精品解析：江苏省南通市2026届高三学业质量检测（一模）数学试题

南通市2026届高三学业质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3.本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，进而求交集. 【详解】因为集合， 且集合，所以. 故选：C. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 4. “”是“成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用推出关系来判断即可. 【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立， 当成等比数列，可以推出，故必要性成立， 所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形分析椭圆的长半轴和短半轴与圆柱底面圆半径的关系，求出得到离心率. 【详解】设圆柱的底面半径为，则底面圆的直径为 ， 椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即， 长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得， 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选：D. 6. 某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高 （单位：cm）进行了测量，发现株高 近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据标准正态分布的对称性可得，运算求解结合选项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误. 故选：D. 7. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据选项构造函数，利用判断A、B、D，根据奇函数的定义判断C. 【详解】对于A：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，A错误； 对于B：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，B错误； 对于C：令，则定义域为， 因为 ，即所以是奇函数，C正确； 对于D：令，则定义域为， 因为，所以不是奇函数，D错误； 故选：C. 8. 已知四棱锥中，平面，，点到直线的距离为2．以 为球心，为半径的球面与侧面 的交线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间垂直关系证明线面垂直，再利用球被平面所截得到一个圆，然后利用已知条件计算交线长即可. 【详解】 在梯形中，因为， 所以，则，即 ， 因为平面平面所以 ， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 由点到直线的距离为2，可得， 再过点 作，垂足为 ，则， 又因为平面 ，所以 平面 ， 由，，可得， 则以 为球心，为半径的球面与侧面 的交线是以 为圆心的圆弧， 其半径为：， 又由，可得 则在直角 中，由点 到 的距离等于， 所以直线 与这个以 为圆心的圆弧相离， 即与侧面 的交线是以 为圆心的圆弧长为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数满足，则的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设，将用 表示后分情况讨论比较大小. 【详解】设，则， 当 时，指数函数单调递增，因为，所以， 即； 当时，指数函数单调递减，因为，所以， 即； 故选：BD. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是2 C. 的面积是12 D. 的外接圆半径是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合直角三角形边角关系求出，再逐项分析求解. 【详解】设，直线，由，得， 则，由直线的斜率是，得， 由双曲线定义得，由的周长是16， 得，即，则，而， 因此，解得，双曲线， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A错误； 对于B，双曲线的实轴长是2，B正确； 对于C，，的面积是，C正确； 对于D，，，因此的外接圆半径，D正确. 故选：BCD 11. 设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是“均增数列” B. 若等差数列是“均增数列”，则公差 C. 若是“均增数列”，则 D. 若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列求和，即可判断A和B，利用等比数列求和，结合二项式定理证明不等式，即可判断C和D． 【详解】由，可得， 则由，显然有，数列是“均增数列”，故A正确； 由等差数列是“均增数列”，且， 则由可得：，故B正确； 当，取时，， 要证明，只需要证明， 即证， 则只需要证明， 当为奇数，不等式显然成立， 当为偶数，要证明， 因为，对任意都成立， 所以，即对任意为偶数也成立， 即原不等式对任意都成立， 所以存在负数，使得数列是“均增数列”，故D正确； 由于是“均增数列”， 由于，，不满足，故C错误； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，求n；再利用通项公式即可求常数项. 【详解】 因为各项的二项式系数之和为64，，即； 通项公式= 令，解得. 展开式中常数项为. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的通项公式为. 13. 已知曲线在处的切线方程为 ，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由导数的几何意义及切点处的函数值求解. 【详解】由已知切点坐标为，因为，切线方程为， 则由导数的几何意义可得，解得， 又切点在曲线上，所以，解得. 故答案为：. 14. 在中，，，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】将两边平方，结合余弦定理可得，由结合正弦定理可得，两者结合利用基本不等式求最值. 【详解】由可得， 两边平方得：，又， 所以，即， 所以，所以， 由，根据正弦定理角化边得，所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 20 12 （1）能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ （2）若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据，求两个赛区都有人被选中的概率． 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有95%以上的把握 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据及公式计算判断； （2）根据抽样比从各层中抽取相应人数，再利用古典概型概率计算公式求解. 【小问1详解】 假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响． 所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响． 【小问2详解】 根据分层抽样可知，各层的抽样比为，所以从喜欢有缝球的选手中选取人，从喜欢无缝球的选手中选取人， 记“两个赛区都有人被选中”为事件 ， 则． 答：两个赛区都有人被选中的概率为． 16. 如图，在四面体 中，平面 ， ．是 的中点，是的中点，点在线段 上． （1）求证：平面平面 ； （2）若 平面 ，求． 【答案】（1）因为平面 平面 ，所以 ． 因为 平面 ，所以 平面 ． 因为 平面，所以平面平面 ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直来证明面面垂直即可； （2）（方法一）利用线面平行来证明线线平行，再通过线段成比例，可求出线段长； （方法二）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，通过向量的坐标运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （方法一）如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接． 因为 平面 平面 ， 平面平面 ，所以 ． 因为是 的中点，所以是的中点，所以 ． 过点作 ，交于点 ，因为是的中点，所以 ， 因为是 的中点，所以 ，所以． 因为 ，所以， 因为是的中点， ，所以 所以 ， 则在直角 中，可得，所以． （方法二）以为坐标原点， 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 因为 ， 是 的中点，是的中点，所以 ． 设 ， 所以 ． 因为平面 的法向量 平面 ，所以， 所以 ，即，所以 ，所以． 17. 已知函数，且． （1）若，，求的值； （2）从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 【答案】（1） （2）因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③，． 【解析】 【分析】（1）由求出，令，则，利用诱导公式及二倍角公式求解； （2）设的周期为，分别由①②③判断相应范围，判断选①和③；由①③分别求范围，取其交集. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以． 当时，， 因为，所以． 令，则， 所以， 所以． 【小问2详解】 对于①：因为，所以，则，解得； 对于②：因为，所以，则，解得； 对于③：因为，所以，则，解得； 因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③． 由，得， 即的取值范围是． 18. 已知两点的坐标分别是，直线 相交于点，且直线 的斜率与直线的斜率的差是2． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知上存在三点，且 关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可； （2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点 的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可； ②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可. 【小问1详解】 设点． 因为直线 的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． 【小问2详解】 ①因为 关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点 ，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 19. 已知函数 ． （1）当 时，求的零点； （2）给定数集，任给 ，对应关系 使函数的零点与对应． ①证明：是函数，并讨论该函数的单调性； ②若数列满足，证明：． 【答案】（1） （2）①当时， ， 所以在上单调递增． 设 ，， 所以当 单调递增；当 单调递减； 所以 ，所以 ，即，当时取等号， 因为 ， ， 所以 ，使得 ，所以存在唯一零点 ， 所以对于任意一个的值，都有唯一零点与之对应， 所以 是函数． 在上单调递减；②由①知， ． 由得 ， 由 及 可得 ，解得， 所以 ，解得， 所以． 由 ，得， 所以 ． 设 ，所以 ， 所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 所以得证． 【解析】 【分析】（1）根据导数 得出函数单调递增结合 求解； （2）①应用导函数得出在上单调递增结合 ， 应用零点存在定理证明；方法一：应用构造应用导数得出单调性结合单调性定义证明单调递减；方法二：两边对求导化简得出恒成立证明函数单调性； ②根据①得，构造 ，应用导函数得出 在 上单调递减得出 ，结合数列求和证明不等式. 【小问1详解】 当 时，， 由 ，得在上单调递增． 因为 ，所以的零点为． 【小问2详解】 ①下面讨论该函数的单调性： （方法一）在任取，且． 设 ， 所以 ，且 ， 所以． 因为，所以． 设， 当 时， ，所以 在 上单调递增． 因为 ，所以， 所以函数在上单调递减． （方法二）由，两边对求导， 得，所以， 所以恒成立，所以 ， 所以函数在上单调递减． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市2026届高三学业质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3.本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知四棱锥中，平面，，点到直线的距离为2．以为球心，为半径的球面与侧面 的交线长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数满足，则的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交 于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是2 C. 的面积是12 D. 的外接圆半径是 11. 设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是“均增数列” B. 若等差数列是“均增数列”，则公差 C. 若是“均增数列”，则 D. 若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为______． 13. 已知曲线在处的切线方程为 ，则_____． 14. 在中，，，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 20 12 （1）能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ （2）若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据，求两个赛区都有人被选中的概率． 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 16. 如图，在四面体 中，平面 ， ． 是的中点，是的中点，点在线段上． （1）求证：平面平面 ； （2）若 平面 ，求． 17. 已知函数，且． （1）若，，求的值； （2）从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 18. 已知两点的坐标分别是，直线 相交于点 ，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． （1）求点 的轨迹的方程； （2）已知上存在三点，且 关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 19. 已知函数 ． （1）当 时，求的零点； （2）给定数集，任给 ，对应关系 使函数的零点与对应． ①证明：是函数，并讨论该函数的单调性； ②若数列满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $