精品解析：新疆生产建设兵团第二中学2025一2026学年第一学期九年级阶段测试(三)数学试卷(问卷)

2025—2026学年第一学期九年级阶段测试（三）数学试卷（问卷） （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（每题4分，共36分） 1. 剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值．下面的剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 3. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 是由绕点按逆时针方向旋转而得：由图可知，为旋转角，可利用即可解答． 【详解】解：小方格的边长相等，得， ∴，即旋转角为． 故选D． 4. 图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键． 根据即可得出答案． 【详解】解：D为的中点， ， ， ， ， 故答案为：C． 5. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用平移规律“左加右减针对自变量，上加下减针对函数值”即可求解． 【详解】解：原抛物线为， 向右平移2个单位，得 ， 再向上平移3个单位，得 ， 故得到的抛物线解析式为 ； 故选D． 6. 某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 7. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 从表中可知，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴是y轴 B. 抛物线与x轴的一个交点为 C. 函数的最小值为1 D. 当时，y随x增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据表格数据，确定抛物线的对称轴、与x轴的交点、最值和增减性，逐项判断正误． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为，故选项A错误，不符合题意． ∵点在抛物线上，且对称轴为， ∴点关于的对称点也在抛物线上，即抛物线与x轴的一个交点为，故选项B正确，符合题意． 当时，，为函数的最小值，故选项C错误，不符合题意． ∵抛物线开口向上（时y最小，两侧y值增大）， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，故当时y随x增大而增大，选项D错误，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积．过点D作于点E，根据阴影部分的面积为，解答即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：B 9. 如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等； ②与的面积一定不相等； ③不一定是锐角三角形； ④一定不是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】设点M坐标为，点N坐标为，则，，，，，，可用a，b表示出，，即可判断①；用a，b表示出，，可知当与的面积相等时，M，N重合，与题意不符，可判断②；根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M，N是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则，，， ∴，，，，，， ∴，， ∴， 即与的面积一定相等， 故结论①错误； ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，M，N重合，与题意不符， ∴与的面积一定不相等， 故结论②正确； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形， 故结论④错误； 如图： 当M，N在的同侧时，可能是钝角三角形， 故结论③正确； 综上，①④错误、②③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 如图，，交于点O．已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，掌握平行线截线段成比例的计算，正确列式是关键． 根据题意得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 11. 如图所示，是圆的半径，弦于点，已知，，则弦______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 利用垂径定理得出，利用勾股定理得出长度，即可得到答案． 【详解】解： 如图所示，根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 故答案为：8． 12. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片上的数字和大于8的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，掌握根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为， 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片上的数字和大于8的结果有3种， 两张卡片上的数字和大于8的概率是． 故答案为：． 13. 如果点是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是_______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性以及增减性，即可得到m与n的大小关系． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线， 所以点关于对称轴的对称点为， 因为开口向下， 所以当时，随的增大而减小，而， 所以，即， 故答案为：． 14. 如图，四边形为平行四边形，边与相切于点，点在上，、、分别与交于点、、，点是弧的中点，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设与交于点H，根据垂径定理可得，再结合切线的性质可得，可证明，即可求出的长；连接，分别过点D，E作，垂足分别为点N，M，则，证明，可得，根据圆周角定理可得，在和中，根据勾股定理可得，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点H， ∵点E是弧的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵与相切于点B， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）； 如图，连接，分别过点D，E作，垂足分别为点N，M，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆的内接四边形的性质，切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的内接四边形的性质，切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15. 如图，已知双曲线与直线相交于A，B两点，第一象限内的点（在点A左侧）是双曲线上的动点，过点B作轴交x轴于点D，过点作轴交双曲线于点E，交于点，若B是的中点，四边形的面积为4，则直线的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，正比例函数与反比例函数，掌握相关知识是解题的关键． 先根据是中点，点纵坐标为，可得点纵坐标为，从而得出点的坐标，从而可表示出点的坐标，根据列出关于的方程，解方程求出的值，即可得出的坐标，最后利用待定系数法进行计算即可． 【详解】解：是中点，轴，点纵坐标为， 点纵坐标为， 把代入直线得，， ， 点的横坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ，，，， ， 将点纵坐标代入方程得， 点的横坐标为， ， ， ， 解得：， 点坐标，点坐标，， 当时，， ， 点坐标， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为． 故答案为：． 三、解答题（共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：， 则或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 则或， 解得． 17. 已知关于x的方程． （1）若这个方程有实数根，求a的取值范围； （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根． 【答案】（1） （2），另外一个根为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）设原方程的另外一个根为b，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设原方程的另外一个根为b， ∵关于x的方程有一个根是2， ∴由根与系数的关系可得， ∴， ∴另外一个根为． 18. 在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，按下列要求画出格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上）． （1）在图1中，以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到； （2）在图2中，画出一个与相似但不全等的（只需画出一个），求得的面积为__________． 【答案】（1） 即为所求， （2）2（答案不唯一） 即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，图形的旋转和相似三角形的性质及面积计算． （1）根据旋转的性质，以点C为旋转中心，将的各顶点逆时针旋转得到对应点，从而画出旋转后的三角形； （2）由网格特点可知，等于1，根据勾股定理可得，等于，等于，可以作一个边长为2，，的三角形，根据三边对应成比例，可得所作三角形与原三角形相似，再通过相似三角形面积比与相似比的关系求出其面积即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：由图可知，，， ，，． ． ． ． 由图可知中边上的高为1， ． ． 故答案为：2． 19. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1） ，这次共抽取了 名学生进行调查； （2）补全条形统计图； （3）请你估计该校约有多少名学生喜爱打篮球？ 【答案】（1）20，50 （2） 补全条形统计图如图所示： （3）估计该校约有360名学生喜爱打篮球． 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图和条形统计图的综合应用，样本估计总体． （1）首先由条形图与扇形图可求得：；由跳绳的人数有4人，占的百分比为，用人数÷所占百分比即可得共抽取学生人数． （2）求得喜爱乒乓球的人数，补全统计图即可； （3）由全校学生人数乘以喜爱打篮球学生所占百分数，即可求得该校学生喜爱打篮球的人数． 【小问1详解】 解：； ∵跳绳的人数有4人，占的百分比为， ∴； 故答案为：20，50； 【小问2详解】 解：喜爱乒乓球的人数为（名）． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该校约有360名学生喜爱打篮球． 20. 如图，在中，于点，于点，与、分别交于点，． （1）求证： （2）若，求证四边形是菱形 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 又是平行四边形， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 又, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形． 【解析】 【分析】（1）先利用已知里的两个垂直，可证一对角相等，都等于，再利用平行四边形的性质，对角相等，那么可证； （2）由，可得，那么，可得，即证四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题利用了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定知识，掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题的关键． 21. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 收集数据 某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 建立模型 （1）直接写出与的函数解析式________；（不要求写自变量取值范围） （2）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （3）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】（1） （2） 能，理由：， ， 当时，有最大值，最大值为2.7， ， 能达到， 羽毛球在此次飞行过程中，高度能达到； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）将，分别代入计算即可得出结果； （2）由二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为2.7，结合题意分析即可得出结果； （3）由题意可得，故解析式为，当时，，解得；由发球点与球网的水平距离是，球的落地点与球网的水平距离小于，得出当时，，解得，即可得出结果． 【小问1详解】 解：将，分别代入可得， 解得：， ∴与的函数解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ， 解析式为， 当时，， 解得； 发球点与球网的水平距离是，球的落地点与球网的水平距离小于， 当时，， 解得， ∴的取值范围为． 22. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且与相切于点． （1）求证：； （2）连接，取的中点，连接．若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ∴． ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵是的直径，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）连接．证明，即可； （2）设的半径为，则，在中，， 可得，再根据勾股定理可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． 设的半径为，则． 在中，， 解得． 是的直径， ， 是的中点， ． 为的中点， ， 又， ， 又是直径，是的中点， 过作交于 则， ， 由勾股定理得． 23. 在等腰中，，线段上存在一动点（不与点重合），连接．将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接分别是线段的中点． （1）如图1，若，当恰好是边的中点时，______，的度数为______． （2）如图2，若，当是边上的任意一点时（不与点重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图3，若，当点在边上，且，在点的运动过程中，求线段的最小值． 【答案】（1）； （2）两个结论均成立， 理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∵M是中点， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 综上所述，，直线和相交所成的锐角的度数为； （3） 【解析】 【分析】（1）设，证是等边三角形，得，，，则，再证是等边三角形，得，，则，然后由等边三角形的性质得，，即可得出结论； （2）连接，证为等边三角形，则，再证，得，，则； （3）连接，同（2）得，则，，再求出，当时，最小，此时是等腰直角三角形，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设 ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是边的中点，点M是边的中点， ∴E与M重合，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 同（2）得：， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， 当时，最小， 此时是等腰直角三角形，则， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级阶段测试（三）数学试卷（问卷） （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（每题4分，共36分） 1. 剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值．下面的剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 4. 图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 从表中可知，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴是y轴 B. 抛物线与x轴的一个交点为 C. 函数的最小值为1 D. 当时，y随x增大而减小 8. 如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等； ②与的面积一定不相等； ③不一定是锐角三角形； ④一定不是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 如图，，交于点O．已知，，则________． 11. 如图所示，是圆的半径，弦于点，已知，，则弦______． 12. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片上的数字和大于8的概率是_____． 13. 如果点是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是_______．（填“”，“”或“”） 14. 如图，四边形为平行四边形，边与相切于点，点在上，、、分别与交于点、、，点是弧的中点，若，则_______． 15. 如图，已知双曲线与直线相交于A，B两点，第一象限内的点（在点A左侧）是双曲线上的动点，过点B作轴交x轴于点D，过点作轴交双曲线于点E，交于点，若B是的中点，四边形的面积为4，则直线的表达式为_____． 三、解答题（共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的方程． （1）若这个方程有实数根，求a的取值范围； （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根． 18. 在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，按下列要求画出格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上）． （1）在图1中，以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到； （2）在图2中，画出一个与相似但不全等的（只需画出一个），求得的面积为__________． 19. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1） ，这次共抽取了 名学生进行调查； （2）补全条形统计图； （3）请你估计该校约有多少名学生喜爱打篮球？ 20. 如图，在中，于点，于点，与、分别交于点，． （1）求证： （2）若，求证四边形是菱形 21. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 收集数据 某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 建立模型 （1）直接写出与的函数解析式________；（不要求写自变量取值范围） （2）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （3）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 22. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且与相切于点． （1）求证：； （2）连接，取的中点，连接．若，求的长． 23. 在等腰中，，线段上存在一动点（不与点重合），连接．将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接分别是线段的中点． （1）如图1，若，当恰好是边的中点时，______，的度数为______． （2）如图2，若，当是边上的任意一点时（不与点重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图3，若，当点在边上，且，在点的运动过程中，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $