精品解析：贵州省安顺市2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

全市各普通高中2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 3.请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的意义求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，可得函数的定义域. 【详解】由，可得，所以函数的定义域为. 故选：D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系式，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由题意，，所以， 则. 故选：C. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得，利用充分条件与必要条件的定义可得结论. 【详解】由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除AB选项，利用赋值法可排除D，进而可得结论. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于轴对称，故排除AB选项； 又，故排除D选项. 所以函数的大致图象是C. 故选：C. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数对数函数的性质即可比较大小. 【详解】因为，，， 所以，所以. 故选：A. 7. 函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组即可求解. 【详解】因为在上单调递减， 所以，解得. 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 8. 如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数，的值域是 D. 函数（，且）的图象恒过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可判断A；求得两函数的定义域可判断B；求得函数的值域可判断C；利用指数函数的性质判断选项D． 【详解】对于A： “，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，的定义域为.定义域为， 所以与不是同一个函数，故B错误； 对于C，因为的对称轴为，又，又图像开口向上， 所以当时，，当时，， 所以函数，的值域是，故C错误； 对于D：令，则， 所以函数（，且）的图象恒过定点，故D正确． 故选：AD． 10. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质以及基本不等式的应用： 选项A，根据分析的正负性对不等式两边同时除以时不等号方向的影响； 选项B，通过作差法比较与的大小； 选项C，根据完全平方公式的非负性来判断； 选项D，可通过举反例来判断即可. 【详解】选项A：当时，若，不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得； 当时，若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得. A错误 选项B：因为 因为 且 ，所以 ，，，， 则 ，即 ，所以 ，选项B正确. 选项C：因为 （任何实数的平方都大于等于0） 整理得 ，则 ，选项C正确. 选项D：通过举反例来判断，当 ，，， 时，，， 所以，，则 ，选项D错误. 故选：BC. 11. 若定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. 点是函数图象的一个对称中心 D. 为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件及奇偶函数的性质，结合对称性的意义逐项判断得解. 【详解】对于A，由函数是定义在上的奇函数，得，令，得，A错误； 对于B，由，且为奇函数，得，B正确； 对于C，由，且为奇函数，得，由，得， 因此，是函数图象的一个对称中心，C正确； 对于D，由，得，函数是偶函数， 因此函数为偶函数，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题有两空，第一空2分，第二空3分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用分段函数计算即可求值. 【详解】. 故答案为：2. 13. 鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有独特的性质，在机械加工业上有广泛的应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以等边三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图，这是一个鲁洛克斯三角形，其中的长度为，则中间等边三角形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出方程求出正三角形边长，利用三角形面积公式得解. 【详解】设中间正三角形的边长为， 则有，解得， 所以. 故答案为：. 14. 定义为a，b中较大者，则函数（）的最小值为__________；若，，则的最小值为__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】令，利用函数单调性，可求得的最小值；利用分类讨论，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】令，显然在上单调递增， 又， 当时，，所以，， 当时，，所以，， 所以函数（）的最小值为； 若时，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 若时，即时，， 若时，即，所以， 所以， 综上所述：则的最小值为. 故答案为：①1；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤. 15. 设集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用集合的并集的定义即可求解. （2）利用集合的包含关系即可求解. 【小问1详解】 ，当时，， 故. 【小问2详解】 若，则. 若，则，解得； 若，则，解得. 综上所述，的取值范围为或. 16. （1）化简；（） （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂与对数的运算即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1） . （2） . 又，所以，，， 代入上式得. 17. 已知函数（，）的部分图象如图所示. （1）求的解析式，并求的单调递增区间； （2）求在上的最大值，并写出取得最大值时x的值. 【答案】（1）， （2）最大值为，x的值为. 【解析】 【分析】（1）利用函数图像可得周期，进而求得，利用图像过点，可求得，进而可求得的解析式，利用整体法可求得的单调递增区间； （2）利用（1）可得函数的单调性，进而可求最最大值以及取得最大值时x的值. 【小问1详解】 由图可得，则. 因为，所以，则. 将点代入解析式可得， 则，，解得，. 因为，所以，则. 因为的单调递增区间为， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知当时，单调递减，当时，单调递增. 又，，所以当时，取得最大值. 综上所述，的最大值为，此时x的值为. 18. 贵州省某高校为改善学生开展体育活动的环境，计划建造体育馆.在建造体育馆时需要铺设隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元，建好隔热层后，每年的能源消耗费用p（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）的函数关系是，20年的总维修费用为15万元.记为20年的总费用（总费用隔热层的建造成本使用20年的能源消耗费用使用20年的总维修费用）. （1）当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小？最小值是多少？ （2）若函数，请用单调性的定义证明在上单调递增. 【答案】（1）当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小值为33万元. （2） 由，得，. 任取，，且， 由，， 得（※）. 因为，，且，所以，， 代入（※）式得，即， 即函数在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，从而得到，变形后由基本不等式求出最值，得到答案. （2）由题意可得，利用函数单调性证明即可. 【小问1详解】 由题意得，，即，. 又，所以根据基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 则当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小值为33万元. 【小问2详解】 略 19. 已知函数的定义域是，，当时，，且对任意的实数x，y，都满足，. （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性，并给出证明； （3）若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1），=1 （2） 为奇函数. 证明：因为， 所以，即，且. 任取，，则， 所以为定义在上的奇函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）应用赋值法计算求解函数值； （2）应用奇函数定义证明即可； （3）应用赋值法结合单调性得出在上恒成立，方法一：分和两种情况计算求解参数；方法二：参数分离得出，最后应用函数单调性计算求解. 【小问1详解】 取，则，解得. 取，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，则当时，. 取，，其中， 因为，所以. 因为，且当时，，所以， 即，所以， 故在上单调递减. 因为为定义在上的奇函数，所以， 所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立.易知. 方法一：令，. ①当，即时，在上单调递减， 则，解得， 结合该情况的条件，可得. ②当且，即时， 在上单调递增，在上单调递减，则， 即，解得， 所以. 综上所述，实数的取值范围为. 方法二：知. 因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全市各普通高中2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 3.请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数，的值域是 D. 函数（，且）的图象恒过定点 10. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. D. 若，，则 11. 若定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. 点是函数图象的一个对称中心 D. 为偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题有两空，第一空2分，第二空3分. 12. 已知函数，则__________. 13. 鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有独特的性质，在机械加工业上有广泛的应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以等边三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图，这是一个鲁洛克斯三角形，其中的长度为，则中间等边三角形的面积为______. 14. 定义为a，b中较大者，则函数（）的最小值为__________；若，，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤. 15. 设集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. （1）化简；（） （2）已知，求的值. 17. 已知函数（，）的部分图象如图所示. （1）求的解析式，并求的单调递增区间； （2）求在上的最大值，并写出取得最大值时x的值. 18. 贵州省某高校为改善学生开展体育活动的环境，计划建造体育馆.在建造体育馆时需要铺设隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元，建好隔热层后，每年的能源消耗费用p（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）的函数关系是，20年的总维修费用为15万元.记为20年的总费用（总费用隔热层的建造成本使用20年的能源消耗费用使用20年的总维修费用）. （1）当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小？最小值是多少？ （2）若函数，请用单调性的定义证明在上单调递增. 19. 已知函数的定义域是，，当时，，且对任意的实数x，y，都满足，. （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性，并给出证明； （3）若对任意，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $