专题7.3 定义、命题、定理（5大知识点+ 8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦初中数学“定义、命题、定理”核心知识点，系统梳理定义与命题的概念、命题的组成与形式、分类及真假判断，进而延伸至定理与证明的逻辑推理，构建从基础概念到逻辑应用的完整知识支架。 资料通过分层题型设计（基础、培优、压轴），结合解题方法技巧与例题变式，培养学生抽象能力与推理意识。如命题识别、题设结论拆分等基础题型夯实概念，证明依据补充、命题组合证明等压轴题型提升逻辑思维，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺。

专题7.3 定义、命题、定理 知识点1：定义与命题的概念 1.定义：用明确的语句描述某个名词的确切含义的语句叫做定义，如“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”。 2.命题：判断一件事情的陈述句叫做命题，它必须对事情作出肯定或否定判断，疑问句、祈使句、作图语句都不是命题。 知识点2：命题的组成与形式 1.组成：命题由题设（已知条件）和结论（由已知推出的结果）两部分组成。 2.标准形式：可改写为“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。 3.示例：命题“等角的补角相等”改写为“如果两个角是相等角的补角，那么这两个角相等”。 知识点3：命题的分类 命题类型 定义 判定方法 示例 真命题 正确的命题，题设成立时结论一定成立 通过逻辑推理证明 对顶角相等 假命题 错误的命题，题设成立时结论不一定成立 举出一个反例（符合题设但不符合结论） 相等的角是对顶角 知识点4：定理与证明 1.定理：经过逻辑推理证实的真命题，可作为进一步判断其他命题真假的依据，如“同位角相等，两直线平行”。 2.证明：根据题设、定义、基本事实和定理，通过演绎推理判断命题正确性的推理过程。 3.证明的一般步骤：①写出已知、求证；②画出图形；③分析推理路径；④写出证明过程并注明依据。 知识点5：命题、定理、基本事实的区别与联系 类别 区别 联系 命题 对事情作出判断的陈述句，有真有假 定理和基本事实都是真命题 定理 需通过推理证明的真命题 可作为证明其他命题的依据 基本事实 公认的、无需证明的真命题 是证明定理的基础 【基础必考题型】 【题型1】命题的识别 1.核心知识点 命题的定义（陈述句、作出判断）； 非命题的类型（疑问句、祈使句、作图语句）。 2.解题方法技巧 两步判断法：第一步看是否为陈述句，第二步看是否对事情作出肯定或否定判断； 排除法：直接排除疑问句、祈使句、作图语句。 【例题1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】D 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东潍坊·期末）下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，解题的关键是理解命题是能够判断真假的陈述句；根据命题的定义逐一分析各选项，判断其是否为可以判断真假的陈述句，从而确定正确选项． 【详解】解：A、“过点A作一条射线”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； B、“连接，并延长至点C”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； C、“是锐角三角形吗”是疑问句，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； D、“等角的补角相等”是可以判断真假的陈述句，是命题，此选项符合题意． 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广西贵港·期末）下列语句中不是命题的是（    ） A．连接，两点 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键． 命题是能够判断真假的陈述句，据此分析各选项即可． 【详解】解：A：“连接，两点”是操作指令，无法判断真假，不是命题，故该选项符合题意； B：“对顶角相等”是命题，故该选项不合题意； C：“等角的补角相等”是命题，故该选项不合题意； D：“垂线段最短”是命题，故该选项不合题意． 故选：A． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列语句不是命题的是（   ） A．负数与负数的和仍是负数 B．画线段 C．两个锐角之和是钝角 D．两个负数，绝对值大的反而小 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，解题的关键是掌握命题的定义． 命题是可以判断真假的陈述句，据此逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A选项是可判断真假的陈述句，属于命题； B选项是操作类指令，不是可判断真假的陈述句，不属于命题； C选项是可判断真假的陈述句，属于命题； D选项是可判断真假的陈述句，属于命题； 故选：B． 【题型2】命题的题设与结论拆分 1.核心知识点 命题的组成（题设、结论）； 命题的标准形式（“如果……那么……”）。 2.解题方法技巧 改写转化：将非标准命题改写为“如果……那么……”的形式，明确题设和结论； 提取关键：不含“如果……那么……”的命题，先找出“已知什么”（题设）和“推出什么”（结论），再补充连接词改写。 【例题2】.（25-26八年级上·广西柳州·期末）请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式： ． 【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【分析】本题考查命题的改写，关键是准确区分命题的题设与结论．原命题中，“一个三角形有两个角相等”是题设，“这个三角形是等腰三角形”是结论，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“一个三角形有两个角相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”，因此改写成“如果，那么”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·福建宁德·期末）命题：如果，，那么．该命题的结论是 ． 【答案】 【分析】本题考查了命题的结论，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 根据“那么”后面是结论作答即可 【详解】解：该命题中，“如果，”是条件，“那么”是结论， 因此结论是． 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是： ，结论是： ． 【答案】 一个三角形的三个角都相等 这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，本题中，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”可得， 条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”， 故答案为：一个三角形的三个角都相等；这个三角形是等边三角形． 【变式题2-3】.（24-25八年级上·上海松江·月考）把命题“全等三角形的对应高线相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等 【分析】此题考查命题的结构，根据命题的改写规则，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论．原命题的条件是两个三角形全等，结论是它们的对应高线相等． 【详解】原命题“全等三角形的对应高线相等”中，“全等三角形”是条件，“对应高线相等”是结论． 因此，改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等． 故答案为如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等． 【题型3】真命题与假命题的判断 1.核心知识点 真命题的证明依据（定义、基本事实、定理）； 假命题的判定方法（举反例）。 2.解题方法技巧 真命题：结合已学定义、定理推理验证，确认题设成立时结论必成立； 假命题：找出一个反例，即符合题设但不符合结论的具体例子，如判断“相等的角是对顶角”为假命题，反例为“等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角”。 【例题3】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D．同旁内角互补 【答案】A 【分析】本题考查真命题的判断，平行线的性质和判定，同旁内角，锐角和钝角，掌握相关知识是解决问题的关键．需根据平行线的性质、锐角和钝角的概念、垂直的性质等知识逐一分析选项． 【详解】解： A、两直线平行，同位角相等，这是正确的，是真命题； B、 两个锐角的和可能是锐角或直角，不一定是钝角，原命题错误，是假命题； C、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，原命题缺少“在同一平面内”，是假命题； D、同旁内角只有在两直线平行时才互补，原命题错误，是假命题． 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建·期末）下列命题中，属于真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角相等 C．同位角相等 D．内错角相等 【答案】A 【分析】此题考查了真假命题的判断． 根据对顶角的性质与平行线的性质，逐一判断各命题的真假即可． 【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等，∴选项A是真命题． ∵只有在两直线平行的前提下，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补才成立，选项B、C、D均缺少该前提条件， ∴选项B、C、D是假命题． 综上，属于真命题的是A． 故选：A 【变式题3-2】.（25-26八年级上·四川巴中·期末）下列命题中，真命题有（    ）个 ①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若，那么；④病毒都不能独立生活． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查判断真假命题，涉及数学，物理、生物等知识，逐项判断真假即可． 【详解】解：①∵相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，∴①是假命题； ②∵声源振动越快，频率越高，音调越高，这是声学基本规律，∴②是真命题； ③∵当时，，但，∴“若，那么”不成立，③是假命题； ④∵病毒无细胞结构，必须寄生在活细胞内才能生活，不能独立生活，∴④是真命题； 综上，真命题共2个， 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断命题真假：①为公理，是真命题；②为平行线判定定理，是真命题；③存在反例，是假命题；④存在反例，，，是假命题.，故真命题共2个，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两点之间线段最短，是真命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等则两直线平行，是真命题； ③取，则但，故是假命题； ④取，，，则且但，故是假命题； 故真命题有2个， 故选：B． 【题型4】反例的构造 1.核心知识点 反例的定义（符合题设、不符合结论）； 假命题的特征。 2.解题方法技巧 紧扣题设：反例必须满足命题的已知条件； 否定结论：反例需明确不满足命题的结论； 简洁具体：优先选择简单、直观的例子（如角度、线段长度）。 【例题4】.（25-26八年级上·浙江湖州·期末）命题“实数的平方是正数”是假命题，可以举反例 ． 【答案】0 【分析】此题考查了举反例，举反例，此时，不是正数，故命题为假命题． 【详解】解：当时，，0不是正数， 因此命题“实数a的平方是正数”是假命题． 故答案为：0． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例即可，则反例中的n可以为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题．本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 【详解】解：时，，符合题意； 而当时虽然满足小于，但是计算结果也成立，故不能作为反例，故不符合题意； 故选：A． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）请举反例说明命题“对于任意有理数，的值总是整数”是假命题，你举的反例是 ．（写出一个的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反例，解题的关键是掌握反例的定义． 根据反例的定义进行求解即可． 【详解】解：当时，， 不是整数，故命题为假， 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 【答案】(1)2是偶数，但2不是4的整数倍（答案不唯一） (2)是有理数，但不是正数（答案不唯一） (3)角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】（1）解：偶数，，不是整数，所以不是的整数倍，说明“任何偶数都是的整数倍”是假命题． 所以反例为：2是偶数，但2不是4的整数倍； （2）解：当时，，是负数，不是正数，说明“对于任意有理数，代数式的值总是正数”是假命题． 所以反例为：是有理数，但不是正数； （3）解：在角平分线分成的两个角，它们有公共顶点且相等，但不是对顶角，说明“有公共顶点且相等的角是对顶角”是假命题． 所以反例为：角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角． 【培优高频题型】 【题型5】命题的改写与完善 1.核心知识点 命题的组成； 标准形式的改写技巧。 2.解题方法技巧 调整语序：改写时保持原意不变，适当调整语句顺序使逻辑通顺； 补充细节：对于省略条件或结论的命题，补充必要信息，确保题设和结论完整，如“垂直于同一直线的两条直线平行”改写为“如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”。 【例题5】.（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 【变式题5-1】.（23-24八年级下·浙江杭州·月考）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 【变式题5-2】.（2024八年级上·全国·专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： 【答案】已知：中，，是边上的中线．求证：平分 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论是解题的关键． 结合几何图形写出已知条件和结论即可． 【详解】解：由题意知，已知：中，，是边上的中线． 求证：平分． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·江苏无锡·月考）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先在下面方框中画出相应的图形（标注好所需要的字母），并判断此命题是__________命题（填“真”或“假”） ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，若，求的度数． 【答案】（1）①见解析，真命题；②见解析；（2）． 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）①根据题意、结合图形写出已知和求证，再进行判断； ②根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明． （2）根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】解：（1）①如图， 命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题， 故答案为：真命题； ②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴该命题是真命题． （2）解：， ． ， ． 又，可解得． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）， 又，可解得 ． 【题型6】证明过程的依据补充 1.核心知识点 证明的逻辑依据（定义、基本事实、定理）； 平行线的判定与性质、对顶角相等、邻补角互补等基础性质。 2.解题方法技巧 顺推分析：根据证明步骤，结合图形和已知条件，判断该步推理依赖的定义、定理或基本事实； 精准匹配：区分“判定”与“性质”，如由角相等推平行用平行线判定定理，由平行推角相等用平行线性质定理。 【例题6】.（23-24八年级下·陕西榆林·月考）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的外角性质的证明，反证法等知识，根据三角形的内角和定理和邻补角互补即可证明，掌握三角形的内角和与反证法的解题思路是解题的关键． 【详解】证明：假设． 在中，， ． ， ， ， 与假设相矛盾， 假设不成立， 原命题成立，即． 故答案为：；；；；，不成立． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·北京·期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整． 解：， ． ， ① ． 又，可解得（ ② ）． ， ． ， ③ ．（④此处填推理的依据） 又，可解得（ ⑤ ） （ ⑥ ）． 【答案】（1）①见解析，真命题；②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．（2）①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）①根据题意、结合图形写出已知和求证，再进行判断； ②根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明． （2）根据推理过程填写所缺少内容即可． 【详解】解：（1）①如图， 命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题； ②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴∴， ∴， ∴该命题是真命题． （2）解：， ． ， ． 又，可解得． ， ． ， ．（两直线平行，内错角相等） 又，可解得 ． 故答案为：①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120 【变式题6-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可； （2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②） （2）证明：选条件：①②，结论：③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 选条件：①③，结论：② ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 选条件：②③，结论：① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：所得命题是真命题，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型7】根据论断组命题并证明 1.核心知识点 命题的组成与证明步骤； 几何图形的性质与推理。 2.解题方法技巧 组合筛选：从给出的多个论断中，选择两个作为题设，一个作为结论，组成可能的命题； 证明验证：逐一验证组成的命题，通过逻辑推理证明真命题，举反例否定假命题。 【例题7】.（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有 （填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【答案】(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内． 请你根据下列要求从①，②，③，④中选择三项，其中两项作为条件，另一项作为结论写出命题（用“如果……，那么……”的形式） (1)写出一个真命题． (2)写出一个假命题，并举出反例． 【答案】(1)选择②③作为条件，①作为结论，如果，那么 (2)选择②③作为条件，④作为结论．如果，那么． 反例：如图．如果，那么． 【分析】（1）根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，即可确定选择的条件和结论． （2）根据图形及平行线的判定，平面内，两条直线都跟同一条直线垂直，这两条直线不可能垂直，即可解决写出假命题的问题． 【详解】（1）解：选择作为条件，作为结论， 如果，，那么． （2）解：选择作为条件，作为结论， 如果，，那么． 反例：如图，如果，，那么． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及命题的真假判断等知识点，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键，这些定理是判断由条件能否推出结论，从而确定命题真假的核心依据． 【题型8】几何命题的完整证明 1.核心知识点 证明的完整步骤； 几何图形的性质与推理逻辑。 2.解题方法技巧 明确已知求证：根据命题准确提炼已知条件和待证结论，注意图形中的隐含条件（如对顶角、邻补角）； 构建思路：采用“顺推法”（由已知推结论）或“逆推法”（由结论找需满足的条件），梳理推理路径； 规范书写：证明过程步骤清晰，每一步注明依据，逻辑严谨。 【例题8】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】(1)假 (2)添加，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 【详解】（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·陕西榆林·月考）如图，已知直线、，连接，，点、分别在、上，连接．现有以下选项：①；②；③． (1)请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题； (2)判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例． 【答案】(1)如果，，那么 (2)真命题，见解析 【分析】（1）根据命题书写格式，按照“如果…那么…”的形式写出即可； （2）利用平行线的判定定理证明即可． 本题考查了命题的书写格式，平行线的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，①；②为条件，③是结论， 故命题写作：如果，，那么． （2）证明：该命题为真命题，理由如下： ， ， ， ， ， ． 【变式题8-2】.（2025七年级下·上海·专题练习）如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ，， ， ， ， ， ， ； 选择①③为题设，②为结论， ，， ， ， ， ∴， ， ； 选择②③为题设，①为结论， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知，与交于点G． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不是真命题，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）根据平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：两边分别平行的两个角相等是假命题， 如图②，， ，． ， ． 即两边分别平行的两个角相等或互补，原命题不是真命题． 易错点 1.混淆命题与非命题，误将疑问句、祈使句或作图语句当作命题； 2.改写命题时，改变原命题的含义或遗漏关键条件（如忽略“同一平面内”）； 3.判断假命题时，举的反例不符合题设条件或无法否定结论； 4.证明过程中，混淆“平行线的判定”与“性质”，误用推理依据； 5.忽略命题的隐含条件，导致判断或证明错误（如几何命题中未考虑图形的位置关系）。 重点 1.掌握定义、命题的概念，能准确识别命题，区分命题与非命题； 2.熟练拆分命题的题设与结论，能将命题改写为“如果……那么……”的标准形式； 3.会判断命题的真假，能为假命题构造恰当的反例； 4.理解定理与证明的含义，能补充证明过程中的推理依据； 5.能结合几何图形，进行简单命题的证明，规范书写已知、求证和证明过程。 难点 1.复杂命题的题设与结论拆分，尤其是省略连接词的命题； 2.几何命题的完整证明，包括构建推理思路、规范书写证明过程； 3.根据多个论断组合真命题并证明，需兼顾题设与结论的合理性； 4.跨学科或自定义情境中命题的判断，需准确理解情境规则并结合命题定义； 5.举反例时，确保反例的典型性和有效性，准确否定假命题的结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 3．下列正确的选项是（   ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．说明命题“如果，那么”是假命题的反例是： C．“作线段”这句话是命题 D．“对顶角相等”是定义 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义、真命题与假命题的判断、反例的概念以及定义和定理的区别．关键在于明确相关核心概念：命题是能够判断真假的陈述句；真命题是正确的命题，假命题是错误的命题，举反例可证明假命题；定义是对概念本质属性的描述，定理是经过逻辑推理证明的真命题． 【详解】解：∵同旁内角互补的成立条件是两直线平行，无此前提时同旁内角不一定互补，∴命题“同旁内角互补”是假命题，故A错误； ∵，时，，满足题设，但，不满足结论， ∴该例子是说明原命题为假命题的反例，故B正确； ∵命题是可以判断真假的陈述句，“作线段”是操作指令，无法判断真假， ∴它不是命题，故C错误； ∵“对顶角相等”是经过推理证明的真命题，属于定理，而定义是对概念的本质描述， ∴D错误； 故选：B． 4．下列语句中，不是命题的是（    ） A．两个锐角的和一定小于平角 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．若，，则 D．三角形的外角大于任何一个内角 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，关键是根据定义进行判断；命题是可以判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵命题的定义是可以判断真假的陈述句， ∴A选项是可以判断真假的陈述句，是命题； B选项是祈使句，无法判断真假，不是命题； C选项是可以判断真假的陈述句，是命题； D选项是可以判断真假的陈述句，是命题； ∴不是命题的是B选项， 故答案选：B． 5．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题和反例，解题的关键是掌握反例的定义． 假命题的反例需满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此分析选项即可． 【详解】解：∵当，时， ∴，，即成立， 又∵，即不成立， ∴此例可作为原命题的反例， 故选：B． 二、填空题 6．把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0 【分析】本题主要考查了命题，原命题可分解为条件部分“一个数是正数”和结论部分“它的绝对值大于0”，然后套用“如果…，那么…”的结构进行改写． 【详解】解：命题“正数的绝对值大于0”中，“正数”是条件，“绝对值大于0”是结论，因此改写为“如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0”． 故答案为：如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0． 7．请你用“如果那么”的形式写出一个真命题 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题，选择一个真命题，再按要求写成“如果那么”的形式即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”是一个真命题， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．（答案不唯一） 8．下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 9．“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确把握命题与定理的定义是解题关键．直接利用命题以及定理的定义分析得出即可． 【详解】解：由命题的定义可知：“垂线段最短”是命题，所以①正确， 由“垂线段最短”是定理，再结合所有的定理都是真命题可得②错误，③④正确． 故答案为：①③④． 10．判断命题“如果为有理数，那么是假命题，可以举出一个反例是 ． 【答案】（即可） 【分析】根据绝对值的定义，当a为负数时，，因此命题不成立． 本题考查了绝对值的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得当时，， 故命题是假命题； 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 11．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举反例加以说明． (1)如果，那么C是AB的中点． (2)三条线段长分别为a，b，c，如果，那么这三条线段一定能组成三角形． (3)三角形的内角和等于180°． 【答案】(1)假命题．反例：当点C在AB的延长线上，且时，不是的中点． (2)假命题．反例：当时，，但长为5，1，3的三条线段不能组成三角形． (3)真命题 【分析】（1）利用点在线段的延长线上，并且满足，判断此时是不是的中点； （2）任意写出三个不相等的数，满足，但不能组成三角形，据此即可判断； （3）根据三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）解：假命题．反例：当点在线段的延长线上，且时，不是的中点． （2）解：假命题．反例：当时，，但长为，，的三条线段不能组成三角形． （3）解：真命题． 【点睛】本题考查的是判断命题真假的题目，关键是判断命题的说法是否正确． 12．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 【答案】(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．条件是一个数是偶数，结论是这个数是4的倍数．是假命题． (2)如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是，结论是这个数能被5整除，结论是这个数能被5整除．是真命题． (3)如果两个数是负数，那么它们的积是正数．条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【分析】（1）（2）（3）分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面，然后判断真假即可． 【详解】（1）解：如果一个数是偶数，那么这个数是的倍数． 条件是一个数是偶数，结论是这个数是的倍数．是假命题． （2）解：如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是5，结论是这个数能被整除． 条件是一个数是末位数字为的整数，结论是这个数能被整除．是真命题． （3）解：如果两个数是负数，那么它们的积是正数． 条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，真命题与假命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 13．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 14．有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： (1)队的战绩是几胜，几平，几负？ (2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ (3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 【答案】(1)3胜0平1负 (2)A队能出线 (3)队能出线 【分析】本题考查了不等式的应用，二元一次方程的应用及逻辑推理，根据球队的积分判断出胜负的场次是解题的关键． （1）五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，队的积分为9分，就可以得到队的胜负情况； （2）利用队的胜负以及另一队战绩为全胜情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断； （3）利用队的胜负以及另一队战绩为积分10分情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断． 【详解】（1）解：个队进行单循环足球比赛， 每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次， 设队胜，平， ． ， 得：，，故队的战绩是3胜0平1负． （2）解：小组赛中有一个队的战绩为全胜，队的积分为9分， 其他队最多可以胜2场比赛，故最多可得6分， 队能出线； （3）解：假设是队的战绩为10分．它就是3胜1平0负， 可以看出，队只败给了队，即、、都负于队了， 3队里有1队和队平了1次，其他2队都负于队， 、、，3队里积分最高的是2胜1平1负，有7分． ∴队出线了． 15．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【答案】(1)是命题 (2)是命题 (3)不是命题 【分析】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 【详解】（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 定义、命题、定理 知识点1：定义与命题的概念 1.定义：用明确的语句描述某个名词的确切含义的语句叫做定义，如“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”。 2.命题：判断一件事情的陈述句叫做命题，它必须对事情作出肯定或否定判断，疑问句、祈使句、作图语句都不是命题。 知识点2：命题的组成与形式 1.组成：命题由题设（已知条件）和结论（由已知推出的结果）两部分组成。 2.标准形式：可改写为“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。 3.示例：命题“等角的补角相等”改写为“如果两个角是相等角的补角，那么这两个角相等”。 知识点3：命题的分类 命题类型 定义 判定方法 示例 真命题 正确的命题，题设成立时结论一定成立 通过逻辑推理证明 对顶角相等 假命题 错误的命题，题设成立时结论不一定成立 举出一个反例（符合题设但不符合结论） 相等的角是对顶角 知识点4：定理与证明 1.定理：经过逻辑推理证实的真命题，可作为进一步判断其他命题真假的依据，如“同位角相等，两直线平行”。 2.证明：根据题设、定义、基本事实和定理，通过演绎推理判断命题正确性的推理过程。 3.证明的一般步骤：①写出已知、求证；②画出图形；③分析推理路径；④写出证明过程并注明依据。 知识点5：命题、定理、基本事实的区别与联系 类别 区别 联系 命题 对事情作出判断的陈述句，有真有假 定理和基本事实都是真命题 定理 需通过推理证明的真命题 可作为证明其他命题的依据 基本事实 公认的、无需证明的真命题 是证明定理的基础 【基础必考题型】 【题型1】命题的识别 1.核心知识点 命题的定义（陈述句、作出判断）； 非命题的类型（疑问句、祈使句、作图语句）。 2.解题方法技巧 两步判断法：第一步看是否为陈述句，第二步看是否对事情作出肯定或否定判断； 排除法：直接排除疑问句、祈使句、作图语句。 【例题1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东潍坊·期末）下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广西贵港·期末）下列语句中不是命题的是（    ） A．连接，两点 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列语句不是命题的是（   ） A．负数与负数的和仍是负数 B．画线段 C．两个锐角之和是钝角 D．两个负数，绝对值大的反而小 【题型2】命题的题设与结论拆分 1.核心知识点 命题的组成（题设、结论）； 命题的标准形式（“如果……那么……”）。 2.解题方法技巧 改写转化：将非标准命题改写为“如果……那么……”的形式，明确题设和结论； 提取关键：不含“如果……那么……”的命题，先找出“已知什么”（题设）和“推出什么”（结论），再补充连接词改写。 【例题2】.（25-26八年级上·广西柳州·期末）请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式： ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·福建宁德·期末）命题：如果，，那么．该命题的结论是 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是： ，结论是： ． 【变式题2-3】.（24-25八年级上·上海松江·月考）把命题“全等三角形的对应高线相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【题型3】真命题与假命题的判断 1.核心知识点 真命题的证明依据（定义、基本事实、定理）； 假命题的判定方法（举反例）。 2.解题方法技巧 真命题：结合已学定义、定理推理验证，确认题设成立时结论必成立； 假命题：找出一个反例，即符合题设但不符合结论的具体例子，如判断“相等的角是对顶角”为假命题，反例为“等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角”。 【例题3】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D．同旁内角互补 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建·期末）下列命题中，属于真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角相等 C．同位角相等 D．内错角相等 【变式题3-2】.（25-26八年级上·四川巴中·期末）下列命题中，真命题有（    ）个 ①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若，那么；④病毒都不能独立生活． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4】反例的构造 1.核心知识点 反例的定义（符合题设、不符合结论）； 假命题的特征。 2.解题方法技巧 紧扣题设：反例必须满足命题的已知条件； 否定结论：反例需明确不满足命题的结论； 简洁具体：优先选择简单、直观的例子（如角度、线段长度）。 【例题4】.（25-26八年级上·浙江湖州·期末）命题“实数的平方是正数”是假命题，可以举反例 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例即可，则反例中的n可以为（    ） A． B． C．0 D．2 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）请举反例说明命题“对于任意有理数，的值总是整数”是假命题，你举的反例是 ．（写出一个的值即可） 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 【培优高频题型】 【题型5】命题的改写与完善 1.核心知识点 命题的组成； 标准形式的改写技巧。 2.解题方法技巧 调整语序：改写时保持原意不变，适当调整语句顺序使逻辑通顺； 补充细节：对于省略条件或结论的命题，补充必要信息，确保题设和结论完整，如“垂直于同一直线的两条直线平行”改写为“如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”。 【例题5】.（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【变式题5-1】.（23-24八年级下·浙江杭州·月考）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【变式题5-2】.（2024八年级上·全国·专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： 【变式题5-3】.（24-25七年级下·江苏无锡·月考）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先在下面方框中画出相应的图形（标注好所需要的字母），并判断此命题是__________命题（填“真”或“假”） ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，若，求的度数． 【题型6】证明过程的依据补充 1.核心知识点 证明的逻辑依据（定义、基本事实、定理）； 平行线的判定与性质、对顶角相等、邻补角互补等基础性质。 2.解题方法技巧 顺推分析：根据证明步骤，结合图形和已知条件，判断该步推理依赖的定义、定理或基本事实； 精准匹配：区分“判定”与“性质”，如由角相等推平行用平行线判定定理，由平行推角相等用平行线性质定理。 【例题6】.（23-24八年级下·陕西榆林·月考）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·北京·期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整． 解：， ． ， ① ． 又，可解得（ ② ）． ， ． ， ③ ．（④此处填推理的依据） 又，可解得（ ⑤ ） （ ⑥ ）． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【变式题6-3】.（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【压轴素养题型】 【题型7】根据论断组命题并证明 1.核心知识点 命题的组成与证明步骤； 几何图形的性质与推理。 2.解题方法技巧 组合筛选：从给出的多个论断中，选择两个作为题设，一个作为结论，组成可能的命题； 证明验证：逐一验证组成的命题，通过逻辑推理证明真命题，举反例否定假命题。 【例题7】.（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有 （填序号）． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内． 请你根据下列要求从①，②，③，④中选择三项，其中两项作为条件，另一项作为结论写出命题（用“如果……，那么……”的形式） (1)写出一个真命题． (2)写出一个假命题，并举出反例． 【题型8】几何命题的完整证明 1.核心知识点 证明的完整步骤； 几何图形的性质与推理逻辑。 2.解题方法技巧 明确已知求证：根据命题准确提炼已知条件和待证结论，注意图形中的隐含条件（如对顶角、邻补角）； 构建思路：采用“顺推法”（由已知推结论）或“逆推法”（由结论找需满足的条件），梳理推理路径； 规范书写：证明过程步骤清晰，每一步注明依据，逻辑严谨。 【例题8】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·陕西榆林·月考）如图，已知直线、，连接，，点、分别在、上，连接．现有以下选项：①；②；③． (1)请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题； (2)判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例． 【变式题8-2】.（2025七年级下·上海·专题练习）如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知，与交于点G． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由． 易错点 1.混淆命题与非命题，误将疑问句、祈使句或作图语句当作命题； 2.改写命题时，改变原命题的含义或遗漏关键条件（如忽略“同一平面内”）； 3.判断假命题时，举的反例不符合题设条件或无法否定结论； 4.证明过程中，混淆“平行线的判定”与“性质”，误用推理依据； 5.忽略命题的隐含条件，导致判断或证明错误（如几何命题中未考虑图形的位置关系）。 重点 1.掌握定义、命题的概念，能准确识别命题，区分命题与非命题； 2.熟练拆分命题的题设与结论，能将命题改写为“如果……那么……”的标准形式； 3.会判断命题的真假，能为假命题构造恰当的反例； 4.理解定理与证明的含义，能补充证明过程中的推理依据； 5.能结合几何图形，进行简单命题的证明，规范书写已知、求证和证明过程。 难点 1.复杂命题的题设与结论拆分，尤其是省略连接词的命题； 2.几何命题的完整证明，包括构建推理思路、规范书写证明过程； 3.根据多个论断组合真命题并证明，需兼顾题设与结论的合理性； 4.跨学科或自定义情境中命题的判断，需准确理解情境规则并结合命题定义； 5.举反例时，确保反例的典型性和有效性，准确否定假命题的结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 3．下列正确的选项是（   ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．说明命题“如果，那么”是假命题的反例是： C．“作线段”这句话是命题 D．“对顶角相等”是定义 4．下列语句中，不是命题的是（    ） A．两个锐角的和一定小于平角 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．若，，则 D．三角形的外角大于任何一个内角 5．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式： ． 7．请你用“如果那么”的形式写出一个真命题 ． 8．下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 9．“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是 ． 10．判断命题“如果为有理数，那么是假命题，可以举出一个反例是 ． 三、解答题 11．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举反例加以说明． (1)如果，那么C是AB的中点． (2)三条线段长分别为a，b，c，如果，那么这三条线段一定能组成三角形． (3)三角形的内角和等于180°． 12．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 13．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 14．有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： (1)队的战绩是几胜，几平，几负？ (2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ (3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 15．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $