1.3.1乘法公式(第1课时 平方差公式的认识) 知识清单2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3.1乘法公式(第1课时 平方差公式的认识) 情景1. 计算下列各题： (1)(x＋2)(x－2)＝ ＝ (2)(1＋3a)(1－3a)＝ ＝ (3)(x＋5y)(x－5y)＝ ＝ (4)(2y－z)(2y＋z)＝ ＝ 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现? 观察四个结果，有什么特点？ 猜想：(a＋b)(a－b)＝ 验证猜想：(a＋b)(a－b)＝ · 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. · 归纳总结： ①结构特点: 左边: 两项乘两项，a符号相同，b符号相反; 右边: 相同项a的平方减去相反项b的平方. 核心要点: 找到乘式中的相同项和相反项. ②要认准平方差公式中的两数和、两数差的结构特点，有的算式也可以变形为具有这样结构特点的算式，只有符合这样的结构特点才能考虑套用平方差公式. ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 情景2. · 寻找a，b，试着完成表格，加深对公式的认识. (a＋b)(a－b) a(相同项) b(相反项) a2－b2 最后结果 (3＋5x)(3－5x) (－x＋1)(－x－1) 例1：利用平方差公式计算 (1)(5＋6x)(5－6x)； (2)(x－2y)(x＋2y)； (3)(－m＋n)(－m－n) . 例2：利用平方差公式计算 (1)(－x－y)(－x＋y)； (2) (ab＋8)(ab－8). · 尝试·思考 如何计算(a－b)(－a－b)?你是怎样做的? (a－b)(－a－b) 情景3. · 平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 ①位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝ ②符号变化 (－a－b)(a－b)＝ ③系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝ ④指数变化 (a3＋b2)(a3－b2)＝ ⑤项数变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝ ⑥连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝ ⑦公式逆运算 a2－b2＝ 随堂练习： 计算： (1)(a＋2)(a－2)； (2)(3a＋2b)(3a－2b)； (3)(－x－1)(1－x)； (4)(－4k＋3)(－4k－3). 练习1. 1. 下列式子能用平方差公式计算吗? ①(－3x＋2)(3x－2)( ) ②(b＋2a)(2a－b) ( ) ③(－x＋2y)(－x－2y) ( ) ④(－x＋y)(x－y) ( ) 2. 下列多项式中，可以用平方差公式计算的是( ). A.(2a－3b)(－2a＋3b) B. (－3a＋4b)(－4b－3a) C. (a－b)(b－a) D. (a－b－c)(－a＋b＋c) 3. 下列计算结果正确的是( ). A.(x＋2)(x－2)＝x2－2 B.(x＋2)(3x－2)＝3x2－4 C.(ab－c)(ab＋c)＝a2b2－c2 D.(－x－y)(x＋y)＝x2－y2 4. 用平方差公式计算(x－1)(x＋1)(x2＋1)，结果正确的是( ).　　 A.x4－1 B.x4＋1 C.(x－1)4 D.(x＋1)4 5. 用公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2计算(x＋2y－1)·(x－2y＋1)时，下列变形正确的是( ). A. ［x－(2y＋1)］2 B. ［x＋(2y＋1)］2 C. ［x＋(2y－1)］［x－(2y－1)］ D. ［(x－2y)＋1］［(x－2y)－1］ 6. 利用平方差公式计算： (1)(a＋3b)(a－3b)； (2)(3＋2a)(－3＋2a)； (3)(－2x2－y)(－2x2＋y). (4)(－x＋2y)(－x－2y)； (5)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)； (6)(3x－y)(3x＋y)＋y(x＋y) . 7. 已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝ . 8. 先化简，再求值：2(3x＋1)(1－3x)＋(x－2)(2＋x)，其中x＝2． 9. 已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值． 10. 观察：(2＋3)2－22＝7×3；(4＋3)2－42＝11×3. 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除. 验证： (1)(6＋3)2－62的结果是3的 倍； (2)设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 巩固练习： 1. 下列运算正确的是( ). A．(a＋b)2＝a2＋b2＋2a B．(a－b)2＝a2－b2 C．(x＋3)(x＋2)＝x2＋6 D．(m＋n)(－m＋n)＝－m2＋n2 2. 下列各式中能用平方差公式计算的是( ). A．(x＋y)(x＋y) B．(x＋y)(y－x) C．(x＋y)(－x－y) D．(－x＋y)(y－x) 3. 若(3b＋a)( )＝9b2－a2,则括号内应填的代数式是( ). A.－a－3b B. a＋3b C.－3b＋a D.3b－a 4. 若m2－n2＝3,则(m＋n)2(m－n)2的值是( ). A.3 B.6 C.9 D.18 5. 若m2＝9，n2＝3，则(m＋n)(m－n)＝ ． 6. 已知x2－y2＝6且2x＋2y＝3，则3x－3y＝ ． 7. 如果(a＋)(a－)(a2＋)＝a4＋，则k的值为 8. 三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积为   9. 运用平方差公式计算： (1)(m＋2n)(m－2n)；(2)(3a＋b)(3a－b)；(3)(x－y)(x＋y)；(4)(－1＋5a)(－1－5a). 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.1乘法公式(第1课时 平方差公式的认识) 情景1. 计算下列各题： (1)(x＋2)(x－2)＝ x2－2x＋2x－4 ＝ x2－4 (2)(1＋3a)(1－3a)＝ 1－3a＋3a－9a2 ＝ 1－9a2 (3)(x＋5y)(x－5y)＝ x2－5xy＋5xy－25y2 ＝ x2－25y2 (4)(2y－z)(2y＋z)＝ 4y2＋2yz－2yz－z2 ＝ 4y2－z2 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现? 都是“两数和×两数差” 观察四个结果，有什么特点？ 两数分别平方再作差 猜想：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2 验证猜想：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2 (多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项) · 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. · 归纳总结： ①结构特点: 左边: 两项乘两项，a符号相同，b符号相反; 右边: 相同项a的平方减去相反项b的平方. 核心要点: 找到乘式中的相同项和相反项. ②要认准平方差公式中的两数和、两数差的结构特点，有的算式也可以变形为具有这样结构特点的算式，只有符合这样的结构特点才能考虑套用平方差公式. ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 情景2. · 寻找a，b，试着完成表格，加深对公式的认识. (a＋b)(a－b) a(相同项) b(相反项) a2－b2 最后结果 (3＋5x)(3－5x) 3 5x 32－(5x)2 9－25x2 (－x＋1)(－x－1) －x 1 (－x)2－12 x2－1 例1：利用平方差公式计算 (1)(5＋6x)(5－6x)； (2)(x－2y)(x＋2y)； (3)(－m＋n)(－m－n) . 解：(1)25－36x2；(2)x2－4y2；(3)m2－n2. 例2：利用平方差公式计算 (1)(－x－y)(－x＋y)； (2) (ab＋8)(ab－8). 解：(1)x2－y2；(2)a2b2－64. · 尝试·思考 如何计算(a－b)(－a－b)?你是怎样做的? (a－b)(－a－b) ＝－(a－b)(a＋b) ＝－(a2－b2) ＝b2－a2 (注意:对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用) 情景3. · 平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 ①位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2 ②符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－a2＝b2－a2 ③系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2 ④指数变化 (a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4 ⑤项数变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2 ⑥连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4 ⑦公式逆运算 a2－b2＝(a＋b)(a－b) 随堂练习： 计算： (1)(a＋2)(a－2)； (2)(3a＋2b)(3a－2b)； (3)(－x－1)(1－x)； (4)(－4k＋3)(－4k－3). 解：(1)a2－4；(2)9a2－4b2；(3)x2－1；(4)16k2－9. 练习1. 1. 下列式子能用平方差公式计算吗? ①(－3x＋2)(3x－2)( 不能 ) ②(b＋2a)(2a－b)(能，4a2－b2) ③(－x＋2y)(－x－2y) (能，x2－4y2) ④(－x＋y)(x－y) ( 不能 ) 2. 下列多项式中，可以用平方差公式计算的是( B ). A.(2a－3b)(－2a＋3b) B. (－3a＋4b)(－4b－3a) C. (a－b)(b－a) D. (a－b－c)(－a＋b＋c) 3. 下列计算结果正确的是( C ). A.(x＋2)(x－2)＝x2－2 B.(x＋2)(3x－2)＝3x2－4 C.(ab－c)(ab＋c)＝a2b2－c2 D.(－x－y)(x＋y)＝x2－y2 4. 用平方差公式计算(x－1)(x＋1)(x2＋1)，结果正确的是( A ).　　 A.x4－1 B.x4＋1 C.(x－1)4 D.(x＋1)4 5. 用公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2计算(x＋2y－1)·(x－2y＋1)时，下列变形正确的是( C ). A. ［x－(2y＋1)］2 B. ［x＋(2y＋1)］2 C. ［x＋(2y－1)］［x－(2y－1)］ D. ［(x－2y)＋1］［(x－2y)－1］ 6. 利用平方差公式计算： (1)(a＋3b)(a－3b)； (2)(3＋2a)(－3＋2a)； (3)(－2x2－y)(－2x2＋y). (4)(－x＋2y)(－x－2y)； (5)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)； (6)(3x－y)(3x＋y)＋y(x＋y) . 解：(1) a2－9b2；(2)4a2－9；(3)4x4－y2；(4)x2－4y2；(5)3x2－5x－10；(6) 9x2＋xy. 7. 已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝ －6 . 8. 先化简，再求值：2(3x＋1)(1－3x)＋(x－2)(2＋x)，其中x＝2． 解：原式＝－17x2－2，当x＝2，原式＝－70． 9. 已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值． 解：把b－c＝2，a＋c＝14相加，得a＋b＝16， 所以a2－b2 ＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32. 10. 观察：(2＋3)2－22＝7×3；(4＋3)2－42＝11×3. 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除. 验证： (1)(6＋3)2－62的结果是3的 15 倍； (2)设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 解：由题意得偶数为2n，比偶数大3的数为(2n＋3)， 所以(2n＋3)2－(2n)2＝(2n＋3＋2n)(2n＋3－2n)＝3(4n＋3). 因为4n＋3为整数， 所以3(4n＋3)能被3整除. 巩固练习： 1. 下列运算正确的是( D ). A．(a＋b)2＝a2＋b2＋2a B．(a－b)2＝a2－b2 C．(x＋3)(x＋2)＝x2＋6 D．(m＋n)(－m＋n)＝－m2＋n2 2. 下列各式中能用平方差公式计算的是( B ). A．(x＋y)(x＋y) B．(x＋y)(y－x) C．(x＋y)(－x－y) D．(－x＋y)(y－x) 3. 若(3b＋a)( )＝9b2－a2,则括号内应填的代数式是( D ). A.－a－3b B. a＋3b C.－3b＋a D.3b－a 4. 若m2－n2＝3,则(m＋n)2(m－n)2的值是( C ). A.3 B.6 C.9 D.18 5. 若m2＝9，n2＝3，则(m＋n)(m－n)＝ 6 ． 6. 已知x2－y2＝6且2x＋2y＝3，则3x－3y＝ 12 ． 7. 如果(a＋)(a－)(a2＋)＝a4＋，则k的值为 － 8. 三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积为　 n3－4n 　  9. 运用平方差公式计算： (1)(m＋2n)(m－2n)；(2)(3a＋b)(3a－b)；(3)(x－y)(x＋y)；(4)(－1＋5a)(－1－5a). 解：(1)m2－4n2；(2)9a2－b2；(3)x2－y2；(4)1－25a2. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $