2026年中考数学一轮复习讲义 圆 证明

该初中数学讲义聚焦圆的综合复习，覆盖中考核心考点，包括圆的定义、性质、垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质、内外心等，通过考点系统梳理、方法规律总结、真题分层训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破切线证明、角度计算等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于融合核心素养培养，如通过“垂径定理与勾股定理结合求弦长”等真题，培养学生几何直观和推理意识，设置选择、填空、解答题三级练习，配合详细解析与易错点提示，教师可据此实施精准教学，学生能在实战训练中提升问题解决能力，高效备战中考。

圆的综合复习 1.理解圆、弧、弦、圆心角的概念，了解等圆、等弧的概念，探索并了解点与圆的位置关系； 2.探索并证明垂径定理： 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论： 1.知道三角形的内心和外心： 2.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上 点画圆的切线； 3.探索并证明切线长定理。 考点1：圆的定义 (1)线段0A绕着它的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合 考点2：圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆 心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其 他各组分别相等 (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧： ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧 ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 注： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件 中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 考点3：两圆的性质 (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 考点4：与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半， ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 考点5：点与圆的位置关系 (1)判定一个点P是否在⊙0上 设⊙0的半径为”，OP=d,则有 d>r台点P在⊙0外；d=r台点P在⊙0上；d<r台点P在⊙0内. (2)判定几个点A、A2、A,在同一个圆上的方法 当AO=A0=…=AO=R时，A、A、…A在⊙0上. 考点6：直线与圆位置关系 设⊙0半径为R,点0到直线的距离为d. (1)直线！和⊙0没有公共点台直线和圆相离台d>R. (2)直线！和⊙0有唯一公共点台直线！和⊙0相切台d=R (3)直线1和⊙0有两个公共点台直线1和⊙0相交台d<R. 考点7：切线的判定与性质 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线。 (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径 ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心， (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 考点8：外接圆与内切圆 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的 距离相等，通常用“I”表示 (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角 三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用0表示 (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G 表示。 (4)垂心：是三角形三边高线的交点. 注： (1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形： (2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 1 S=二Pr(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径) 2 (3)三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心（三角形外 三角形三边中垂线的 (1)0A=0B=0C;(2)外心不一定 接圆的圆心) 交点 在三角形内部 内心（三角形内三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等； 切圆的圆心) 的交点 (2)0A、OB、OC分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB;(3)内心在三 B 角形内部 真题演练 一、单选题 1.(2024山西·中考真题)如图，已知ABC,以AB为直径的O0交BC于点D,与AC相切于点A,连接0D,若 ∠A0D=80°，则∠C的度数为() B A.30° B.40° C.45° D.50° 2. (2024江苏南京·三模)如图，AB为O0的直径，D是BC的中点，BC与AD,OD分别交于点E,F.若 tan∠CAD 2,则sin∠CDA的值为() C E B A. 3 B. 2-5 c. D.25 5 3. (2025江苏苏州模拟预测)如图，CD为00的直径，弦4B1CD于区，CD号，AE=3,则△4CB的面积为 ( A C o E D B A.3 B.4 C.5 D.6 4. (23-24九年级上·重庆沙坪坝期中)如图，AB是⊙0的直径，点C、点D是O0上任意两点，连接CD,若点B 是弧CD的中点，tanA= 5，AB=1,则△BCD的面积为(） B D A. B. 5 C. D. 5.(2025陕西西安三模)如图，四边形ABCD内接于0，AB是⊙0的直径，∠ADC=116°，点E在O0上，则 ∠BEC的度数是() O A B E A.28° B.56° C.46° D.26 二、填空题 6.(2025江苏苏州中考真题)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢， 其示意图如图所示.该摩天轮高128m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68m,摩天轮匀 速旋转一圈用时30min.某轿厢从点A出发，10min后到达点B,此过程中，该轿厢所经过的路径（即aB)长度为 m.(结果保留) M 7.(24-25九年级下江苏南通期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=32°，D为斜边AB上一点，作 △BCD的外接圆，交边AC于点E,若BC=CE,则∠ACD的度数为· A C 8.(24-25九年级上新疆克拉玛依期末)如图，AB是半圆0的直径，∠BAC=50°，则∠ADC的度数为 C D B 9.(2024河南驻马店三模)如图，在扇形A0B中，∠A0B=90°，B0=2,C为BO的中点，D为AB上一点，且 2BD=AD,连接AC,DC,在OC绕点O旋转的过程中，当CD取最小值时，△AC0的周长为一· B D C 0 10.(2025九年级上江苏盐城月考)如图，以G(0,1为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C, D两点，点E为OG上一动点，CF⊥AE于F,当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 VA E A D 11.(2025江苏苏州二模)如图，过⊙0外一点P引⊙0的两条切线PA、PB,切点分别是A、B,OP交⊙0于点 C,点D是优弧ADB上不与点A、点B重合的一个动点，连接AD、CD,若∠APB=76°，则∠ADC的度数为_°. D 三、解答题 12.(2024江苏苏州一模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E,过点D的切线DF交CB的延长线于 点F,且DF∥AB. C (1)求证：CD平分∠ACB; (2)若AB=5,BC=3,求CE的长； (3)若DE·DC=8,求O0的半径长. 13.(2025江苏苏州三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，连接CD,以CD为直径 作OO,分别交AC,BC于E,F两点，连接BE交CD于点G,交OO于点H,连接DH,∠DHE=∠CBD. E B (1)求证：AB是⊙0的切线； (2)若CE=√2CF,AE=1,求00的半径. 14.(2024九年级下·江苏.专题练习)O0是ABC的外接圆，AB=AC,过点A作AE∥BC，,交射线BO于点E, 过点C作CH⊥BE于点H,交直线AE于点D. D B (I)求证：DE是⊙O的切线. 2已知BC-45,m∠D3求0E的长度 15.(2023年新九年级数学)如图，在ABC中，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的O0交AD于点E, 过点C作CF∥AB,交OO于点F.连接CE、EF,若AC是OO的切线. D E B (I)求证：∠BAC=∠CEF; (2)若AB=10,AC=6,CE=EF,求直径CD的长.