精品解析：河北省唐山市2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试数学试题

2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，先由首项求出，再由求出. 【详解】已知，根据递推公式（）， 当时，； 当时，. 故选：C. 2. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A. B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可. 【详解】直线的方程为，，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，即. 故选：D. 3. 三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 4. 椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【详解】由题意及椭圆的定义可知，即， 又，， 则离心率为. 故选：D. 5. 在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用、、表示向量、、，利用空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以， 又因为，，且， 即 ， 显然、、不共面，所以，解得，故. 故选：C. 6. 已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 7. 过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（　　） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理表示出切线长以及所求周长，根据几何关系可得当共线且按此顺序排列时取得最大值，计算求解即可. 【详解】由题意，， 四边形周长为， 当共线且按此顺序排列时，， 则四边形周长最大值为16， 故选：B. 8. 经过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点的横坐标，即可求得弦长. 【详解】由题意得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，， ，根据抛物线的定义可知①， 又，，即②， 由①②可得， . 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件列方程组求出首项和公差，再结合等差数列的通项公式和求和公式逐一求解. 【详解】由可得，，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：ACD 10. 已知点，动点满足，设动点的轨迹为，下列说法正确的是（　　） A. 的方程为 B. 上存在点在直线上 C. 上存在点到点的距离为8 D. 与圆的公共弦所在的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，设，由坐标化化简得解；对B，求出圆心到直线的距离与半径比较得解；对C，求出圆心到点的距离分析判断；对D，将两圆方程相减得解. 【详解】对于A，设，由，则， 化简得，所以点的轨迹的方程为，故A正确； 对于B，由的方程为，圆心到直线的距离， 所以直线和圆相离，即上不存在点在直线上，故B错误； 对于C，设圆的圆心为，半径， 则圆心到点的距离为， 所以圆上点到点的距离满足，即， 故上不存在点到点的距离为8，故C错误； 对于D，由，得，所以与圆的公共弦所在的直线方程为，故D正确. 故选：AD. 11. 在正三棱柱中，，则（　　） A. 直线与所成角的正切值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 若为直线上一动点，则的最小值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，可通过平移直线找到角，再利用三角函数求解；对于B，可通过建立空间直角坐标系，利用向量法求解；对于C，可通过向量法求解；对于D，可通过确定球心位置，利用勾股定理求出半径，进而求出表面积. 【详解】选项A，如图取中点，连接， 因为是正三角形，所以，又正三棱柱中平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为，所以就是直线与所成的角， 在正中，，则，，，，， 取中点，连接，则， ，，所以选项A正确； 选项B，如图以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， ，所以选项B错误； 选项C，， 设，则， ， 当时，取得最小值，所以选项C正确； 选项D，设的外接圆半径为，由正弦定理，得， 设三棱锥的外接球半径为，球心为到平面的距离为， 则， 所以外接球的表面积，所以选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平面法向量的性质，结合空间向量平行的性质的坐标运算进行求解即可. 【详解】，直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直， ，解得. 故答案为：. 13. 已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理、向量垂直的条件求出直线方程，进而求出线段的中点坐标. 【详解】斜率为1的直线，设直线的方程为，， 联立，即，， 又，， ，则，又， ，即，解得或， 当时，直线过原点，则点不能构成三角形，故， ， 设线段的中点坐标为， 则， 则线段的中点坐标为. 故答案为：. 14. 已知双曲线的右焦点为，实轴长为4，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用已知条件先求出双曲线方程，再利用双曲线定义把转化到，然后再利用到圆上的动点距离转化到圆心的距离，最后易得距离之和的最小值. 【详解】 双曲线的实轴长为4，得，即， 由渐近线方程为，得，即， 双曲线方程为，， 双曲线的右焦点为，左焦点为， 由双曲线的定义得， 为圆上一点，圆心，半径， ，即， 而，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的首项，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的下标性质和等差数列的通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 因为数列是等差数列， 所以由， 又因为，所以公差， 所以. 【小问2详解】 由（1）得 所以 . 16. 已知圆，直线． （1）求的圆心坐标与半径； （2）求直线被圆截得的弦的长度； （3）过点作圆的切线，求切线所在直线的方程． 【答案】（1）圆心坐标为，半径为4. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过配方法将圆的一般方程转化为标准方程，进而得到圆心坐标和半径； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理即可求出弦长； （3）分切线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率，进而得到切线方程. 【小问1详解】 圆， 所以的圆心坐标为，半径为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以. 【小问3详解】 ，故点在圆外， 当切线的斜率不存在时，过点的方程为，此时的圆心坐标为到直线的距离为，故直线不是圆的切线； 当切线的斜率存在．设切线所在直线的方程为， 即，则圆心到直线的距离， 整理得，解得或， 所以切线所在直线的方程为或. 17. 记数列的前项和为，已知，数列满足：． （1）求的通项公式； （2）求证：数列为等差数列，并求的通项公式． 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）利用的关系即可求出； （2）利用等差数列的定义即可证明数列为等差数列，进而求出的通项公式. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，成立， 综上，. 【小问2详解】 因为，等式两边同时除以，可得， 又，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ，即. 故的通项公式为. 18. 如图，和所在的平面垂直，且． （1）当时，求的值； （2）当时，求点到平面的距离； （3）求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，利用向量方法证明结论. （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求解即可. （3）分别求出平面和平面的法向量，然后利用平面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 如图，在平面内，过点作交于点；在平面内，过点作交于点． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， 由可得，解得. 【小问2详解】 设平面的法向量为． 当时，， 则即取. 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 由(2)可知平面的一个法向量为，与的值无关. 平面的一个法向量为. 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆经过点，离心率为，直线的方程为． （1）求的方程； （2）过的左焦点的直线与交于两点． （i）求（为坐标原点）面积的最大值； （ii）为上的动点，记直线的斜率之和为，求． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）代入所过点，结合离心率建立方程，求解即可； （2）（i）设直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理表示出面积，换元之后利用函数单调性求最大值即可； （ii）由韦达定理化简直线的斜率之和，再求即可. 【小问1详解】 由题意得 解得 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为． 联立得. 设，则， 所以 令， 设，易知在单调递增， 所以当，即时，取得最小值，， 此时取得最大值. （ii）在（i）中． 所以 . 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A. B. 60° C. 120° D. 150° 3. 三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 4. 椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 5. 在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（　　） A. 8 B. 16 C. D. 8. 经过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知点，动点满足，设动点的轨迹为，下列说法正确的是（　　） A. 的方程为 B. 上存在点在直线上 C. 上存在点到点的距离为8 D. 与圆的公共弦所在的直线方程为 11. 在正三棱柱中，，则（　　） A. 直线与所成角的正切值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 若为直线上一动点，则的最小值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________． 13. 已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________． 14. 已知双曲线的右焦点为，实轴长为4，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的首项，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 16. 已知圆，直线． （1）求的圆心坐标与半径； （2）求直线被圆截得的弦的长度； （3）过点作圆的切线，求切线所在直线的方程． 17. 记数列的前项和为，已知，数列满足：． （1）求的通项公式； （2）求证：数列为等差数列，并求的通项公式． 18. 如图，和所在的平面垂直，且． （1）当时，求的值； （2）当时，求点到平面的距离； （3）求平面和平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆经过点，离心率为，直线的方程为． （1）求的方程； （2）过的左焦点的直线与交于两点． （i）求（为坐标原点）面积的最大值； （ii）为上的动点，记直线的斜率之和为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $