专题7.1 相交线（4大知识点总结+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

专题7.1 相交线 核心知识点 常考考点 高频易错点 图例 1.对顶角与邻补角（定义、性质） 1.识别对顶角（如∠1与∠3）与邻补角（如∠1与∠2）； 2.利用“对顶角相等”“邻补角互补”求角度； 3.多线相交时对顶角、邻补角的计数 1.混淆对顶角与邻补角概念（忽略“反向延长线”“公共边”条件）； 2.多线相交时漏数对顶角或邻补角； 3.计算时忽略邻补角的互补关系（和为） 2.垂线（定义、画法、性质） 1.判定两条直线垂直； 2.过一点画已知直线的垂线； 3.利用“垂直得直角”求角度 1.画垂线时未标注垂足或垂直符号； 2.忽略“同一平面内”过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的前提； 3.误将“垂线”与“垂线段”混淆（前者是直线，后者是线段） 3.垂线段与点到直线的距离 1.利用“垂线段最短”解决实际问题； 2.识别并测量点到直线的距离； 3.比较线段长度（结合垂线段最短） 1.混淆“垂线段”与“点到直线的距离”（前者是图形，后者是长度）； 2.应用“垂线段最短”时未明确“直线外一点到直线”的前提； 3.测量点到直线距离时未找垂线段 4.同位角、内错角、同旁内角（定义、识别） 1.在简单图形中识别三类角；同位角（如∠1与∠2）；内错角（如∠1与∠4）；同旁内角（如∠1与∠3） 2.在复杂图形中分离“三线八角”并识别； 3.结合图形描述角的形成（哪两条直线被哪条直线所截） 1.识别时漏看“被截直线”与“截线”； 2.混淆内错角与同旁内角的位置特征； 3.复杂图形中未分离基本图形导致漏角 【易错题型】 【题型1】三线八角与对顶角、邻补角概念混淆 1.易错点总结 概念混淆：误将邻补角当作对顶角（忽略“无公共边”条件），或误将同位角当作内错角（忽略“被截直线之间/外侧”位置）； 漏角问题：复杂图形中未分离“三线”，导致漏数对顶角、邻补角或三类角； 位置判断错误：识别三类角时，未明确“截线”（共线的边）与“被截直线”（不共线的边）。 2.纠错技巧 三步定位法：第一步找公共顶点（对顶角、邻补角必共顶点，三类角无公共顶点）；第二步看边的关系（对顶角两边反向延长线，邻补角一边公共、另一边反向延长线）；第三步定类型（无公共顶点→看截线与被截直线的位置→判三类角）； 分离图形法：复杂图形中用虚线框出“三线八角”基本图形，再识别角的类型； 验证原则：对顶角必相等，邻补角必互补，三类角无固定大小关系，可通过此验证判断是否识别错误。 【例题1】.（23-24七年级上·甘肃武威·期中）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线相交所成的角是对顶角 C．对顶角相等 D．有公共顶点且相等的角是对顶角 【变式题1-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）看图判断正误．（正确的在括号内画“√”，错误的画“×”） （1）与是同位角．( ) （2）与是同位角．( ) （3）与是内错角．( ) （4）与是同旁内角．( ) （5）与是同旁内角．( ) 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【基础题型】 【题型2】对顶角与邻补角的识别 1.考点总结 核心：依据定义判断两个角是否为对顶角（共顶点、两边反向延长线）或邻补角（共顶点、共一边、另一边反向延长线、互补）； 常见形式：两线相交、多线相交的图形中识别指定角的对顶角或邻补角。 2.解题技巧 对顶角识别：先找公共顶点，再看两边是否互为反向延长线（可反向延长角的两边验证）； 邻补角识别：先找公共顶点和公共边，再看另一边是否互为反向延长线，最后验证和为； 口诀记忆：“对顶必共顶，两边反延长；邻补必共边，另一边反向”。 【例题2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（23-24七年级下·新疆和田·期中）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ． 【变式题2-2】.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（    ） ①对顶角相等； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【题型3】利用对顶角、邻补角性质求角度 1.考点总结 核心：运用“对顶角相等”“邻补角互补（和为）”计算未知角的度数； 常见形式：两线相交、含射线（如角平分线）的简单图形计算。 2.解题技巧 标注已知角：先在图形中标记已知角的度数； 找关系：判断未知角与已知角是对顶角（相等）还是邻补角（互补）； 列算式：对顶角→未知角=已知角；邻补角→未知角=已知角。 【例题3】.（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，A、O、B在一条直线上，、分别是、的角平分线，则的度数是 度． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、相交于O，且于O，则 ①与互为 角； ②与叫 角； ③与互为 角．    【变式题3-3】.（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在内部任意画一条射线，平分，平分． 根据图形填空： (1)______；______；______； (2)若，则______； (3)若点，，三点在一条直线上，则______；的补角是______，余角是______． 【题型4】垂线的规范画法 1.考点总结 核心：掌握“过直线上一点”“过直线外一点”画已知直线垂线的方法，标注垂足与垂直符号； 常见形式：按要求用三角板画垂线，或判断画法是否正确。 2.解题技巧 三步画法：一“落”（三角板一条直角边落在已知直线上）；二“移”（移动三角板，使另一条直角边过已知点）；三“画”（沿直角边画直线，标注垂足“”）； 注意事项：画线段、射线的垂线时，需延长线段/射线至与垂线相交，再标注垂足。 【例题4】.（2021七年级下·全国·专题练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【变式题4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，分别以线段a，c为一直角边和斜边，作直角三角形． 【变式题4-2】.（2025—2026学年第一学期学业水平质量监测七年级数学试卷）如图，有、、、四个点，请按下列语句画出相应图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)画点到直线的垂线段，垂足为． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【题型5】“垂线段最短”的实际应用 1.考点总结 核心：运用“连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”解决实际问题； 常见情境：工程选址（如水泵站、管道铺设）、最短路径问题。 2.解题技巧 转化图形：将实际问题中的“直线”（如河岸、公路）和“点”（如村庄、水泵站位置）转化为几何图形； 画垂线段：过点作直线的垂线段，垂线段的长度即为最短距离； 说明理由：引用“垂线段最短”作为依据。 【例题5】.（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【变式题5-1】.（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·四川宜宾·期末）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点A为直线外一点，且于点C，，点P是直线上的动点，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．4.5 D．5 【题型6】同位角、内错角、同旁内角的基础识别 1.考点总结 核心：在“三线八角”基本图形中，识别指定的同位角、内错角或同旁内角； 常见形式：两条直线被第三条直线所截的简单图形，判断角的类型。 2.解题技巧 找截线：先找出与两个角都相交的直线（截线，共线的边）； 定位置：同位角（截线同侧，被截直线同一方，（如∠1与∠2））；内错角（截线两侧，被截直线之间，（如∠1与∠4））；同旁内角（截线同侧，被截直线之间，（如∠1与∠3））； 验证：分离出“三线”基本图形，再次确认位置关系。 【例题6】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图所示的5个角中，与 是同位角． 【变式题6-1】.（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，与是一对（   ） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与是（   ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 【培优题型】 【题型7】复杂图形中三线八角的识别 1.考点总结 核心：在多线相交的复杂图形中，分离“三线八角”基本图形，识别指定角的类型或形成过程； 常见形式：三条以上直线相交，判断某两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的角。 2.解题技巧 分离法：用虚线框出包含两个角的“三线”（两条被截直线、一条截线），排除其他干扰直线； 描述规范：先说明被截直线（不共线的两条直线），再说明截线（共线的直线），最后判断角的类型； 反向验证：根据角的类型（如内错角），反向检查是否符合“截线两侧、被截直线之间”的特征。 【例题7】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，，两两相交．请分别指出图中，，，中的同位角、内错角和同旁内角，并任选一对角，说明它们是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的． 【变式题7-1】.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线交于点G，交于点M． (1)图中有多少对对顶角？ (2)图中有多少对邻补角？ (3)图中有多少对同位角？ (4)图中有多少对同旁内角？ (5)写出图中的内错角． 【题型8】直线相交中角的对数规律探究 1.考点总结 核心：通过2条、3条直线相交的特殊情况，归纳n条直线相交于一点或两两相交（无三线共点）时，对顶角、同位角、内错角、同旁内角的对数规律； 常见形式：填空找规律、用含n的式子表示对数、结合规律解决计数问题。 2.解题技巧 分类探究：①n条直线相交于一点：对顶角对数为，1条截线与n条相交直线（非平行）形成的同位角对、内错角和同旁内角各对； ②n条直线两两相交（无三线共点）：对顶角对数仍为（多个交点对顶角求和） 【例题8】.（24-25七年级下·江西上饶·月考）（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 【变式题8-1】.（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【变式题8-2】.（23-24七年级下·全国·课后作业）观察下面表格，并阅读相关文字： 示意图                     … 相交情况 1条直线与2条直线相交 1条直线与3条直线相交 1条直线与4条直线相交 … 同位角对数 （）对 （）对 （）对 … 内错角对数 （）对 （）对 （）对 … 同旁内角对数 （）对 （）对 （）对 … 则由上述规律可知： (1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（　　） A．12对     B．8对      C．6对       D．4对 【变式题8-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东聊城·月考）如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南开封·月考）如图，直线，被直线所截，且，则的对顶角与的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 3．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线AB，CD相交于点O，试说明：．解：∵，（），∴（）．在解题过程中“”和“”表示正确的是（   ） A．“”表示同旁内角互补 B．“”表示邻补角的定义 C．“”表示同角的余角相等 D．“”表示对顶角相等 4．（25-26七年级上·宁夏中卫·期末）如图，O为直线上的一点，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江西九江·期末）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点．若，则 °． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有 个． 9．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）如图，点是直线上一点，射线平分，射线平分，若，则 ． 10．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则 三、解答题 11．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角． 13．（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 15．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，直线与直线相交于点，在同一平面内以为顶点引射线． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 相交线 核心知识点 常考考点 高频易错点 图例 1.对顶角与邻补角（定义、性质） 1.识别对顶角（如∠1与∠3）与邻补角（如∠1与∠2）； 2.利用“对顶角相等”“邻补角互补”求角度； 3.多线相交时对顶角、邻补角的计数 1.混淆对顶角与邻补角概念（忽略“反向延长线”“公共边”条件）； 2.多线相交时漏数对顶角或邻补角； 3.计算时忽略邻补角的互补关系（和为） 2.垂线（定义、画法、性质） 1.判定两条直线垂直； 2.过一点画已知直线的垂线； 3.利用“垂直得直角”求角度 1.画垂线时未标注垂足或垂直符号； 2.忽略“同一平面内”过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的前提； 3.误将“垂线”与“垂线段”混淆（前者是直线，后者是线段） 3.垂线段与点到直线的距离 1.利用“垂线段最短”解决实际问题； 2.识别并测量点到直线的距离； 3.比较线段长度（结合垂线段最短） 1.混淆“垂线段”与“点到直线的距离”（前者是图形，后者是长度）； 2.应用“垂线段最短”时未明确“直线外一点到直线”的前提； 3.测量点到直线距离时未找垂线段 4.同位角、内错角、同旁内角（定义、识别） 1.在简单图形中识别三类角；同位角（如∠1与∠2）；内错角（如∠1与∠4）；同旁内角（如∠1与∠3） 2.在复杂图形中分离“三线八角”并识别； 3.结合图形描述角的形成（哪两条直线被哪条直线所截） 1.识别时漏看“被截直线”与“截线”； 2.混淆内错角与同旁内角的位置特征； 3.复杂图形中未分离基本图形导致漏角 【易错题型】 【题型1】三线八角与对顶角、邻补角概念混淆 1.易错点总结 概念混淆：误将邻补角当作对顶角（忽略“无公共边”条件），或误将同位角当作内错角（忽略“被截直线之间/外侧”位置）； 漏角问题：复杂图形中未分离“三线”，导致漏数对顶角、邻补角或三类角； 位置判断错误：识别三类角时，未明确“截线”（共线的边）与“被截直线”（不共线的边）。 2.纠错技巧 三步定位法：第一步找公共顶点（对顶角、邻补角必共顶点，三类角无公共顶点）；第二步看边的关系（对顶角两边反向延长线，邻补角一边公共、另一边反向延长线）；第三步定类型（无公共顶点→看截线与被截直线的位置→判三类角）； 分离图形法：复杂图形中用虚线框出“三线八角”基本图形，再识别角的类型； 验证原则：对顶角必相等，邻补角必互补，三类角无固定大小关系，可通过此验证判断是否识别错误。 【例题1】.（23-24七年级上·甘肃武威·期中）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线相交所成的角是对顶角 C．对顶角相等 D．有公共顶点且相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查对顶角． 根据对顶角的定义和性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，原说法不正确，不符合题意； B．两条直线相交所成的角不一定是对顶角，原说法不正确，不符合题意； C．对顶角相等，原说法正确，符合题意； D．有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，原说法不正确，不符合题意． 故选：C． 【变式题1-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角，关键是掌握同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【详解】解：A、和是内错角，说法正确，不符合题意； B、和是同位角，说法正确，不符合题意； C、和互为邻补角，不是同旁内角，说法错误，符合题意； D、和是邻补角，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）看图判断正误．（正确的在括号内画“√”，错误的画“×”） （1）与是同位角．( ) （2）与是同位角．( ) （3）与是内错角．( ) （4）与是同旁内角．( ) （5）与是同旁内角．( ) 【答案】 √ √ √ × √ 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义和位置特征是解答本题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的位置特征判断即可． 【详解】解：由同位角、内错角、同旁内角的定义则： （1）与是同位角．（√） （2）与是同位角．（√） （3）与是内错角．（√） （4）与是同旁内角．（×） （5）与是同旁内角．（√ ） 故答案为：√；√；√；×；√． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 【基础题型】 【题型2】对顶角与邻补角的识别 1.考点总结 核心：依据定义判断两个角是否为对顶角（共顶点、两边反向延长线）或邻补角（共顶点、共一边、另一边反向延长线、互补）； 常见形式：两线相交、多线相交的图形中识别指定角的对顶角或邻补角。 2.解题技巧 对顶角识别：先找公共顶点，再看两边是否互为反向延长线（可反向延长角的两边验证）； 邻补角识别：先找公共顶点和公共边，再看另一边是否互为反向延长线，最后验证和为； 口诀记忆：“对顶必共顶，两边反延长；邻补必共边，另一边反向”。 【例题2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，来判断每个选项． 【详解】解：A、 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； B、 和 只有一条边互为反向延长线，另一条边不满足，不符合对顶角的定义，不符合题意； C、和 的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； D、和有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，符合题意。 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，解题关键是准确把握 “两边互为反向延长线” 这一核心特征来识别对顶角． 【变式题2-1】.（23-24七年级下·新疆和田·期中）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查邻补角和对顶角，根据邻补角和对顶角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，与相交所成的四个角中，的邻补角是，；的对顶角是； 故答案为：，； 【变式题2-2】.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，掌握其定义是解题的关键； 直接根据对顶角的定义解答即可． 【详解】A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（    ） ①对顶角相等； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉掌握对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义逐一判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，说法正确； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，根据对顶角相等，则②说法正确； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等，说法错误，两个角相等不一定是对顶角，则③错误； 综上正确的为：①②， 故选：C． 【题型3】利用对顶角、邻补角性质求角度 1.考点总结 核心：运用“对顶角相等”“邻补角互补（和为）”计算未知角的度数； 常见形式：两线相交、含射线（如角平分线）的简单图形计算。 2.解题技巧 标注已知角：先在图形中标记已知角的度数； 找关系：判断未知角与已知角是对顶角（相等）还是邻补角（互补）； 列算式：对顶角→未知角=已知角；邻补角→未知角=已知角。 【例题3】.（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的性质，解题关键是利用“对顶角相等”． 观察可知与是对顶角，由此求出的度数． 【详解】解：∵点、、共线，点、、共线， ∴与互为对顶角， ∴． 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，A、O、B在一条直线上，、分别是、的角平分线，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角、角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据角平分线的性质可得，，再结合，即可解答． 【详解】解：、分别是、的角平分线， ， 、O、B在一条直线上， 故答案为． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、相交于O，且于O，则 ①与互为 角； ②与叫 角； ③与互为 角．    【答案】 补 对顶 余 【分析】本题主要考查了补角，余角，对顶角，根据各自的定义一一判定即可． 【详解】解：∵直线、相交于O，且于O， ∴，，， ∴①与互为补角，②与叫对顶角，③与互为余角， 故答案为：补；对顶；余． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在内部任意画一条射线，平分，平分． 根据图形填空： (1)______；______；______； (2)若，则______； (3)若点，，三点在一条直线上，则______；的补角是______，余角是______． 【答案】(1)，， (2) (3)；； 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差的计算． （1）根据角的和差，角平分线定义解答即可； （2）根据角平分线定义，角的和差解答即可； （3）先根据角平分线定义得，再根据余角，补角的定义解得即可． 【详解】（1）解：观察图形可得：，， ∵平分， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ， 故答案为：； （3）解：同理（2）可得， ∵点，，三点在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的补角是，余角是． 故答案为：，，． 【题型4】垂线的规范画法 1.考点总结 核心：掌握“过直线上一点”“过直线外一点”画已知直线垂线的方法，标注垂足与垂直符号； 常见形式：按要求用三角板画垂线，或判断画法是否正确。 2.解题技巧 三步画法：一“落”（三角板一条直角边落在已知直线上）；二“移”（移动三角板，使另一条直角边过已知点）；三“画”（沿直角边画直线，标注垂足“”）； 注意事项：画线段、射线的垂线时，需延长线段/射线至与垂线相交，再标注垂足。 【例题4】.（2021七年级下·全国·专题练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，分别以线段a，c为一直角边和斜边，作直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查画直角三角形，解题的关键是作垂线． 过线段的一个端点，作线段的垂线，以线段的另一个端点为圆心，线段的长度为半径画弧，与垂线相交，围成的三角形即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 作法：画直线，在上取点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，交于点，作射线，以点为圆心，线段的长度为半径画弧，交于点，以点为圆心，线段的长度为半径画弧，交射线于点，即为所求． 【变式题4-2】.（2025—2026学年第一学期学业水平质量监测七年级数学试卷）如图，有、、、四个点，请按下列语句画出相应图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)画点到直线的垂线段，垂足为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作线段、射线、垂线段，解题的关键是理解线段、射线、垂线段的定义． （1）根据直线的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3） 根据垂线的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，垂线段即为所求． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；垂线段最短 【分析】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：由（1）和（2）的图像可得，线段的长度是点P到的距离， 根据垂线段最短可得：， 故答案为：；；垂线段最短． 【题型5】“垂线段最短”的实际应用 1.考点总结 核心：运用“连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”解决实际问题； 常见情境：工程选址（如水泵站、管道铺设）、最短路径问题。 2.解题技巧 转化图形：将实际问题中的“直线”（如河岸、公路）和“点”（如村庄、水泵站位置）转化为几何图形； 画垂线段：过点作直线的垂线段，垂线段的长度即为最短距离； 说明理由：引用“垂线段最短”作为依据。 【例题5】.（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【变式题5-1】.（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ． 【答案】 ① 垂线段最短 【分析】本题主要考查了距离垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键；因此此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：由图可知：从书店到公路最近的是①号路线，理由是垂线段最短； 故答案为：①，垂线段最短． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·四川宜宾·期末）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点A为直线外一点，且于点C，，点P是直线上的动点，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查点到直线距离，垂线段最短，利用垂线段最短得到是解题的关键． 【详解】解：∵点为直线外一点，且于点， ∴， ∴线段长不可能是2， 故选A． 【题型6】同位角、内错角、同旁内角的基础识别 1.考点总结 核心：在“三线八角”基本图形中，识别指定的同位角、内错角或同旁内角； 常见形式：两条直线被第三条直线所截的简单图形，判断角的类型。 2.解题技巧 找截线：先找出与两个角都相交的直线（截线，共线的边）； 定位置：同位角（截线同侧，被截直线同一方，（如∠1与∠2））；内错角（截线两侧，被截直线之间，（如∠1与∠4））；同旁内角（截线同侧，被截直线之间，（如∠1与∠3））； 验证：分离出“三线”基本图形，再次确认位置关系。 【例题6】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图所示的5个角中，与 是同位角． 【答案】 【分析】本题主要考查了同位角的定义，熟练掌握同位角的位置特征（截线同旁、被截直线同侧）是解题的关键．根据同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角），判断与符合同位角位置关系的角． 【详解】解：∵同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且在被截直线同侧的角，直线、被直线所截，与在截线同旁，且分别在直线、的同侧， ∴与是同位角， 故答案为：． 【变式题6-1】.（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，与是一对（   ） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 【答案】B 【分析】本题考查了同旁内角的定义．直接根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：由图可知，与是一对同旁内角， 故选：B． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 【答案】 和 和 和 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 根据内错角的定义，先确定每组被截直线和截线，再找出对应的内错角；最后分析的两边，确定所有能与构成内错角的角． 【详解】解：①直线与 BC 被直线 所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ②直线与被直线所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ③分析的两边： 当截线为时，被截直线为，与是内错角； 当截线为时，被截直线为 ，与是内错角． 即：和． 故答案为：和；和；和． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与是（   ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 【答案】B 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 先确定与的边，找出截线和被截直线，再根据内错角的定义判断． 【详解】解：的两边为，的两边为，则： 截线：； 被截直线：； 这两个角在截线的两侧，且夹在与之间，符合内错角的定义， 因此，与是直线被直线所截形成的内错角． 故选：B． 【培优题型】 【题型7】复杂图形中三线八角的识别 1.考点总结 核心：在多线相交的复杂图形中，分离“三线八角”基本图形，识别指定角的类型或形成过程； 常见形式：三条以上直线相交，判断某两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的角。 2.解题技巧 分离法：用虚线框出包含两个角的“三线”（两条被截直线、一条截线），排除其他干扰直线； 描述规范：先说明被截直线（不共线的两条直线），再说明截线（共线的直线），最后判断角的类型； 反向验证：根据角的类型（如内错角），反向检查是否符合“截线两侧、被截直线之间”的特征。 【例题7】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，，两两相交．请分别指出图中，，，中的同位角、内错角和同旁内角，并任选一对角，说明它们是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的． 【答案】和是同位角； 和是内错角； 和，和，和是同旁内角； 选和，它们是直线，被直线所截得到的同位角（答案不唯一）． 【分析】本题考查三线八角中的同位角、内错角和同旁内角的识别，掌握好每种角对应的模型是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的三线八角中，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形，借助模型去一一识别即可． 【详解】解： 和是同位角； 和是内错角； 和，和，和是同旁内角； 选和，它们是直线，被直线所截得到的同位角（答案不唯一）． 【变式题7-1】.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 【变式题7-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线交于点G，交于点M． (1)图中有多少对对顶角？ (2)图中有多少对邻补角？ (3)图中有多少对同位角？ (4)图中有多少对同旁内角？ (5)写出图中的内错角． 【答案】(1)图中有4对对顶角 (2)图中有12对邻补角 (3)图中有8对同位角 (4)图中有4对同旁内角 (5)和和和和和 【分析】此题考查的是同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角的概念，掌握其概念是解决此题的关键． （1）根据对顶角的概念即可得到答案；（2）根据邻补角的概念即可得到答案；（3）根据同位角的概念即可得到答案；（4）根据同旁内角的概念即可得到答案；（5）根据内错角的概念可得答案． 【详解】（1）解：图中4对对顶角与，与，与，与； （2）解：图中12对邻补角与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与； （3）解：图中有8对同位角与，与，与，与，与，与，与，与； （4）解：图中有4对同旁内角与，与，与，与； （5）解：图中内错角有：和，和，和，和，和． 【题型8】直线相交中角的对数规律探究 1.考点总结 核心：通过2条、3条直线相交的特殊情况，归纳n条直线相交于一点或两两相交（无三线共点）时，对顶角、同位角、内错角、同旁内角的对数规律； 常见形式：填空找规律、用含n的式子表示对数、结合规律解决计数问题。 2.解题技巧 分类探究：①n条直线相交于一点：对顶角对数为，1条截线与n条相交直线（非平行）形成的同位角对、内错角和同旁内角各对； ②n条直线两两相交（无三线共点）：对顶角对数仍为（多个交点对顶角求和） 【例题8】.（24-25七年级下·江西上饶·月考）（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 【答案】（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3）同位角有对，内错角有对，同旁内角有对 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． （1）根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． （2）同理（1）中解答方法解答解答； （3）同理（1）中解答方法解答解答． 【详解】解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有2对． 故答案为：4，2，2； （2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对． 故答案为：12，6，6； （3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对， 故答案为：，，． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 【变式题8-2】.（23-24七年级下·全国·课后作业）观察下面表格，并阅读相关文字： 示意图                     … 相交情况 1条直线与2条直线相交 1条直线与3条直线相交 1条直线与4条直线相交 … 同位角对数 （）对 （）对 （）对 … 内错角对数 （）对 （）对 （）对 … 同旁内角对数 （）对 （）对 （）对 … 则由上述规律可知： (1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（　　） A．12对     B．8对      C．6对       D．4对 【答案】(1)； (2) (3)A． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角问题中的规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据表格数据即可求解； （2）根据表格数据即可确定一般规律； （3）当条直线两两相交时，产生对同位角，据此即可求解． 【详解】（1）解：从表中的规律可知1条直线与6条直线产生： 对同位角，对内错角； 故答案为：； （2）解： 1条直线与n条直线相交产生： 对同位角，对内错角； 故答案为： （3）解：根据第（2）问的结论可知， 当条直线两两相交时，产生对同位角， 故当时，即：，产生对同位角． 故选：A． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 【答案】（1）①2  ②6  ③12  ④（2）（3）归纳结论：n条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【分析】（1）根据对顶角定义，认真观察图①②③，求出答案即可，根据①②③对顶角的个数进行探究即可； （2）依据规律可以推测出若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； （3）根据（1）（2）得到的结论，进行归纳即可． 【详解】解：（1）①图①中对顶角是与，与，共有对对顶角． ②图②中对顶角是与，与，与，与，与，与，共有对对顶角． ③图③中有条直线相交于点，共有对对顶角． ④根据以上总结，2条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）． 以此类推，条直线相交于一点，可形成的对顶角对数为 ． 故答案为：①；②；③；④． （2）若条直线两两相交于不同的点，则有（个）交点，有对对顶角； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，有对对顶角； ……； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，共有对对顶角． 故答案为：． （3）归纳结论：条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东聊城·月考）如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的运算、邻补角，掌握相关知识是解题的关键．已知，，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：，， ， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河南开封·月考）如图，直线，被直线所截，且，则的对顶角与的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查补角、对顶角，解题的关键是掌握：对顶角相等、如果两个角的和等于，则这两个角互为补角．据此解答即可． 【详解】解：如图，设的对顶角为， ∴， ∵， ∴， ∴与的关系是互补， 即的对顶角与的关系是互补． 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线AB，CD相交于点O，试说明：．解：∵，（），∴（）．在解题过程中“”和“”表示正确的是（   ） A．“”表示同旁内角互补 B．“”表示邻补角的定义 C．“”表示同角的余角相等 D．“”表示对顶角相等 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的定义与同角的补角相等的性质，掌握邻补角的定义及同角的补角相等的性质是解题的关键． 先明确证明过程中每一步的理论依据，再结合选项判断和的含义是否正确。首先分析，的依据，再分析的依据，最后对比选项得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴“”表示邻补角的定义，“”表示同角的补角相等． 故选：B． 4．（25-26七年级上·宁夏中卫·期末）如图，O为直线上的一点，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，准确地计算相关角度是解题关键．先求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵O为直线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴，即， 故答案为：B． 5．（25-26七年级上·江西九江·期末）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 6．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点．若，则 °． 【答案】40 【分析】观察图形可知，与是邻补角，根据邻补角的性质，两角之和为，结合题目给出的角度的关系，先求出的度数，再利用对顶角相等的性质作答． 【详解】解：∵与是邻补角， ∴． 已知 ，代入上式得： ∴． ∵与是对顶角，根据对顶角相等， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点邻补角的性质和对顶角的性质，解题关键是利用邻补角的和为建立方程求出的度数，再通过对顶角相等得到的度数． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查同位角的概念，关键是掌握同位角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 与成同位角的角有，，，共个， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）如图，点是直线上一点，射线平分，射线平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的求解，邻补角的求解，根据角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角求出的度数，最后根据角平分线的定义求出最后．结果 【详解】解：射线平分，， ， ， 射线平分， ， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则 【答案】 【分析】本题考查角度换算，角平分线的定义，对顶角的性质．先根据角平分线的定义计算出，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，根据角平分线的定义和已知条件可推出，则由平角的定义可求出的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角． 【答案】（1）同位角：；内错角：；同旁内角：；（2）同位角：；内错角：；同旁内角： 【分析】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角，据此得出结论即可． 【详解】解：（1）同位角：； 内错角：； 同旁内角：； （2）同位角：； 内错角：； 同旁内角：． 13．（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；①，；②，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 (3) 【分析】此题考查的是网格作图，点到直线的距离，垂线的性质，掌握垂线的性质是解决此题的关键． （1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论； （2）画出垂线，然后根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果； （3）作出图形后，再根据余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、、． （2）解：如图所示． ①，， ∴线段的长度是点到的距离，是点到的距离． 故答案为：，． ②如图，，， ． ， ． ． 依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （3）如图所示， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 15．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，直线与直线相交于点，在同一平面内以为顶点引射线． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和与差．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用邻补角求得，利用角平分线的定义求得，据此求解即可； （2）分两种情况讨论，当在内部和在外部时，利用角的和与差的计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：当在内部时， ∵，， ∴， ∴； 当在外部时， ， ∴； 综上，的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $