福建省厦门外国语学校(集美)2025-2026学年高二上学期数学限时训练12

厦外（集美)2024级高二上数学限时训练12 副标题 题号 三 四 总分 得分 一、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线的一个方向向量为(3，一√3)，则该直线的倾斜角是() A.45° B.120 C.135° D.150° 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，直线的方向向量，属于基础题. 设直线的倾斜角为a,由题意得tanx=-3, 31 可得倾斜角. 【解答】 解：记直线的倾斜角为a,由题知tana=-3, 3 又因为a∈0，m),所以a=g即a=150. 故选：D 2.直线y=x-1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与C交于A、B两点，则AB|=() A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题. 焦点为(，0)，代入直线方程即可求出P,联立直线与抛物线方程，结合抛物线的定义可得|4B=x4十xg十p, 并结合xA+xB=6,即可得到弦长|AB. 【解答】 解：根据条件得到抛物线的焦点为（号，0）， 故0=二-1，解得p=2, 所以抛物线方程为y2=4x, 联1整理可得2-6c+1=0 第1页，共18页 则x4十XB=6, 所以川AB|=xA+xB十卫=6+2=8， 故选D, 3.设等比数列a(n∈W)的前n项和为Sn,若=3，则的值为() 2 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查等比数列的通项公式，等比数列的求和，属于基础题， 对公比进行分类讨论即可求解， 【解答】 解：设等比数列{a}的公比为q, 当q=1时，满足3=31=3，则4=1=4， 3a1 当q≠1时，2=1+9+92=3，则g=1,矛盾， a2 综上，兰的值为4 故选：D. 4.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是() A.1+32 B.4 C.1+3V2 D.7 2 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查圆的标准方程和点到直线距离公式的应用，属于中档题， 方法一可以利用直线与圆的位置关系求解，方法二可以利用三角代换进行求解. 【解答】 解：方法一 x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9, ∴点(x,y)为以(2,1)为圆心，3为半径的圆上的点. 令z=x-y,即y=x-z, 第2页，共18页 如图，要使z最大或最小，只需直线y=x-z与以上圆相切即可， 2-14=3,解得z=1士3V2. √2 “.x-y的最大值是1+3V2. 方法二 (x-2)2+y-1)2=9, ..x=2+3cos0,y =1+3sine, 则x-y=1+3(c0s0-sin8)=1+3V2cos(0+3)≤1+3V2, ∴x-y的最大值是1+3v2. 故选C 5已知数列a,J的前n项和为s·且S。-a=a-1,4。-窝则数列，的最小项为() A.b3 B.b2 C.ba D.bs 【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查数列的递推公式，等差数列的判定，等差数列的通项公式以及求和公式，数列的函数特征， 利用导数研究函数的单调性，属于难题， 根据递推公式求出数列{a}的通项公式，利用等差数列的定义证明其为等差数列，利用求和公式求出Sn,即 可求出数列bn的通项公式， 利用导数研究其最小项， 【解答】 解：Sn-an=(m-1)2, S2-a2=a1=1,Sn-1-an-1=(n-2)2(n≥2)， (Sn-an)-(Sm-1-an-1)=(n-1)2-(m-2)2(n≥2)， 整理得an-1=2n-3=2(n-1)-1(n≥2)， an=2n-1(n∈N*), 第3页，共18页 an+1-am=2n+1-(2n-1)=2, 数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列， ÷Sn=m1+2-)=n2, 2 ·bn=2=22m-1 S路n4, 设f()=22-1 4(x>0), 则f'6=2m22-1r432-1-42x-2, x8 令f'()=022>0解得x>品 x5 令f'似=422<0解得0<x<品 x5 故函数f)在(0，忌)上单调递减，在（品2+o)上单调递增， inei In2<ine =1, 则2<品<4， 故数列bn的最小项为b3 故选A. 6已知双曲线B兰号=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F,过点F,的直线与双曲线5的右支交于 A,B两点，若|AB|=|AF1l,且双曲线E的离心率为V2,则cosLBAF1=() A.、3 8 B-号 c D.台 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查双曲线的离心率，利用余弦定理解三角形及二倍角余弦公式，属于较难题 根据双曲线的定义求出BF1，山IBF2,利用双曲线离心率得出F1F2l,再利用余弦定理得出cosLF1BF2,根据 三角形内角和得出LABF,∠BAF1之间的关系，根据三角函数的诱导公式及二倍角余弦公式，即可求解. 第4页，共18页 【解答】 解：根据对称性，不妨设A点在第一象限， 因为AB|=IAFl, 所以IBF2I=IABI-lAF2=IAF-IAF2, 因为点A在双曲线E的右支上，所以AF1l-|AF2l=2a,即|BF2=2a, 因为点B也在双曲线E的右支上，所以川BF1l-|BFz=2a,即|BF1l=2a+2a=4a, 因为双曲线E的离心率e==V2,即c=√2aF1F2l=2c=2W2a, 在△BF1F2中，由余弦定理：|F1F22=|BF12+|BF22-2BF1BF2Cos∠F1BF2, 即(2W2a)=(4a)2+(2a)2-2×(4a)×(2a)×cosiF1BF2, 所以cos∠R,BF2=4o2o2-22@-16a24a2-8a2-=2-3 2×(4a)×(2a) 16a2 16-4 因为AB=AF1l,所以△ABF1是等腰三角形， 所以∠ABF1=∠AF1B,因为LABF1=∠F1BF2,所以cOs∠ABF1=cOsF1BF2=子 因为∠ABF1+∠AF1B+∠BAF1=π，所以2LABF1+∠BAF1=π， 所以cOS∠BAF1=cOS(-2LABF)=-COS(2LABF1) =-(2cos2LABF-1)=1-2cos2LABF =1-2×倒°=1-8=-品=日 故选：D 7.已知函数f(x)=2aex与g(x)=lnx+1存在公切线，则实数a的最小值为() A日 B. c D品 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了利用导数求公切线问题的思路方法，属于较难题， 先利用切点求出各自的切线方程，然后根据公切线的意义，通过列方程消元，构造出关于α的函数，求其最 小值. 【解答】 解：设公切线与函数f(x)=2aex及函数g(x)=lnx+1的切点分别为(m,2aem),(m,lmn+1), 且f'm)=2aem,g'(m)=是 第5页，共18页 故两切线方程为y-2aem=2aem(x-m), y-(n+1)=2x-m, By=2aex+(-m+1)2ae",y=x+inn, f(x)与g(x)存在公切线， 所以 2aem=1 有解， ((-m+1)2aem Inn 消去m后得：lm2a=(n-1)mn-1, 令h(x)=(x-1)mx-1, h'()=lnx-+1,易得h'(在(0，+o)上单调递增， 且x∈(0,1)时，h'(x)<0;x∈(1，+o)时，h'(x)>0 故h(x)在区间(0,1)上递减，在(1，+o)上递增 所以h(x)mim=h(1)=-1, lm2a的最小值为-1， 即2a的最小值为号即实数a的最小值为2 故选：B 8.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M,N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P, 使得∠MPN最大”.如图，其结论是：点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以 下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时， 点P的横坐标是() B A.-7 B.1或-7 C.2或-7 D.1 【答案】D 【解析】【分析】 第6页，共18页 本题主要考查了直线与圆的位置关系及判定的应用，考查圆的标准方程，直线方程，属于较难题 由已知可得圆S的方程为：(x-a)2+y-3+α)2=2(1+a2),对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随 着圆的半径减小而角度增大，可得当∠MPN取最大值时，经过M,N,P三点的圆S必与x轴相切于点P,利用 直线与圆相切的关系可得P点坐标，则答案可求 【解答】 解：M,N中点坐标(0,3)，kMw=1, 则经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3-x上， 设圆心为S(a,3-a), 则圆S的方程为：(x-a)2+(y-3+a)2=2(1+a2), 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大， 当∠MPN取最大值时，经过M,N,P三点的圆S必与x轴相切于点P, 即圆S的方程中的a值必须满足2(1+a)=(3-a)2, 解得a=1或a=-7. 即对应的切点分别为P(1,0)和P'（-7,0), 而过点M,N,P的圆的半径大于过点M,N,P的圆的半径， ∴.∠MPN>∠MP'N, 故点P(1,0)为所求， ∴点P的横坐标为1. 故选D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论错误的是() A.在数列{a}中，若2an+1=2an-6,且a6=4,则a10=-8 B.数列m,m,m,m,…既是等差数列又是等比数列 C.若ac=b2,则a,b,c成等比数列 D.若等比数列的a,}前n项和为Sn,其中a=2,Sg=6,则公比为- 【答案】BCD 【解析】解：对于A,根据2a+1=2an-6,可得an+1-a=-3,可得数列{an是公差为-3的等差数列， 则a10=a6+4d=4-12=-8,故A正确： 对于B,当m=0时，数列m,m,m,m,…为等差数列，但不是等比数列，故B错误： 第7页，共18页 对于C,若a,b,c为零，则a,b,c不能成等比数列，故C错误； 对于D,设等比数列的{a的公比为q, 根据题意可得影 a3=a1q2=2 。=a1(1+9+g)=6解得g=1或g=-是故D错误。 故选BCD, 10.动点P在椭圆C上，F1,F2为C的左、右焦点，直线PF1和直线PF2分别交C于点A,B,若△PAF2的周长 为20，且C的左顶点和上顶点距离为√4红，则() A.椭圆焦距为3 B离心率e= C.△PF1F2面积最大值为12 D.PF1和PF2斜率乘积为定值 【答案】BC 【解析】解：因为点P,A在椭圆上， 所以1PF1l+IPF2=2a,IAF1+AF2l=2a, 故△PAF2的周长为PA+IAF2+IPF2=IPF1l+IPF2l+IAF1l+|AFzl=4a=20, 解得a=5, 因为左顶点和上顶点的距离为V√a2+b2=√52+b2=√41， 所以b=4,则c=Va2-b2=3,焦距为2c=6,故A错误： e=台-子故B正确： Spr,F2=2xIF1F2l×lypl=clypl≤bc=12, 当点P位于y轴上时，△PF1F2面积取得最大值12，故C正确； 设Px0则后+荒=1，即y2=16-岩， 因为F1(-3,0),F2(3,0), 所以k=本gk,=六3 故k本×六=品=碧×5号不是定值，放D结误 ◇ 故选：BC, 第8页，共18页 11.己知函数f(x)=sinx+lnx,将f(x)的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{xn},对于任意的 正整数k,则() A.Xk+1-Xk<π B.x2k-1是极大值点 C.X2k+1-X2k-1<2π D.f(x2k+1)>fx2k-1) 【答案】BCD 【解析】解：f)=sir+l的定义域为(0，+o）,且f'()=cosx+是 令f')=0,得cosx=-(x>0), 作出y=cosx与y=-c>0)的图象如图所示： 1 x X2 X6 对干A,由图可得元<2<婴，受<<3， 所以-受<-2<-元受<名<3m, 所以π<x3-x2<2m,故A错误： 对于B,由图可得x2k-1是极大值点，故B正确： 对于C,c05x21=osx2k-1-g 1 1 而一2k 1 >- xak-1' 当 x2-1时，X2k+1-x2k-1=2m, 故由一x2k+ 1>-1 >一2k-知x2k+1-x2k-1<2m,故C正确； 第9页，共18页 对于D,由图可得x1∈(，m),x3∈(，3m),,x2k-1∈(2k-1)π-2，(2k-1)m), 即x2k-1e(2kπ-3,2km-m), 所以sinx2k-1>0, 因为C0sx2k-1= X2k-1 所以sinx2k-1= 1 1- 厮以f2）=sinx2k1+2k1=x2k-1+1 易知f(x2k-1)关于x2k-1单调递增，且{x2k-1}为递增数列， 所以f(x2k-1)为单调递增函数， 所以f(x2k+1)>f(x2k-1),故D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12等差数列a的前n项和为5，凸=3，S4=10,侧-京= 【答案】号 【解析】【分析】 本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力 利用已知条件求出等差数列首项与公差，从而得到S,然后利用裂项相消法求解即可. 【解答】 解：等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10, 则54=a14=2(a2+a3)=10, 2 可得a2=2, 则公差d=a3-a2=1,a1=a2-d=1, 则an=n,Sn=+卫， 2 1 则品=21-+号青+片+…+片本) =21-)= 故答案为：n+ 2n 第10页，共18页 厦外（集美）2024级高二上数学限时训练12 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角是(    ) A. B. C. D. 2.直线过抛物线的焦点，且与交于、两点，则(    ) A. B. C. D. 3.设等比数列的前项和为，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.已知实数，满足，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 5.已知数列的前项和为，且，，则数列的最小项为(    ) A. B. C. D. 6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则(    ) A. B. C. D. 7.已知函数与存在公切线，则实数的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是(    ) A. B. 或 C. 或 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论错误的是(    ) A. 在数列中，若，且，则 B. 数列，，，，既是等差数列又是等比数列 C. 若，则，，成等比数列 D. 若等比数列的前项和为，其中，，则公比为 10.动点在椭圆上，，为的左、右焦点，直线和直线分别交于点，，若的周长为，且的左顶点和上顶点距离为，则(    ) A. 椭圆焦距为 B. 离心率 C. 面积最大值为 D. 和斜率乘积为定值 11.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则(    ) A. B. 是极大值点 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.等差数列的前项和为，，，则          ． 13.已知是单位圆，正三角形的顶点，在上，则的最大值为          ． 14.若实数的取值使函数在定义域上有两个极值点，则叫做函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且当函数具有“凹凸趋向性”时，则的取值范围为____________  。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线过点且与直线平行， Ⅰ求直线的一般式方程； Ⅱ设直线与轴的交点为，求以为圆心且与相切的圆的一般方程． 16.本小题分 已知以两坐标轴为对称轴的椭圆的一个长轴端点及一个短轴端点在直线上 求椭圆的离心率； 若是椭圆上一点异于，，试求面积的最大值． 17.本小题分 如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且， ． 证明：  ； 已知二面角的余弦值为 ，求圆台的高的长． 18.本小题分 已知正项数列的前项和为，数列，，，，是首项为，公比为的等比数列． 求证数列是等差数列； 若，求数列的前项和；在条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由． 19.本小题分 已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程 若，求的取值范围 当时，记的导函数为，证明：对，不等式恒成立． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $