2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第8课时：《一次不等式（组）及其应用》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第8课时 分式方程及其应用 一、核心知识 （一）不等式的相关定义 不等式：用____________表示不等关系的式子。 一元一次不等式：只含有___________未知数，且未知数的次数是__________，不等号两边都是整式的不等式。 一元一次不等式组：由几个含有_________未知数的一元一次不等式组成的不等式组。 不等式（组）的解集：使不等式（组）成立的未知数的____________，解集在数轴上表示时，含等号用____________，不含等号用____________，大于向右画，小于向左画。 （二）不等式的基本性质 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向___________。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个__________，不等号方向不变。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个__________，不等号方向____________（中考高频考点）。 注意：性质 3 是易错点，乘除负数时必须记得改变不等号方向。 （三）一元一次不等式的解法 基本步骤（与解一元一次方程类似）： 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意不含分母的项也要___________。 去括号：遵循去括号法则，括号前是负号时，括号内各项要____________。 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要___________。 合并同类项：将同类项合并，化为 等形式。 系数化为 1：两边同除以未知数的系数 a，若 a < 0，不等号方向____________。 （四）一元一次不等式组的解法 分别求出不等式组中____________的解集。 借助数轴或口诀确定公共解集： 同大取大：两个解集都是大于，取____________。 同小取小：两个解集都是小于，取__________。 大小小大中间找：一个大于小数、一个小于大数，解集为两数之间。 大大小小找不到：一个大于大数、一个小于小数，无解。 （五）一次不等式（组）的应用 常见题型：方案设计问题、最值问题、行程问题、工程问题、利润问题等。 核心关键词：“至少”（≥）、“最多”（≤）、“不超过”（≤）、“不低于”（≥）、“大于”（>）、“小于”（<）。 解题步骤： 。 二、核心能力 题型1.不等式的性质应用 解题思路 紧扣不等式的三个性质，重点关注性质 3（乘除负数变号），判断变形过程是否符合性质要求，可通过代入特殊值验证。 题型2.一元一次不等式（组）的求解与解集表示 解题思路 严格遵循解法步骤，去分母、移项时避免漏乘、漏变号；数轴表示解集时，先定边界点类型（实心 / 空心），再定方向（左 / 右）；不等式组解集需结合数轴或口诀快速确定。 题型3.含参数的不等式（组）问题 解题思路 先解不含参数的不等式（组），再根据题目给出的解集、整数解个数等条件，列出关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围，注意边界值的取舍（是否含等号）。 题型4.实际应用问题 解题思路 抓住题目中的不等关键词，准确转化为数学不等关系；设未知数时优先设直接未知数，若涉及整数解（如人数、件数），需在解集范围内取符合实际的整数。三、易错警示 去分母漏乘常数项 错误：解不等式时，去分母得 x−1>6（漏乘常数项 - 1）； 提醒：去分母时，不等式两边的每一项（包括常数项）都要乘最小公倍数。 系数化为 1 忘变号 错误：解不等式−2x>4时，解得x>−2（未变号）； 提醒：系数为负数时，系数化为 1 必须改变不等号方向，正确解为x<−2。 数轴表示解集出错 错误：解集x≥2用空心圆点表示，或解集x<1向右画； 提醒：含等号用实心圆点，不含等号用空心圆点，大于向右、小于向左。 含参数问题忽略边界值 错误：不等式组解集为a<x<3，求 a 的范围时忽略a=2等边界情况； 提醒：根据 “是否包含边界值” 分类讨论，可代入边界值验证是否符合题意。 实际应用忽略自变量取值范围 错误：方案设计问题中，解得人数为小数未取整数； 提醒：实际问题中，自变量常为正整数，需在解集范围内筛选符合实际的解。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·河北模拟）若不等式“”可以表示“不超过的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（    ） A. B. C. D. 2.（24-25·广西中考）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有克水、克水，，都加入克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A. B. C. D. 3.（24-25·广东模拟）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 4.（24-25·河南模拟）如图,天平左盘中物体的质量为,天平右盘中每个砝码的质量都是,则的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 5.（24-25·贵州模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（      ） A. B. C. D. 6.（24-25·内蒙古中考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A. B. C. D.  7.（24-25·广东模拟）若关于的方程组的解满足，则的最小整数解为（    ） A. B. C. D. 8.（23-24·江苏模拟）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若，则的取值范围是（    ） A.或 B. C. D. 9.（25-26·全国模拟）如图是某机器零件的设计图纸, 在数轴上表示该零件长度合格尺寸, 正确的是      A. B. C. D. 10.（24-25·湖北模拟）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若运算进行了次才停止，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 11.（24-25·天津模拟）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A. B. C. D. 12.（24-25·江苏模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A. B. C. D. 13.（25-26·广东模拟）已知一次函数与为常数，的图象如图所示，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A. B. C. D. 14.（24-25·浙江模拟）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加，现有糯米斤，若做成清明粿质量超过斤，则可列出不等式（   ） A. B. C. D. 15.（24-25·四川中考）若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（   ） A. B. C. D. （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·北京模拟）已知命题“若，则”是假命题，则的值可以是__________________． 17.（24-25·江苏模拟）已知、、均为正数，且，则的最小值为____________． 18.（24-25·吉林模拟）已知是关于的一元一次不等式，则的值为_______________． 19.（24-25·四川中考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 20.（23-24·江苏中考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时，第二个路口显示红灯倒计时，此时车辆分别距离两个路口和．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是、，第二个路口红、绿灯设定时间分别是、．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速的取值范围是______________． 21.（24-25·黑龙江中考）关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是_____________． 22.（24-25·四川中考）不等式组的解集是，则的取值范围是_____________． 23.（25-26·甘肃模拟）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为____________. 24.（23-24·青海模拟）如图，直线与分别交轴于点，，则不等式组的解集是_____________． 25.（24-25·河南模拟）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是           ．   （3） 解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·河南模拟）解不等式：，把它的解集表示在数轴上．   27.（24-25·江西模拟）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得__ ____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____． 28.（24-25·广西模拟）求不等式的正整数解． 29.（24-25·四川中考）解不等式：； 先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的（为整数）． 30.（25-26·江苏模拟）若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为阶不等式（组）． 例如：不等式只有个正整数解，因此称其为阶不等式． 不等式组只有个正整数解，因此称其为阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是______阶不等式；是_____阶不等式组； （2）若关于的不等式组 是阶不等式组，求的取值范围； （3）关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围． 31.（24-25·山东模拟）若关于的不等式组所有整数解的和为，求整数的值． 32.（24-25·辽宁模拟）桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门，设． （1）若养殖场的面积为，求：关于的函数表达式； （2）若在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是米，米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 33.（24-25·山东模拟）某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． （1）求，两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 34.（24-25·福建模拟）如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． （1）求直线 :的函数解析式． （2）当时，的取值为___ ____. （3）设点是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点Q．若的面积为，求点的坐标． 35.（24-25·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和，点的横坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时的取值范围； （3）点为轴上一动点，连接，若的面积为，求点的坐标． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第8课时 不等式（组）及其应用 一、核心知识 （一）不等式的相关定义 不等式：用______不等号（>、<、≥、≤、≠）______表示不等关系的式子。 一元一次不等式：只含有______一个______未知数，且未知数的次数是______1______，不等号两边都是整式的不等式。 一元一次不等式组：由几个含有______同一个______未知数的一元一次不等式组成的不等式组。 不等式（组）的解集：使不等式（组）成立的未知数的______所有取值______，解集在数轴上表示时，含等号用______实心圆点______，不含等号用______空心圆点______，大于向右画，小于向左画。 （二）不等式的基本性质 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向______不变______。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个______正数______，不等号方向不变。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个______负数______，不等号方向______改变______（中考高频考点）。 注意：性质 3 是易错点，乘除负数时必须记得改变不等号方向。 （三）一元一次不等式的解法 基本步骤（与解一元一次方程类似）： 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意不含分母的项也要______乘最小公倍数______。 去括号：遵循去括号法则，括号前是负号时，括号内各项要______变号______。 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要______变号______。 合并同类项：将同类项合并，化为 “ax> b”“ax < b” 等形式。 系数化为 1：两边同除以未知数的系数 a，若 a < 0，不等号方向______改变______。 （四）一元一次不等式组的解法 分别求出不等式组中______每个不等式______的解集。 借助数轴或口诀确定公共解集： 同大取大：两个解集都是大于，取______较大的数______。 同小取小：两个解集都是小于，取______较小的数______。 大小小大中间找：一个大于小数、一个小于大数，解集为两数之间。 大大小小找不到：一个大于大数、一个小于小数，无解。 （五）一次不等式（组）的应用 常见题型：方案设计问题、最值问题、行程问题、工程问题、利润问题等。 核心关键词：“至少”（≥）、“最多”（≤）、“不超过”（≤）、“不低于”（≥）、“大于”（>）、“小于”（<）。 解题步骤： 审（题意，找不等关系）→ 设（未知数）→ 列（不等式或不等式组）→ 解（不等式或不等式组）→ 检（解集的实际意义）→ 答（规范表述） 。 二、核心能力 题型1.不等式的性质应用 解题思路 紧扣不等式的三个性质，重点关注性质 3（乘除负数变号），判断变形过程是否符合性质要求，可通过代入特殊值验证。 题型2.一元一次不等式（组）的求解与解集表示 解题思路 严格遵循解法步骤，去分母、移项时避免漏乘、漏变号；数轴表示解集时，先定边界点类型（实心 / 空心），再定方向（左 / 右）；不等式组解集需结合数轴或口诀快速确定。 题型3.含参数的不等式（组）问题 解题思路 先解不含参数的不等式（组），再根据题目给出的解集、整数解个数等条件，列出关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围，注意边界值的取舍（是否含等号）。 题型4.实际应用问题 解题思路 抓住题目中的不等关键词，准确转化为数学不等关系；设未知数时优先设直接未知数，若涉及整数解（如人数、件数），需在解集范围内取符合实际的整数。三、易错警示 去分母漏乘常数项 错误：解不等式时，去分母得 x−1>6（漏乘常数项 - 1）； 提醒：去分母时，不等式两边的每一项（包括常数项）都要乘最小公倍数。 系数化为 1 忘变号 错误：解不等式−2x>4时，解得x>−2（未变号）； 提醒：系数为负数时，系数化为 1 必须改变不等号方向，正确解为x<−2。 数轴表示解集出错 错误：解集x≥2用空心圆点表示，或解集x<1向右画； 提醒：含等号用实心圆点，不含等号用空心圆点，大于向右、小于向左。 含参数问题忽略边界值 错误：不等式组解集为a<x<3，求 a 的范围时忽略a=2等边界情况； 提醒：根据 “是否包含边界值” 分类讨论，可代入边界值验证是否符合题意。 实际应用忽略自变量取值范围 错误：方案设计问题中，解得人数为小数未取整数； 提醒：实际问题中，自变量常为正整数，需在解集范围内筛选符合实际的解。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·河北模拟）若不等式“”可以表示“不超过的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 【解答】解：不等式“”可以表示“不超过的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：， 故选： 2.（24-25·广西中考）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有克水、克水，，都加入克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【解答】解：初始时，两杯水的质量分别为克和克， 加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ， ， 故选：  3.（24-25·广东模拟）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负． 【解答】由数轴可得，，，， 、，原选项判断错误，不符合题意， 、，原选项判断正确，符合题意， 、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意， 、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意， 故选：．  4.（24-25·河南模拟）如图,天平左盘中物体的质量为,天平右盘中每个砝码的质量都是,则的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据天平列出不等式组，确定出解集即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 故选． 5.（24-25·贵州模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题暂无解析 【解答】解： 故选． 6.（24-25·内蒙古中考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【解答】解：， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：．   7.（24-25·广东模拟）若关于的方程组的解满足，则的最小整数解为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于的不等式是解此题的关键．根据题意将方程组相减得，然后代入不等式求解即可即可得到的最小整数解． 【解答】解：， 得：， 解得：， 的最小整数解为， 故选：．  8.（23-24·江苏模拟）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若，则的取值范围是（    ） A.或 B. C. D. 【答案】D 【解析】首先把二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，可得，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，求出点到对称轴的距离，根据，列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：抛物线， ，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 抛物线的对称轴为， ，，， ， 解得． 故选． 9.（25-26·全国模拟）如图是某机器零件的设计图纸, 在数轴上表示该零件长度合格尺寸, 正确的是      A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题暂无解析 【解答】分析：表示的意思是零件的长度与标准值的差距在或以内都是合格的． 详解：表示长度大于，并且小于的范围内的零件都是合格的． 故选． 点睛：本题考查一元一次不等式组的应用，读懂数轴即可求解．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 10.（24-25·湖北模拟）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若运算进行了次才停止，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据程序运算进行了次才停止，即可得出关于的一元一次不等式组：，解之即可得出的取值范围． 【解答】解：依题意，得： ， 由①得： ， 由②得：， ， 所以不等式组的解集为：． 故选： 11.（24-25·天津模拟）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【解答】解：①四边形是矩形，分别为边的中点， ，， 篱笆的长度是， ， ， 的长不超过， ， ， 的长可以是，故①正确； ②设，则， ， 当时，解得，， ， ， 的长为，故②错误； ③， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ， 当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：．   12.（24-25·江苏模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得，计算的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【解答】，， ； ， 当且仅当时取等号， , 这个三角形的面积的最大值是． 故选：．  13.（24-25·广东模拟）已知一次函数与为常数，的图象如图所示，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断． 【解答】解：根据函数图象可知，当时，， 即不等式的解集为， 故选：． 14.（24-25·浙江模拟）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加，现有糯米斤，若做成清明粿质量超过斤，则可列出不等式（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查列一元一次不等式，根据做成清明粿质量超过斤，列出不等式即可． 【解答】解：由题意，可列出不等式为：； 故选． 15.（24-25·四川中考）若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出的值，最后求和即可． 【解答】 解： 解①得： 解②得：， 关于的不等式组至少有两个正整数解 不等式组的解集为． 不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于的整数， 即为大于等于的偶数． ， 或， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·北京模拟）已知命题“若，则”是假命题，则的值可以是_____（答案不唯一）_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】本题主要考查了不等式的性质，真假命题，根据题意可得当时，，则由不等式的性质可得，据此可得答案． 【解答】解：命题“若，则”是假命题， 当时，， ， 的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 17.（24-25·江苏模拟）已知、、均为正数，且，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，算术平方根应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的基本性质．先根据得出，根据，得出，根据不等式的基本性质得出，即可得出，两边开平方得出，最后代入，求出结果即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 、、均为正数， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：．  18.（24-25·吉林模拟）已知是关于的一元一次不等式，则的值为________1_________． 【答案】 【解析】本题考查了一元一次不等式的定义及计算，掌握一元一次不等式的定义列式求解是关键． 根据一元一次不等式得到，由此即可求解． 【解答】解：已知是关于的一元一次不等式， ， 或，且， 或，且， ， 故答案为： ． 19.（24-25·四川中考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____m≥1______． 【答案】 【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【解答】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 20.（23-24·江苏中考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时，第二个路口显示红灯倒计时，此时车辆分别距离两个路口和．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是、，第二个路口红、绿灯设定时间分别是、．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速的取值范围是______________． 【答案】 【解析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 【解答】解：． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 21.（24-25·黑龙江中考）关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有个整数解得到关于的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于的不等式组是解题的关键． 【解答】解：解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组恰有个整数解， ， 故答案为：．  22.（24-25·四川中考）不等式组的解集是，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出的取值范围即可． 【解答】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， ， ． 故答案为： 23.（25-26·甘肃模拟）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】先把代入求出的值，然后根据图像解答即可. 【解答】把代入，得 ， ， 当<2时，. 故答案为：<2.   24.（23-24·青海模拟）如图，直线与分别交轴于点，，则不等式组的解集是______________． 【答案】 【解析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式组的解集．数形结合是解题的关键． 根据的解集为直线和在轴下方图象对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【解答】解：由题意知，的解集为直线和在轴下方图象对应的的取值范围， 由图象可得，， 故答案为：． 25.（24-25·河南模拟）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是           ． 【答案】 【解析】首先求出点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可． 【解答】解：把代入得：，解得：， 则， 根据图象可得不等式的解集是， 故此题答案为：．   （3） 解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·河南模拟）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【解析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可. 【解答】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下：   27.（24-25·江西模拟）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得__ ____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为__ ____． 【答案】 见解答 【解析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【解答】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 28.（24-25·广西模拟）求不等式的正整数解． 【答案】，． 【解析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【解答】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的正整数解为，． 29.（24-25·四川中考）解不等式：； 先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的（为整数）． 【答案】；；当时，值为；当时，值为 【解析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化即可求解； 先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到，再选择合适的整数代入求值即可． 【解答】解：， ， ， 解得：， 原不等式的解集为：； 解： ， 分式有意义， ， 或； 当时，原式； 当时，原式． 30.（25-26·江苏模拟）若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为阶不等式（组）． 例如：不等式只有个正整数解，因此称其为阶不等式． 不等式组只有个正整数解，因此称其为阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是___0____阶不等式；是__1_____阶不等式组； （2）若关于的不等式组 是阶不等式组，求的取值范围； （3）关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围． 【答案】、 ； 【解析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解并用数轴表示出来，然后可得的取值范围； （3）根据已知可得关于的方程，求出后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到的取值范围． 【解答】（1）没有正整数解， 是阶不等式， 解可得<<3， 有一个正整数解， 是阶不等式组， 故答案为，； （2）如图， 由题意可得有个正整数解：、、、； 的取值范围是； （3）， ，， 为偶数，且， ， ， 可得图如下所示： 的取值范围是．  31.（24-25·山东模拟）若关于的不等式组所有整数解的和为，求整数的值． 【答案】或． 【解析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键． 根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解． 【解答】， 解不等式①得： 解不等式②得： 所有整数解的和为， 不等式组的整数解为，，，或，，，，，，， 或， 或， 为整数， 或． 32.（24-25·辽宁模拟）桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门，设． （1）若养殖场的面积为，求：关于的函数表达式； （2）若在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是米，米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】 【解析】（1）先求出，再根据矩形面积计算公式求解即可； （2）根据题意得到方程，解方程得到或，再由题意得到，解不等式组即可得到答案． 【解答】（1）解：由题意得，， ； （2）解：能，理由如下： 当养殖场的面积为时，则， 解得或， 在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是米，米， ， ， ， 养殖场的面积能为，此时 ． 33.（24-25·山东模拟）某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． （1）求，两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 【答案】，两种商品每件进价各为元，元； 购进商品的件数最多为件 【解析】（1）设，两种商品每件进价各为元，元，根据购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元列出方程组求解即可； （2）设购进商品的件数为件，则购进商品的件数为件，根据利润不低于元且购进商品的件数不少于商品件数的倍列出不等式组求解即可． 【解答】（1）解：设，两种商品每件进价各为元，元， 由题意得，， 解得， 答：，两种商品每件进价各为元，元； （2）解：设购进商品的件数为件，则购进商品的件数为件， 由题意得，， 解得， 为整数， 的最大值为， 答：购进商品的件数最多为件． 34.（24-25·福建模拟）如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． （1）求直线 :的函数解析式． （2）当时，的取值为____ ____. （3）设点是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点Q．若的面积为，求点的坐标． 【答案】（）  【解析】此题暂无解析 【解答】（1）解：（）对于 , 令 ，得，则点的坐标为 , 令，得，则点的坐标为 , ∵ 点与点关于轴对称，, ∴ 点的坐标为 , 设直线的解析式为, 将 代入得： , 解得： , ∴ 直线的解析式为  （2） （3）设，其中，则 ． ∵ 轴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即， 解得：  （舍）， ， ∴ 点Q的坐标为   35.（25-26·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和，点的横坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时的取值范围； （3）点为轴上一动点，连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】一次函数解析式为，反比例函数解析式为 或 点坐标为或 【解析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【解答】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和，点的横坐标为 将代入， 则， 反比例函数解析式为：， 将代入， 则， ， 将，代入， 则， 解得： 一次函数解析式为：； （2）解：， 观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ， 设， 的面积为， ， ，即 解得：或 点坐标为或． 解②得 2x ≤ 8，x ≤ 4；正整数解为 3、4。 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $