2026年中考数学重难点一轮复习：专题09 一元二次方程

专题09 一元二次方程 一、选择题（共8小题） 1．（2025•平顶山一模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可能为（　　） A． B． C．0 D．﹣1 2．（2025•曾都区一模）用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（　　） A．3（x﹣1）2＝0 B．（x）2 C．（x）2 D．（x）2 3．（2025•合肥一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有两个相等的实数根，则m值为（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2 4．（2025•衡阳模拟）已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0的一个根是3，则k的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．2 D．3 5．（2025•信阳模拟）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 6．（2025•海淀区校级模拟）方程4x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 7．（2025•射阳县一模）已知x1，x2是方程x2x+1＝0的两根，则的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D． 8．（2025•梅河口市模拟）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜2且k≠1 B．k≤2且k≠1 C．k＜2 D．k＞2 二、填空题（共8小题） 9．（2025•安徽校级模拟）一元二次方程（1+3x）（x﹣3）＝2x2+1化为一般形式为　 　 ． 10．（2025•日照一模）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两根为x1，x2且x1＝2x2，则m的值是 　 　 ． 11．（2025•绿园区一模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 12．（2025•方城县三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　 　 ． 13．（2025•武冈市校级模拟）若x＝﹣1是方程ax2﹣bx+c＝0的根，则a+b+c+2022的值为 　 　 ． 14．（2025•武威三模）若关于x的方程3x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　 ． 15．（2025•沅江市模拟）一元二次方程2x（x﹣1）＝3（x﹣1）的解是　 　 ． 16．（2025•兖州区模拟）关于x的一元二次方程（m+3）x2+x+m2﹣9＝0有一根为0，则m＝　 　 ． 三、解答题（共4小题） 17．（2025•曾都区一模）解方程： （1）（x﹣1）2＝4； （2）x2﹣4x+2＝0． 18．（2026•泸县校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2﹣3x1x2＝9，求m的值． 19．（2025•安徽校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．证明：无论m为何值时，这个方程总有实数根． 20．（2025•曾都区一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 　 （填序号）． （2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值． （3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根， ∴Δ＜0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣m， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m＝1﹣4m＜0， 解得：． 故选：A． 2．【答案】D 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方可得到结果． 【解答】解：方程3x2+2x﹣1＝0， 变形得：x2x， 配方得：x2x，即（x）2， 故选：D． 3．【答案】A 【分析】根据方程有2个相等的实数根，得到Δ＝0，列出方程进行求解即可． 【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣4）2﹣4×2m＝0， ∴m＝2； 故选：A． 4．【答案】D 【分析】将x＝3代入方程x2﹣4x+k＝0再解关于k的一元一次方程即可． 【解答】解：由条件可知32﹣4×3+k＝0， ∴k＝3． 故选：D． 5．【答案】A 【分析】根据关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根得出Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4m＞0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值即可． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4m＞0 解得：m＜1， 故选：A． 6．【答案】B 【分析】计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【解答】解：∵4x2﹣4x﹣1＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝16+16＝32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7．【答案】A 【分析】根据（x1+x2）2﹣2x1x2求解即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2x+1＝0的两根， ∴x1+x2，x1•x2＝1＝0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2＝3． 故选：A． 8．【答案】A 【分析】由题意可得Δ＞0且k﹣1≠0，据此即可求解． 【解答】解：由条件可知Δ＝22﹣4×（k﹣1）×1＞0且k﹣1≠0， 解得k＜2且k≠1， 故选：A． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】x2﹣8x﹣4＝0 【分析】把方程展开，移项、合并同类项后再根据一元二次方程的一般形式进行排列各项即可． 【解答】解：（1+3x）（x﹣3）＝2x2+1， 可化为：x﹣3+3x2﹣9x＝2x2+1， 化为一元二次方程的一般形式为x2﹣8x﹣4＝0． 10．【答案】8 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝m，则利用x1＝2x2，然后解方程组求出x1、x2的值，最后计算出m的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝m， ∵x1＝2x2， ∴2x2+x2＝6， 解得x2＝2， ∴x1＝2×2＝4， ∴m＝4×2＝8． 故答案为：8． 11．【答案】k 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k＞0， 解得k， 即k的取值范围为k． 故答案为：k， 12．【答案】1． 【分析】根据题意得Δ＝22﹣4c＝0，进行计算即可得． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4c＝0， ∴c＝1， 故答案为：1． 13．【答案】2022． 【分析】根据x＝﹣1是方程ax2﹣bx+c＝0根，得到a+b+c＝0，整体代入即可求得答案． 【解答】解：∵x＝﹣1是方程ax2﹣bx+c＝0根， ∴a+b+c＝0， ∴原式＝0+2022＝2022， 故答案为：2022． 14．【答案】． 【分析】根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：Δ＝b2﹣4ac＝0求解即可． 【解答】解：由条件可得Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×m＝4﹣12m＝0， 解得：． 故答案为：． 15．【答案】x1＝1，． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得，2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1）（2x﹣3）＝0， x﹣1＝0或2x﹣3＝0， x1＝1，， 故答案为：x1＝1，． 16．【答案】3． 【分析】将x＝0代入（m+3）x2+x+m2﹣9＝0中求得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定符合题意的m的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+3）x2+x+m2﹣9＝0有一根为0， ∴m2﹣9＝0，m+3≠0， 解得：m＝3， 故答案为：3． 三、解答题（共4小题） 17．【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1； （2），． 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可得解； （2）利用配方法解一元二次方程即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， x1＝3，x2＝﹣1； （2）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2， ， ，． 18．【答案】（1）见解析； （2）m＝﹣2． 【分析】（1）只需要证明Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣1）＞0即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1，再根据x1+x2﹣3x1x2＝9建立方程（m+2）﹣3（m﹣1）＝9，解方程即可得到答案． 【解答】（1）证明：已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， ∴Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8， ∵m2≥0， ∴m2+8＞0， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1， ∵x1+x2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）﹣3（m﹣1）＝9， ∴m＝﹣2． 19．【答案】见解答． 【分析】计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2，利用非负数的意义得到Δ≥0，然后根据判别式的意义得到结论； 【解答】证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m ＝m2+4m+4﹣8m ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴不论m为何值时，方程总有实数根； 20．【答案】（1）①③； （2）a＝﹣1或； （3）4． 【分析】（1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到b＝﹣a﹣3，则原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，再由a是此黄金方程的一个根，得到2a2﹣a﹣3＝0，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． 【解答】解：（1）①x2＝1是黄金方程，理由： ∵x2＝1， ∴x2﹣1＝0， ∴a＝1，b＝0，c＝﹣1 ∴a﹣b+c＝1﹣0﹣1＝0， ∴x2＝1是黄金方程； ②（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程，理由： ∵（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x2+x﹣2＝0， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2， ∴a﹣b+c＝1﹣1﹣2＝﹣2≠0， 故（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程； ③x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴a﹣b+c＝1﹣（﹣2）﹣3＝1+2﹣3＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， 故答案为：①③； （2）由条件可知3+a+b＝0， ∴b＝﹣a﹣3， ∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0， ∵a是此黄金方程的一个根， ∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0， ∴（a+1）（2a﹣3）＝0， 解得a＝﹣1或； （3）由条件可知2﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣2， ∴b2﹣2c+1＝b2﹣2（b﹣2）+1＝b2﹣2b+1+4＝（b﹣1）2+4， ∵（b﹣1）2≥0， ∴（b﹣1）2+4≥4， ∴b2﹣2c+1的最小值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $