精品解析：广东省珠海市香洲区2025--2026学年九年级上学期期末数学试题

香洲区2025-2026学年度第一学期义务教育阶段质量监测 九年级数学 说明： 1．全卷共6页．满分120分，考试用时120分钟． 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上（在试卷上作答无效）． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视，正好在播新闻 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是2 C. 明天会下雨 D. 在平面内任意画一个三角形，它的内角和等于 3. 若反比例函数的图象过点，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 4. 二次函数向下平移3个单位得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A. B. C. 2 D. 4 6. 如图， 为 的直径， ， 为 上两点， 若， 则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一条公路弯道处是一段圆弧弧AB，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是弧AB的中点，OC与AB相交于点D．已知AB=120m，CD=20m，那么这段弯道的半径为（　　） A. 200m B. 200m C. 100m D. 100m 9. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 已知二次函数，当时，的最大值为3，最小值为2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是________． 12. 设是方程的两个实数根，则_______． 13. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为______． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______． 15. 如图，已知扇形和扇形的半径均为分别为的中点，，分别交，于点，，则，和所围成阴影部分的面积为_____． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，． （1）随机摸取一个小球，取出的小球的标号是偶数的概率为_______； （2）随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出另一个小球，请用列表法或画树状图法求两次取出的小球标号的和等于的概率． 18. 如图，已知是的直径，是的弦，过点的直线与的延长线相交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围一个矩形场地． （1）当为何值时，才能使矩形场地的面积为？ （2）能否使所围矩形场地的面积为？请说明理由． 20. 如图1，一小球从地面点处抛出，到达最高处点后，再重新落回地面至点，球的抛出路线可以用二次函数刻画． （1）求小球到达最高点的坐标，以及小球落回地面点的坐标； （2）如图2，若点处有一斜坡，可以用一次函数刻画．小球从点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的点，求出点的坐标． 21. 如图1，小明房间平面示意图是一个的矩形，靠墙放置了一张的矩形床，在墙上有一扇房门，门宽可以绕点在房间内自由转动，房门关闭时点与点重合，房门开到最大时，点与墙上的点重合，房门转动的最大角度． （1）求点到墙的距离； （2）小明新买了一个书柜，尺寸为长，宽，打算放在房间的右下角．但是如果床仍保持原来的位置摆放，书柜将无法放入．因此，小明改变了床的摆放位置，如图2所示．请通过计算说明，换位摆放后，床的位置是否会影响到房门的自由转动． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 下面是某校九年级数学兴趣小组关于双曲面反射镜变形检测系统的设计研究过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 双曲面反射镜变形检测系统的设计 问题提出 某精密光学设备使用一块双曲面反射镜（如右图所示），其理论设计形状为反比例函数曲线型．在实际使用中，反射镜可能因应力，温度或材料老化而发生微小变形，影响光学性能．如何设计一套双曲面反射镜变形检测系统，用来快速检测出反射镜是否发生形变？ 查阅资料 兴趣小组通过查阅资料，发现了反比例函数如下的性质．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连接与反比例函数的图象相交于点与，则恒有成立．（任务三完成此性质的证明） 检测系统设计 如图1，利用上述性质作为判断双曲面镜是否变形的依据，兴趣小组设计了一个检测系统，其工作原理如下： 第一步：将反射镜安装在平面直角坐标系中，使其理论中心与坐标原点重合； 第二步：在轴和轴上安装可移动激光测距仪和．激光测距仪可分别沿轴正半轴和轴正半轴上移动，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点；同时，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点．系统通过测量往返时间计算距离和，在移动过程中保持点四点共线（点，点不重合），进行多组测量并采集数据比对． 学习任务 任务一 （1）兴趣小组利用以上检测系统对一块双曲面反射镜进行检测，共选取了5个不同的激光位置，测得的与长度如右表所示．若允许测量误差为，请根据表中数据判断该反射镜是否存在明显变形？请直接写出结果． （） （） 4.031 4.030 5.099 5.100 6.083 6.082 7.071 7.073 8.062 8.061 任务二 （2）现检测一块理论设计形状为反比例函数的双曲面反射镜（如图2）．在调节仪器过程中，先固定激光测距仪，再适当地移动调节激光测距仪的位置．其中点的坐标为，点的坐标为．为保证检测系统能够测量出和的距离，则取值范围为___________． 任务三 （3）请继续完成以下证明过程，或者你也可以选择其它方法完成证明．性质的证明．如图3，过点分别向轴和轴作垂线段和，过点分别向轴和轴作垂线段和，连接．由反比例函数的几何意义，得： ___________（用含的代数式填空）， ___________（选“＜”，“=”或“＞”填空）， …… 任务四 （4）请你从操作性、有效性等方面对以上检测系统进行评估，列举至少两点该系统的优点或不足，并简要说明理由． 23. 将两个大小不同的等腰直角三角形与如图1放置，其中，的直角顶点与斜边的中点重合．以点为旋转中心逆时针旋转，当所在直线首次经过点时停止旋转（如图3）． 【初步感知】 （1）如图1，当在初始位置时，连接，，则和的数量关系为______，位置关系为_______； 【类比探究】 （2）如图2，在的旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【迁移应用】 （3）若，连接， ①如图3，当旋转至终止位置时，求的长； ②如图4，在的旋转过程中，请问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香洲区2025-2026学年度第一学期义务教育阶段质量监测 九年级数学 说明： 1．全卷共6页．满分120分，考试用时120分钟． 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上（在试卷上作答无效）． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视，正好在播新闻 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是2 C. 明天会下雨 D. 在平面内任意画一个三角形，它的内角和等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，根据各选项的内容判断是否必然发生． 【详解】解：A、打开电视，正好在播新闻是随机事件，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是2，是随机事件，故不符合题意； C、明天会下雨，是随机事件，故不符合题意； D、三角形内角和定理规定，在平面内任意三角形的内角和恒等于180°，是必然事件； 故选：D． 3. 若反比例函数的图象过点，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可．将点代入反比例函数解析式，直接计算k的值． 【详解】解：反比例函数的图象过点， ． 故选：B． 4. 二次函数向下平移3个单位得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的平移方法可得对应的二次函数的解析式为，然后整理可得答案． 【详解】解：将二次函数向下平移3个单位所得二次函数的解析式是： =． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义直接代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得， 即， 解得， 故选：C． 6. 如图， 为 的直径， ， 为 上两点， 若， 则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，根据 为 的直径，可知，再由圆周角定理求出，根据直角三角形的两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解： 为 的直径， ， ， ， ． 故选：B． 7. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，利用“该农业基地两年后杂交水稻种植面积该农业基地现有杂交水稻种植面积（该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率）”即可列出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为， 依题意得：． 故选：A． 8. 一条公路弯道处是一段圆弧弧AB，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是弧AB的中点，OC与AB相交于点D．已知AB=120m，CD=20m，那么这段弯道的半径为（　　） A. 200m B. 200m C. 100m D. 100m 【答案】C 【解析】 【详解】连接OA，如图所示： ∵C是的中点，OC与AB相交于点D， ∴AB⊥OC， ∴AD=AB=×120=60m， ∴△AOD是直角三角形， 设OA=r，则OD=OC﹣CD=r﹣20， 在Rt△AOD中， OA2=AD2+OD2，即r2=602+(r﹣20)2， 解得r=100m． 故选：C． 9. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用函数图像解不等式，将函数值的大小关系转化为图像的上下关系即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴图像在的上方， ∴图像在交点A的左侧和y轴于点B之间， 即或． 故选：C． 10. 已知二次函数，当时，的最大值为3，最小值为2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，将二次函数化为顶点式，确定最小值点，结合最大值点求出m的范围. 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点为，最小值为2， ∵当时，y的最小值为2， ∴必须在内，即； 又 ∵ y的最大值为3， 令，则，解得或， ∵抛物线开口向上，在时，最大值在端点处， 当时，y在或处取得最大值，且； 当时，y在处取得最大值，且，不符合要求. ∴． 综上，． 故选：B． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数图象开口向下，得二次项系数小于零． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次项系数， 故答案为：. 12. 设是方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，直接代入系数计算． 【详解】解：方程中，，，则. 故答案为：． 13. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为______． 【答案】240 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故答案为：240． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角及三角形内角和，掌握旋转的性质是关键；根据旋转的性质得，，根据等边对等角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图，设交于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 15. 如图，已知扇形和扇形的半径均为分别为的中点，，分别交，于点，，则，和所围成阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，明确是解题的关键．连接，过点作，先证明四边形是矩形，得出,求得,即可得,再利用求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作， 扇形和扇形的半径均为分别为的中点， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， , , , , ； 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ． ． ． ． 17. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，． （1）随机摸取一个小球，取出的小球的标号是偶数的概率为_______； （2）随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出另一个小球，请用列表法或画树状图法求两次取出的小球标号的和等于的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率， （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于的结果有种，再由概率公式求解即可． 解题的关键是掌握：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解：随机摸取一个小球，取出的小球的标号是偶数的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于的结果有种， ∴两次取出小球标号的和等于的概率为． 18. 如图，已知是的直径，是的弦，过点的直线与的延长线相交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ， ， ． ，即， 是的半径， 是的切线． （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先根据等边对等角得到，再由圆周角定理得到，即可利用三角形内角和定理得到，由此即可证明结论； （2）先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：且是的直径， ， 在中，， ， ． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围一个矩形场地． （1）当为何值时，才能使矩形场地的面积为？ （2）能否使所围矩形场地的面积为？请说明理由． 【答案】（1）4米或6米 （2） 解：不能．理由如下 因为由得． 又， 上述方程没有实数根． 因此，不能使所围矩形场地的面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是根据几何图形列出方程． （1）设的长为米，则长为米，根据面积列出方程求解即可； （2）根据面积列出方程，然后根据一元二次方程根的判别式进行判断根的情况即可． 【小问1详解】 解：设的长为米，则长为米． 依题意，得， 即， 解得 所以当长为4米或者6米时，才能使矩形的面积为； 【小问2详解】 略 20. 如图1，一小球从地面点处抛出，到达最高处点后，再重新落回地面至点，球的抛出路线可以用二次函数刻画． （1）求小球到达最高点的坐标，以及小球落回地面点的坐标； （2）如图2，若点处有一斜坡，可以用一次函数刻画．小球从点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的点，求出点的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了把化成顶点式，求抛物线与x轴的交点坐标，投球问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先将解析式转化为顶点式，从而可求得小球到达的最高点的坐标，再取，，解一元二次方程求得即可得出小球落回地面点的坐标； （2）联立两解析式可得：，求出方程组的解即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得，． 故小球到达的最高点的坐标为； 当时，，解得（不合题意，舍去），， 故小球落回地面点的坐标为； 【小问2详解】 解：联立两解析式可得：， 解得：，或， 故可得点的坐标为． 21. 如图1，小明房间平面示意图是一个的矩形，靠墙放置了一张的矩形床，在墙上有一扇房门，门宽可以绕点在房间内自由转动，房门关闭时点与点重合，房门开到最大时，点与墙上的点重合，房门转动的最大角度． （1）求点到墙的距离； （2）小明新买了一个书柜，尺寸为长，宽，打算放在房间的右下角．但是如果床仍保持原来的位置摆放，书柜将无法放入．因此，小明改变了床的摆放位置，如图2所示．请通过计算说明，换位摆放后，床的位置是否会影响到房门的自由转动． 【答案】（1） （2）不会影响 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用含角的直角三角形的性质进行求解即可； （2）延长交于点，连接，利用线段的和差表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理求出长度，最后进行比较大小即可． 【小问1详解】 解：依题意：在中，， ， ， 故点到墙的距离为； 【小问2详解】 解：如图2，延长交于点，连接，则在中，， ； ， ， 新床的位置不会影响到房门的自由转动． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 下面是某校九年级数学兴趣小组关于双曲面反射镜变形检测系统的设计研究过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 双曲面反射镜变形检测系统的设计 问题提出 某精密光学设备使用一块双曲面反射镜（如右图所示），其理论设计形状为反比例函数曲线型．在实际使用中，反射镜可能因应力，温度或材料老化而发生微小变形，影响光学性能．如何设计一套双曲面反射镜变形检测系统，用来快速检测出反射镜是否发生形变？ 查阅资料 兴趣小组通过查阅资料，发现了反比例函数如下的性质．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连接与反比例函数的图象相交于点与，则恒有成立．（任务三完成此性质的证明） 检测系统设计 如图1，利用上述性质作为判断双曲面镜是否变形的依据，兴趣小组设计了一个检测系统，其工作原理如下： 第一步：将反射镜安装在平面直角坐标系中，使其理论中心与坐标原点重合； 第二步：在轴和轴上安装可移动激光测距仪和．激光测距仪可分别沿轴正半轴和轴正半轴上移动，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点；同时，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点．系统通过测量往返时间计算距离和，在移动过程中保持点四点共线（点，点不重合），进行多组测量并采集数据比对． 学习任务 任务一 （1）兴趣小组利用以上检测系统对一块双曲面反射镜进行检测，共选取了5个不同的激光位置，测得的与长度如右表所示．若允许测量误差为，请根据表中数据判断该反射镜是否存在明显变形？请直接写出结果． （） （） 4.031 4.030 5.099 5.100 6.083 6.082 7.071 7.073 8.062 8.061 任务二 （2）现检测一块理论设计形状为反比例函数的双曲面反射镜（如图2）．在调节仪器过程中，先固定激光测距仪，再适当地移动调节激光测距仪的位置．其中点的坐标为，点的坐标为．为保证检测系统能够测量出和的距离，则取值范围为___________． 任务三 （3）请继续完成以下证明过程，或者你也可以选择其它方法完成证明．性质的证明．如图3，过点分别向轴和轴作垂线段和，过点分别向轴和轴作垂线段和，连接．由反比例函数的几何意义，得： ___________（用含的代数式填空）， ___________（选“＜”，“=”或“＞”填空）， …… 任务四 （4）请你从操作性、有效性等方面对以上检测系统进行评估，列举至少两点该系统的优点或不足，并简要说明理由． 【答案】（1）没有发生明显变形； （2）； （3），； （4）解：优点： ①检测方法简单，只需测量两个距离并比较． ②可通过调节激光发射器，的位置进行多次重复检测，提高可靠性． ③无需知道反射镜的具体参数，因为对任意该性质均成立． ④非接触式测量，避免对反射镜表面造成损伤． 缺点：如果变形后的曲面仍然满足反比例函数（仅值改变），则无法检测；该方法只能判断是否偏离反比例函数形状，不能确定变形的具体形式和程度． 【解析】 【分析】（1）计算每组数据的与的差值，与比较，再得出结论； （2）先利用待定系数法求得直线的表达式，再由，得到，根据该直线与反比例函数的交点C和D，得到，再根据在轴正半轴，得出，从而可得，解得：，再根据图2可知，分别取、得出的范围，从而可得的取值范围为； （3）先根据反比例函数的几何意义，得到，从而可得，根据这两个三角形同底（），从而可得四边形MDBN为平行四边形，于是有，再由同理可得：四边形为平行四边形，，从而可得； （4）根据题意，从操作性、有效性等方面评估该检测系统的优点或不足． 【详解】（1）解：计算每组数据的与的差值： 第一组：， 第二组：， 第三组：， 第四组：， 第五组：， 所有差值的绝对值均小于允许误差， 因此反射镜没有发生明显变形； （2）解：设直线的表达式为， 因为和点， 所以， 解得：， 所以直线的表达式为， 由，得， 所以， 因为该直线与反比例函数的交点C和D， 所以， 所以， 因为在轴正半轴， 所以， 所以， 解得：， 由图2可知， 当时，， 因为， 所以符合； 当时，， 解得：， 综上所述，的取值范围为； 故答案为：； （3）证明：如图3，过点分别向轴和轴作垂线段和，过点分别向轴和轴作垂线段和，连接，，． 由反比例函数的几何意义，得： ． ∴， 又这两个三角形同底（）， ∴它们高相等，故， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：四边形为平行四边形，， ∴． 故答案为：，； （4）略 【点睛】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，求反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，平行四边形性质和判定的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 23. 将两个大小不同的等腰直角三角形与如图1放置，其中，的直角顶点与斜边的中点重合．以点为旋转中心逆时针旋转，当所在直线首次经过点时停止旋转（如图3）． 【初步感知】 （1）如图1，当在初始位置时，连接，，则和的数量关系为______，位置关系为_______； 【类比探究】 （2）如图2，在的旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【迁移应用】 （3）若，连接， ①如图3，当旋转至终止位置时，求的长； ②如图4，在的旋转过程中，请问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），； （2）结论成立，证明如下： 如图1，连接，记与分别交于点， ，点为的中点， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）①，②是定值；10． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，难度较大． （1）证明，则，，延长交于点T，再由互余关系证明垂直即可； （2）连接，记与分别交于点，证明，再同上证明即可； （3）①连接，设，则由（2）得，，在中，，由勾股定理得，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； ②连接交于点，由（2）得，，然后对，，，运用勾股定理求解即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 延长交于点T， ∵，， ∴， ∴，即； （2）略 （3）①如图2，连接，设，则 由（2）得，， ， 在中， 在中， 得 化简得 解得：（舍去）， ． ②，理由如下：如图3，连接交于点， 由（2）得，， 在中，， 在中，， ， 在中，， 在中，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $