精品解析：贵州黔南布依族苗族自治州2025-2026学年度第一学期期末质量监测九年级数学试卷

黔南州2025-2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上， 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写，在试卷、草稿纸上答题无效， 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 对称美是一种美学观念，强调事物在空间或结构上的平衡与协调，给人以圆满、和谐、稳定的视觉感受．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 望梅止渴 C. 守株待兔 D. 指鹿为马 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、旭日东升是一定会发生的事件，不是随机事件，不符合题意； B、望梅止渴是条件反射现象，不具有随机性，不符合题意； C、守株待兔是随机事件，符合题意； D、指鹿为马是主观故意行为，不是随机事件，不符合题意； 故选：C． 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（ ） A. 9 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中得到关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故选：A． 4. 如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心逆时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，涉及正多边形与圆，解题的关键是掌握旋转对称图形定义． 【详解】解：∵正三角形的三个顶点等分圆周， ∴， ∴把这个图形绕着圆心逆时针至少旋转后能与自身重合， 故选：C． 5. 抛物线经过平移可以得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，求出平移前后抛物线的顶点坐标，根据“上加下减，左减右加”的平移规律判断出顶点的平移方式即可得到答案． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∵点先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得到点， ∴抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得到抛物线， 故选：D． 6. 某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P(3,-4) 与⊙O的位置关系是（ ） A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O外部 C. 点P在⊙O内部 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，OP=5，由于⊙O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P在⊙O上 ．故选A. 8. 如图，是半圆O的直径，点在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理可知，然后根据圆内接四边形对角互补可知，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：D． 9. 化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和名组员，总和为43，由此列出方程． 【详解】解：根据题意可知做实验的学生人数为名， 而全班有43名学生，则， 故选：B． 10. 数学综合实践课上，小红打算用纸板制作一个如图所示的高为8、底面圆半径为6的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，她所需纸板的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及求圆锥侧面积．本题关键在于理解“所需纸板面积为圆锥侧面积”，并熟练运用勾股定理求母线长和圆锥侧面积公式．解题时需明确圆锥的高、底面半径与母线的几何关系，再结合公式完成计算．要计算制作圆锥形漏斗所需纸板的面积，即求圆锥的侧面积．需先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥侧面积公式进行计算． 【详解】解：圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，其中高为8，底面半径为6， 根据勾股定理，母线长：； 圆锥的侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长）， 将， 代入公式得：． 故选：C． 11. 二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 12. 如图，已知二次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴交于点，且点位于和两点之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：；；；，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．①由抛物线的图象与轴交于点，且点位于和两点之间（不包括这两点），对称轴为直线，得到，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为，进而可得出，结论②正确；③由点的范围可得出抛物线顶点纵坐标，结合可得出，结论③正确；④由抛物线对称轴为可得出，结论④错误． 【详解】解：①二次函数的图象与轴交于点，且点位于和两点之间（不包括这两点）， 当时，，结论①错误； ②二次函数的图象与轴负半轴交于点，对称轴为直线， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当时，，结论②正确； ③二次函数的图象与轴交于点，且点位于和两点之间（不包括这两点），抛物线开口向上， 抛物线顶点纵坐标，， ，结论③正确； ④抛物线的对称轴为直线， ，即，结论④错误； 综上所述，正确的结论有②③， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 二次函数的图象的开口方向为_____．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象，掌握二次函数的图象的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向由二次项系数的符号决定，当时开口向上，当时开口向下，即可解答． 【详解】解：对于二次函数，二次项系数， 因此图象的开口方向向下． 故答案为：向下． 14. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮总次数 50 100 150 200 300 400 500 投中的次数 35 71 106 141 213 278 351 投中的频率 0.700 0.710 0.707 0.705 0.710 0.695 0.702 根据表中的数据和频率的稳定性，估计这名球员在罚球线上投篮20次，他投中_______次． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，根据频率估计概率的原理，从表格数据观察投中频率的稳定性，估计投中概率，再计算投篮20次时的投中次数即可． 【详解】解：由表格数据可知，随着投篮总次数的增加，投中频率在0.695至0.710之间波动，且逐渐稳定在0.700附近，因此估计这名球员投篮一次投中的概率约为0.700， 所以，投篮20次时，投中次数约为， 故答案为：14． 15. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则______． 【答案】寸 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 16. 如图，在菱形中，，E是线段上一点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，则的最大值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质求最大值是解题的关键． 在上截取，连接，过点作交延长线于点，可得是等边三角形，进而证明，可得，设，则可用表示出，，从而可得，由可得关于的二次函数式即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，过点作交延长线于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共64分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 从下列①②③中任选两个方程，并用你认为合适的方法求解． ① ② ③ 【答案】①；②；③（任选两个作答） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． ①根据因式分解法解一元二次方程即可求解； ②先移项，然后提取公因式，利用因式分解法即可求解； ③先移项，然后根据直接开平方法即可求解． 【详解】解：以下三个任选两个即可， ① ∴或， ∴； ② ∴或， ∴； ③ ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别为． （1）请画出与关于原点O成中心对称的； （2）请画出绕点C顺时针旋转后得到的； （3）请求出点A运动到点的路径长． 【答案】（1） 解：如图，即为所作： （2） 解：如图，即为所作： （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-中心对称变换、旋转变换、勾股定理以及弧长公式等知识，熟练掌握弧长公式，正确作出中心对称变换和旋转变换的图形是解题的关键． （1）利用关于原点O成中心对称的点的坐标特征得出点A、B、C的对应点，然后顺次连接，即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质，得出点A、B、C的对应点，然后顺次连接，即可得到； （3）先利用勾股定理计算出的长，再根据弧长公式列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴点A经过的路径长为． 数学综合实践活动是从课堂到现实的桥梁，为此某校组织学生到某研学基地进行综合实践．请根据内容完成19、20两题． 19. 出发时，学校随机分配参加活动的学生到四辆车（同款旅游客车），甲、乙两名同学均参加本次活动． （1）甲同学被分配到B车的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人被分配到同一辆车的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲同学被分配到B车的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人被分配到同一辆车的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲同学被分配到B车的结果有1种， ∴甲被分配到 B 车的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 \ 乙 A B C D A B C D 总共有 16 种等可能结果，其中甲、乙同车的有 4 种，概率为． 20. 为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． （1）若围成的矩形花圃的面积为，求的长． （2）围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 【答案】（1）5米 （2） 不能，理由如下， 假设面积可以为 ，则， 整理得即 ， ∴， ∴方程无实数解， 故面积不能为 ． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米，根据面积为列出方程，求解即可； （2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米 则， 解方程得：，． 当时，长，故舍去， ∴． ∴（米）， 答：矩形的长为9米，宽为5米； 【小问2详解】 略 21. 如图，与相切于点A，且平分，过点C作，交的延长线于点D． （1）请写出一个与相等的角： ； （2）求证：是的切线； （3）若，求的半径． 【答案】（1）或 （2） 证明：作， ∵平分，， ∴， ∴为的半径， 又∵， ∴是的切线； （3）3 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质和判定方法是解题的关键： （1）根据切线的性质，得到，，得到，根据对顶角相等，以及三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）作，根据角平分线的性质，得到，得到为的半径，即可得证； （3）等积法求出的半径即可． 【小问1详解】 解：∵与相切于点A，， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得， ∴的半径3． 22. 某商场要销售一款新文具，市场部先进行市场调查，然后营销部根据实际情况提出销售建议．请根据以下信息完成相应的任务． 项目名称 调查销售该款文具的市场信息并给出综合建议 市场信息 ①该文具进价为每件10元； ②当销售单价为15元时，每天的销量为150件，且销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件． 营销部建议 方案一：销售单价高于15元，但不超过20元； 方案二：每天的销量不少于10件，且每件的利润至少为15元． 任务一 直接写出每天的销量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的函数关系式． 任务二 求销售单价定为多少元时，每天的销售利润w（单位：元）最大，并求出最大值． 任务三 利用你所学的知识比较营销部提出的两种方案中，哪种方案的利润更高？并说明理由． 【答案】任务一：； 任务二：元，最大值元； 任务三：方案一的利润更高，理由如下： 方案一：， 由任务二知，当时，有最大值，最大值为1000； 方案二：，解得， ∵， ∴在内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵， ∴方案一的利润更高． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 任务一：根据题意列出函数关系式即可； 任务二：根据题意列出w与x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答； 任务三：分别求出方案一和方案二的利润最大值，比较大小即可得出结论． 【详解】解：任务一： 由题意得，， ∴函数关系式为； 任务二： 由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1000， 答：销售单价定为20元时，每天的销售利润最大，最大值为1000元； 任务三：略 23. 如图，在中，是的中点．将一把含角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两条直角边分别与所在的直线相交于点（点D不与点重合，点E不与点重合）． （1）如图1，当三角尺的两条直角边分别与垂直时，线段与的数量关系是 ；之间的数量关系式是 ． （2）如图2，当三角尺的两条直角边与不垂直时，（1）中的之间的数量关系式是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）请你直接写出三角尺在旋转过程中，线段之间存在的数量关系式（除（1）（2）中的关系式外）． 【答案】（1）； （2） 解：成立，证明如下， 如图2，连接， ∵是的中点． ∴，，， 同理证， ∴， ∴， （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （1）连接，证，结合勾股定理即可解答； （2）连接，证，结合勾股定理即可解答； （3）当点D，点E，在、的延长线上时，连接，证结合勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵是的中点． ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图当点D，点E，在、的延长线上时， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔南州2025-2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上， 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写，在试卷、草稿纸上答题无效， 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 对称美是一种美学观念，强调事物在空间或结构上的平衡与协调，给人以圆满、和谐、稳定的视觉感受．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 望梅止渴 C. 守株待兔 D. 指鹿为马 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（ ） A. 9 B. C. D. 3 4. 如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心逆时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线经过平移可以得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 6. 某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P(3,-4) 与⊙O的位置关系是（ ） A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O外部 C. 点P在⊙O内部 D. 不能确定 8. 如图，是半圆O的直径，点在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 数学综合实践课上，小红打算用纸板制作一个如图所示的高为8、底面圆半径为6的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，她所需纸板的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A. B. C. D. 12. 如图，已知二次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴交于点，且点位于和两点之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：；；；，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 二次函数的图象的开口方向为_____．（填“向上”或“向下”） 14. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮总次数 50 100 150 200 300 400 500 投中的次数 35 71 106 141 213 278 351 投中的频率 0.700 0.710 0.707 0.705 0.710 0.695 0.702 根据表中的数据和频率的稳定性，估计这名球员在罚球线上投篮20次，他投中_______次． 15. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则______． 16. 如图，在菱形中，，E是线段上一点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，则的最大值为_______ 三、解答题（本大题共7小题，共64分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 从下列①②③中任选两个方程，并用你认为合适的方法求解． ① ② ③ 18. 如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别为． （1）请画出与关于原点O成中心对称的； （2）请画出绕点C顺时针旋转后得到的； （3）请求出点A运动到点的路径长． 数学综合实践活动是从课堂到现实的桥梁，为此某校组织学生到某研学基地进行综合实践．请根据内容完成19、20两题． 19. 出发时，学校随机分配参加活动的学生到四辆车（同款旅游客车），甲、乙两名同学均参加本次活动． （1）甲同学被分配到B车的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人被分配到同一辆车的概率． 20. 为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． （1）若围成的矩形花圃的面积为，求的长． （2）围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 21. 如图，与相切于点A，且平分，过点C作，交的延长线于点D． （1）请写出一个与相等的角： ； （2）求证：是的切线； （3）若，求的半径． 22. 某商场要销售一款新文具，市场部先进行市场调查，然后营销部根据实际情况提出销售建议．请根据以下信息完成相应的任务． 项目名称 调查销售该款文具的市场信息并给出综合建议 市场信息 ①该文具进价为每件10元； ②当销售单价为15元时，每天的销量为150件，且销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件． 营销部建议 方案一：销售单价高于15元，但不超过20元； 方案二：每天的销量不少于10件，且每件的利润至少为15元． 任务一 直接写出每天的销量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的函数关系式． 任务二 求销售单价定为多少元时，每天的销售利润w（单位：元）最大，并求出最大值． 任务三 利用你所学的知识比较营销部提出的两种方案中，哪种方案的利润更高？并说明理由． 23. 如图，在中，是的中点．将一把含角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两条直角边分别与所在的直线相交于点（点D不与点重合，点E不与点重合）． （1）如图1，当三角尺的两条直角边分别与垂直时，线段与的数量关系是 ；之间的数量关系式是 ． （2）如图2，当三角尺的两条直角边与不垂直时，（1）中的之间的数量关系式是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）请你直接写出三角尺在旋转过程中，线段之间存在的数量关系式（除（1）（2）中的关系式外）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $