专题10分式寒假预习讲义（4）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题10分式寒假预习讲义（4） · 快速掌握分式方程的定义，一眼识别分式方程，不再和整式方程傻傻分不清。 · 熟练掌握 “转化为一元一次方程” 的核心解法，轻松解出各种常规分式方程。 · 学会根据分式方程解的情况求参数值，遇到无解、增根等难题也能从容应对。 · 掌握列分式方程的技巧，能快速找到实际问题中的等量关系，轻松建立方程模型。 · 搞定行程、工程、经济、和差倍分等高频应用题，做到 “看到题型就有思路”。 · 灵活应对各类实际问题，让分式方程成为你解决生活难题的秘密武器。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的定义 2,分式方程的解法 3,分式方程的增根(重难点) 4.分式方程的实际应用(中考常考) 5.常见易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.由分式方程解的情况求值 4.分式方程无解问题 5.分式方程的列写方法 6.分式方程的行程问题应用 7.分式方程的工程问题应用 8.分式方程的经济问题应用 9.分式方程的和差倍分问题 10.分式方程的其他实际问题 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.分式方程的定义】 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 ✅核心判定依据：分母有未知数（仅含分母但分母为常数的是整式方程，不是分式方程） ❶ 举例：=3、=5 是分式方程；=3、x2−2x=0 是整式方程。 ❷ 注意：方程中只要有一个分母含未知数，即为分式方程。 【知识点02.分式方程的解法】 基本思路 去分母，将分式方程转化为整式方程（利用等式性质，把陌生的分式方程转化为已学的一元一次方程 / 整式方程求解）。 完整解题步骤（5 步，缺一不可） 1.找：找出分式方程中各分母的最简公分母（先对分母因式分解，再取各因式最高次幂的积）； 2.乘：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程（关键：不要漏乘不含分母的项）； 3.解：解转化后的整式方程（多为一元一次方程，按一元一次方程解法求解）； 4.验：检验根的有效性（分式方程必做步骤，不能省略）； 5.写：写出分式方程的解（若无解，需注明 “此分式方程无解”）。 检验的两种方法（推荐方法 1，更简便） 1.最简公分母检验法（常用）：将整式方程的解代入最简公分母，若结果≠0，是原分式方程的解；若结果 = 0，是增根，原分式方程无解； 2.原方程检验法：将解代入原分式方程，左右两边相等则为解，不相等则为增根。 【知识点03.分式方程的增根】 1. 增根的定义 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解，使原分式方程的分母为 0（分式无意义），这样的解叫做分式方程的增根。 ✅ 注：增根是整式方程的解，但不是原分式方程的解，若分式方程的解为增根，则原分式方程无解。 2. 增根产生的原因 方程两边同乘了一个值为 0 的整式（最简公分母 = 0），破坏了等式的同解性，是解分式方程的必然潜在问题。 3. 增根的常考应用：求参数的值 已知分式方程有增根 / 无解，求方程中参数的取值，解题步骤： 1.去分母，将分式方程化为整式方程（含参数）； 2.令最简公分母 = 0，求出分式方程的所有可能增根； 3.将增根代入整式方程，解出参数的值； 4.验证：若分式方程 “无解”，还需考虑整式方程本身无解的情况（如整式方程为 0x=a(a0)） 【知识点04.分式方程的实际应用】 1.基本解题步骤（审→设→列→解→答，5 步） 与一元一次方程应用一致，核心区别：多双重检验， 步骤细节： 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，确定等量关系（关键）； 2.设：设未知数（直接设 / 间接设），必须标注单位； 3.列：根据等量关系，列出分式方程（注意式子的量纲统一）； 4.解：解分式方程，先检验是否为增根，再检验解是否符合实际意义（双重检验）； 5.答：写出答案，标注单位，答案需贴合实际（如人数、数量为正整数）。 2.常见应用类型及核心公式t 均为八年级下册重点考查类型，核心公式需熟记： (1)行程问题：路程速度时间（v=​、t=​） 常见场景：顺水 / 逆水行船（顺水速度 = 静水速度 + 水速，逆水速度 = 静水速度 - 水速）、相遇 / 追及； (2)工程问题：工作总量工作效率工作时间（常把工作总量设为1） 常见场景：单独工作 / 合作工作（合作效率 = 各效率之和）； (3)销售问题：总价=单价数量、利润率100%； (4)配套问题：根据配套比例找等量关系（如 1 个甲配 2 个乙，则甲的数量 ×2 = 乙的数量）； (5)行船 / 行车问题：往返路程相等是核心等量关系。 【知识点05.常见易错点总结】 1.去分母时漏乘不含分母的项（如方程 +1=​，同乘 2x 时易漏乘 1×2x）； 2.解完分式方程忘记检验增根（必考易错点，扣分重）； 3.实际应用中，仅检验增根，忽略检验解的实际意义（如人数为负数、数量为小数）； 4.找最简公分母时，未对分母因式分解，导致漏乘因式（如和，最简公分母是x2−1，不是x−1）； 5.实际应用中，设未知数、写答案时漏标单位； 6.处理分母符号时出错（如=−，变号后再找公分母） 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【跟踪专练2】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【跟踪专练3】阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 【题型2.分式方程的解法】 【典例】方程的解是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【跟踪专练1】已知是方程的解，则的值是 ． 【跟踪专练2】解分式方程：，去分母得（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 【题型3.由分式方程解的情况求值】 【典例】已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 【跟踪专练1】关于x的分式方程有增根，则n的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【跟踪专练2】关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【跟踪专练3】如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】当 时，方程无解． 【跟踪专练2】若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练3】若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【题型5.分式方程的列写方法】 【典例】的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的蔗糖溶液加入蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，若全程运行时间缩短9分钟(不考虑停靠站点)，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，则可列方程为 ． 【跟踪专练2】新情境  今年的5月12日某校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次多15人，结果1600名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】科技创新加速中国高铁技术的发展．某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 你们是用天完成了米长的高架桥铺设任务吗？ 是的，我们铺设米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设的长度是原来的倍．最后按期完成了任务． 若设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则可列方程为 ． 【题型6.分式方程的行程问题应用】 【典例】甲车行驶与乙车行驶所用的时间相同，已知甲车比乙车每小时多行驶．设甲车的速度为，依题意，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某中学组织八年级学生进行校外徒步素质训练，班和班同时从学校出发，班学生的平均速度是班学生平均速度的倍，结果班学生比班学生早小时完成训练．班学生徒步的平均速度是 ． 【跟踪专练2】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】年广东省中考体育考试中女生米项目的满分标准为分秒．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完米比这名男生跑完米所用时间少秒，求该女生本次测试所用的时间．按照中考考核标准，判断这名女生本次测试是否能拿到满分． 【题型7.分式方程的工程问题应用】 【典例】为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（   ） A．200 B．300 C．400 D．500 【跟踪专练1】“为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍……，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗．设甲每小时种植x棵花苗，则可得方程 根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应为 ． 【跟踪专练2】某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C．每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 【跟踪专练3】某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等．甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 【题型8.分式方程的经济问题应用】 【典例】年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格 元/千克． 【跟踪专练1】如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【跟踪专练2】某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克 元． 【跟踪专练3】某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】某商店计划今年的春节购进两种纪念品若干件，若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．设购买一件种纪念品需x元，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数，若设第二次分钱的人数为，则可列方程为 ． 【跟踪专练2】学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论：①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【跟踪专练3】某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（   ） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【跟踪专练1】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为 ． 【跟踪专练2】电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻、并联时，总电阻R满足，若，，则的值为（   ） A．60 B．50 C．40 D．30 【跟踪专练3】月日为世界读书日，习近平总书记曾说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校八年级决定购买获得茅盾文学奖的、两种书．已知每本种书比每本种书多元，若购买相同数量的、两种书分别需花费元和元． (1)求、两种书的单价； (2)如果学校决定再次购买、两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买种书多少本？ 1．判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 2．解方程：． 3．若分式方程有增根，求m的值． 4．若关于x的方程无解，试求m的值． 5．小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 6．某旅行社组织游客从甲地到乙地的航天科技馆参观，已知甲地到乙地的路程为300千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的倍，求B型车的平均速度． 7．清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的质量是新手采茶工人每天采茶质量的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比每个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求每个熟练采茶工人和每个新手采茶工人一天分别能采摘多少斤鲜叶； (2)若某茶厂计划一天采摘鲜叶至少斤，并安排熟练采茶工人和新手采茶工人共名，求最少安排熟练采茶工人多少名？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10分式寒假预习讲义（4） · 快速掌握分式方程的定义，一眼识别分式方程，不再和整式方程傻傻分不清。 · 熟练掌握 “转化为一元一次方程” 的核心解法，轻松解出各种常规分式方程。 · 学会根据分式方程解的情况求参数值，遇到无解、增根等难题也能从容应对。 · 掌握列分式方程的技巧，能快速找到实际问题中的等量关系，轻松建立方程模型。 · 搞定行程、工程、经济、和差倍分等高频应用题，做到 “看到题型就有思路”。 · 灵活应对各类实际问题，让分式方程成为你解决生活难题的秘密武器。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的定义 2,分式方程的解法 3,分式方程的增根(重难点) 4.分式方程的实际应用(中考常考) 5.常见易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.由分式方程解的情况求值 4.分式方程无解问题 5.分式方程的列写方法 6.分式方程的行程问题应用 7.分式方程的工程问题应用 8.分式方程的经济问题应用 9.分式方程的和差倍分问题 10.分式方程的其他实际问题 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.分式方程的定义】 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 ✅核心判定依据：分母有未知数（仅含分母但分母为常数的是整式方程，不是分式方程） ❶ 举例：=3、=5 是分式方程；=3、x2−2x=0 是整式方程。 ❷ 注意：方程中只要有一个分母含未知数，即为分式方程。 【知识点02.分式方程的解法】 基本思路 去分母，将分式方程转化为整式方程（利用等式性质，把陌生的分式方程转化为已学的一元一次方程 / 整式方程求解）。 完整解题步骤（5 步，缺一不可） 1.找：找出分式方程中各分母的最简公分母（先对分母因式分解，再取各因式最高次幂的积）； 2.乘：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程（关键：不要漏乘不含分母的项）； 3.解：解转化后的整式方程（多为一元一次方程，按一元一次方程解法求解）； 4.验：检验根的有效性（分式方程必做步骤，不能省略）； 5.写：写出分式方程的解（若无解，需注明 “此分式方程无解”）。 检验的两种方法（推荐方法 1，更简便） 1.最简公分母检验法（常用）：将整式方程的解代入最简公分母，若结果≠0，是原分式方程的解；若结果 = 0，是增根，原分式方程无解； 2.原方程检验法：将解代入原分式方程，左右两边相等则为解，不相等则为增根。 【知识点03.分式方程的增根】 1. 增根的定义 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解，使原分式方程的分母为 0（分式无意义），这样的解叫做分式方程的增根。 ✅ 注：增根是整式方程的解，但不是原分式方程的解，若分式方程的解为增根，则原分式方程无解。 2. 增根产生的原因 方程两边同乘了一个值为 0 的整式（最简公分母 = 0），破坏了等式的同解性，是解分式方程的必然潜在问题。 3. 增根的常考应用：求参数的值 已知分式方程有增根 / 无解，求方程中参数的取值，解题步骤： 1.去分母，将分式方程化为整式方程（含参数）； 2.令最简公分母 = 0，求出分式方程的所有可能增根； 3.将增根代入整式方程，解出参数的值； 4.验证：若分式方程 “无解”，还需考虑整式方程本身无解的情况（如整式方程为 0x=a(a0)） 【知识点04.分式方程的实际应用】 1.基本解题步骤（审→设→列→解→答，5 步） 与一元一次方程应用一致，核心区别：多双重检验， 步骤细节： 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，确定等量关系（关键）； 2.设：设未知数（直接设 / 间接设），必须标注单位； 3.列：根据等量关系，列出分式方程（注意式子的量纲统一）； 4.解：解分式方程，先检验是否为增根，再检验解是否符合实际意义（双重检验）； 5.答：写出答案，标注单位，答案需贴合实际（如人数、数量为正整数）。 2.常见应用类型及核心公式t 均为八年级下册重点考查类型，核心公式需熟记： (1)行程问题：路程速度时间（v=​、t=​） 常见场景：顺水 / 逆水行船（顺水速度 = 静水速度 + 水速，逆水速度 = 静水速度 - 水速）、相遇 / 追及； (2)工程问题：工作总量工作效率工作时间（常把工作总量设为1） 常见场景：单独工作 / 合作工作（合作效率 = 各效率之和）； (3)销售问题：总价=单价数量、利润率100%； (4)配套问题：根据配套比例找等量关系（如 1 个甲配 2 个乙，则甲的数量 ×2 = 乙的数量）； (5)行船 / 行车问题：往返路程相等是核心等量关系。 【知识点05.常见易错点总结】 1.去分母时漏乘不含分母的项（如方程 +1=​，同乘 2x 时易漏乘 1×2x）； 2.解完分式方程忘记检验增根（必考易错点，扣分重）； 3.实际应用中，仅检验增根，忽略检验解的实际意义（如人数为负数、数量为小数）； 4.找最简公分母时，未对分母因式分解，导致漏乘因式（如和，最简公分母是x2−1，不是x−1）； 5.实际应用中，设未知数、写答案时漏标单位； 6.处理分母符号时出错（如=−，变号后再找公分母） 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题关键是熟练掌握分式方程的定义． 由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 【跟踪专练1】有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 【跟踪专练2】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 【跟踪专练3】阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案． 【详解】解：方程为：，解为， 故填：，． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 【题型2.分式方程的解法】 【典例】方程的解是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出后代入分母检验即可求解． 【详解】解： 即 解得 检验：将代入原方程的分母，，，故符合题意； 故选： D． 【跟踪专练1】已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 【跟踪专练2】解分式方程：，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程． 首先观察分母和互为相反数，即，从而将方程简化后去分母． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为：， 去分母得， 即． 故选：A． 【跟踪专练3】若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查解一元一次方程组、解分式方程，理解一元一次不等式组的解和分式方程的解是解答的关键．先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个奇数解， ∴这两个奇数解为，， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负整数，∴且为整数，解得且为奇数， ∴，即且a为整数， ∴或3或5， 则， 故答案为：9． 【题型3.由分式方程解的情况求值】 【典例】已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法得出，因为分式方程的解是正整数，而，得出，进而可得出答案． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的增根是， 所以， 即， 因为分式方程的解是正整数，而， 则x的最小值为2， 所以， 解得， 故答案为：4． 【跟踪专练1】关于x的分式方程有增根，则n的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的增根，掌握增根的概念是解题的关键． 将原方程去分母得，化简得，把增根代入解得的值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 解得， ∴， 解得． 故选B． 【跟踪专练2】关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程、分式有意义的条件，正确求解分式方程是解题关键． 先解分式方程得到的表达式，再根据解为负数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：解方程，两边乘（注意），得， 即，解得， 由解为负数，得，即，解得， 又分母 ，即，代入，得，解得． 故答案为：且． 【跟踪专练3】如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求解分式方程，得出，再求解一元一次不等式组，结合题意可得，或，分别代入求解计算即可． 【详解】解：， 去分母：， 解得：，为正整数，且， 解不等式， 可得：， 解不等式：， 可得：， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， 又∵，为正整数，且， ∴或， 若，则， 得， 若，则， 得， ∴所有满足条件的整数的和为：， 故选：D． 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解的两种情况，整式方程本身无解，分式方程产生增根是关键．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当时分母为0，方程无解，即． 故选：B． 【跟踪专练1】当 时，方程无解． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的无解问题．先按照解分式方程的步骤得到，再把增根代入即可求出答案． 【详解】解析： 对 去分母可得：， 整理可得：， ∵当时，此分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 【跟踪专练2】若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 原方程去分母得，整理得，然后根据题意分类讨论即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得：， 当，即时， 无解，则原分式方程无解，符合题意， 当时， 若原方程无解，那么它有增根， 把代入整式方程， 得：， 解得：， 综上，或， 故选：D． 【跟踪专练3】若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程得到，分式方程无解有两种情况，当和当时，分式方程有增根，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴当，即时，原方程无解； 当，即时， 则 ∵原方程无解， ∴原方程有增,即或 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 【题型5.分式方程的列写方法】 【典例】的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的蔗糖溶液加入蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的应用，由溶质的质量除以溶液的质量等于溶液浓度，建立方程即可． 【详解】解：由题意可得：； 故选：C 【跟踪专练1】昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，若全程运行时间缩短9分钟(不考虑停靠站点)，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，进行列方程，即可作答． 【详解】解：由题可知昌九高速铁路的设计速度为x千米/时， 则昌九城际铁路的设计速度为千米/时， 根据题意可列方程为 即 故答案为： 【跟踪专练2】新情境  今年的5月12日某校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次多15人，结果1600名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握“时间 总人数每秒撤离人数”的关系是解题的关键．根据时间 = 总人数÷每秒撤离人数，分别表示出第一次和第二次撤离所用时间，再结合第二次比第一次节省240秒的关系列方程． 【详解】解：由题意得 ，变形为． 故选：A． 【跟踪专练3】科技创新加速中国高铁技术的发展．某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 你们是用天完成了米长的高架桥铺设任务吗？ 是的，我们铺设米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设的长度是原来的倍．最后按期完成了任务． 若设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键． 设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥米，利用工作时间工作总量工作效率，即可得关于的分式方程． 【详解】解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥米， 根据题意得：， 故答案为：． 【题型6.分式方程的行程问题应用】 【典例】甲车行驶与乙车行驶所用的时间相同，已知甲车比乙车每小时多行驶．设甲车的速度为，依题意，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意得乙车的速度为，结合甲车行驶与乙车行驶所用的时间相同即可求解． 【详解】解：∵甲车的速度为， ∴乙车的速度为， ∵甲车行驶与乙车行驶所用的时间相同， ∴ 故选：A 【跟踪专练1】某中学组织八年级学生进行校外徒步素质训练，班和班同时从学校出发，班学生的平均速度是班学生平均速度的倍，结果班学生比班学生早小时完成训练．班学生徒步的平均速度是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，解题关键是熟练掌握分式方程的应用．根据题意列出分式方程后求解即可． 【详解】解：设班学生的平均速度是，则班学生的平均速度是， 则依题意得：， 解得：， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意， 班学生的平均速度是， 故答案为：． 【跟踪专练2】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是关键；根据题意，慢马送信时间为天，速度为里/天；快马送信时间为天，速度为里/天.快马速度是慢马速度的倍，由此列出方程. 【详解】设规定时间为x天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， ∵ 慢马速度为，快马速度为， 且快马速度是慢马速度的倍， ∴ ， 故选A 【跟踪专练3】年广东省中考体育考试中女生米项目的满分标准为分秒．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完米比这名男生跑完米所用时间少秒，求该女生本次测试所用的时间．按照中考考核标准，判断这名女生本次测试是否能拿到满分． 【答案】所用时间为分秒，能拿到满分 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该女生的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程求出速度，进而求出跑步时间，并与满分标准比较做出判断，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该女生的平均速度为米/秒， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵(秒)分秒分秒， ∴这名女生本次测试能拿到满分， 答：该女生本次测试所用时间为分秒，本次测试能拿到满分． 【题型7.分式方程的工程问题应用】 【典例】为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（   ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系，掌握分式方程的运用是关键． 设改造后每天生产的产品件数为件，则改造前每个生产的件数为件，由此列式求解即可． 【详解】解：某工厂将生产线改造后比改造前每天多生产100件， ∴设改造后每天生产的产品件数为件，则改造前每个生产的件数为件， ∵改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴是原分式方程的解， ∴改造后每天生产的产品件数为件， 故选：C ． 【跟踪专练1】“为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍……，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗．设甲每小时种植x棵花苗，则可得方程 根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应为 ． 【答案】乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据方程知，乙每小时种植棵花苗，则乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵，因此可补上缺失的条件． 【详解】解：由方程知，乙每小时种植棵花苗，则乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵， 故应补上条件：乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵； 故答案为：乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵． 【跟踪专练2】某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C．每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据分式方程的结构，原计划每天铺设的长度为实际每天铺设长度减去15米，原计划所用时间减去实际所用时间等于12天，说明实际提前12天完成． 【详解】解：设实际每天铺设管道米，则原计划每天铺设米． 原计划完成时间天，实际完成时间天． 方程表示原计划时间比实际多12天，即实际提前12天完成． 因此，实际每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成． 故选：A． 【跟踪专练3】某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等．甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 【答案】甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米，根据“甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 则乙工程队平均每天修复公路千米， 答：甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米． 【题型8.分式方程的经济问题应用】 【典例】年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格 元/千克． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握分式方程的应用，根据题意，设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克，列出方程：，解出，即可． 【详解】解：设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克， ∵花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴类糖果的价格为元/千克． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 【跟踪专练2】某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克 元． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次进货价为元，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次的进货价为元， 由题意得，， 解得：，     经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种草莓的进货价是每千克5元． 故答案为：5． 【跟踪专练3】某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 【答案】(1)羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元 (2)最多能培育黑松露36公斤 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意是解题关键； （1）设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元， 根据题意得，，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元． （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤． 由题意得，，解得， 又∵，∴， ∴的最大值为36 答：最多能培育黑松露36公斤． 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】某商店计划今年的春节购进两种纪念品若干件，若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．设购买一件种纪念品需x元，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设购买一件种纪念品需x元，则购买一种种纪念品需要元，可得购买种纪念品为件，购买种纪念品的数量为件，再由花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，列方程即可得到答案． 【详解】解：设购买一件种纪念品需x元，则购买一件种纪念品需要元， 故选： 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握利用分式方程解决购销问题是解题的关键． 【跟踪专练1】数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数，若设第二次分钱的人数为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论． 【详解】解：第二次每人所得， 第一次每人所得， ∵第二次每人所得与第一次相同， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握平均分，是解决问题的关键． 【跟踪专练2】学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论：①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程得出甲车载客量为 45人，乙车载客量为 30 人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解． 【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴甲车载客量为45人，乙车载客量为 30 人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量人；故①正确； 设租甲车辆，则租乙车辆， 根据题意得，， 解得：， 或5， ∴方案一：租甲车 4 辆，则租乙车 2 辆， 方案二：租甲车 5 辆，则租乙车 1 辆， ∴共有两种租车方案，故②正确； 依题意，甲车的费用为400元/辆，乙车的费用为元/辆， 方案一费用：元， 方案二费用：元， 租车最低费用是 2160 元，故③正确；④不正确； 故选：B． 【跟踪专练3】某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【答案】(1)种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元 (2)共有6种方案；87500元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出不等式的解集，用代数式表示出总费用，并分析费用何时最少． 【详解】（1）解：设种防疫用品成本元，种防疫用品成本元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， （元）； 答：种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元； （2）解：设种防疫用品生产箱，种防疫用品生产箱， 则有：， 解得：， ∵种防疫用品不超过25箱， ∴， ∵为正整数， ∴，，，，，，共6种方案； 设生产和两种防疫用品费用为元， 则有：，其中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时元； 答：共有6种方案，最省钱方案的费用为87500元． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（   ） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【答案】D 【分析】先把3斗换算成30升，设可以换得粝米x升，再根据50单位的粟：30单位的粝米＝30升粟：x升粝米，列分式方程，求出x即可． 【详解】根据题意得：3斗＝30升， 设可以换得的粝米为x升， 则 ，      解得， 经检验：是原分式方程的解， 答：可以换得的粝米为18升． 故选：D． 【点睛】本题考查的是列分式方程解古代数学问题，弄清题意列出正确的方程是解题的关键．注意解分式方程必须要检验． 【跟踪专练1】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的2倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 【跟踪专练2】电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻、并联时，总电阻R满足，若，，则的值为（   ） A．60 B．50 C．40 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的实际运用，根据总电阻R满足，且，，建立分式方程进行求解，即可解题． 【详解】解：总电阻R满足，且，， ， 解得， 经检验是该方程的解， 故选：A． 【跟踪专练3】月日为世界读书日，习近平总书记曾说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校八年级决定购买获得茅盾文学奖的、两种书．已知每本种书比每本种书多元，若购买相同数量的、两种书分别需花费元和元． (1)求、两种书的单价； (2)如果学校决定再次购买、两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买种书多少本？ 【答案】(1)、两种书的单价分别为元、元 (2)该校最多购买本种书 【分析】（1）设种书的单价为元，则种书的单价为元，由题意列出分式方程后求解即可； （2）设该校购买了种书本，则购买了种书本，由题意列出一元一次不等式后求解即可． 【详解】（1）解：设种书的单价为元，则种书的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， ， 答：、两种书的单价分别为元、元． （2）解：设该校购买了种书本，则购买了种书本， 则， 解得：， 必须为正整数， 该校最多购买本种书． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解题关键是正确理解题意． 1．判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，直接利用解分式方程的方法解题即可． 【详解】解：， ， 方程两边同时乘以得：， 解得：， 把代入得：， ∴是原方程的解． 3．若分式方程有增根，求m的值． 【答案】或6 【分析】此题主要考查了分式方程的增根．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘，得， 原方程有增根， 或， 当时，， 当时，． 或6． 4．若关于x的方程无解，试求m的值． 【答案】0或或1 【分析】本题考查了分式方程的特殊解，熟练掌握分式方程的运算法则是解题的关键． 去分母后，分类讨论根的情况求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理，得 ∵原方程无解， ∴分三种情况讨论： ①当时，此时方程的增根为，则，解得； ②当时，此时方程的增根为，则，解得； ③当时，解得； 综上所述，或或． 5．小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意可以列出相应的分式方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题． 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 6．某旅行社组织游客从甲地到乙地的航天科技馆参观，已知甲地到乙地的路程为300千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的倍，求B型车的平均速度． 【答案】B型车的平均速度是80千米小时 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是通过时间差建立方程，并注意单位的统一及解的合理性验证．设B型车的平均速度为x千米/时，则A型车的平均速度为千米/时．根据题意，A型车比B型车少用小时，可建立方程求解． 【详解】解：设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：B型车的平均速度是80千米/小时． 7．清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的质量是新手采茶工人每天采茶质量的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比每个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求每个熟练采茶工人和每个新手采茶工人一天分别能采摘多少斤鲜叶； (2)若某茶厂计划一天采摘鲜叶至少斤，并安排熟练采茶工人和新手采茶工人共名，求最少安排熟练采茶工人多少名？ 【答案】(1)每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶 (2)名 【分析】（）设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，根据题意列出方程即可求解； （）设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶； （2）解：设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名， 由题意得，， 解得， 答：最少安排名熟练采茶工人．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $