2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第7课时：《分式方程及其应用》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第7课时 分式方程及其应用 一、核心知识 （一）分式方程的定义 分母中含有__________的方程叫做分式方程。 注意：判断分式方程的关键是分母含未知数，与分子是否含未知数无关；整式方程分母不含未知数，这是两者的根本区别。 （二）分式方程的解法 基本思路：将分式方程化为___________，核心是 “去分母”。 解题步骤（四步走）： 找公分母：当分母是多项式时，先___________，再确定最简公分母； 去分母：方程两边同时乘以____________，约去分母转化为整式方程（注意不要漏乘不含分母的项）； 解整式方程：用整式方程的解法求解（一元一次方程或一元二次方程）； 验根：将整式方程的解代入___________，若公分母不为 0，则是原分式方程的解；若为 0，则是__________，需舍去。 （三）增根的相关概念 增根的定义：在分式方程变形为整式方程的过程中，产生的不适合原分式方程的根。 增根的特征：增根是___________的解，但使原分式方程的__________。 分式方程无解的两种情况： 整式方程无解； 整式方程有解，但所有解都是原分式方程的___________。 （四）分式方程的应用 常见题型：行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等。 核心等量关系： 行程问题： ； 工程问题： ； 利润问题： ； 浓度问题： 。 解题步骤： 。 二、核心能力 题型1.分式方程的判定 解题思路 紧扣 “分母含未知数” 的定义，先观察方程分母是否含未知数，再排除整式方程、分式表达式（非方程）的情况。 题型2.分式方程的求解 解题思路 优先确定最简公分母，去分母时注意每一项都要乘公分母，避免漏乘常数项；解完后必须验根，验根步骤不可省略。 题型3.增根与无解问题 解题思路 遇到含参数的分式方程增根或无解问题时，先去分母转化为整式方程，再根据增根使公分母为 0 的特征，求出增根的值，代入整式方程求参数；无解需分 “整式方程无解” 和 “整式方程解为增根” 两种情况讨论。 题型4.实际应用问题 解题思路 找准题目中的等量关系，设未知数时优先设直接未知数，若直接设未知数列方程复杂，可设间接未知数；检验时既要保证根使分式方程有意义，也要符合实际情境（如时间、速度、工作量为正数）。 三、易错警示 去分母漏乘常数项 错误：解方程时，去分母得x+2=3(x−1)（漏乘常数项 2）； 提醒：去分母时，方程两边的每一项（包括不含分母的常数项）都要乘最简公分母。 验根步骤省略或不规范 错误：解完分式方程后直接写答案，未验根；或仅代入原方程计算，未判断分母是否为 0； 提醒：验根是解分式方程的必备步骤，规范写法为 “将 x=△代入最简公分母，公分母≠0，故 x=△是原方程的解”。 忽略增根的隐含条件： 错误：已知分式方程有增根，仅求整式方程的解，未结合公分母为 0 的条件； 提醒：增根的本质是 “使公分母为 0 的整式方程的解”，需先由公分母为 0 求出可能的增根，再代入整式方程求解参数。 实际应用未检验实际意义 错误：行程问题解得速度为负数或时间为 0，未舍去； 提醒：实际问题的解必须符合现实逻辑，如长度、数量、效率等均为正数，不符合的解需舍去。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·上海模拟）在下列方程中，分式方程是（   ） A. B. C. D. 2.（24-25·湖南中考）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A. B. C. D. 3.（24-25·四川月考）方程的解为（    ） A. B. C. D. 4.（24-25·广东模拟）方程的解为（    ）． A. B. C. D. 5.（24-25·甘肃模拟）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A. B. C. D. 6.（24-25·广西月考）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A. B.且 C. D.且 7.（23-24·黑龙江中考）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A.且 B. C. D.且 8.（24-25·贵州模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为（      ） A. B. C. D. 9.（24-25·四川中考）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A. B. C.或 D.或 10.（24-25·四川模拟）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A. B. C.或 D.或 11.（24-25·四川模拟）已知关于的分式方程无解，则的值是（   ） A. B.或 C.或 D. 12.（24-25·四川中考）若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（   ） A. B. C. D. 13.（23-24·山西中考）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为元，购买茶具的费用为元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜元．设购买扇子的单价为元．则满足的方程为（    ） A. B. C. D. 14.（24-25·河北期中）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的倍，设骑车师生的速度为根据题意，下列方程正确的是（    ） A. B. C. D.  15.（24-25·四川模拟）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A.或 B.或 C.或 D.或或 （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）  16.（24-25·北京中考）方程的解为____________． 17.（24-25·辽宁模拟）分式方程的解是__________． 18.（24-25·山东模拟）已知方程，且关于的不等式只有个整数解那么的取值范围是___________． 19.（24-25·江苏模拟）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是_____________. 20.（24-25·四川模拟）关于的方程无解，则的值为__________． 21.（24-25·四川中考）若关于的分式方程无解，则_________． 22.（24-25·福建期中）若分式方程的解为正整数，则整数的值为___________． 23.（24-25·江西中考）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费元油费行驶的路程与纯电汽车耗费元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为______________ 24.（23-24·内蒙古中考）年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵元，且用元购进小号“龙辰辰”的数量是用元购进大号“龙辰辰”数量的倍，则大号“龙辰辰”的单价为____________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_________元． 25.（23-24·重庆中考）若关于的一元一次不等式组的解集为且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是      ． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·上海中考）解方程：． 27.（23-24·福建中考）解方程：． 28.（24-25·陕西模拟）若关于的方程有增根，试求的值. 29.（24-25·浙江模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 30.（25-26·浙江模拟）对于，只有一个实数值满足，求所有满足条件的的值． 31.（23-24·江苏模拟）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，求符合条件的所有整数的积． 32.（23-24·贵州模拟）已知不等式组 （1）解上述不等式组． （2）从的结果中选择一个整数是方程的解，求的值． 33.（24-25·广东模拟）阅读材料：对于非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，． （1）理解应用：方程的解为：_____，____； （2）知识迁移：若关于的方程的解为，，求的值； （3）拓展提升：若关于的方程的解为，，且，求的值． 34.（24-25·山西中考）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的倍，它更换公里钢轨比一个工作队人工更换公里钢轨所用时间少小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 35.（24-25·重庆期末）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新条甲类生产线的设备可获得万元的补贴，更新条乙类生产线的设备可获得万元的补贴．这样更新完这条生产线的设备，该企业可获得万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新条甲类生产线的设备比购买更新条乙类生产线的设备需多投入万元，用万元购买更新甲类生产线的设备数量和用万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第7课时 分式方程及其应用 一、核心知识 （一）分式方程的定义 分母中含有______未知数______的方程叫做分式方程。 注意：判断分式方程的关键是分母含未知数，与分子是否含未知数无关；整式方程分母不含未知数，这是两者的根本区别。 （二）分式方程的解法 基本思路：将分式方程化为______整式方程______，核心是 “去分母”。 解题步骤（四步走）： 找公分母：当分母是多项式时，先______因式分解______，再确定最简公分母； 去分母：方程两边同时乘以______最简公分母______，约去分母转化为整式方程（注意不要漏乘不含分母的项）； 解整式方程：用整式方程的解法求解（一元一次方程或一元二次方程）； 验根：将整式方程的解代入______最简公分母______，若公分母不为 0，则是原分式方程的解；若为 0，则是______增根______，需舍去。 （三）增根的相关概念 增根的定义：在分式方程变形为整式方程的过程中，产生的不适合原分式方程的根。 增根的特征：增根是______整式方程______的解，但使原分式方程的______分母为 0______。 分式方程无解的两种情况： 整式方程无解； 整式方程有解，但所有解都是原分式方程的______增根______。 （四）分式方程的应用 常见题型：行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等。 核心等量关系： 行程问题： 时间 = 路程 ÷ 速度 ； 工程问题： 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率（通常设总工作量为 1） ； 利润问题： 利润率 = （利润 ÷ 进价）× 100% ； 浓度问题： 浓度 = （溶质质量 ÷ 溶液质量）× 100% 。 解题步骤： 审（题意）→ 设（未知数）→ 列（分式方程）→ 解（整式方程）→ 检（分式方程的根和实际意义）→ 答（规范表述） 。 二、核心能力 题型1.分式方程的判定 解题思路 紧扣 “分母含未知数” 的定义，先观察方程分母是否含未知数，再排除整式方程、分式表达式（非方程）的情况。 题型2.分式方程的求解 解题思路 优先确定最简公分母，去分母时注意每一项都要乘公分母，避免漏乘常数项；解完后必须验根，验根步骤不可省略。 题型3.增根与无解问题 解题思路 遇到含参数的分式方程增根或无解问题时，先去分母转化为整式方程，再根据增根使公分母为 0 的特征，求出增根的值，代入整式方程求参数；无解需分 “整式方程无解” 和 “整式方程解为增根” 两种情况讨论。 题型4.实际应用问题 解题思路 找准题目中的等量关系，设未知数时优先设直接未知数，若直接设未知数列方程复杂，可设间接未知数；检验时既要保证根使分式方程有意义，也要符合实际情境（如时间、速度、工作量为正数）。 三、易错警示 去分母漏乘常数项 错误：解方程时，去分母得x+2=3(x−1)（漏乘常数项 2）； 提醒：去分母时，方程两边的每一项（包括不含分母的常数项）都要乘最简公分母。 验根步骤省略或不规范 错误：解完分式方程后直接写答案，未验根；或仅代入原方程计算，未判断分母是否为 0； 提醒：验根是解分式方程的必备步骤，规范写法为 “将 x=△代入最简公分母，公分母≠0，故 x=△是原方程的解”。 忽略增根的隐含条件： 错误：已知分式方程有增根，仅求整式方程的解，未结合公分母为 0 的条件； 提醒：增根的本质是 “使公分母为 0 的整式方程的解”，需先由公分母为 0 求出可能的增根，再代入整式方程求解参数。 实际应用未检验实际意义 错误：行程问题解得速度为负数或时间为 0，未舍去； 提醒：实际问题的解必须符合现实逻辑，如长度、数量、效率等均为正数，不符合的解需舍去。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·上海模拟）在下列方程中，分式方程是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【解答】解：、是整式方程，故此选项不符合题意； 、是整式方程，故此选项不符合题意； 、是分式方程，故此选项符合题意； 、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选： 2.（24-25·湖南中考）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程 转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【解答】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：． 3.（24-25·四川月考）方程的解为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故选：． 4.（24-25·广东模拟）方程的解为（    ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】先去分母，把方程变为整式方程，然后求出方程的解，最后检验，即可得到方程的解． 【解答】解：， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的根； 故选：． 5.（24-25·甘肃模拟）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】将代入方程，即可求的值． 【解答】解：关于的方程的解是， ， 解得， 经检验是方程的解． 故选：． 6.（24-25·广西月考）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A. B.且 C. D.且 【答案】B 【解析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【解答】解：方程两边同时乘以得，， 解得， 分式方程的解为正数， ， ， 又， 即， ， 的取值范围为且， 故选：． 7.（23-24·黑龙江中考）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A.且 B. C. D.且 【答案】A 【解析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【解答】解：方程两边同时乘以得，， 解得， 分式方程的解是负数， ， ， 又， ， ， ， 且， 故选：．  8.（24-25·贵州模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【解答】，， 解得， 关于的分式方程有增根， ， ， 解得． 故选． 9.（24-25·四川中考）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A. B. C.或 D.或 【答案】D 【解析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【解答】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：．  10.（24-25·四川模拟）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A. B. C.或 D.或 【答案】B 【解析】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，解题关键能正确求出方程的解． 先求出一元二次方程的解，再将解代入分式方程中，转化为关于待求字母参数的方程求解． 【解答】解：方程，解得：，， 当时，将代入，得，解得：； 当时，此时分母，分式方程无意义，所以不是方程的解． 故选： ． 11.（24-25·四川模拟）已知关于的分式方程无解，则的值是（   ） A. B.或 C.或 D. 【答案】C 【解析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．将方程去分母，整理得．分两种情况讨论：①若，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时；②若，则整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到当时，，从而求得．综合即可解答． 【解答】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ①若，则该整式方程无解，原分式方程无解， 此时； ②若，则整式方程的解为：， 原分式方程无解， 当时，， 即， 或， 解得：， 综上所述，的值为或． 故选：． 12.（24-25·四川中考）若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出的值，最后求和即可． 【解答】解： 解①得： 解②得：， 关于的不等式组至少有两个正整数解 不等式组的解集为． 不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于的整数， 即为大于等于的偶数． ， 或， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：．  13.（23-24·山西中考）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为元，购买茶具的费用为元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜元．设购买扇子的单价为元．则满足的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】题目主要考查分式方程的应用，设购买扇子的单价为元，则茶具的单价为元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的倍”列出分式方程即可，理解题意是解题关键． 【解答】解：设购买扇子的单价为元，则茶具的单价为元， 根据题意得：， 故选：． 14.（24-25·河北期中）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的倍，设骑车师生的速度为根据题意，下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意可直接进行求解． 【解答】解：由题意得：； 故选：．  15.（24-25·四川模拟）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A.或 B.或 C.或 D.或或 【答案】D 【解析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题． 【解答】解不等式组，得， 不等式组无解， ， ， 分式方程， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ， 方程有整数解， 或或或， 或或或或或或或， ，， ， 或或， 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）  16.（24-25·北京中考）方程的解为_____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【解答】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：， 检验，当时，， 是原方程的解， 故答案为：． 17.（24-25·辽宁模拟）分式方程的解是_____________． 【答案】 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：， ， 解得：， 检验：当时，，，， 原分式方程的解为：． 故答案为：． 18.（24-25·山东模拟）已知方程，且关于的不等式只有个整数解那么的取值范围是____________． 【答案】 【解析】本题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，代入不等式组确定出的范围即可． 【解答】解：分式方程去分母得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 经检验是增根， 分式方程的解为， 当时，由只有个整数解，得到． 故答案为：． 19.（24-25·江苏模拟）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______且_________. 【答案】且 【解析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【解答】解：关于的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 当时，， 因此的取值范围为且， 故答案为：且． 20.（24-25·四川模拟）关于的方程无解，则的值为____1_________． 【答案】 【解析】本题主要考查了分式方程无解问题．先解分式方程，用含的代数式表示出，根据方程无解得到，代入计算即可． 【解答】解：， 去分母，得 ， 移项，合并同类项，可得 ， 系数化为，得 ， 该方程无解，则， ，解得． 故答案为：1 21.（24-25·四川中考）若关于的分式方程无解，则____________． 【答案】 【解析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案． 【解答】解：， 去分母：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ， 原方程无解， 是原方程的增根， 由，， ， ， 故答案为：． 22.（24-25·福建期中）若分式方程的解为正整数，则整数的值为____________． 【答案】 【解析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【解答】解：， 化简得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或（舍去，会使得分式无意义）． 故答案为：． 23.（24-25·江西中考）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费元油费行驶的路程与纯电汽车耗费元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为______________ 【答案】 【解析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费元油费行驶的路程与纯电汽车耗费元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 24.（23-24·内蒙古中考）年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵元，且用元购进小号“龙辰辰”的数量是用元购进大号“龙辰辰”数量的倍，则大号“龙辰辰”的单价为_______________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_____1260_____元． 【答案】, 【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【解答】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为元，小号“龙辰辰”的单价为元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为元， 故答案为：；1260 25.（23-24·重庆中考）若关于的一元一次不等式组的解集为且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是   12     ． 【答案】 【解析】根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且是偶数，则且且是偶数，据此确定符合题意的的值，最后求和即可． 【解答】解：,解不等式①得 解不等式②得， 不等式组的解集为 ； 解分式方程得 关于的分式方程的解均为负整数， 且是整数, 且且是偶数， 且且是偶数， 满足题意的的值可以为或， 所有满足条件的整数的值之和是． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·上海中考）解方程：． 【答案】 【解析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【解答】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ， 或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， 原方程的解为． 27.（23-24·福建中考）解方程：． 【答案】． 【解析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题． 【解答】解：， 方程两边都乘，得． 去括号得：， 解得． 经检验，是原方程的根．  28.（24-25·陕西模拟）若关于的方程有增根，试求的值. 【答案】 【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【解答】方程两边都乘，得 ， 原方程有增根， 最简公分母，即增根为， 把代入整式方程，得＝1 29.（24-25·浙江模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】 【解析】（1）“？”当成，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【解答】（1）解：依题意， 方程两边同时乘以得 解得 经检验，是原分式方程的解； （2） 解：设？为， 方程两边同时乘以得 是原分式方程的增根， 把代入上面的等式得 ，原分式方程中“？”代表的数是．  30.（25-26·浙江模拟）对于，只有一个实数值满足，求所有满足条件的的值． 【答案】或或 【解析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键． 先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可． 【解答】原方程是分式方程， 且， 两边同时乘以得：， ， 方程只有一个实数解， 若原分式方程有解， ， 解得：， ， 解得：，符合题意； 若原分式方程有增根，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：的值为或或2 31.（23-24·江苏模拟）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，求符合条件的所有整数的积． 【答案】 【解析】先用表示方程的解，根据解是非负数，且，结合不等式组的解集确定的范围，求得整数解计算即可． 【解答】， 去分母，得 , 移项、合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 数使关于的分式方程的解为非负数，且， ， ， ， ①的解集为，②的解集为， 的解集为， ， 符合条件的所有整数为， 符合条件的所有整数的积为40 32.（23-24·贵州模拟）已知不等式组 （1）解上述不等式组． （2）从的结果中选择一个整数是方程的解，求的值． 【答案】 【解析】（1）根据解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可； （2）先求出中不等式组的整数解，再考虑分母，然后把整数代入分式方程得出关于的方程，解方程即可求出的值． 【解答】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为； （3） 解：，且为整数， 或， ， ， ， 把代入得： ， 解得：． 33.（24-25·广东模拟）阅读材料：对于非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，． （1）理解应用：方程的解为：___3___，_____； （2）知识迁移：若关于的方程的解为，，求的值； （3）拓展提升：若关于的方程的解为，，且，求的值． 【答案】， 【解析】（1）类比题目中的例子可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，根据，得方程，求解即可． 【解答】（1）解：的解为，， 的解为或， 故答案为：，； （2） 解：， ，， ； （3） 解：可化为， ， ， ．  34.（24-25·山西中考）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的倍，它更换公里钢轨比一个工作队人工更换公里钢轨所用时间少小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨公里 【解析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨公里；根据等量关系：快速换轨车更换公里钢轨比一个工作队人工更换公里钢轨所用时间少小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【解答】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨公里．              根据题意得：．              解得：．                           经检验，是原方程的根，且符合题意．              答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨公里． 35.（24-25·重庆期末）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新条甲类生产线的设备可获得万元的补贴，更新条乙类生产线的设备可获得万元的补贴．这样更新完这条生产线的设备，该企业可获得万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新条甲类生产线的设备比购买更新条乙类生产线的设备需多投入万元，用万元购买更新甲类生产线的设备数量和用万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条； 需要更新设备费用为万元 【解析】（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这条生产线的设备，该企业可获得万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新条甲类生产线的设备为万元，则购买更新条乙类生产线的设备为万元，利用用万元购买更新甲类生产线的设备数量和用万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【解答】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条； （2） 解：设购买更新条甲类生产线的设备为万元，则购买更新条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $