2026年中考数学一轮压轴二次函数与三角形存在性问题

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数中等腰三角形和直角三角形存在性问题，构建“几何法（两圆一线/两线一圆）-代数法（坐标表示与方程求解）”知识体系，通过考点梳理、典例精析（如苏州中考真题）、分层训练（选择与解答题），帮助学生突破分类讨论和方程应用难点。 亮点在于“双轨思维训练”，几何作图培养空间观念（数学眼光），代数推理提升运算能力（数学思维），如直角三角形存在性用“三垂直相似”和勾股定理双解法。设5分钟构图速练和错题归因，配合梯度练习，助力学生高效掌握解题策略，教师可依此把控复习节奏，提升应考能力。

二次函数等腰三角形和直角三角形存在性问题 掌握二次函数等腰三角形和直角三角形存在性问题 掌握二次函数等腰三角形和直角三角形存在性问题 一、知识导航 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． 同理可求，下求． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 而对于本题的，或许代数法更好用一些． 【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3）， （2）表示线段：， （3）分类讨论：根据，可得：， （4）求解得答案：解得：，故坐标为． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC； （3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2、 典例精析 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由． 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例： 【构造三垂直】 求法相同，以为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 【代数法】表示线段构勾股 还剩下待求，不妨来求下： （1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段：，，； （3）分类讨论：当为直角时，； （4）代入得方程：，解得：． 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法： 互相垂直的两直线斜率之积为-1． 考虑到直线与AB互相垂直，，可得：， 又直线过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3， 所以与x轴交点坐标为，即坐标为． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~ 【小结】 几何法：（1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法：（1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²； （4）代入列方程，求解． 如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等． 二、典例精析 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 1、 多选题 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点A、的横坐标分别为，3．与轴负半轴交于点，在下面结论中正确的是    （     ）    A． B．当时， C．若，且，则 D．使为等腰三角形的值可以有三个 2、 解答题 2．（2023·江苏苏州·一模）已知抛物线过点，且与直线只有一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知点，．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点的坐标． 4．（2024·江苏苏州·一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)证明：△BOC是等腰直角三角形； (2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值． 5．（2024九年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为． (1)原抛物线的函数解析式是　 　． (2)如图①，点P是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图②，点Q是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点M，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024九年级下·江苏苏州·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，过点A、C作直线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点F，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点M；连接，把线段沿直线平移，记平移后的线段为，当以、、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 7．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B、C，点C坐标为．连接、． (1)请直接写出二次函数的表达式； (2)若点N在线段上运动（不与点B、C重合），连接． ①当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出此时点N的坐标； ②过点N作，交于点M，求面积的取值范围． 8．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数()的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求值； (2)作出点关于对称轴的对称点，若是等腰三角形，求的值． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，P到距离的最大，求出此时P到距离的最大值及此时点P的坐标． 10．（2024九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接． （1）求经过三点的抛物线的函数表达式； （2）点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标； （3）若为的中点，过点作轴于点，为抛物线上一动点，为轴上一动点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，请求出点的坐标． 答案： 二 评卷人 得分 一、多选题 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点A、的横坐标分别为，3．与轴负半轴交于点，在下面结论中正确的是    （     ）    A． B．当时， C．若，且，则 D．使为等腰三角形的值可以有三个 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】抛物线的对称性求出对称轴，判断A；最值判断B；对称性判断C；根据等腰三角形的性质，分类讨论，判断D． 【详解】解：图象与轴的交点，的横坐标分别为，3， ， 对称轴， 即，故A错误； 由，顶点是函数的最小值，时，得 ，两边都减，得 ，故B正确； ，得 ， 且，则，故C正确； 要使为等腰三角形，则必须保证或或， 当时， ，为直角三角形， 又的长即为， ， 由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，解得； 同理当时， ，为直角三角形， 又的长即为， ， 由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，解得； 同理当时 在中，， 在中， ， ，此方程无解． 经解方程组可知只有两个值满足条件，故D错误， 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 评卷人 得分 二、解答题 2．（2023·江苏苏州·一模）已知抛物线过点，且与直线只有一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在满足题意的点．或或或或 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把点代入得，联立，得，由抛物线与直线只有一个交点求得b的值，即可得到抛物线的解析式； （2）先求出点A和点B的坐标，设点Q的坐标是，求出，，，分三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得，解得， 联立， 得， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴， 解得或2， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）存在满足题意的点． 联立， 解得或， ∴，， 由抛物线，可知抛物线对称轴为， 设点Q的坐标是， 则，， 由勾股定理，得， 当点为顶角时，，即， 解得或， ∴或； 当为腰，为顶角时，，即， 解得或， ∴或； 当为底时，，即， 解得， ∴． 故满足题意的点坐标为：或或或或． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象和性质、勾股定理求两点间的距离、解一元二次方程、等腰三角形的定义等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知点，．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点， （1）由待定系数法即可求解； （2）由或，列出等式即可求解． 熟练掌握其性质，分类求解是解决此题的关键． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点 ∴， 即， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 故点，设点， 由点、、的坐标得，，，， 当或时， 即或， 解得：（舍去）或16或， 故点的坐标为：或或． 4．（2024·江苏苏州·一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)证明：△BOC是等腰直角三角形； (2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值． 【答案】(1)见解析 (2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为． 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定、正方形性质理解、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）求得点C(0，c)，再解方程2x2−(1+2c)x+c =0，求得点B(c，0)，即可判断△BOC是等腰直角三角形； （2）求得点D(，-)，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：令x=0，则y=c， ∴点C(0，c)， 令y=0，则2x2−(1+2c)x+c =0， ∴(2x-1)(x-c)=0， ∴x1=，x2=c， ∵点B在点A右侧， ∴点B(c，0)，点A(，0)， ∴OB=OC=c， ∵∠COB=90°， ∴△BOC是等腰直角三角形； （2）解：y=2x2−(1+2c)x+c=2(x-)2-， ∴点D(，-)， 设DM交x轴于点M， ∵△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OBC=45°， ∵点A，B关于DE对称， ∴EA=EB， ∴∠EAB=∠EBA=45°， ∴∠AEB=180°-45°-45°=90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵EM⊥AB， ∴EM=AB， 当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°， ∵DM⊥AB， ∴AB=2DM， ∵点B(c，0)，点A(，0)， ∴AB=c-， ∵点D(，-)， ∴DM=， ∴c-=， 整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0， ∴c1=，c2=， ∵c>， ∴c=， ∴当四边形AEBD为正方形时，求c的值为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 5．（2024九年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为． (1)原抛物线的函数解析式是　 　． (2)如图①，点P是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图②，点Q是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点M，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【难度】0.4 【知识点】二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意求出二次函数顶点左边，然后写出顶点式，变形即可； （2）如图，过P作交于M，结合（1）求出直线解析式为： ，设则，根据带入计算，化为顶点式即可求出面积最大值是的值，从而求解； （3）①如图，为等腰直角三角形，为直角三角形，可得，即是中的可求解；②如图，为等腰三角形，为直角三角形，设根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， 二次函数图像的顶点坐标为： 二次函数解析式为： 即， 故答案为：； （2）如图，过P作交于M， 二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C， 当时，， 解得， 当时，， ，，， 直线解析式为： 设，则 当时面积的最大值为， ； （3）存在，理由如下： 由（2）可知，， ①如图，为等腰直角三角形，为直角三角形， 即，， 是的中点， ②如图，为等腰三角形，为直角三角形， 即，， 设 解得：或（不合题意，舍去） 综上所述：或 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的综合应用，勾股定理；根据点在函数图像上巧设点的坐标，运用勾股定理建立等量关系是解题的关键． 6．（2024九年级下·江苏苏州·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，过点A、C作直线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点F，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点M；连接，把线段沿直线平移，记平移后的线段为，当以、、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)AE+PF的最大值为：；此时 (3)点的坐标为：或或 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，，， 求出直线的解析式为：，分别过点A，P作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点G，求出，，从而得出,设点P的横坐标为t，则，，得出，求出当时，的最大值为，即可求出结果； （3）先求出，令，求出，设，则，得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得： 直线的解析式为：， 如图，分别过点A，P作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点G， 则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 设点P的横坐标为t，则，， ∴ ∴当时，的最大值为； ∴的最大值为：；此时； （3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即先向左平移1个单位，再向上平移3个单位， ∵抛物线的解析式为：， ∴， 令， 解得， ∴， 将线段沿直线平移到线段， 则设，则， ∵， ∴，，， 以、、M为顶点的三角形是等腰三角形，则需要分以下三种情况： ①当时， ， 整理得，， 解得或， ∴点的坐标为：或； ②当时， ， 整理得，， 无解； ③当时， ， 解得， ∴； 综上，符合题意的点的坐标为：或；或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的平移，二次函数的最值，解直角三角形，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，注意分类讨论． 7．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B、C，点C坐标为．连接、． (1)请直接写出二次函数的表达式； (2)若点N在线段上运动（不与点B、C重合），连接． ①当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出此时点N的坐标； ②过点N作，交于点M，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；② 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，平行线分线段成比例． （1）根据待定系数法即可求得； （2）①分和两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解； ②设点N的坐标为，则，过M点作轴于点D，根据平行线分线段成比例求得，然后根据得出关于n的二次函数，根据二次函数的性质求得即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B、C，点C坐标为（8,0）， ∴ 解得，，， 即此二次函数的表达式是； （2）解：①设点N的坐标为， ∵点A，点C坐标为， ∴，， 当时，，得， 当时，，得， 故点N坐标为或； ②设点N的坐标为，过点M作轴于点D，如图所示 ∵， ∴时，得，， 即点B的坐标为，则， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴当时，取得最大值5， 即面积的取值范围是． 8．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数()的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求值； (2)作出点关于对称轴的对称点，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【难度】0.4 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离、解直角三角形的相关计算、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）对于，当时，，令，则或，即可求解； （2）先求点关于对称轴的对称点为，则罗列三边，，，然后分类讨论建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则或， 则点、、的坐标分别为：、、， 在中，， ∴； （2）解：∵点，对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点为， 则， ∴ ∴点关于对称轴的对称点为， 由点、、的坐标得：，，， 当时， 则， 解得：（舍去）； 当时， 同理可得：， 解得：； 当时， 同理可得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，勾股定理求两点之间距离，涉及到等腰三角形的性质、解直角三角形，二次函数的对称性，分类求解是解题的关键． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，P到距离的最大，求出此时P到距离的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)P到的最大距离为， 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由图可知，不可能是直角，分当和是斜边，根据勾股定理列出等式即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点， 设抛物线的表达式为：， 又， ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：存在，理由： 由抛物线的表达式可知，点， 设点， 则，， 当是斜边时，    则， 解得：或4， 即点或（舍去）， 当是斜边时，    同理可得：， 解得：， 即点， 综上，点或； （3）解：如图，过点P作轴交于点H    设直线的表达式为：， ，， ，解得： 则直线的表达式为：， ， 故当时，的最大值为8，此时，点，此时P到距离,最大，设P到距离为h， ，， ∴， ∴， ∴，即P到的最大距离为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，求解二次函数解析式，勾股定理，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键． 10．（2024九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接． （1）求经过三点的抛物线的函数表达式； （2）点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标； （3）若为的中点，过点作轴于点，为抛物线上一动点，为轴上一动点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，请求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3），，， 【难度】0.4 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式； （2）设，分当BC和Q1C作直角边时和当BC和Q2B作直角边时，两种情况讨论； （3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点， ∴ 解得， ∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3； （2）如图，根据题意，，设 ∴ 当BC和Q1C作直角边时： 解得：y=4 ∴ 当BC和Q2B作直角边时： 解得：y=-2 ∴ 综上所述：点Q的坐标为或； （3）设点的坐标为，则点的坐标为， ∵以、、、为顶点的四边形是正方形， ∴，即， 当时，整理得，解得； 当时，整理得，解得； ∴当以、、、为顶点的四边形是正方形时， 点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键． 11．（2024·江苏苏州·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数． （1）写出的“N”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值； （3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）． 【难度】0.4 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据“N”函数的定义即可求得答案； （2）根据中心对称的性质可得的图像与的图像只有一个交点， 由此联立方程即可求得答案； （3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式，以及点C的坐标，再根据为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，，， ∴的“N”函数的表达式为； （2） ， 同理：， ∴与关于原点成中心对称， 又∵正比例函数的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点， ∴的图像与的图像只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理，得：， ∴， 解得：，， ∴k的值为3或－1； （3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“N”函数， 则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称， ∵A、B分别是“N”函数y1与y2的图像的顶点，点， ∴点，点O为AB的中点， ∴设（），则， 当时，， ∴点C（0，）， ∵C是“N”函数与y轴正半轴的交点， ∴若为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°， 当∠ACB＝90°时， 又∵点O为AB的中点， ∴AB＝2OC， ∵AB＝， ∴OC＝， ∴点C的坐标为（0，）， 当∠BAC＝90°时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴点C的坐标为（0，5）， 综上所述：点C的坐标为（0，）或（0，5）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称是解决本题的关键． 12．（2024九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或． 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题； （2）①先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值； ②根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可． 【详解】（1）解：令，得， ， 令得， ， ， ，， ， ， ， ， （2）①设直线的解析式为：，代入，得 ， ， ， 设， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 即的最大值为9； ②点是的中点， 在中，， 即为等腰三角形， ， ， ， ， ， 若以点为顶点的三角形与相似， 则①， ， 又， ， ， ，， ， ，， 或， 经检验：不符合题意，舍去， ②， 又， ， ， ， 整理得，， ，， 或， 同理：不合题意，舍去， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题关键． 13．（2024九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，抛物线经过点、，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)请利用备用图，若点Q也是抛物线上的一点， ①当的值最大时，求此时点P的坐标； ②当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；②或1或或 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果； （2）可推出是直角三角形，进而求出和的面积之和，从而求得四边形的面积； （3）①作交的延长线于，根据，求得的函数解析式，从而求得点坐标， ②分三种情况：当时，当时，当时，通过构造“一线三直角”求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 该抛物线的函数表达式为：； （2）解：当时，， ，， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：①如图1，作交的延长线于， 设， ，， 直线的解析式为：， 由得， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ， ②设， 如图2，当时，过点作轴平行线，作于，作于，则， ， ， 或（舍去）， 如图3，当时，过于，作于，可得， ， ， 可得，， 如图4，当时，作于，作于， 同理可得：， 或（舍去） 综上所述：点的横坐标为：或1或或； 【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三直角”模型及需要较强计算能力． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 15．（2024九年级上·江苏苏州·期中）如图（1），抛物线y＝a（x+2）（x－8）（a＜0）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，若△ABC的面积为20． （1）求a的值，并判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由； （2）如图（2）将△ABC沿x轴翻折，点C的对称点是点D，若点P是抛物线在第一象限图像上的一个动点，设点P的横坐标为m，连接AP、DP，求当m为何值时，△ADP的面积最大； （3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足∠ABQ=2∠ABC，求满足条件的点Q的坐标． 【答案】（1）a=，△ABC为直角三角形；（2）m=7时，△ADP面积有最大值；（3）Q的坐标为：Q（，）或Q （，）． 【难度】0.15 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】(1)根据抛物线表达式,得出A,B两点坐标,确定AB的长，再根据△ABC的面积求出OC的长，C点坐标代入抛物线解析式求出a的值，再分别求出AC，AB，BC的长判断出△ABC的形状； （2）过P作平行于AD的直线，AD长度固定，当P到AD距离最大时，△APD面积最大，此时过P的直线与抛物线只有一个交点，联立抛物线与过P点的直线解析式，△=0，列出等量关系，求出m的值； （3）依据题意作出图形，利用Q点BC上方和Q在BC下方分别讨论求解． 【详解】解：（1）令y=0，则0= a（x+2）（x－8） ∴x1=﹣2，x2=8 ∴A（﹣2,0），B（8,0），AB=10 ∵△ABC的面积为20 ∴OC=4 ∴C（0,4），把C代入抛物线解析式得： a=， 根据A，B，C三点坐标可求得AC=,BC= 又AB=10 ∴ ∴△ABC是∠ACB为直角的直角三角形； （2）由题意可得D（0，﹣4） ∵△ADP的面积最大，而AD长度固定，因此求点P在何处时到AD距离最大，过P作AD的平行线，则P到AD的距离是两条平行线之间的距离， 当平行线与抛物线相切时，即只有一个交点时距离最大， ∵A(﹣2,0)，D（0，﹣4）可求得AD：y=﹣2x－4 ∴设过P点平行AD的直线为：y=﹣2x+b 联立 化简得：， △=， 解得：b=， ∴y=﹣2x+ 解得： ，把x=7代入y=﹣2x+ y=，P（7，） ∴当m=7时，△ADP面积有最大值； （3）如图，当Q在BC的上方时即Q1 ∵B（8,0）设BQ1：y=kx－8k 设BQ1与y轴的交点为G，过点C作CH⊥BQ1于点H， 易得△GOB∽△GHC，根据角平分线的性质得OB=OH=8,CH=OC=4 ∴ ∵OG=﹣8k， ∴GH=﹣4k， ∴GB=HG+HB=8－4k， 在Rt△OGB中， 解得：k1=0（舍去），k2= ∴BQ1：y=x+ 又BQ与抛物线有交点， ∴x+= 整理解得：x1=8（舍去），x2= 当x=时，y= ∴Q1（，） ②当Q在BC下方时，由对称性可知， BQ2：y= ，与抛物线有交点， ∴= 解得：x1=8（舍去），x2= 当x=﹣4时，y= ∴Q2（，） 综上Q的坐标为：Q（，）或Q （，） 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题型，熟练掌握二次函数与三角形面积及二次函数与角度倍数关系题型的解题方法与解题思路是解题的关键，题目综合性较强难度较大． 学科网（北京）股份有限公司 $