精品解析：上海市长宁区2025-2026学年第一学期高二数学教学质量调研试题

2025学年第一学期高二数学教学质量调研试卷 （考试时间90分钟，本卷满分100分） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．答案填在答题纸相应位置）． 1. 用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 2. 若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是___________. 3. 在元旦迎新会时，某班级将40名学生的姓名写成纸条放进抽奖箱，混合均匀后抽取5名学生进行奖励，则学生A被抽到获奖的概率为______． 4. 若一个球的表面积是，则这个球的体积是______． 5. 已知直线，，若，则实数a的值为___________. 6. 如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 7. 命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 8. 已知平面和平面外一点，则下列说法中，正确的是______．（写出所有判断正确的序号） ①过点有且只有一条直线与平面垂直；②过点有且只有一个平面与平面垂直； ③过点有且只有一条直线与平面平行；④过点有且只有一个平面与平面平行． 9. 已知直线，直线经过点，且与直线的夹角是，则直线的方程是______． 10. 甲、乙两人罚球时，“甲命中”与“乙命中”相互独立，已知甲罚球命中的概率是0.6，两个人中至少有一人罚球命中的概率是0.9，则乙罚球命中的概率是______． 11. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______． 12. 已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 13. 已知直线和直线异面，直线，，平面，平面，则直线与平面的位置关系是（ ） A. 平行； B. 垂直； C. 斜交； D. 不确定． 14. 某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了A高校部分大学生平均每日摄取的热量（单位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），其频率分布直方图如右图所示，已知每日摄取热量在内的人数是10人，则 ①样本量为100人； ②图中的值为2； ③估计该校大学生每日平均摄取热量约为1.74千大卡； 以上说法中，正确的个数是（ ） A. 3个； B. 2个； C. 1个； D. 0个． 15. 关于棱柱的说法中不正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B. 由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C. 有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D. 有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 16. 在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． （1）应抽取品种苹果树多少棵？ （2）若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：kg）分别为25、25、28、32、20、26、30、26、31、30，在图中画出10棵果树产量分布的茎叶图，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 18. 已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点． （1）求直线和所成角的大小； （2）确定点的位置，使平面平面，并证明． 19. 甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为． （1）若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？ （2）若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？ 20. 已知直角坐标系中，三个不同的点，，． （1）过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围； （2）若从点发出的光线，由直线上的点反射后，经过点射出，求点的坐标． 21. 如图，等腰直角三角形中，，． （1）点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为； ①若点是边的中点，，求四棱锥的体积； ②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由； （2）四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高二数学教学质量调研试卷 （考试时间90分钟，本卷满分100分） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．答案填在答题纸相应位置）． 1. 用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面的位置关系解答即可. 【详解】因为直线在平面内， 所以直线平面. 故答案为：. 2. 若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案. 【详解】解：圆柱的母线长即为圆柱的高， 则这个圆柱的体积. 故答案为： 3. 在元旦迎新会时，某班级将40名学生的姓名写成纸条放进抽奖箱，混合均匀后抽取5名学生进行奖励，则学生A被抽到获奖的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的概念计算即可. 【详解】由题意可知每个学生被抽取的概率为. 故答案为： 4. 若一个球的表面积是，则这个球的体积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由球的表面积公式先求出球的半径，即可求出球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得（舍去）， 所以这个球的体积. 故答案为： 5. 已知直线，，若，则实数a的值为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据可求出结果. 【详解】因为，所以，解得或， 故答案为：或. 6. 如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 【答案】 【解析】 【分析】还原正方体并确定各线所在位置，进而判断直线的位置关系． 【详解】展开图还原后与重合，则与交于点，即与共面， 平面，平面，故与直线异面的是直线． 故答案为：． 7. 命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】利用举反例的方法判断命题的真假． 【详解】假设空间中的三条直线、、为墙角的三条直线，它们两两相交于同一点， 但直线、、不在同一平面上，故命题为假命题． 故答案为：假． 8. 已知平面和平面外一点，则下列说法中，正确的是______．（写出所有判断正确的序号） ①过点有且只有一条直线与平面垂直；②过点有且只有一个平面与平面垂直； ③过点有且只有一条直线与平面平行；④过点有且只有一个平面与平面平行． 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用空间中点、线、面的位置关系判定即可. 【详解】由空间中点、线、面的位置关系可知： 过平面外一点有且仅有一条直线与平面垂直，故①正确； 过平面外一点有无数个平面与平面垂直，故②错误； 过平面外一点有无数条直线与平面平行，故③错误； 过平面外一点有且只有一个平面与平面平行，故④正确； 故答案为：①④ 9. 已知直线，直线经过点，且与直线的夹角是，则直线的方程是______． 【答案】或. 【解析】 【分析】分类讨论结合直线夹角的定义计算即可. 【详解】设的倾斜角为，易知的斜率为，与的夹角正切值为， 所以或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 10. 甲、乙两人罚球时，“甲命中”与“乙命中”相互独立，已知甲罚球命中的概率是0.6，两个人中至少有一人罚球命中的概率是0.9，则乙罚球命中的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件概率的乘法公式计算即可. 【详解】设乙罚球命中的概率为p，则. 故答案为： 11. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用中位数与平均数的概念先确定，再根据方差与标准差的算法计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 将已知数据排序有， 该组数据的中位数为第3个和第4个数据的平均数， 所以第3个和第4个数据的和为262，不妨设， 则第3个和第4个数据应为，则，经验证符合题意， 则该组数据的方差为 ，所以标准差为. 故答案为： 12. 已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用四面体的几何性质，结合等边、等腰三角形的性质，利用勾股定理计算相关边长，进而求解． 【详解】作的中点，连接，，是等边三角形， ，即为与平面所成角， 作为在平面内的投影，则在上，，， ，， ， ， 在直角中，， ． 故答案为：3． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 13. 已知直线和直线异面，直线，，平面，平面，则直线与平面的位置关系是（ ） A. 平行； B. 垂直； C. 斜交； D. 不确定． 【答案】B 【解析】 【分析】把线面平行转化为线线平行，再利用线面垂直判定定理判断直线与平面的位置关系． 【详解】平面，平面，直线和直线异面， 在平面内可找到两条相交直线，使得， 直线，， ， 是平面内的两条相交直线， 平面，故B正确． 故选：B． 14. 某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了A高校部分大学生平均每日摄取的热量（单位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），其频率分布直方图如右图所示，已知每日摄取热量在内的人数是10人，则 ①样本量为100人； ②图中的值为2； ③估计该校大学生每日平均摄取热量约为1.74千大卡； 以上说法中，正确的个数是（ ） A. 3个； B. 2个； C. 1个； D. 0个． 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质及平均数的算法计算即可. 【详解】由频率分布直方图可知在区间内的频率为， 则样本量为，所以①正确； 由频率分布直方图可知，所以②正确； 则该组数据的平均数为 ， 所以③正确. 故选：A 15. 关于棱柱的说法中不正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B. 由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C. 有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D. 有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱的概念一一分析选项即可. 【详解】对于A，这是棱柱的严格定义，两个互相平行的面是底面，其余各面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的本质特征，故A正确； 对于B，这是棱柱的 “平移生成” 定义，一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，正是棱柱的形成方式，故B正确； 对于C，这个说法错误，反例：将两个全等的平行四边形按错位方式拼接，使其余各面虽为平行四边形，但整体不是棱柱，因为相邻面的公共边不满足 “互相平行且方向一致” 的要求，故C错误； 对于D，这个说法是正确的，两个平行且全等的平面多边形为底面，其余不在这两个面上的棱都相互平行，满足棱柱的判定条件，故D正确. 故选：C. 16. 在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】利用面面平行判定定理结合已知条件求出的轨迹，再求出点的轨迹长度． 【详解】 、、分别是棱、、的中点， ，平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又平面， 平面平面， 直线与平面无交点，等价于平面， 平面，且平面平面， 平面时，平面， 是正方体表面的点， 轨迹为平面与正方体表面的交线，即的三边， 正方体边长为2， ，，， 点的轨迹长度为，故D正确． 故选：D． 三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． （1）应抽取品种苹果树多少棵？ （2）若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：kg）分别为25、25、28、32、20、26、30、26、31、30，在图中画出10棵果树产量分布的茎叶图，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 【答案】（1）3； （2） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的概念计算即可； （2）根据茎叶图的作法及经验概率计算即可. 【小问1详解】 易知，所以抽取品种苹果树为棵； 【小问2详解】 茎叶图如下： 由图可知果树产量不小于30kg的概率为. 18. 已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点． （1）求直线和所成角的大小； （2）确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】（1） （2） 为的中点， ， ，令，则，， 当时，，为的中点， 此时，，； ，， ，，平面， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相应点坐标及相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式求解； （2）利用多面体的几何性质，结合面面平行判定定理证明结论． 【小问1详解】 已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ，点、分别是、的中点，则， ， ， 直线和所成角为． 【小问2详解】 略 19. 甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为． （1）若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？ （2）若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？ 【答案】（1）甲应该分得元，乙分得元； （2） “三局两胜” 对甲有利，理由如下： “一局定胜负”甲获胜的概率是； “三局两胜”甲连胜两局或者第三局赢，前两局赢一次输一次， 则概率为. 因为， 而且，故，即， 即，于是“三局两胜”更有利. 【解析】 【分析】（1）分局，局比赛，求出甲获胜的概率，从而得到最终甲获胜的概率，根据甲、乙最终获胜的概率分钱； （2）分别算出两种情况的甲获胜的概率，然后作差比大小，决定最后的有利情况. 【小问1详解】 若两局比完，甲第局获胜，概率为； 若三局比完，甲第局输，第局赢，概率为； 故比完比赛，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为， 因此甲应该分得元，乙分得元. 【小问2详解】 略 20. 已知直角坐标系中，三个不同的点，，． （1）过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围； （2）若从点发出的光线，由直线上的点反射后，经过点射出，求点的坐标． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用直线倾斜角与斜率的关系计算即可； （2）作关于直线的对称点，利用两点式及直线交点的求法计算即可. 【小问1详解】 由题意可知， 所以； 【小问2详解】 易知直线的方程为，即， 设关于直线的对称点，则有， 解方程得，即，所以直线即反射光线所在直线， 易知直线方程为，整理得， 联立解得，即. 21. 如图，等腰直角三角形中，，． （1）点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为； ①若点是边的中点，，求四棱锥的体积； ②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由； （2）四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）． 【答案】（1）①； ②假设存在点和，使得， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在直角中是斜边，但，显然不成立， 所以不存在点和，使得； （2）可能取值. 【解析】 【分析】（1）①利用锥体的体积公式计算即可；②利用线面垂直的判定定理与性质定理结合三角形的边长关系判定即可； （2）利用定义结合棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 ①若点是边的中点，， 易知，四边形为直角梯形，且底面， ，则四边形的面积， 四棱锥的体积为； ②略 【小问2详解】 易知， 由“鳖臑”的定义可知都是直角三角形， 则该四面体必有一条棱垂直于一面， ①若底面，此时，符合定义， ， ； ②若底面，此时，符合定义， ， ； ③若底面，此时， 所以，要符合定义需直角以为斜边， 显然，故假设不成立， ； ④若底面，此时，符合定义， ，设， 解得， ； ⑤若底面，此时，符合定义， 同④可知要符合题意需， ； 综上所述：可能取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $