四川绵阳南山中学2025-2026学年高二上学期12月考试数学试题

月考参考答案 选择答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D A C C C B A BC BC ACD 解答答案： 12． 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，因此圆相交，所以两圆公共弦所在直线的方程为，即.故答案为： 13．. 【详解】设右焦点为，连接，过作轴于，因为双曲线关于轴对称，四边形为菱形，所以，，所以，所以，所以，根据双曲线的定义可得，所以，故答案为：. 14． 【详解】由题意可知：，不妨设点在x轴上方，取的中点，过分别作直线平行与x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得，设，则，则，且，可得，又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，可得，，则，可得，即x轴，则，可得直线的斜率为，设，则，则，，整理可得，解得，又因为，且，可得，即，所以.故答案为：. 15. 这道题不会的去找老师挨打！！！！ (1) 直线l1的方程为4x−3y+4=0；(2) 直线l2的方程为3x+4y+14=0或3x+4y−16=0。 16．(1)；(2)不存在，理由见解析. 【详解】（1）设过三点的圆方程为， 则，解得，满足， 所以所求圆的方程为. （2）设，MH ，得，整理得，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而过三点的圆的圆心，半径， 又，因此圆与圆内含，无公共点，所以不存在点满足. 17．(1)；(2). 【详解】（1）是上一点，，则，由抛物线的定义，知，，则，的方程为. （2）由（1），知.设直线，即， 代入，整理得，， ，又点到的距离为，， 即，解得或（舍去），直线的方程为，即. 18．(2) 【详解】（1）设，则，则， 所以，因为为的中点，所以，，则，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面 （2）由，可得，则，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的法向量为，则，设直线与平面所成角为，则，解得，所以的长度为. 19．(1)曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为(2)①证明见解析；② 【详解】（1）直线AW的斜率为，直线BW 的斜率为，由题意可知：，∴，∴，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）①如图1，由于直线平分直线l与圆O的交线段，   所以直线l与垂直，设直线，则．设，，则，于是，即，由于，，则，又，则，得证； ②由题意，因为，则，如图2，连接DG，ED，则，   则，令，得，则直线与椭圆相交所得弦长为，同理可得直线与椭圆的一个交点坐标为，不妨记为点D，则D到直线的距离，所以， 由题意可知，则 ， 当且仅当时，取等号， 所以四边形EFGH面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月 绵阳南山中学高2024级高二上期12月考试试题 数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分。试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内。 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 考试结束后将答题卡收回。 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1. 若直线过两点，则此直线的倾斜角是 A. 　 B. 　 C. 　 D. 2. 椭圆与椭圆的 A. 长轴长相等　 B. 短轴长相等　 C. 离心率相等　 D. 焦距相等 3. 已知空间向量，若，则实数的值为 A. 　 B. 　 C. 　 D. 4. 已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则 A. 　 B. C. 　 D. 5. 如图，在空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则等于 A. 　 B. C. 　 D. 6. 已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为 A. 　 B. C. 　 D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 A. 　 B. 　 C. 　 D. 8. 已知点是双曲线的左、右焦点，点在的右支上，连接，作且与轴交于点，若，则的渐近线方程为 A. 　 B. 　 C. 　 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错得0分。 9. 下列说法正确的是 A. 已知，则三点共线 B. 已知，则在上的投影向量为 C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 10. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列描述正确的有 A. 直线与圆相交　 B. 的最小值为 C. 四边形面积的最小值为　 D. 存在点，使得 11. 在平面直角坐标系中，点是椭圆的左、右焦点，点分别是的左、右顶点，直线与椭圆相交于两点，则 A. 若直线经过点，则的最小值为 B. 若线段的中点坐标为，则直线的斜率为 C. 若直线经过坐标原点，则 D. 若点在椭圆上（点与不重合），且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为________。 13. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________。 14. 在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为________。 四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分13分) 已知直线的方程为。 (1) 若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程； (2) 若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程。 16. (本小题满分15分) 平面直角坐标系中，已知。 (1) 求过三点的圆的方程； (2) 已知为坐标原点，点，请问(1)中圆上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 17. (本小题满分15分) 已知是抛物线的焦点，点是上一点，且在的准线上的射影为，。 (1) 求的方程； (2) 过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为，求的方程。 18. (本小题满分17分) 如图，在平行六面体中，底面是矩形，，点分别为的中点，且。 (1) 证明：平面平面； (2) 若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度及平面与平面的夹角的余弦值。 19. (本小题满分17分) 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为。记的轨迹为曲线。 (1) 求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2) 已知直线与交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段。 ① 求证：为定值； ② 已知直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，，求四边形面积的最大值。 ( 12月月考 数学试题 第 1 页 （ 共 3 页 ） ) 学科网（北京）股份有限公司 $