据平行线的性质可得的度数； ③当时，有两种情况：（ⅰ）当在上方时，（ⅱ）当在下方时，画出图形，根据平行线的性质可得的度数； 当时，有以下两种情况： （ⅰ）当在的左侧时，（ⅱ）当在的右侧时，画出图形，根据平行线的性质可得的度数； 【详解】（1）解：与之间的数量关系为：，理由如下， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：①当时，有两种情况： （）当在上方时，如图所示： ∵，， ∴； （）当在下方，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 综上所述：或， 故答案为：或； ②要使，则的度数为或，理由如下： （）当在上方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴； （）当在下方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 综上所示：或， 故答案为：或； ③当时，有以下两种情况： （）当在上方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴； （）当在下方时，如图所示： ∵，， ∴， 综上所述：当时，的度数为或； 当时，有以下两种情况： （）当在的左侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∴； （）当在的右侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 综上所述：当时，的度数为或； 15．已知：，是上的点，是上的点，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，点在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点，交于点，作的角平分线交于点，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，以及能够正确作出辅助线解决问题． （1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）由题意得：，当时，运动停止．由得，然后分两种情况，根据角的和差列方程求解即可； （3）由题意设，则，根据角平分线和平行线的性质得到，则，则，过点作，则，由平行线的传递性可得，则，则，即可求解比值． 【详解】（1）证明：如图①， ； （2）解：由题意得：，当时，运动停止． 由得， ①当时， 解得， ②当时， 解得， 综上所述，的度数为或； （3）解： 设，则 平分， 平分 过点作 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 平行线 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平行线的定义与表示（同一平面内不相交的两条直线） 1.判断两条直线是否为平行线； 2.规范表示平行线（如）； 3.结合方格纸/实际图形画平行线 1.忽略“同一平面内”的前提（误将异面直线当作平行）； 2.画平行线后未标注平行符号或垂足； 3.混淆“线段平行”与“直线平行”（线段平行指所在直线平行） 2.平行公理及推论（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；平行于同一直线的两条直线平行） 1.应用平行公理判断过一点画平行线的条数； 2.利用推论证明多条直线平行； 3.结合实际情境应用公理（如施工放线） 1.忽略平行公理中“直线外一点”的限制（误说“过任意一点有且只有一条直线与已知直线平行”）； 2.误用推论（未确认两条直线都平行于第三条直线，直接判定平行） 3. 平行线的判定（同位角相等（∠1=∠2）、内错角相等（如∠1=∠4）、同旁内角互补（如∠1+∠3=180°） 1.简单图形中用角的关系判定两直线平行； 2.复杂图形中分离“三线八角”判定平行； 3.开放题中添加条件使两直线平行 1.复杂图形中找不准截线与被截直线； 2.混淆“同旁内角互补”的条件（误将“和为90°”当作互补）； 3.未先化简角的关系（如角平分线、对顶角）就判定平行 4.平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补） 1.利用性质求未知角的度数； 2.结合角平分线、垂直等知识综合求角； 3.用性质解释实际现象（如光的反射、道路拐弯） 1.混淆“判定”与“性质”（由平行推角的关系是性质，由角的关系推平行是判定）； 2.未确认两直线平行就误用性质； 3.忽略“对顶角相等”“邻补角互补”的辅助转化 5.平行线的判定与性质综合 1.先判定平行，再用性质求角； 2.先由性质得角的关系，再判定另一组平行； 3.解决含折叠、旋转的动态问题 1.逻辑顺序混乱（先用性质再判定时，未先证明平行）； 2.动态问题中漏考虑“平行的两种情况”（如旋转方向不同导致平行）； 3.折叠问题中未利用“折叠前后角相等”的隐含条件 【易错题型】 【题型1】平行线的判定与性质混淆 1.易错点总结 逻辑颠倒：由“角相等”推“两直线平行”时误用“性质”表述，或由“两直线平行”推“角相等”时误用“判定”表述； 条件缺失：未证明两直线平行，直接用性质求角；或未确认角的关系，直接判定平行； 图形误判：复杂图形中错把非同位角/内错角当作判定依据（如找错截线）。 2.纠错技巧 口诀区分：“先角后线是判定，先线后角是性质”（由角的数量关系推直线位置关系→判定；由直线位置关系推角的数量关系→性质）； 三步验证：①明确目标（是判平行还是求角）；②找依据（判定用角的关系，性质用平行关系）；③补辅助：复杂图形先分离“三线八角”基本图形； 实例对比：“∵∠1=∠2，∴a∥b”（判定）；“∵a∥b，∴∠1=∠2”（性质），标注依据时避免混淆。 【例题1】.（25-26七年级上·四川遂宁·期末）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H．已知，．试说明：． 解：因为   （ ）， ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ． 所以（ ）． 【基础题型】 【题型2】平行线的识别与规范表示 1.考点总结 核心：依据“同一平面内不相交的两条直线是平行线”识别平行，规范用符号“∥”表示（如直线）； 常见形式：方格纸中识别平行线段、根据文字描述判断直线平行、规范书写平行线的表示方法。 2.解题技巧 识别关键：同一平面内无公共点→平行，有公共点→相交（重合视为一条直线）； 表示规范：直线用两个大写字母表示，平行符号“∥”写在中间（如，读作“平行于”）； 方格纸判断：横向/纵向线段直接看是否对齐，斜向线段看“横移格数与纵移格数的比值是否相等”。 【例题2】.（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）若两条线段没有相交，则这两条线段所在直线是平行的．( ) 【变式题2-1】.（24-25七年级下·全国·单元测试）同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列说法正确的有（   ） ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3】平行公理及推论的应用 1.考点总结 核心：应用“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”“平行于同一直线的两条直线平行”解决问题； 常见形式：判断过一点画平行线的条数、证明多条直线平行、实际情境中应用（如施工放线、晾衣架设计）。 2.解题技巧 公理应用：先确认“点在直线外”，再判断平行线的唯一性（直线上的点无法画已知直线的平行线）； 推论应用：若且，则（平行传递性），可直接用于证明多条直线平行； 实际情境：如“晾衣架的两根横杆平行”，可通过“都平行于中间横杆”证明，依据推论。 【例题3】.（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【变式题3-1】.（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 ．也叫做平行线的传递性． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 【题型4】用同位角/内错角/同旁内角判定两直线平行 1.考点总结 核心：识别“三线八角”中的同位角（∠1与∠2）、内错角（∠1与∠4）、同旁内角（∠1与∠3），利用“同位角相等→平行”“内错角相等→平行”“同旁内角互补→平行”判定； 常见形式：简单图形直接用角的关系判定、复杂图形中先化简角（对顶角、邻补角）再判定。 2.解题技巧 三步法：①找截线（与两个角都相交的直线）；②辨角型（同位角“F”形、内错角“Z”形、同旁内角“U”形）；③判关系（相等/互补→平行）； 化简角：遇到对顶角（相等）、邻补角（互补）先转化，再用判定定理（如∠1=∠3，∠3=∠2→∠1=∠2→平行）； 口诀：“截线定，角型辨，关系明，平行判”。 【例题4】.（25-26八年级上·广东广州·月考）如图所示，若，则 // ． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·期中）如图，要使，必须使 （写出你认为正确的一个条件即可）． 【变式题4-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【题型5】利用平行线的性质求角度 1.考点总结 核心：已知两直线平行，利用“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”求未知角的度数； 常见形式：直接应用性质求角、结合垂直（90°）求角、多组平行线综合求角。 2.解题技巧 关键前提：先确认两直线平行（题目已知或隐含条件）； 角度转化：平行→角相等/互补，再结合对顶角、邻补角、角平分线进一步转化（如→∠1=∠2，∠2=∠3→∠1=∠3）； 验算：结果需符合“三角形内角和180°”“平角180°”等基本规律，避免计算错误。 【例题5】.（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，是的平分线，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有、、三个地点，且，从地测得地的方位角是北偏西，那么从地测得地的方位角是（   ） A．南偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．北偏东 【变式题5-3】.（25-26七年级上·全国·期末）如图，点在线段上，点，在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 【提升题型】 【题型6】平行线判定的开放题（添加条件使平行） 1.考点总结 核心：根据图形特征，补充一个角的关系（同位角、内错角、同旁内角），使两直线平行； 常见形式：填空题补充条件、解答题说明添加理由，答案不唯一。 2.解题技巧 逆向思维：目标是，先找截线，再想需要什么角关系（如缺同位角相等，就补同位角相等）； 多解思路：同一组直线可通过不同角关系判定； 规范表述：添加条件后，需简要说明依据。 【例题6】.（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如下图，根据图中已标注出的角，添加一个恰当条件使直线，应添加条件为 ． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，若仅添加一个条件使成立，则可添加条件： ．（写出一个即可） 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 【变式题6-3】.（23-24七年级下·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境： 如图，和被直线所截，分别交于点E，交于点F，，． 探究发现：（1）由已知条件发现，请说明理由； 拓展探究：（2）在图1中添加条件，解答相关的问题： ①如图2，勤奋小组添加的条件是：作直线与交于点M，与交于点N，且，求的度数； ②如图3，创意小组添加的条件是：的平分线交于点G，求的度数． 【题型7】平行线与角平分线的综合应用 1.考点总结 核心：结合角平分线的定义（平分角→两角相等）与平行线的判定/性质，综合求角或判定平行； 常见形式：已知平行+角平分线→求角、已知角平分线+角关系→判定平行。 2.解题技巧 两步转化：①角平分线→∠1=∠2；②平行→∠2=∠3；→∠1=∠3（等量代换）； 关键标注：在图形中用符号标注相等的角，避免混淆； 易错提醒：角平分线平分的是“哪个角”，需结合图形明确。 【例题7】.（24-25七年级下·安徽淮南·期中）补全下面的证明： 已知：如图，，平分、平分．求证：． 证明：∵（已知）， ∴______（______）． ∵平分，平分（已知）， ∴，______（_____）． ∴______． ∴（______）． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知，，点为之间的任意一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，，分别是，的平分线，若． ①请用含的式子表示； ②若平分平分，得到平分平分，可得，依次平分下去，则________．（用含的式子表示） 【变式题7-3】.（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【题型8】跨学科情境应用（光的反射/道路设计） 1.考点总结 核心：将跨学科情境（光的反射、道路拐弯、建筑施工）转化为平行线问题，应用判定或性质解决； 常见情境：光的反射（入射角=反射角，法线与镜面垂直）、道路两次拐弯后保持平行、建筑横梁平行判定。 2.解题技巧 情境转化：提取几何元素（如镜面为直线、光线为射线、道路为直线），标注已知角； 利用隐含条件：光的反射中“法线⊥镜面”→90°，道路拐弯中“两次拐弯后方向不变”→平行； 逻辑链：情境→几何模型→平行判定/性质→求解。 【例题8】.（2025·辽宁丹东·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（2023七年级下·全国·专题练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【变式题8-3】.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，，，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么 ． 【培优题型】 【题型9】复杂图形中添加辅助线证平行/求角 1.考点总结 核心：图形中无直接的“三线八角”，通过添加辅助线（过拐点作平行线）构造平行关系，再求解； 常见形式：折线图形（如“Z”形、“U”形、多拐点图形）、四边形/多边形中证平行/求角。 2.解题技巧 辅助线方法：过拐点作已知直线的平行线（如过点P作），利用平行传递性得； 角度拆分：拐点处的角被辅助线拆分为两个角，分别与两组平行线的同位角/内错角相等； 口诀：“拐点处，作平行，拆角度，转关系”。 【例题9】.（25-26八年级上·江西抚州·期末）问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）． ①当，时，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·四川乐山·期末）综合探究在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴，（___________） ∵， ∴，（___________） ∴， ∴（___________） ∴． (2)方法运用：如图，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图，、的角平分线相交于点， ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 【题型10】动态旋转中的平行问题 1.考点总结 核心：直线/射线绕点旋转，分析旋转过程中两直线平行的时刻（求旋转角度或时间）； 常见形式：三角尺旋转、射线旋转、线段平移，求满足平行的旋转角度/时间。 2.解题技巧 定初始位置：标注旋转前直线的位置关系，明确旋转方向（顺时针/逆时针）和速度； 列等量关系：旋转后两直线平行→对应角相等/互补，设旋转角度为，列方程求解； 分类讨论：旋转一周内可能有两个位置满足平行（顺时针、逆时针各一次），避免漏解。 【例题10】.（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线，一副三角板，，，按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．    (1)求的度数； (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，的对应点分别为，．设旋转时间为秒． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，的对应点分别为，．请直接写出当边时的值． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·浙江·月考）如图1，点分别在直线和上，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． (1)①的度数为___________（用的代数式表示）； ②当射线经过点时，此时的度数为____________． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）阅读下列材料，完成任务 浦阳江灯光秀 素材一 今年除夕夜，小枫在浦阳江观赏灯光秀（如图①）时，发现两岸灯光在有规律地旋转．如图②，灯射出的光束从开始逆时针旋转至便立即回转，灯射出的光束从开始逆时针旋转至便立即回转，两灯不停地旋转，假定江两岸平行，即． 素材二 为了呈现不同的灯光投射效果，小枫发现灯先转动秒后，灯才开始转动，已知灯射出的光束的转动速度为，且灯转动秒时两灯的光束刚好互相垂直． 问题解决 任务一 当灯转动秒时，光束与的夹角=__________． 任务二 求灯射出的光束的转动速度． 任务三 当灯射出的光束第一次到达之前，两灯射出的光束能否互相平行，若能，请求出此时灯旋转的时间． 【变式题10-3】.（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 同步练习 一、单选题 1．如图，直线c与直线a，b都相交．若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平角是一条直线 D．若，则与是对顶角 4．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在下题括号内填上推理的依据．   已知：如图，点B，A，E在一条直线上，． 求证：． 证明：∵，( ) ∴．( ) ∴．( ) 7．如图，直线、被直线所截，若，，则 ． 8．如图，，P为上一点，若，，则 ． 9．如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 10．将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 三、解答题 11．如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 12．完成下面推理过程： 如图，四边形中，为线段、上的点，当，时，可推得的理由如下： ∵（已知） ∴（① ） ∴② （③ ） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④ ）． 13．如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)试说明：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 14．将一副直角三角尺的直角顶点按照如图所示的方式叠放在一起(其中，，)，并能绕点C自由旋转． (1)写出与之间的数量关系，并说明理由． (2)固定直角三角尺，将直角三角尺绕点C自由旋转． ①当时，的度数为 ； ②要使，则的度数为____，请说明理由； ③写出分别使得，的的度数，并在备用图中画出相应的草图． 15．已知：，是上的点，是上的点，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，点在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点，交于点，作的角平分线交于点，当，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $