精品解析：广东惠州市2025-2026学年第一学期八年级数学期末试卷

2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测八年级数学试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国某公司生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅米，是世界上最薄的不锈钢．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法，科学记数法表示为 ，其中，为整数．对于小数，需将小数点向右移动5位得到 ，． 【详解】解：． 故选：B． 2. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 3. 若分式有意义，则x的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零求解即可． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ 分母， ∴的取值是， 故选：B． 4. 下列长度的三条线段能够成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，8 C. 4，5，9 D. 5，6，11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和必须大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； B. ∵，∴三条线段能组成三角形，符合题意； C. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； D. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； 故选：B 5. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】A. 根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，可知，由此即可判断； B. 根据积的乘方法则：先把积中的每一个乘数分别乘方,再把所得的幂相乘，可知，由此即可判断； C. 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可知，由此即可判断； D. 首先计算，再根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知，由此即可判断． 【详解】解：A. ，故错误； B. ，正确； C. ，正确； D. ，正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是整式乘除运算，解决此类问题需熟练掌握其运算法则． 6. 下列多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的方法，逐一验证每个选项的等式是否成立即可 【详解】解：A、因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，而选项A等式右边是多项式的和，不是乘积的形式，所以不是因式分解，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D 7. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 8. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 9. 如图，，，的垂直平分线交于点D，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，计算即可得解． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， 故选：． 10. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 若点是的中点，则 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，由三角形内角和定理得，再由角平分线的定义得，然后由三角形内角和定理即可判断A；当是的中线时，，进而可判断B；延长至G，使，连接，证明，得，再由等腰三角形的性质即可判断C；作的平分线交于点G，得，再证明，，得，进而判断D． 【详解】解：A、在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ②当是的中线时，， 而题干中没有给出是的中线，故B错误，符合题意； ③如图，延长至G，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故C正确，不符合题意； ④如图，作的平分线交于点G， 由①得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 约分：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了约分，掌握约分的定义是解题关键．直接将分子与分母约去公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，求出b和c的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，中，，．若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，由直角三角形的性质求出，由平行线的性质推出． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在直角三角形中，．若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3． 15. 如图，中，，则、满足的数量关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，结合，即可证出，根据全等三角形的性质可得出，再根据三角形内角和定理及平角等于，即可得出，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出及关于x轴对称的图形； （2）已知为轴上一点，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示和为所求： （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及利用三角形面积公式求点的坐标． （1）先确定各顶点的位置，并依次在坐标系中连接即可，再找出各顶点关于x轴的对称点，根据关于x轴对称的点的坐标特征可知，横坐标不变，纵坐标互为相反数，找到对称点后并依次连接即可得到； （2）分①当点位于轴正半轴和②当点位于轴负半轴两种情况，设点坐标为，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知， ①当点P位于x轴正半轴时， 设点P坐标为， ∴， ∴，即， 解得， 点坐标为； ②当点位于轴负半轴时， 设点坐标为， ∴， ∴，即， 解得， 点坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 18. 如图，、分别是的高线和角平分线，两线相交于点，．求和的度数． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余以及角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； ∵平分， ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】（1）购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 （2）最多能购买16个型号的纪念品． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意“用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据“所花费用不超过6300元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买16个型号的纪念品． 20. 如图，、是的垂直平分线上两点，连接、、、，点为上一点，交于点．已知：，． （1）证明：是等边三角形； （2）试判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分，且点、在上， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2） 解：，理由如下： ∵，垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． （1）证明是等边三角形，可得，再由平行线的性质可得，则结论得证； （2）由题意可证，再由平行线的性质得，从而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 实践探究：尺规作图作角平分线 学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 【问题呈现】作的平分线 【实验操作】甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅利用角尺作出了角平分线．在的边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，即，可得为的平分线． 【交流讨论】 大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等的性质，其判定三角形全等的依据是①________，对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定判定三角形全等的依据是②_______；对丙同学的作法陷入了沉思． 【问题解决】 （1）请将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的验证．已知，求证：平分． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）在甲同学和工人师傅的作图中可利用证明得到；在乙同学的测量中可利用证明，得到； （2）可证明，再由平行线的性质和等边对等角推出，即可证明平分． 【小问1详解】 解：在甲同学和工人师傅的作图中，， 又∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线； 如图所示，在乙同学的测量中， 又∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线； 故答案为：；； 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为60平方米． 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案； （4）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 23. 项目式学习——数学建模 【问题引出】 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，． 求证：”． 【模型探究】 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了：“截长法”，如图2，在上截取，连接，只要证即可． （1）请你根据李老师的简要分析完成【问题引出】中的证明． 【模型应用】 （2）如图3，和是等腰三角形，且．求的度数． （3）在（2）的条件下，以为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点、，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】（1）如图2，在上截取，连接， 平分， ． 又， ， ， ， ， ，即； （2）； （3），理由如下： 由（2）中同理可得：， ， 如图，在上取点，使，连接， 由， 可得：， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）在上截取，连接，结合角平分线的定义证明，得到，根据三角形外角性质以及等角对等边求出，进而得出结论； （2）根据等边对等角，三角形内角和求出的度数，再进一步求出的度数； （3）在上取点，使，连接，求得，证明，得到，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）， ， ， ， ， （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测八年级数学试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国某公司生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅米，是世界上最薄的不锈钢．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则x的取值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能够成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，8 C. 4，5，9 D. 5，6，11 5. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 8. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，的垂直平分线交于点D，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 若点是的中点，则 D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 约分：________． 12. 若，则的值为_______． 13. 如图，中，，．若，则的度数为______． 14. 如图，在直角三角形中，．若，则______． 15. 如图，中，，则、满足的数量关系是_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值： ，其中 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出及关于x轴对称的图形； （2）已知为轴上一点，且的面积为，求点的坐标． 18. 如图，、分别是的高线和角平分线，两线相交于点，．求和的度数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 20. 如图，、是的垂直平分线上两点，连接、、、，点为上一点，交于点．已知：，． （1）证明：是等边三角形； （2）试判断和的数量关系，并说明理由． 21. 实践探究：尺规作图作角平分线 学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 【问题呈现】作的平分线 【实验操作】甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅利用角尺作出了角平分线．在的边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，即，可得为的平分线． 【交流讨论】 大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等的性质，其判定三角形全等的依据是①________，对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定判定三角形全等的依据是②_______；对丙同学的作法陷入了沉思． 【问题解决】 （1）请将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的验证．已知，求证：平分． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 23. 项目式学习——数学建模 【问题引出】 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，． 求证：”． 【模型探究】 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了：“截长法”，如图2，在上截取，连接，只要证即可． （1）请你根据李老师的简要分析完成【问题引出】中的证明． 【模型应用】 （2）如图3，和是等腰三角形，且．求的度数． （3）在（2）的条件下，以为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点、，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $