上海市长宁区2025-2026学年第一学期高二数学教学质量调研试题

2025学年第一学期高二数学教学质量调研试卷 （考试时间90分钟，本卷满分100分） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．答案填在答题纸相应位置）． 1. 用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 2. 若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是___________. 3. 在元旦迎新会时，某班级将40名学生的姓名写成纸条放进抽奖箱，混合均匀后抽取5名学生进行奖励，则学生A被抽到获奖的概率为______． 4. 若一个球的表面积是，则这个球的体积是______． 5. 已知直线，，若，则实数a的值为___________. 6. 如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 7. 命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 8. 已知平面和平面外一点，则下列说法中，正确的是______．（写出所有判断正确的序号） ①过点有且只有一条直线与平面垂直；②过点有且只有一个平面与平面垂直； ③过点有且只有一条直线与平面平行；④过点有且只有一个平面与平面平行． 9. 已知直线，直线经过点，且与直线的夹角是，则直线的方程是______． 10. 甲、乙两人罚球时，“甲命中”与“乙命中”相互独立，已知甲罚球命中的概率是0.6，两个人中至少有一人罚球命中的概率是0.9，则乙罚球命中的概率是______． 11. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______． 12. 已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 13. 已知直线和直线异面，直线，，平面，平面，则直线与平面的位置关系是（ ） A. 平行； B. 垂直； C. 斜交； D. 不确定． 14. 某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了A高校部分大学生平均每日摄取的热量（单位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），其频率分布直方图如右图所示，已知每日摄取热量在内的人数是10人，则 ①样本量为100人； ②图中的值为2； ③估计该校大学生每日平均摄取热量约为1.74千大卡； 以上说法中，正确的个数是（ ） A. 3个； B. 2个； C. 1个； D. 0个． 15. 关于棱柱的说法中不正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B. 由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C. 有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D. 有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 16. 在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． （1）应抽取品种苹果树多少棵？ （2）若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：kg）分别为25、25、28、32、20、26、30、26、31、30，在图中画出10棵果树产量分布的茎叶图，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 18. 已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点． （1）求直线和所成角的大小； （2）确定点的位置，使平面平面，并证明． 19. 甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为． （1）若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？ （2）若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？ 20. 已知直角坐标系中，三个不同的点，，． （1）过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围； （2）若从点发出的光线，由直线上的点反射后，经过点射出，求点的坐标． 21. 如图，等腰直角三角形中，，． （1）点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为； ①若点是边的中点，，求四棱锥的体积； ②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由； （2）四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）． 2025学年第一学期高二数学教学质量调研试卷 （考试时间90分钟，本卷满分100分） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．答案填在答题纸相应位置）． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】或 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】假 【8题答案】 【答案】①④ 【9题答案】 【答案】或. 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】3 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 【17题答案】 【答案】（1）3； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 为的中点， ， ，令，则，， 当时，，为的中点， 此时，，； ，， ，，平面， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【19题答案】 【答案】（1）甲应该分得元，乙分得元； （2） “三局两胜” 对甲有利，理由如下： “一局定胜负”甲获胜的概率是； “三局两胜”甲连胜两局或者第三局赢，前两局赢一次输一次， 则概率为. 因为， 而且，故，即， 即，于是“三局两胜”更有利. 【20题答案】 【答案】（1）; （2）. 【21题答案】 【答案】（1）①； ②假设存在点和，使得， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在直角中是斜边，但，显然不成立， 所以不存在点和，使得； （2）可能取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $