精品解析：广东省深圳市福田区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年第一学期期末检测 九年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 打印又称“增材制造”技术，是一种依据三维数据通过逐层材料累加的方法制造实体零件的技术，如图是打印的一个蒙古包模型，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义去判断即可． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：蒙古包模型的俯视图是： , 故选：D． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．把方程两边开方即可． 【详解】解： 解得：，， 故选：C． 3. 鸡兔同笼，鸡有x只，兔有y只．如果其中鸡脚总数与兔脚总数正好一样多，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质的应用，根据鸡和兔的脚数关系建立等式，然后根据比例的性质变形即可． 【详解】解：∵鸡有x只，兔有y只， ∴鸡脚总数为，兔脚总数为， ∵鸡脚总数等于兔脚总数， ∴， ∴， ∴． 故选C． 4. 如图1，是一架人字梯，侧面可以抽象为梯形（图2），已知，且，若，则DF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选B． 5. 某生物小组为验证玉米能否产生叶绿素这一性状中基因的显隐性问题，将两株绿色玉米杂交后，收集种子种植出幼苗．调查统计后得到以下数据： 调查玉米幼苗数 100 200 500 1000 1500 2000 … 绿色幼苗个数 86 164 395 762 1128 1502 … 绿色幼苗频率 0.860 0.820 0.790 0.762 0.752 0.751 … 根据上表的数据，估计“两株绿色玉米杂交后的种子能产生绿色幼苗”的概率大约为（ ） A. 0.70 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.85 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，当试验次数较大时，频率趋于稳定，接近概率. 从表格数据看，绿色幼苗频率随调查数增加而稳定在0.75附近，即可求解． 【详解】解：∵调查玉米幼苗数达2000时，绿色幼苗频率为0.751，且1500株时频率为0.752，均接近0.75， ∴估计概率约为， 故选：B． 6. 如图，已知五边形，以P点为位似中心画出五边形，使五边形与五边形位似，相似比为2．若五边形的周长为26，则五边形的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质的应用，直接利用位似图形的周长比等于位似比即可得到答案． 【详解】解：∵五边形与五边形的位似比为2； ∴五边形与五边形的周长比为2； ∵五边形的周长为26， ∴五边形的周长为13， 故选D． 7. 根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国．已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆．设7月至9月的平均增长率为m，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆，设平均月增长率为m，根据9月出口量 7月出口量建立方程即可． 【详解】解：设7月至9月的平均增长率为m，则可列方程为， 故选：A． 8. 如图，已知点A，B都在反比例函数位于第一象限的分支图象上，若线段的中点C在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，完全平方公式的应用等知识，设，，再根据中点坐标公式得出，再根据点C在反比例函数上，即可得出，然后代入，，最后再利用完全平方公式变形求解即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵点，都在反比例函数位于第一象限的分支图象上， ∴，，且，， 点C为线段的中点， ∴， ∵点C在反比例函数上， ∴， 把，代入中， 得： 由完全平方公式可知， ∴， 设，， 则， 即，仅当时，等号成立． ∴ ∴， ∵，是两个不同的点， ∴， ∴， 故选A． 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 阳光照射小树在地面上形成的投影属于______投影（填“平行”或“中心”）． 【答案】平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影，阳光来自太阳，由于太阳距离地球很远，光线可视为平行光，因此形成的投影属于平行投影． 【详解】解：根据投影的定义，平行投影是指互相平行的光线形成的投影，而中心投影是指光线从一点发出形成的投影，阳光是平行光，因此小树在地面上的投影属于平行投影． 故答案为：平行． 10. 2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛．参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为______（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，化简二次根式，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 由正方形的性质以及勾股定理求解一条对角线长度，再求两条对角线之和即可． 【详解】解：∵正方形的一组邻边和一条对角线形成等腰直角三角形， ∴一条对角线长为， ∴副骨架的总长为， 故答案：． 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 12. 如图所示，点A，B，C是地面上同一直线上的三个点，小童、标杆、旗杆，分别立于上述三点处．今在标杆顶部点F处平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶点D，已知小童眼睛的高度，标杆的高度，，，则旗杆高为______． 【答案】5 【解析】 【分析】过点F作，交于点M，交于点N，根据平面镜反射原理，得，证明，根据三角形相似的性质，矩形性质解答即可． 本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 【详解】解：过点F作，交于点M，交于点N， 则四边形，都是矩形， ∴，，，， 根据平面镜反射原理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 13. 如图，在中，D是边上一点，若，，且，则长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，证明是等腰直角三角形得，证明得，设，则，然后根据求出即可求解． 【详解】解：如图，作，交的延长线于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法或配方法解方程即可． （2）利用配方法或公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 法一：， ， 或， ∴，． 法二：， 配方，得， 即． ∴． ∴，． 【小问2详解】 解： 法一：原方程可变形为， 配方，得， 即． ∴， ∴，． 法二：原方程可变形为， 这里，，，． ∵， ∴， ∴，． 法三：原方程可变形为， ， 或， ∴，． 15. 2025年12月14日，深圳南山半程马拉松在深圳人才公园正式起跑．组委会需为赛事组建A，B，C三支人数相同的志愿服务队，并规定每位志愿者只能被随机分配至其中一个服务队．小深、小圳报名参加了此次赛事的志愿服务工作． （1）小深被分配到A志愿服务队的概率______； （2）请用树状图或列表法，求小深和小圳都被分配到B志愿服务队的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了古典概型的计算、列表法或树状图法求概率；解题的关键是明确所有等可能的结果，再根据事件包含的结果数计算概率． （1）小深有种等可能的分配结果，被分配到A志愿服务队的结果只有种，直接用概率公式计算； （2）用列表法或树状图列出小深和小圳分配的所有等可能结果，再找出两人都被分配到B志愿服务队的结果数，代入概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵ 小深有种等可能的分配结果，且每种结果概率相等， ∴ 小深被分配到A志愿服务队的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 小圳 小深 A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中小深和小圳都被分配到B志愿服务队的结果有1种， ∴概率为． 答：小深和小圳都被分配到B志愿服务队的概率为． 16. “广湛”高铁线路于2025年12月22日正式开通运营，它是中国“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分．已知列车运行时间与平均速度（）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）为保证列车运行安全，当运行时间为1小时40分时，列车的平均速度是多少？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键． （1）设y与x之间的函数表达式为，将代入求解即可； （2）把代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为， 将代入得，． 解得：． 所以y与x之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：1小时40分小时． 当时，得，， 解得． 所以，这趟列车的平均速度为． 17. 中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． （1）设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） （2）若矩形的面积为，求的长度． 【答案】（1），； （2）的长度为． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． （1）根据图形列式即可； （2）根据矩形的面积为列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为， ∴． ∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵矩形的面积为， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 18. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O． （1）下列条件：①；②；③．请选择条件：______（填写序号），使得四边形为菱形，并说明理由； （2）尺规作图：已知，请在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①或③，理由见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，以及直角三角形斜边中线的性质． （1）若选①，证明得，从而，可得四边形是菱形；若选③，证明得，从而，可得四边形是菱形； （2）作线段的垂直平分线与交于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：可选择①或③．若选①：． 理由：∵，， ∴是的垂直平分线．即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 若选③：． 理由：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∴， 在和中，， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求． 连接， ∵，， ∴是的垂直平分线．即， ∴， ∵是的中线， ∴． 19. 综合与实践 【情境与问题】 小明家用一款菱形瓷砖（如图1，四边形是菱形，图中圆圈处，代表瓷砖上的花纹）铺地板时，发现在墙角处，剩了一块三角形的区域尚未铺（如图2）．要铺满这个区域，需找到合适的切割线，对菱形瓷砖进行切割． 【测量与初步方案】 小明测得等数据后，发现：若按图3中的虚线将瓷砖切割成两部分，则这两部分恰好可以把剩余区域铺满（即，这两部分可拼成如图4中阴影部分表示的，且）． （1）求菱形的边长； 【方案优化与拓展】 考虑到小明的方案破坏了瓷砖上的花纹，影响美观，小明的爸爸提出了另外方案：按图5中的虚线将瓷砖切割成三部分．若小明爸爸的方案也恰好可行，根据上面信息，解答下列问题； （2）操作：仿照图4，把图5中的三部分拼成一个三角形（其中部分保持不动），在图6中画出并指出所拼成的三角形； （3）①填空：在图4中，______；在图5中，______；②求菱形的对角线的长度． 【答案】（1）；（2）画图见解析；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，得，由四边形是菱形，推导出，再由，得到，则，即可求菱形边长； （2）延长交所在的直线于点即可； （3）①由（1）知，且菱形的边长为，则；由（2）知，只有当点分别为中点，且，分别绕点旋转后，才可把三部分正好拼成；此时，，最后判定，再利用相似比求解即可得到答案； ②连接，如图所示，判断出四边形为矩形，由前面所求，先在中，根据勾股定理，求出，然后在中，再由勾股定理，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图所示： 由题意得， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∴． ∵， ∴． 即． ∴． 故菱形的边长为； （2）解：延长交所在的直线于点，如下图所示： 即为所拼成的三角形； （3）解：①如图所示： 由（1）知，且菱形的边长为， ； 如图所示： 只有当点分别为中点，且，分别绕点旋转后，才可把三部分正好拼成． 此时，． 则，， ， ， 由旋转性质知，则，， ， ， 则， ，， ， 即是等腰三角形，则， 等腰中，， ， ，则， ， 故答案为：； ②连接，如下图所示： 根据旋转性质知，由（3）①可知，， ， 则， 在菱形中，，则， 由（3）①可知，， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为矩形， ， 则， 由（1）知菱形的边长为，则； 由（3）①知， 在中，由勾股定理可得， 由（1）知菱形的边长为，由（3）①知， 则， 在中，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的性质，熟记相关几何性质是解题的关键． 20. 如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线． （1）【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D． ①求证：； ②求此时x值； （2）【应用拓展】若射线交边于点F，． ①当时，求x的值； ②当时，直接写出x的值． 【答案】（1）①见解析；②2； （2）①当时，或；②当时，或． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、分类讨论思想；解题的关键是利用轴对称得到等角等边，结合勾股定理建立方程，并对动点E的位置进行分类讨论． （1）①利用轴对称得，结合矩形中得，从而推出，证得；②由，在中用勾股定理求出，进而得到的长度． （2）①当时，得，连接，利用勾股定理求出，再分E在线段上和延长线上两种情况，结合的不同表达式与勾股定理列方程求解；②当时，得，，同理求出，分两种情况列方程求解． 【小问1详解】 ① 证明：∵ 点与关于对称 ∴ ， ∴， ∵ 四边形是矩形 ∴ ， ∴， ∴， ∴ ② 解：∵ 四边形是矩形， ∴ ． 由①知， 在中，， ∴ ， 故． 【小问2详解】 解：连接，因， ∴，即是直角三角形． 在与中，， ① 当时，，即，又． 以下分两种情况讨论： 情况一：点E边上（如图）， ， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图）， 同①情况一，， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 综合两种情况，当时，或． ② 当时，，即，又． 以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图）， 同②情况一，， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 综合两种情况，当时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末检测 九年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 打印又称“增材制造”技术，是一种依据三维数据通过逐层材料累加的方法制造实体零件的技术，如图是打印的一个蒙古包模型，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A B. C. ， D. ， 3. 鸡兔同笼，鸡有x只，兔有y只．如果其中鸡脚总数与兔脚总数正好一样多，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 如图1，是一架人字梯，侧面可以抽象为梯形（图2），已知，且，若，则DF的长为（ ） A. B. C. D. 5. 某生物小组为验证玉米能否产生叶绿素这一性状中基因的显隐性问题，将两株绿色玉米杂交后，收集种子种植出幼苗．调查统计后得到以下数据： 调查玉米幼苗数 100 200 500 1000 1500 2000 … 绿色幼苗个数 86 164 395 762 1128 1502 … 绿色幼苗频率 0.860 0.820 0790 0.762 0.752 0.751 … 根据上表数据，估计“两株绿色玉米杂交后的种子能产生绿色幼苗”的概率大约为（ ） A. 0.70 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.85 6. 如图，已知五边形，以P点为位似中心画出五边形，使五边形与五边形位似，相似比为2．若五边形的周长为26，则五边形的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7. 根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国．已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆．设7月至9月的平均增长率为m，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点A，B都在反比例函数位于第一象限的分支图象上，若线段的中点C在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 阳光照射小树在地面上形成的投影属于______投影（填“平行”或“中心”）． 10. 2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛．参赛一个风筝的主骨架由一个边长为的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为______（结果保留根号）． 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 12. 如图所示，点A，B，C是地面上同一直线上的三个点，小童、标杆、旗杆，分别立于上述三点处．今在标杆顶部点F处平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶点D，已知小童眼睛的高度，标杆的高度，，，则旗杆高为______． 13. 如图，在中，D是边上一点，若，，且，则长为______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 2025年12月14日，深圳南山半程马拉松在深圳人才公园正式起跑．组委会需为赛事组建A，B，C三支人数相同的志愿服务队，并规定每位志愿者只能被随机分配至其中一个服务队．小深、小圳报名参加了此次赛事的志愿服务工作． （1）小深被分配到A志愿服务队的概率______； （2）请用树状图或列表法，求小深和小圳都被分配到B志愿服务队的概率． 16. “广湛”高铁线路于2025年12月22日正式开通运营，它是中国“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分．已知列车运行时间与平均速度（）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）为保证列车运行安全，当运行时间为1小时40分时，列车的平均速度是多少？ 17. 中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． （1）设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） （2）若矩形的面积为，求的长度． 18. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O． （1）下列条件：①；②；③．请选择条件：______（填写序号），使得四边形为菱形，并说明理由； （2）尺规作图：已知，请在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 综合与实践 情境与问题】 小明家用一款菱形瓷砖（如图1，四边形是菱形，图中圆圈处，代表瓷砖上的花纹）铺地板时，发现在墙角处，剩了一块三角形的区域尚未铺（如图2）．要铺满这个区域，需找到合适的切割线，对菱形瓷砖进行切割． 【测量与初步方案】 小明测得等数据后，发现：若按图3中的虚线将瓷砖切割成两部分，则这两部分恰好可以把剩余区域铺满（即，这两部分可拼成如图4中阴影部分表示的，且）． （1）求菱形的边长； 【方案优化与拓展】 考虑到小明的方案破坏了瓷砖上的花纹，影响美观，小明的爸爸提出了另外方案：按图5中的虚线将瓷砖切割成三部分．若小明爸爸的方案也恰好可行，根据上面信息，解答下列问题； （2）操作：仿照图4，把图5中的三部分拼成一个三角形（其中部分保持不动），在图6中画出并指出所拼成的三角形； （3）①填空：在图4中，______；在图5中，______；②求菱形的对角线的长度． 20. 如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线． （1）【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D． ①求证：； ②求此时x的值； （2）【应用拓展】若射线交边于点F，． ①当时，求x的值； ②当时，直接写出x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $