2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第13课时： 二次函数及应用

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次函数及应用”专题，覆盖定义、表达式、图象性质、平移规律、实际应用等中考核心考点，知识架构从基础概念到能力方法再到易错警示，通过核心知识梳理、解题思路指导、真题演练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破二次函数综合应用难点。 亮点在于“知识-能力-易错-真题”四维融合设计，如核心能力模块按题型分类指导解析式求解、最值分析等方法，易错警示针对性纠正平移规律等典型错误，真题演练分层设置选择、填空、解答题，培养学生数学思维与应用意识，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第13课时 二次函数及应用 一、核心知识 （一）二次函数的定义与表达式 定义：形如______y = ax² + bx + c______（a、b、c 为常数，且______a≠0______）的函数叫做二次函数，其中 x 是自变量，a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项。 三种表达式形式： 一般式： y = ax² + bx + c（a≠0） ，适用于已知任意 三点 坐标； 顶点式： y = a (x - h)² + k（a≠0） ，其中 （h，k） 是抛物线的顶点坐标，适用于已知 顶点和另一点 ； 交点式： y = a (x - x₁)(x - x₂)（a≠0） ，其中 x₁、x₂是抛物线与______x 轴______交点的横坐标，适用于已知 与 x 轴的两个交点和另一点 。 （二）二次函数的图象与性质 图象形状：二次函数的图象是一条______抛物线______，对称轴为 直线 x = -b/(2a)（一般式）或 x = h（顶点式） 。 核心性质（由 a 决定）： 开口方向：a > 0 时，抛物线开口______向上______；a < 0 时，开口______向下______； 开口大小：|a | 越大，抛物线开口越______小______；|a | 越小，开口越______大______； 最值：a > 0 时，抛物线有最低点（顶点），y 有最______小______值，y 最小值为 ；a <0 时，有最高点，y 有最 大 值，y 最大值为 ； 增减性（以对称轴 x = h 为例）： 当 a > 0 时，x <h，y 随 x 的增大而______减小______；x> h，y 随 x 的增大而 增大 ； 当 a <0 时，x < h，y 随 x 的增大而______增大______；x> h，y 随 x 的增大而 减小 。 抛物线与坐标轴的交点： 与 y 轴交点：令 x = 0，得 y = c，交点坐标为 (0, c) ； 与 x 轴交点：令 y = 0，解 ax² + bx + c = 0，交点个数由判别式 Δ = ______b² - 4ac______决定： Δ > 0：有______两个______不重合的交点； Δ = 0：有______一个______交点（顶点在 x 轴上）； Δ < 0：______无______交点。 （三）二次函数的平移规律（针对顶点式 y = a (x - h)² + k） 平移原则：“上加下减常数项，左加右减自变量”，平移后 a 的大小和符号______不变______（即 开口方向和大小不变 ）。 具体平移： 向上平移 m 个单位： y = a (x - h)² + (k + m) ； 向下平移 m 个单位： y = a (x - h)² + (k - m) ； 向左平移 m 个单位： y = a (x - h + m)² + k ； 向右平移 m 个单位： y = a (x - h - m)² + k 。 （四）二次函数的应用 核心关联： 与一元二次方程：抛物线与 x 轴的交点横坐标是方程 ax² + bx + c = 0 的解； 与一元二次不等式：ax² + bx + c > 0（或 < 0）的解集是抛物线在 x 轴上方（或下方）对应的 x 的取值范围。 常见应用场景： 利润最值问题：总利润 = （售价 - 成本）× 销量，设涨价 / 降价 x 元，列二次函数求最值； 几何面积最值问题：根据图形边长关系列二次函数，结合边长为正数确定自变量范围，求面积最值； 增长率问题：连续两次增长（或降低），可通过二次函数表达最终量与增长率的关系； 抛体运动问题：竖直上抛物体的高度 h 与时间 t 满足二次函数关系（忽略空气阻力）。 二、核心能力 （一）二次函数解析式求解 题型 1：已知三点求解析式（一般式） 解题思路 将三点坐标代入 y = ax² + bx + c，列三元一次方程组，求解 a、b、c 的值。 题型 2：已知顶点和一点求解析式（顶点式） 解题思路 设顶点式 y = a (x - h)² + k，代入顶点（h,k）和另一点坐标，求解 a 的值。 题型 3：已知与 x 轴交点和一点求解析式（交点式） 解题思路 设交点式 y = a (x - x₁)(x - x₂)，代入两个交点横坐标和另一点坐标，求解 a 的值。 （二）二次函数图象与性质分析 题型 1：由 a、b、c 判断抛物线特征（开口、对称轴、交点） 解题思路 a 决定开口方向，对称轴 x = -b/(2a) 判断左右位置，c 判断与 y 轴交点，Δ 判断与 x 轴交点个数。 题型 2：由抛物线图象求 a、b、c 的符号或取值范围 解题思路 根据开口方向定 a，根据对称轴位置定 b（“左同右异”：对称轴在 y 轴左侧，a、b 同号；右侧异号），根据与 y 轴交点定 c，根据与 x 轴交点个数定 Δ。 （三）二次函数最值与增减性 题型 1：无范围限制的最值（顶点最值） 解题思路 直接利用顶点坐标求最值，a > 0 取最小值，a < 0 取最大值。 题型 2：有范围限制的最值（区间最值） 解题思路 先判断对称轴是否在自变量取值范围内，若在则顶点为最值点；若不在则取区间端点对应的函数值为最值。 （四）二次函数实际应用 题型 1：利润最值问题 解题思路 设自变量（涨价 / 降价金额、销量），根据利润公式列二次函数，结合自变量取值范围（如售价≥成本）求最值。 题型 2：几何面积最值问题 解题思路 根据图形边长关系（如矩形长和宽的约束）列二次函数，注意自变量需满足边长为正数，再求最值。 题型 3：综合应用（结合一次函数、不等式） 解题思路 先列二次函数表达式，再根据题意列不等式确定自变量范围，最后在范围内求最值或筛选符合条件的解。 三、易错警示 表达式转化错误 错误：将一般式 y = ax² + bx + c 化为顶点式时，配方出错； 提醒：配方时需先将二次项系数化为 1，再配方，确保等式平衡。 平移规律应用错误 错误：将 y = x² 向右平移 2 个单位化为 y = x² - 2（正确为 y = (x - 2)²）； 提醒：平移仅针对 “自变量 x” 或 “常数项 k”，一般式需先化为顶点式再平移，避免直接对一般式变形。 忽略自变量取值范围 错误：利润问题中解得涨价 x = 10 元，但未考虑售价不能超过定价上限，导致最值无效； 提醒：实际应用中自变量需满足实际意义（如销量≥0、边长 > 0、售价≤上限），需在范围内求最值。 混淆 “顶点横坐标” 与 “对称轴” 错误：认为顶点式 y = a (x + 3)² + 2 的对称轴是 x = 3（正确为 x = -3）； 提醒：顶点式中对称轴为 x = h，括号内是 “x - h”，若为 “x + m” 则 h = -m。 误判 Δ 与最值的关系： 错误：认为 Δ > 0 时二次函数有最值（实际最值与 Δ 无关，仅与 a 有关）； 提醒：Δ 仅决定与 x 轴的交点个数，最值由 a 和顶点坐标决定。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（25-26·全国模拟）下列函数是二次函数的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了二次函数的定义，形如为常数且的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：． 不是二次函数，故该选项不符合题意； ． ，不是二次函数，故该选项不符合题意； ． 是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； ． 是二次函数，故该选项符合题意； 故选：．  2.（25-26·全国模拟）如图是抛物线，，是常数且的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，当时，，即，即可判断反比例函数的图象；由抛物线图象可知，则；又抛物线与轴交于负半轴，则，即可判断一次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解答】解：根据抛物线图象可得，当时，，即，故双曲线分别位于第二、四象限； 由抛物线图象可知，，则， 抛物线与轴交于负半轴，则， 直线经过第二、三、四象限，故选项符合题意． 故选：． 3.（24-25·山东中考）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A. B. C. D.  【答案】C 【解析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【解答】解：二次函数解析式为， 二次函数的图象开口向下，对称轴为， 离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ， ， 故选． 4.（25-26·安徽模拟）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【解答】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 5.（24-25·福建模拟）若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则满足的条件一定是（      ） A. B. C.或 D. 【答案】D 【解析】根据二次函数的图象只经过第一、二、三象限，得到当时，，顶点的纵坐标小于，列出不等式组进行求解即可． 【解答】解：对称轴为：，在轴的左侧，又二次函数的图象只经过第一、二、三象限， 当时，，顶点的纵坐标小于， 故选：． 6.（25-26·全国模拟）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（    ） … … … … A.当时，随增大而增大 B.抛物线的开口向下 C. D.当时，的取值范围是 【答案】D 【解析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和对应的函数值相等，可得对称轴对直线；根据对称轴两侧数据的变化，可得抛物线的开口方向；根据对称性可得和对应的函数值相等，进而可得的值；根据抛物线与轴的交点情况及开口方向，可得时，的取值范围． 【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线， 和对应的函数值相等， ，故选项错误，不符合题意； 时，随的增大而减小， 抛物线的开口向上，故选项错误，不符合题意； 对称轴为直线，开口向上， 时，随的增大而增大，故选项错误，不符合题意； 当时，的取值范围是，故选项正确，符合题意； 故选． 7.（25-26·全国模拟）在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（  ） A. B. C.或 D.或 【答案】D 【解析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得抛物线与轴的交点的横坐标分别为，从而得到抛物线的对称轴，进而得到点关于对称轴的对称点为与点不重合，即可求解． 【解答】解：， 抛物线与轴的交点的横坐标分别为， 抛物线的对称轴为直线为， 对于，都有， 点关于对称轴的对称点为与点不重合， ， ， ， 或， 解得：或． 故选：  8.（24-25·江苏模拟）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【解答】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：．  9.（24-25·四川模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，为抛物线上一点，其横坐标为，为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 【解答】解：当时，则有， ， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， 当、、三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，则有， ，即， ， ； 故选． 10.（24-25·甘肃中考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【解答】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即米， 故选：．  11.（24-25·天津模拟）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件．已知商品的进价为每件元，有下列结论： ①若该商品每件降价元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为元，则预测售卖该商品每星期可得利润元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查二次函数的应用．根据题意，得到利润的相等关系是解决本题的关键，求得涨价后的最大利润以及降价后的最大利润后，经过比较才能得到最大利润，找准各个量之间的关系是正确解答此题的关键． 根据某商品现在的售价为元，每星期可卖出件；每降价元，每星期可多卖出件，可判断①；根据总利润单件利润销量可判断②；分别列出涨价与降价时对应的式子求出最大值作比较即可判断③． 【解答】 解：①售价为每件元，每星期可卖出件，每降价元，每星期可多卖出件，若该商品每件降价元，则预测每星期可卖出件；故①正确； ②若该商品每件售价为元，则预测售卖该商品每星期可得利润元；故②正确； ③设每件降价元，每星期售出商品的利润为， 则． ， 时，售价为元时利润最大，最大利润元， 设每件涨价元，涨价后的利润为元． ， 在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是元， ， 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大，故③正确． 正确结论的个数是个， 故选∶． 12.（25-26·全国模拟）如图，在中，，点在上，，动点在的边上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为．当点由点运动到点时，如图，是关于的二次函数．在个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列个结论：①当时，；②点在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】B 【解析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，据此可判断①；当点在上时，由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【解答】解：由图可知当点运动到点时，， 在中，由勾股定理得， ， 或（舍去）； 动点在的边上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动， 当时，点的运动路程为，即此时点在上， 此时， 在中，由勾股定理得， ， 当时，，故①正确； 当点在上时，由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， 可设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， 关于的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ， 在中，由勾股定理得， ，故③错误； 动点以每秒个单位的速度从点出发，在匀速运动， ， ，， ， ； 点在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ， ， 存在个时刻对应的正方形的面积均相等． 可以看作， ，故④正确； 综上所述，正确的有个， 故选：．  13.（25-26·全国模拟）如图，已知抛物线为常数，且的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ， 又抛物线与轴交点坐标是，即， ，即， ，故①正确； 抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， 另一个交点坐标为， 当时，，故②错误； ，在抛物线的图象上， ， 又， ， 即， ，即， ， 即， 当时，取得最大值，最大值为， ， ，故③正确； ，，， 即， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而增大， 又， ， 当时，， 当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； 若点在抛物线上，且， ，， 存在， ，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共个． 故选：． 14.（25-26·全国同步）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①； ②； ③当时，随的增大而增大； ④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（      ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C 【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴轴的交点，综合判断即可． 【解答】解：抛物线开口向上，因此，与轴交于负半轴，因此，故，所以①正确；抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，所以②不正确； 时，随的增大而增大，所以③正确； 抛物线与轴有两个不同交点，因此关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：． 15.（25-26·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，轴，，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A.①②③④⑤ B.①③④ C.①③⑤ D.①③④⑤ 【答案】B 【解析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长，由此即可判断①②；当点在上时，过点作于点，根据三角形的面积公式可求出此时的，由此即可判断③；过点作于点，从而可得，，再解直角三角形可得，利用三角形的面积公式即可判断④；先求出四边形的面积，从而可得的面积，分三种情况：、和，分别列出方程，解方程即可判断⑤． 【解答】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， 当时，，此时的面积为， ， ， 点的运动速度为，则说法①正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 如图，过作于点， 四边形是矩形， ，， ， 设，则， ， ， ，， ， ，则说法②错误； 如图，当点在上时，过点作于点， ，， 线段段的函数解析式为，则说法③正确； 点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为， ， 当时，如图，过点作于点， 则，， ， 设，则， ， ， ， 曲线段的函数解析式为，则结论④正确； ， 的面积． 当时，此时的边，边上的高为， ，解得或（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得或 （不符合题设，舍去）； 综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是①③④， 故选：．  （2） 填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   16.（24-25·浙江模拟 ）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____（答案不唯一）______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【解答】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）．  17.（23-24·浙江中考）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得到，即得，又根据二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为，得到，由即可得到，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【解答】解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上，当时，随增大而减小， 又当时，二次函数随增大而减小， ， ， 当时，， ， 在中， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 当，时， ， 恒成立， ， 画出函数和的图象如图所示， 由图象可得，当时，， ， ， 故答案为：．   18.（24-25·甘肃中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______4______． 【答案】 【解析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【解答】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， 抛物线， 令，得， 解得或， ， ； 故答案为：．   19.（24-25·广东模拟）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为______________． 【答案】 【解析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【解答】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ， 令，得， 解得：，， 为， 故答案为：． 20.（24-25·重庆模拟）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）的度数是____________； （2）若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点，则的长的最大值是_____4______． 【答案】度 【解析】（1）先分别求解，，的坐标，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得答案. 【解答】（1）解：二次函数， 当时，则， 解得：，， ，， 当时，则， ， ， ； （2）设直线为， ，解得：， 直线为， ，设，则， ， 当时，的最大值为：； 故答案为：； 21.（23-24·四川中考）若二次函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为____①③④________．（少选得分，错选得分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 【答案】①③④ 【解析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意； 【解答】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称． ， ，故①符合题意； ， ， ， ， 当时，取最小值，故②不符合题意； ， 对称轴为直线， ， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ， 对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意； 当时， ， ， ， 当时，满足， ， ， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意； 综上：符合题意的有①③④； 故答案为：①③④． 22.（24-25·山东月考）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为____________． 【答案】 【解析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【解答】解：把，，代入得， ， 解得， ，故正确； ，，， ， 当时，， ， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为， 又， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， 与时函数值相等，等于， 当时，的取值范围为，故错误； ， 点，关于对称轴对称， ，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 23.（23-24·湖北模拟）已知抛物线为常数，且经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有____________________（填正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【解析】本题考查二次函数的图象和性质，对称性求出对称轴判断①，无法确定的符号，判断②，根据对称性确定抛物线与轴的另一个交点的位置判断③；设直线的解析式为，当时，联立抛物线，根据直线与抛物线只有一个交点，得到判别式为，进行求解，当时，分析是否满足题意即可． 【解答】 解：抛物线经过点， 对称轴为直线；故①正确； 无法确定的符号，故②错误； 若两点在抛物线上，且，则抛物线与轴的一个交点的横坐标的范围为， 对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点的横坐标的范围为：， 方程有一根满足；故③正确； 设过点的直线的解析式为：， 当时，令， 整理，得：， 直线与抛物线只有一个交点， ， ， ， ， 整理，得：， ， 当时，， ， 当时，， 与只有一个交点，满足题意， 综上：过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，故④正确； 故答案为：①③④．  24.（25-26·全国模拟）如图是二次函数 ² 图像的一部分，图像过点，对称轴为直线 ，给出以下五个结论: ①<0; ②b²-4ac>; ③<0;           ④若，，，为函数图像上的两点， 则;     ⑤当时，; 其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)___②③⑤________ 【答案】②③⑤. 【解析】此题暂无解析 【解答】由图象可知，，，， ，故①错误． 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确． 抛物线对称轴为，与轴交于， 抛物线与轴的另一个交点为， ，， ，， ，故③正确． ,、 ,为函数图象上的两点， 又点离对称轴近， ，，故④错误， 由图象可知，时，，故⑤正确． ②③⑤正确， 故答案是：②③⑤．  25.（24-25·广东模拟）如图，已知抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、．点在抛物线的对称轴上，点为抛物线上位于第四象限一点，满足．点在抛物线上，且满足，则点的坐标为      ． 【答案】 【解析】在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点，根据点在抛物线的对称轴上，，求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据相似三角形的判定与性质，证明，得出，结合图形与坐标，求出、，利用证明，证明，得出，求出、，根据图形与坐标，求出点的坐标，结合点的坐标，求出直线的解析式，结合抛物线的解析式，求出点的坐标即可． 【解答】解：如图，在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点， ， 抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、， 当时，， ， 解得：，， 当时，， ，，， ，，， ， 设直线解析式为，则， 解得：， 直线解析式为， 点在抛物线的对称轴上，， 点的横坐标，点的横坐标点的横坐标， 点的横坐标， 当时，， ， 设直线解析式为，则， 解得：， 直线解析式为，当时，， ， ，， 直线解析式为，当时，， 点也在线段上， ， ， ， ， ， 解得：，， ，， ，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 解得：，， ，， ， 点的纵坐标，横坐标， ， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 点是直线与抛物线的交点， 令，整理得， 因式分解得：， 解得：，（为点的横坐标）， 点的横坐标，纵坐标， 点的坐标为． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（2025・江苏扬州中考）已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象过点 A (0, 1)、B (1, 3)、C 。（1）求该二次函数的解析式；（2）求该函数图象的顶点坐标和对称轴。 【答案】（1）y = x² + x + 1；（2）顶点 ，对称轴 x=-0.5 【解析】（1）考点：待定系数法求二次函数解析式（一般式）。将三点坐标代入一般式，列三元一次方程组求解 a、b、c；（2）考点：二次函数顶点坐标与对称轴，用公式或配方求解。 【解答】解：（1）将 A (0, 1)、B (1, 3)、C 代入 y = ax² + bx + c，得：​，将 c=1 代入后两式，得,，两式相加得 2a = 2，解得 a=1，代入 a + b=2 得 b=1， ∴解析式为 y = x² + x + 1；（2）方法一：公式法，对称轴 x = -b/(2a) = -1/(2×1) = -0.5，顶点纵坐标 y = /(4a) = (4×1×1 - 1²)/(4×1) = (4 - 1)/4 = 0.75，∴顶点坐标为 ，对称轴为 x=-0.5；方法二： 配方，y = x² + x + 1 = x² + x + 0.25 + 0.75 = ² + 0.75，∴顶 点坐标为 ，对称轴为 x=-0.5。 27.（2025・重庆中考）将抛物线 y = x² - 2x - 3 先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位。（1）求平移后的抛物线解析式；（2）求平移后的抛物线与 y 轴的交点坐标。 【答案】（1）y = (x - 2)² - 2；（2）(0, 2) 【解析】（1）考点：二次函数平移规律，先将一般式化为顶点式，再按 “上加下减、左加右减” 平移；（2）考点：抛物线与 y 轴交点，令 x=0，代入平移后解析式求 y 值。 【解答】解：（1）先将 y = x² - 2x - 3 化为顶点式：y = x² - 2x + 1 - 4 = (x - 1)² - 4，向上平移 2 个单位：y = (x - 1)² - 4 + 2 = (x - 1)² - 2，向右平移 1 个单位：y = (x - 1 - 1)² - 2 = (x - 2)² - 2，∴平移后的解析式为 y = (x - 2)² - 2；（2）令 x=0，代入 y = (x - 2)² - 2，得：y = (0 - 2)² - 2 = 4 - 2 = 2，∴与 y 轴的交点坐标为 (0, 2)。 28.（25-26·全国同步）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … … … … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】 ；见解析 或 【解析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分两种情况解答，即可求解． 【解答】（1）解：把点代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， 点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线的对称轴为直线， 当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， 图象对应的函数最大值与最小值的差为， ， 解得：或（舍去）； 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， 图象对应的函数最大值与最小值的差为， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 29.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点与轴交于点，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时的取值范围是求的值； （3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】 存在点以为顶点的四边形是菱形，边长为或 【解析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【解答】（1）解：抛物线经过点与轴交于点，且关于直线对称， 解得 ； （2）抛物线的开口向下，对称轴为直线抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， 时 ①当时，则：当时，函数有最大值，即： 解得或均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即： 解得； 故； （3）存在；当时，解得当时 设直线的解析式为把代入，得 设则： 当为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：即 解得（舍去）或 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：即： 解得或（舍去） 此时菱形的边长为； 综上：存在以为顶点的四边形是菱形，边长为或． 30.（25-26·全国同步）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是____③____（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出，应满足的条件； 探究： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求，满足的关系式． 探究： （4）某种商品每件的进价为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】③ 当且时，为任意实数；当时， 该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为元或元时，销售总利润与销售单价相等． 【解析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【解答】（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）一次函数是“不动点函数”， 代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， 抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ； （4）根据题意得，， 令， 整理得， 解得，， 该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为元或元时，销售总利润与销售单价相等． 31.（24-25·山东中考）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数-已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 【模型构建】若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为_________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】； 当时， 最少开条通道 【解析】（1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【解答】（1）解：若开设条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 排队人数分钟（包括分钟）内减少 ，即： 又最多开通条 为正整数， 最小值为 ， 最少开条通道； 32.（24-25·贵州中考）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】 不能，理由见解析 【解析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最大，此时最大，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最小，此时最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【解答】（1）解：当时， 点坐标为 抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ，点坐标为 点的坐标为， 将代入 此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）正方形， 如图所示， 抛物线开口向下 越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） 由图象可得，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最大，此时最大 设的表达式为 将代入得， 解得； 由图象可得，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最小，此时最小 设的表达式为 将代入得， 解得； 的取值范围为． 33.（23-24·山东中考）月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续天的销售情况进行了统计与分析： 樱桃园 第天的单价、销售量与的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第天 第天 第天 第天 … … … 第天 第天的单价与近似地满足一次函数关系， 已知每天的固定成本为元． 樱桃园 第天的利润（元）与的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）樱桃园第天的单价是______元/盒（用含的代数式表示）； （2）求樱桃园第天的利润（元）与的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） （3）①与的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ （4）这天中，共有___4___天樱桃园的利润比樱桃园的利润大． 【答案】 ①；②第天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是元； 【解析】（1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可； （3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可； （4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案． 【解答】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为， 把代入中得， ， 第天的单价与满足的一次函数关系式为， 樱桃园第天的单价是元/盒， 故答案为：； （2）解：由题意得， （3）解：①把代入中得：， 解得， ； ②，， ， ，且（为正整数）， 当时，有最大值，最大值为， 第天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是元； （4）解：当时，则， ， ， ， 的正整数解有个， 这天中，共有天樱桃园的利润比樱桃园的利润大．  34.（25-26·贵州月考）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图，此二次函数的图像与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．若，求证的值为定值； （3）如图，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值． 【答案】 为定值，证明见解析 【解析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【解答】（1）解：二次函数的图像经过点， ， ， ； （2）当时，， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则，， ，． ， 的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ， ， ， 当时， ， 当时，线段长度的最大值． 35.（24-25·甘肃期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 存在这样的点或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形 存在点的坐标为或或或． 【解析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得，再把点代入，即可求解； （2）先求出，设点，可得，，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解； （3）设点，点，然后分两种情况讨论：当为边时，当为对角线时，即可求解． 【解答】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得：， 抛物线过点， ，解得：， 抛物线解析式为； （2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下： 令，则， 解得：， 点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标为，即， ， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 设点， ，， ，， 当时，， 解得：或（舍去）， 此时点； 当时，， 解得：或（舍去）， 此时点； 当时，， 解得：， 此时点； 综上所述，存在这样的点或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形； （3）解：存在，理由如下： 点，， ， ， 设点，点， 当为边时，点向右平移个单位向下平移个单位得到点，同样向右平移个单位向下平移个单位得到点，且，如图， 或， 解得：或， 此时点的坐标为或； 当为对角线时，，且与的中点重合，如图， ， 解得：或， 此时点的坐标为或； 综上所述，存在点的坐标为或或或． 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第13课时 二次函数及应用 一、核心知识 （一）二次函数的定义与表达式 定义：形如____________（a、b、c 为常数，且____________）的函数叫做二次函数，其中 x 是自变量，a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项。 三种表达式形式： 一般式： ，适用于已知任意 坐标； 顶点式： ，其中 是抛物线的顶点坐标，适用于已知 ； 交点式： ，其中 x₁、x₂是抛物线与____________交点的横坐标，适用于已知 。 （二）二次函数的图象与性质 图象形状：二次函数的图象是一条____________，对称轴为 。 核心性质（由 a 决定）： 开口方向：a > 0 时，抛物线开口___________；a < 0 时，开口____________； 开口大小：|a | 越大，抛物线开口越____________；|a | 越小，开口越____________； 最值：a > 0 时，抛物线有最低点（顶点），y 有最__________值，y 最小值为 ；a <0 时，有最高点，y 有最 值，y 最大值为 ； 增减性（以对称轴 x = h 为例）： 当 a > 0 时，x <h，y 随 x 的增大而____________；x> h，y 随 x 的增大而 ； 当 a <0 时，x < h，y 随 x 的增大而____________；x> h，y 随 x 的增大而 。 抛物线与坐标轴的交点： 与 y 轴交点：令 x = 0，得 y = c，交点坐标为 ； 与 x 轴交点：令 y = 0，解 ax² + bx + c = 0，交点个数由判别式 Δ = __________决定： Δ > 0：有___________不重合的交点； Δ = 0：有____________交点（顶点在 x 轴上）； Δ < 0：____________交点。 （三）二次函数的平移规律（针对顶点式 y = a (x - h)² + k） 平移原则：“上加下减常数项，左加右减自变量”，平移后 a 的大小和符号____________（即 ）。 具体平移： 向上平移 m 个单位： ； 向下平移 m 个单位： ； 向左平移 m 个单位： ； 向右平移 m 个单位： 。 （四）二次函数的应用 核心关联： 与一元二次方程：抛物线与 x 轴的交点横坐标是方程 ax² + bx + c = 0 的解； 与一元二次不等式：ax² + bx + c > 0（或 < 0）的解集是抛物线在 x 轴上方（或下方）对应的 x 的取值范围。 常见应用场景： 利润最值问题：总利润 = （售价 - 成本）× 销量，设涨价 / 降价 x 元，列二次函数求最值； 几何面积最值问题：根据图形边长关系列二次函数，结合边长为正数确定自变量范围，求面积最值； 增长率问题：连续两次增长（或降低），可通过二次函数表达最终量与增长率的关系； 抛体运动问题：竖直上抛物体的高度 h 与时间 t 满足二次函数关系（忽略空气阻力）。 二、核心能力 （一）二次函数解析式求解 题型 1：已知三点求解析式（一般式） 解题思路 将三点坐标代入 y = ax² + bx + c，列三元一次方程组，求解 a、b、c 的值。 题型 2：已知顶点和一点求解析式（顶点式） 解题思路 设顶点式 y = a (x - h)² + k，代入顶点（h,k）和另一点坐标，求解 a 的值。 题型 3：已知与 x 轴交点和一点求解析式（交点式） 解题思路 设交点式 y = a (x - x₁)(x - x₂)，代入两个交点横坐标和另一点坐标，求解 a 的值。 （二）二次函数图象与性质分析 题型 1：由 a、b、c 判断抛物线特征（开口、对称轴、交点） 解题思路 a 决定开口方向，对称轴 x = -b/(2a) 判断左右位置，c 判断与 y 轴交点，Δ 判断与 x 轴交点个数。 题型 2：由抛物线图象求 a、b、c 的符号或取值范围 解题思路 根据开口方向定 a，根据对称轴位置定 b（“左同右异”：对称轴在 y 轴左侧，a、b 同号；右侧异号），根据与 y 轴交点定 c，根据与 x 轴交点个数定 Δ。 （三）二次函数最值与增减性 题型 1：无范围限制的最值（顶点最值） 解题思路 直接利用顶点坐标求最值，a > 0 取最小值，a < 0 取最大值。 题型 2：有范围限制的最值（区间最值） 解题思路 先判断对称轴是否在自变量取值范围内，若在则顶点为最值点；若不在则取区间端点对应的函数值为最值。 （四）二次函数实际应用 题型 1：利润最值问题 解题思路 设自变量（涨价 / 降价金额、销量），根据利润公式列二次函数，结合自变量取值范围（如售价≥成本）求最值。 题型 2：几何面积最值问题 解题思路 根据图形边长关系（如矩形长和宽的约束）列二次函数，注意自变量需满足边长为正数，再求最值。 题型 3：综合应用（结合一次函数、不等式） 解题思路 先列二次函数表达式，再根据题意列不等式确定自变量范围，最后在范围内求最值或筛选符合条件的解。 三、易错警示 表达式转化错误 错误：将一般式 y = ax² + bx + c 化为顶点式时，配方出错； 提醒：配方时需先将二次项系数化为 1，再配方，确保等式平衡。 平移规律应用错误 错误：将 y = x² 向右平移 2 个单位化为 y = x² - 2（正确为 y = (x - 2)²）； 提醒：平移仅针对 “自变量 x” 或 “常数项 k”，一般式需先化为顶点式再平移，避免直接对一般式变形。 忽略自变量取值范围 错误：利润问题中解得涨价 x = 10 元，但未考虑售价不能超过定价上限，导致最值无效； 提醒：实际应用中自变量需满足实际意义（如销量≥0、边长 > 0、售价≤上限），需在范围内求最值。 混淆 “顶点横坐标” 与 “对称轴” 错误：认为顶点式 y = a (x + 3)² + 2 的对称轴是 x = 3（正确为 x = -3）； 提醒：顶点式中对称轴为 x = h，括号内是 “x - h”，若为 “x + m” 则 h = -m。 误判 Δ 与最值的关系： 错误：认为 Δ > 0 时二次函数有最值（实际最值与 Δ 无关，仅与 a 有关）； 提醒：Δ 仅决定与 x 轴的交点个数，最值由 a 和顶点坐标决定。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（25-26·全国模拟）下列函数是二次函数的是（   ） A. B. C. D. 2.（25-26·全国模拟）如图是抛物线，，是常数且的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A. B. C. D. 3.（24-25·山东中考）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A. B. C. D. 4.（25-26·安徽模拟）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A. B. C. D. 5.（24-25·福建模拟）若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则满足的条件一定是（      ） A. B. C.或 D. 6.（25-26·全国模拟）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（    ） … … … … A.当时，随增大而增大 B.抛物线的开口向下 C. D.当时，的取值范围是 7.（25-26·全国模拟）在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（  ） A. B. C.或 D.或 8.（24-25·江苏模拟）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A. B. C. D. 9.（24-25·四川模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，为抛物线上一点，其横坐标为，为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A. B. C. D. 10.（24-25·甘肃中考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A. B. C. D. 11.（24-25·天津模拟）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件．已知商品的进价为每件元，有下列结论： ①若该商品每件降价元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为元，则预测售卖该商品每星期可得利润元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（    ） A. B. C. D. 12.（25-26·全国模拟）如图，在中，，点在上，，动点在的边上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为．当点由点运动到点时，如图，是关于的二次函数．在个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列个结论：①当时，；②点在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 13.（25-26·全国模拟）如图，已知抛物线为常数，且的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 14.（25-26·全国同步）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①； ②； ③当时，随的增大而增大； ④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（      ） A.个 B.个 C.个 D.个 15.（25-26·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，轴，，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A.①②③④⑤ B.①③④ C.①③⑤ D.①③④⑤ （2） 填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   16.（24-25·浙江模拟 ）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是__________．（写出一个即可） 17.（23-24·浙江中考）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是___________． 18.（24-25·甘肃中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为__________． 19.（24-25·广东模拟）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为______________． 20.（24-25·重庆模拟）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）的度数是___________； （2）若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点，则的长的最大值是__________． ； 故答案为：； 21.（23-24·四川中考）若二次函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为___________．（少选得分，错选得分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 22.（24-25·山东月考）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为____________． 23.（23-24·湖北模拟）已知抛物线为常数，且经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有___________________（填正确结论的序号）． 24.（25-26·全国模拟）如图是二次函数 ² 图像的一部分，图像过点，对称轴为直线 ，给出以下五个结论: ①<0; ②b²-4ac>; ③<0;           ④若，，，为函数图像上的两点， 则;     ⑤当时，; 其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)_________ 25.（24-25·广东模拟）如图，已知抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、．点在抛物线的对称轴上，点为抛物线上位于第四象限一点，满足．点在抛物线上，且满足，则点的坐标为     ． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（2025・江苏扬州中考）已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象过点 A (0, 1)、B (1, 3)、C 。（1）求该二次函数的解析式；（2）求该函数图象的顶点坐标和对称轴。 27.（2025・重庆中考）将抛物线 y = x² - 2x - 3 先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位。（1）求平移后的抛物线解析式；（2）求平移后的抛物线与 y 轴的交点坐标。 28.（25-26·全国同步）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … … … … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 29.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点与轴交于点，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时的取值范围是求的值； （3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 30.（25-26·全国同步）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是_______（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出，应满足的条件； 探究： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求，满足的关系式． 探究： （4）某种商品每件的进价为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 31.（24-25·山东中考）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数-已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 【模型构建】若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 32.（24-25·贵州中考）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 33.（23-24·山东中考）月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续天的销售情况进行了统计与分析： 樱桃园 第天的单价、销售量与的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第天 第天 第天 第天 … … … 第天 第天的单价与近似地满足一次函数关系， 已知每天的固定成本为元． 樱桃园 第天的利润（元）与的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）樱桃园第天的单价是______元/盒（用含的代数式表示）； （2）求樱桃园第天的利润（元）与的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） （3）①与的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ （4）这天中，共有_____天樱桃园的利润比樱桃园的利润大．  34.（25-26·贵州月考）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图，此二次函数的图像与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．若，求证的值为定值； （3）如图，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $