精品解析：河南商水县平店乡第二中学等校2025-2026学年九年级上学期 期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末考试卷 九年级数学(新人教版) 满分：120分 考试时间：100分钟 一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在题后括号内) 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在 中， 若，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 6. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 8. 如图，、是的切线，、为切点，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 9. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. a＞0 B. 当x＞1时，y随x的增大而增大 C. c＜0 D. 3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 10. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上) 11. 计算∶___________ 12. 若点 在反比例函数 的图象上，则与的大小关系是 ___________ (填“>”“<”或“=”) 13. 把抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_____． 14. 若一元二次方程的两根为则___________ 15. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则__________． 16. 按图形规律填空：第1个图形有3个点，第2个图形有6个点，第3个图形有10个点，第4个图形有15个点，…，按此规律，第n个图形的点数为____________ 三、解答题 (本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算或解方程 （1）计算∶ （2）解方程∶ (用配方法) 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，. （1）画出以点为位似中心的位似图形，使得与的相似比为，且点落在第三象限； （2）直接写出各点的坐标； （3）直接写出的面积. 19. 如图， 在 中， 点D在上，且平分 过点D作 于点E，若，，求的长度． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 21. 如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线，交的延长线于点D，若求的半径． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出时x的取值范围． 23. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，连． （1）求证： （2）若求的长度． 24. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点P是该抛物线的顶点，求的面积； （3）若点Q在该抛物线上，且的面积与的面积相等，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末考试卷 九年级数学(新人教版) 满分：120分 考试时间：100分钟 一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在题后括号内) 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义：形如的函数是二次函数，逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、，最高次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意； B、，最高次数不是2，不是二次函数，故该选项不符合题意； C、，符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、，最高次数为3，不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数解析式，将点坐标代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点坐标的求解，熟练掌握抛物线顶点式的性质是解题关键．利用抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 4. 如图，在 中， 若，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．因为所以，已知AD=2，DB=3，代入即可求． 【详解】解：∵ ∴， ∵AD=2，DB=3， ∴． 故选：A． 5. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断位置：若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离，且， ∴， ∴点在内， 故选：A． 6. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式，摸到红球的概率等于红球数量与总球数的比值，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，袋中总球数为（个）， ∵红球有3个， ∴摸到红球的概率为， 故选：C． 7. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围． 【详解】∵方程有两个不相同的实数根， ∴ 解得：m＜1． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 8. 如图，、是的切线，、为切点，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质．熟悉切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；四边形的内角和为，是解题的关键．利用切线的性质定理得到四边形其中两个内角的度数为，继而根据四边形的内角和为计算出的度数． 【详解】解：∵、是的切线， ∴，， ∴． 故选：． 9. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. a＞0 B. 当x＞1时，y随x的增大而增大 C. c＜0 D. 3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 【答案】D 【解析】 【详解】由开口方向可知a，故A选项错误，不符合题意； 观察图像可知当x＞1时y随x的增大而减小，故B选项错误，不符合题意； 观察图像可知，故C选项错误，不符合题意； 抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）故3是方程ax2＋bx＋c=0的一个根，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ， ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上) 11. 计算∶___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据特殊角的三角函数值直接计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 12. 若点 在反比例函数 的图象上，则与的大小关系是 ___________ (填“>”“<”或“=”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的大小比较．将点A和点B的横坐标代入反比例函数解析式，分别求出和的值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 把抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_____． 【答案】y＝2（x+3）2﹣2 【解析】 【分析】根据二次函数图象与几何变换的方法即可求解． 【详解】解：y=2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 y=2（x+3）2-2； 故答案是：y=2（x+3）2-2． 【点睛】本题考查函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 14. 若一元二次方程的两根为则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴， 故答案为：5． 15. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角得到，求出，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 按图形规律填空：第1个图形有3个点，第2个图形有6个点，第3个图形有10个点，第4个图形有15个点，…，按此规律，第n个图形的点数为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形中的数字规律，根据题意得到规律是解决问题的关键． 通过计算前几个图中点的个数，总结规律，即可作答． 【详解】解：根据题意：第1个图形中有3个点，可表示为； 第2个图形中有6个点，可表示为； 第3个图形中有10个点，可表示为； …… 依此类推：第个图形中有个点， 故答案为：． 三、解答题 (本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算或解方程 （1）计算∶ （2）解方程∶ (用配方法) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算算术平方根，三角函数，化简绝对值，再进行加减运算； （2）用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：原式= ； 【小问2详解】 解∶ ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，. （1）画出以点为位似中心的位似图形，使得与的相似比为，且点落在第三象限； （2）直接写出各点的坐标； （3）直接写出的面积. 【答案】（1） 即为所求， （2），， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，位似变换，三角形的面积，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）利用位似变换的性质画出图形即可； （2）根据图形写出坐标即可； （3）根据分割法求出三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与的相似比为，且点落在第三象限， 故，，； 【小问3详解】 解：． 19. 如图， 在 中， 点D在上，且平分 过点D作 于点E，若，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，先结合角平分线的性质得，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵平分 ， ， ∵， 在中，， 即 ∴， 解得（负值已舍去） 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 21. 如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线，交的延长线于点D，若求的半径． 【答案】的半径为 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，因为是的切线，所以，因为，所以，设半径为r，则，在中，根据勾股定理得，据此列方程求解即可． 【详解】解∶连接， ∵是的切线， ， ， ， 设半径为r，则， 在中， ， 即 解得(负值舍去)， 答：的半径为． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式：；一次函数解析式： （2）2.5 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合题，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法先求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，最后再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可． （2）令一次函数与y轴交点为C，求出点C的坐标，然后根据求解即可． （3）结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像交于， ∴， ∴反比例函数解析式：， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵一次函数过、： 则 解得 ∴一次函数解析式：． 【小问2详解】 解：令一次函数与y轴交点为C， 令，则， 故 ∴ 【小问3详解】 解：由图像可知：当或时，． 23. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，连． （1）求证： （2）若求的长度． 【答案】（1） 证明∶， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）因为，根据等边对等角可知，，则可得，则可证 （2）因为AB是直径，则，因为，可知，由，可证明D是中点，则，可证明，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AB是直径， ， ∵， 则 ， ，O是中点， ∴， ∴D是中点 ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，直径所对圆周角为直角，圆内接四边形对角互补，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 24. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点P是该抛物线的顶点，求的面积； （3）若点Q在该抛物线上，且的面积与的面积相等，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出点P的坐标，再根据列式求解即可； （3）分点Q在直线上方和点Q在直线下方两种情况，画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵二次函数解析式为， ∴点P的坐标为； ∵， ∴ ； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，当点Q在直线上方时， ∵的面积与的面积相等， ∴， 可设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点Q在直线下方时，取点，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q为直线与二次函数的交点， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $