精品解析：广东深圳市坪山区2025-2026学年七年级上学期 期末数学试题

广东省深圳市坪山区2025－2026学年七年级上学期1月期末数学试题 说明：共7页，满分为100分，此套练习题建议答题时间为90分钟． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是一个正方体的平面展开图，六个面分别写着“创新坪山未来”这六个字，折叠成正方体后与汉字“坪”相对的面上的汉字是（ ） A. 创 B. 新 C. 未 D. 来 2. 2025年某部春节档电影上映后票房一路飙升，成为中国影史首部百亿票房影片，最终国内票房亿元，其中数据亿用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 在“创新坪山、未来之城”的发展愿景下，坪山区某校设置科技创新体验中心，深受学生欢迎．如图是该体验中心某日某位同学扫码付款的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则该同学当日收支的最终结果是（ ）． A. 收入元 B. 支出元 C. 支出元 D. 收入元 4. 如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（ ）． A. 6 B. 7 C. 8 D. 5. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．若每人6根竹竿，则多出14根；若每人8根竹竿，则正好分完．设牧童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ）． A. 单项式的系数是 B. 单项式的次数为2 C. 和是同类项 D. 多项式的常数项是 7. 我区在一次歌唱选拔比赛决赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）． A. 决赛学生人数为8人 B. 最高分与最低分的差是15分 C. 所有参赛选手平均分为100分 D. 决赛学生得100分的频率为0.3 8. 如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（ ）． ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边为； ③若为定值，则阴影B的周长为定值； ④当且时，阴影A和阴影B的面积和为． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①④ 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，其中每小题3分，共15分．） 9. 计算的结果为___________． 10. 若，则___________． 11. 已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值是__________． 12. 数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 13. 如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第次相遇的位置在___________上． 三、解答题（本大题共7小题，共61分．其中第14、15、16、17题各8分，第19题9分，第18、20题各10分．） 14. 计算 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 15. 如图是由相同的小正方体拼成的立体图形，请先观察，再按要求完成： （1）请仿照示例，将从上面和从左面观察到的图形画在下面的方格图中（所画图形请涂上阴影）． （2）至少要添加___________个小正方体，可以将其拼成一个较大的正方体． （3）若小正方体每一面的面积都是1，则该简单组合体的表面积（含底面）为___________． 16. 2025年12月，深圳全球招商大会成功举办，洽谈签约项目超340个、涉及投资额超7700亿元，重点聚焦新一代信息技术、高端装备制造、生物医药等新兴产业，彰显深圳产业发展活力．某中学七年级随机抽取若干名学生，调查他们对深圳重点新兴产业的了解情况，结果如下表： 请根据以上数据解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中生物医药所对应的圆心角度数是_________． （2）请将条形统计图补充完整． （3）若该校七年级共有600名学生，请你估计该校七年级了解“新一代信息技术”产业的学生有多少人？ （4）结合调查结果，针对鼓励七年级学生多去了解探索深圳新兴产业，提出一条合理的建议． 17. 小坪与小山去聚龙山公园探险，大门到樱花谷之间的距离可以近似看作一条线段，补给站在中点处，小坪与小山此时在点处． （1）小颖只有一把无刻度的直尺和圆规，请你帮助她按以下要求作图，并保留作图痕迹； ①作直线，作射线； ②果林在线段的延长线上A点处，且满足，请找到果林位置点． （2）在（1）的条件下，线段上有一个网红打卡点处，若线段，且，请求出线段的长度． 18. 第十五届全国运动会，深圳市坪山区承办了艺术体操等赛事．小坪所在班级的老师为了引导学生关注体育赛事，热爱体育运动，特举行了以“第十五届全国运动会”为主题的手抄报比赛．根据以下素材，探索完成任务． 问题解决： 研究主题：如何设计手抄报？ 素材1 如图1是老师提供的一张边长为的正方形白纸片．小坪想在白纸片上作如下设计，在正方形纸片的右侧和下侧分别留出宽为和的长条（图中阴影部分）用来书写文字部分，其余部分用来绘制图画． 素材2 如图2，为了美观，将绘制图画部分分割出大小相等的上、下两个正方形栏目（图中阴影部分），且水平方向栏目与边缘之间的间距（图中水平方向虚线部分）相等，竖直方向栏目与栏目之间的中缝间距、栏目与边缘之间的间距（图中竖直方向虚线部分）相等． 素材3 若已知代数式，且，可设，并将其代入，解得，则．这种求未知数的值的方法称为“换元法”，即将两个不同的字母用同一个新字母代替，则含两个未知数的方程可转化为只含一个未知数的方程． （1）任务1：分析数量关系：用含的代数式表示正方形纸片中绘制图画部分的面积是___________． （2）任务2：若小坪想让绘制图画部分的面积是原正方形纸片面积的，求正方形纸片下侧长方形纸条的宽度． （3）任务3：在任务2的条件下，若设图2中水平方向的正方形栏目与边缘之间的距离为厘米，竖直方向的栏目与栏目、栏目与边缘之间的距离为厘米，且．请求出的值． 19. 观察下列各式，回答问题： 第①个等式： 第②个等式： 第③个等式： 第④个等式： …… （1）仿照上例，写出第⑥个等式___________． （2）根据上述规律，计算：___________． （3）根据你所总结的规律，计算：． 20. 在深圳坪山无人机表演编程中，控制飞行路径（线段）和灯光射束（角）有相似的数学原理．请根据下表的对比，迁移研究线段的思路来研究角． 研究主题 飞行路径（线段） 灯光射束（角） 【中点问题】 若无人机的飞行轨迹线段的中点为，则 （1）若无人机射束的最大开角的角平分线为，则___________． 【三等分点问题】 若线段中有一组点，将分为相等的三条线段，则称这组点为的三等分点． 若中有一组射线，将分为相等的三个角，则称这组射线为的三等分线． 【三等分点问题】 （2）①如图所示，若线段点是上最靠近点的一个三等分点，取的中点和的中点，则___________ ②如图所示，若，是最靠近的一条三等分线，作的角平分线和的角平分线，则___________ 【动态变化问题】 （3）①在线段上，若无人机从点出发，全程匀速移动到点再返回至点，则无人机会经过线段的三等分点4次． ②根据①的提示，若，无人机动态激光从出发，绕点以每分钟的速度匀速旋转至OB再返回，激光过多少分钟会经过的三等分线？ 【等分点问题】 （4）①若在线段上，点是最靠近点的一个等分点，，取的中点和的中点，则___________（用含的代数式表示） ②若是最靠近的一条等分线，，作的角平分线和的角平分线，则___________（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市坪山区2025－2026学年七年级上学期1月期末数学试题 说明：共7页，满分为100分，此套练习题建议答题时间为90分钟． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是一个正方体的平面展开图，六个面分别写着“创新坪山未来”这六个字，折叠成正方体后与汉字“坪”相对的面上的汉字是（ ） A. 创 B. 新 C. 未 D. 来 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：“创”与“山”是相对面，“新”与“未”是相对面，“坪”与“来”是相对面． 故选D． 2. 2025年某部春节档电影上映后票房一路飙升，成为中国影史首部百亿票房影片，最终国内票房亿元，其中数据亿用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：亿． 故选：D． 3. 在“创新坪山、未来之城”的发展愿景下，坪山区某校设置科技创新体验中心，深受学生欢迎．如图是该体验中心某日某位同学扫码付款的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则该同学当日收支的最终结果是（ ）． A. 收入元 B. 支出元 C. 支出元 D. 收入元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．表中数据相加结果为正则是收入，为负则是支出． 【详解】解：（元）． 故选：B． 4. 如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（ ）． A. 6 B. 7 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念． 直接根据半径等于直径的一半作答即可． 【详解】解：∵分别以线段、为直径作圆，为圆心，， ∴． 故选：C． 5. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．若每人6根竹竿，则多出14根；若每人8根竹竿，则正好分完．设牧童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据等量关系列方程是关键；根据题意，竹竿总数不变，每人6根多14根，每人8根正好分完，由此列方程，即可求解． 【详解】解：∵每人6根竹竿，多14根， ∴竹竿总数为； ∵每人8根竹竿，正好分完， ∴竹竿总数为； ∴， 故选：A． 6. 下列说法中，正确的是（ ）． A. 单项式的系数是 B. 单项式的次数为2 C. 和是同类项 D. 多项式的常数项是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式、多项式、同类项的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 根据相关概念逐一判断即可． 【详解】解：A．的系数是，不是，故A错误； B．的次数是，不是2，故B错误； C．和中相同字母的指数不相同，不是同类项，故C错误； D．的常数项是，故D正确． 故选：D． 7. 我区在一次歌唱选拔比赛决赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）． A. 决赛学生人数为8人 B. 最高分与最低分的差是15分 C. 所有参赛选手平均分为100分 D. 决赛学生得100分的频率为0.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折线图，求概率，平均数，从折线图中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、决赛学生人数为人，原说法错误，不符合题意； B、最高分与最低分的差是分，原说法正确，符合题意； C、所有参赛选手平均分为分，原说法错误，不符合题意； D、决赛学生得100分的频率为，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（ ）． ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边为； ③若为定值，则阴影B的周长为定值； ④当且时，阴影A和阴影B的面积和为． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的宽，可得出阴影的较短边长，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影的周长为，则说法③错误；④代入和利用长方形面积公式可得出说法④正确． 【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为， 则阴影的周长为， 阴影的周长与取值都有关，只有为定值，阴影的周长不为定值，说法③错误； ④当且时， 阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为， 阴影和阴影的面积之和为，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①④． 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，其中每小题3分，共15分．） 9. 计算的结果为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了两个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0． 根据两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘即可． 【详解】解：． 故答案为12． 10. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及有理数的乘方．由非负数的性质，可求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：因为，且， 所以， 解得． 则， 所以． 故答案为． 11. 已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值是__________． 【答案】11 【解析】 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：把代入得： ， 解得：． 故答案为：11 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 12. 数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义得到表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和，进而得到当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离． 【详解】解：由题意，表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和， ∴当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离； ∴的最小值是； 故答案为：7． 13. 如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第次相遇的位置在___________上． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查行程问题中的规律探索，通过计算发现规律是解决问题的关键．此题利用行程问题中的相遇问题，设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，因为甲的速度是乙的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ∴相遇的边是4次一个循环， ∵， ∴它们第次相遇在边上． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分．其中第14、15、16、17题各8分，第19题9分，第18、20题各10分．） 14. 计算 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减－化简求值． （1）先算乘方和绝对值，再算乘法，然后算加法即可； （2）先去括号合并同类项，再把代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时， 原式 ． 15. 如图是由相同的小正方体拼成的立体图形，请先观察，再按要求完成： （1）请仿照示例，将从上面和从左面观察到的图形画在下面的方格图中（所画图形请涂上阴影）． （2）至少要添加___________个小正方体，可以将其拼成一个较大的正方体． （3）若小正方体每一面的面积都是1，则该简单组合体的表面积（含底面）为___________． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看，几何体的表面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据几何体画出相应图形即可； （2）由图知，补成的正方体最小为共有3层，每层有9个小正方体，因此最下面一层补3个，中间一层补6个，最上面一层补8个，计算总和即可； （3）由从上面看，从正面看，从左面看的三个图形可知：表面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知，补成的正方体最小为共有3层，每层有9个小正方体． ∴最下面一层补3个，中间一层补6个，最上面一层补8个， 共补（个）， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由从上面看，从正面看，从左面看的三个图形可知： 表面积． 故答案为：． 16. 2025年12月，深圳全球招商大会成功举办，洽谈签约项目超340个、涉及投资额超7700亿元，重点聚焦新一代信息技术、高端装备制造、生物医药等新兴产业，彰显深圳产业发展活力．某中学七年级随机抽取若干名学生，调查他们对深圳重点新兴产业的了解情况，结果如下表： 请根据以上数据解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中生物医药所对应的圆心角度数是_________． （2）请将条形统计图补充完整． （3）若该校七年级共有600名学生，请你估计该校七年级了解“新一代信息技术”产业的学生有多少人？ （4）结合调查结果，针对鼓励七年级学生多去了解探索深圳新兴产业，提出一条合理的建议． 【答案】（1）80；54 （2） 如图， （3）180人 （4） 新能源关注的学生较少，可以利用课余时间多去了解相关信息． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据新能源人数及其百分比求得样本容量即可；用 “生物制药”对应的比例即可求出扇形统计图中生物医药所对应的圆心角度数； （2）总人数减去其他类型人数可得高端制造类人数，即可解决问题； （3）用样本估计总体的思想解决问题； （4）根据新能源关注的学生较少解答即可． 【小问1详解】 解：人， ． 故答案为：80；54； 【小问2详解】 解：人． 【小问3详解】 解：人 答：该校七年级学生了解“新一代信息技术”产业的学生有180人． 【小问4详解】 略 17. 小坪与小山去聚龙山公园探险，大门到樱花谷之间的距离可以近似看作一条线段，补给站在中点处，小坪与小山此时在点处． （1）小颖只有一把无刻度的直尺和圆规，请你帮助她按以下要求作图，并保留作图痕迹； ①作直线，作射线； ②果林在线段的延长线上A点处，且满足，请找到果林位置点． （2）在（1）的条件下，线段上有一个网红打卡点处，若线段，且，请求出线段的长度． 【答案】（1） 解：（1）①直线、射线即为所求； ②如图，点A即为果林位置， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作一条线段等于已知线段，有关中点的计算，直线和射线的定义，解题的关键是： （1）①根据射线、直线的定义，即可求解； ②根据作一条线段等于已知线段的作法，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当点B在之间时；②当点B在之间时，根据线段中点定义，线段和差的关系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当点B在之间时， ，且O为线段中点 ②当点B在之间时， ，且O为线段中点 综上所述，长度为或． 18. 第十五届全国运动会，深圳市坪山区承办了艺术体操等赛事．小坪所在班级的老师为了引导学生关注体育赛事，热爱体育运动，特举行了以“第十五届全国运动会”为主题的手抄报比赛．根据以下素材，探索完成任务． 问题解决： 研究主题：如何设计手抄报？ 素材1 如图1是老师提供的一张边长为的正方形白纸片．小坪想在白纸片上作如下设计，在正方形纸片的右侧和下侧分别留出宽为和的长条（图中阴影部分）用来书写文字部分，其余部分用来绘制图画． 素材2 如图2，为了美观，将绘制图画部分分割出大小相等的上、下两个正方形栏目（图中阴影部分），且水平方向栏目与边缘之间的间距（图中水平方向虚线部分）相等，竖直方向栏目与栏目之间的中缝间距、栏目与边缘之间的间距（图中竖直方向虚线部分）相等． 素材3 若已知代数式，且，可设，并将其代入，解得，则．这种求未知数的值的方法称为“换元法”，即将两个不同的字母用同一个新字母代替，则含两个未知数的方程可转化为只含一个未知数的方程． （1）任务1：分析数量关系：用含的代数式表示正方形纸片中绘制图画部分的面积是___________． （2）任务2：若小坪想让绘制图画部分的面积是原正方形纸片面积的，求正方形纸片下侧长方形纸条的宽度． （3）任务3：在任务2的条件下，若设图2中水平方向的正方形栏目与边缘之间的距离为厘米，竖直方向的栏目与栏目、栏目与边缘之间的距离为厘米，且．请求出的值． 【答案】（1） （2）4厘米 （3）6 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，换元法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先确定绘制图画部分的长和宽，原正方形边长为，右侧留出、下侧留出，因此绘制部分的长为，宽为，再根据长方形面积公式列出代数式即可； （2）根据绘制图画部分的面积是原正方形纸片面积的列方程求解即可； （3）由题意得可得 ，化简得，因为，设，则，代入即可求得，则可求． 【小问1详解】 解：根据图形可知：绘制图画部分的面积． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得： 解得： ， 答：正方形纸片下侧长方形纸条的宽度为4厘米； 【小问3详解】 解：由题意得： 化简得： 且 设，则 代入中得 解得 则， 即的值为6． 19. 观察下列各式，回答问题： 第①个等式： 第②个等式： 第③个等式： 第④个等式： …… （1）仿照上例，写出第⑥个等式___________． （2）根据上述规律，计算：___________． （3）根据你所总结的规律，计算：． 【答案】（1） （2）2500 （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索． （1）仿照题干作答即可； （2）观察前面几个式子可知，从1开始的连续的正奇数的和等于奇数的个数的平方，据此规律求解即可； （3）根据（2）将原式变形后计算即可． 【小问1详解】 解：第①个等式：， 第②个等式：， 第③个等式：， 第④个等式：， 第⑤个等式：， 第⑥个等式：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ……， 以此类推，可知， ∴ 故答案为：2500； 【小问3详解】 解： ． 20. 在深圳坪山无人机表演编程中，控制飞行路径（线段）和灯光射束（角）有相似的数学原理．请根据下表的对比，迁移研究线段的思路来研究角． 研究主题 飞行路径（线段） 灯光射束（角） 【中点问题】 若无人机的飞行轨迹线段的中点为，则 （1）若无人机射束的最大开角的角平分线为，则___________． 【三等分点问题】 若线段中有一组点，将分为相等的三条线段，则称这组点为的三等分点． 若中有一组射线，将分为相等的三个角，则称这组射线为的三等分线． 【三等分点问题】 （2）①如图所示，若线段点是上最靠近点的一个三等分点，取的中点和的中点，则___________ ②如图所示，若，是最靠近的一条三等分线，作的角平分线和的角平分线，则___________ 【动态变化问题】 （3）①在线段上，若无人机从点出发，全程匀速移动到点再返回至点，则无人机会经过线段的三等分点4次． ②根据①的提示，若，无人机动态激光从出发，绕点以每分钟的速度匀速旋转至OB再返回，激光过多少分钟会经过的三等分线？ 【等分点问题】 （4）①若在线段上，点是最靠近点的一个等分点，，取的中点和的中点，则___________（用含的代数式表示） ②若是最靠近的一条等分线，，作的角平分线和的角平分线，则___________（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）①7；② （3）4分钟、8分钟、16分钟、20分钟 （4）①；② 【解析】 【分析】本题考查线段的中点，角的平分线，线段的三等分点，角的三等分线，线段的n等分点，角的n等分线的性质； （1）根据角平分线的性质即可解答； （2）①根据线段的中点，线段的三等分点的性质即可解答；②根据角的平分线，角的三等分线的性质即可解答； （3）根据角的三等分线的性质求出经过时扫过的角度即可解答； （4）①根据线段的中点，线段的n等分点的性质即可解答；②根据角的平分线，角的n等分线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴； （2）解：①∵点是的中点，， ∴， ∵点是上最靠近点的一个三等分点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 解：②∵是的角平分线，， ∴， ∵是最靠近的一条三等分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， 在到过程中， 当时，需要（分钟）； 当时，需要（分钟）； 在到过程中， 当共扫过时，需要（分钟）； 当共扫过时，需要（分钟）； ∴激光过4分钟，8分钟，16分钟，20分钟时经过的三等分线； （4）解：①∵点是的中点，， ∴， ∵点是最靠近点的一个等分点， ∴， ∵点是的中点， ， ∴； 解：②∵是的角平分线，， ∴， ∵是最靠近的一条等分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $