第04讲 不等式（组）及其应用（4命题点+12题型+4突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“不等式（组）及其应用”专题，覆盖不等式性质、一元一次不等式（组）解法、含参问题及实际应用等中考核心考点，通过知识网络构建梳理内在联系，设计考点解析、命题洞悉、重难突破等环节，结合真题训练帮助学生突破含参问题、新定义问题等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“重难突破”模块的分层设计，如通过含参不等式组的整数解问题训练推理能力，结合实际应用案例培养模型意识，配合基础巩固、能力提升、全国新趋势三级练习，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题思维与应考能力。

第二章 方程与不等式 第04讲 不等式（组）及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 不等式的有关概念及性质 题型01不等式的性质 命题点二 一元一次不等式 题型01解一元一次不等式 题型02求一元一次不等式的整数解 题型03数轴上表示不等式的解 题型04一元一次不等式的新定义问题 命题点三 一元一次不等式组 题型01解一元一次不等式组 题型02解特殊不等式组 题型03求一元一次不等式组的整数解 题型04不等式组和方程组相结合的问题 题型05不等式组的新定义问题 命题点四 不等式（组）的应用 题型01列不等式（组） 题型02不等式（组）的实际应用 05·重难突破·思维进阶难 23 突破一一元一次不等式（组）的含参问题 突破二不等式组与方程组的综合 突破三不等式（组）的新定义问题 突破四不等式（组）的实际应用综合 06·优题精选·练能提分 27 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 不等式的有关概念及性质 掌握不等式的相关概念；理解不等式的基本性质，并学会用不等式的基本性质解不等式； 一元一次不等式 掌握一元一次不等式的解法与应用；了解一元一次不等式的含参问题的解法； 一元一次不等式组 广州卷T17 深圳卷T15 广东卷T12 广东卷T8 广州卷T5 掌握一元一次不等式组的解法；熟练掌握一元一次不等式组的含参问题；了解不等式组和方程组的相关联问题； 不等式（组）的应用 深圳卷T17 深圳卷T17 广东卷T14 深圳卷T19 掌握不等式（组）的实际应用问题； 命题预测 本专题包含不等式的基本性质、一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题时注意不等式与等式性质的区别，试题多以选择题、填空题的形式出现，难度一般，题目中经常出现非负整数、正整数等名词，注意其含义. 对于不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 用不等式(组)解决实际问题，多以解答题形式出现，难度一般，其多与二元一次方程组或分式方程等结合，解题的一般步骤类比列方程解应用题的步骤，依次为审、设、列、解、答.需要注意的是找出重要的数量信息，确定不等关系，以及“不超过”“不少于”等词语与不等号间的转化，问题中的“不超过”“不少于”“至少”“最多”等表示不等关系的词语在设未知量的过程中不体现，体现在列不等式上. 针对2026年广东的中考数学来说，本专题内容的考查难度不大，建议学生加强对不等式（组）基础概念的理解，掌握一元一次不等式（组）的解法，并注重实际应用和综合题型的练习. 考点一 不等式的有关概念及性质 知识点一、不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点二、不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点三、不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 1．（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·三模）若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东惠州·二模）若，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东汕头·一模）已知，下列不等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东河源·一模）若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 考点二 一元一次不等式 知识点一、一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 知识点二、一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 知识点三、解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 6．（2023·广东·中考真题）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折． 7．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 8．（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． (1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ (2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 9．（2024·广东·模拟预测）某商场计划购进、两种新型节能风扇共100台，这两种风扇的进价、售价如表所示： 类型/价格 进价（元/台） 售价（元/台） 型 60 80 型 80 110 (1)若商场预计进货款为6500元，则这两种风扇各购进多少台？ (2)若商场规定型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批风扇时获利最多？此时利润为多少元？ 10．（2024·广东深圳·二模）冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 考点三 一元一次不等式组 知识点一、一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 知识点二、一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三、解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 11．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集． 12．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 13．（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．    14．（2023·广东广州·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A．   B．   C．   D．   15．（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 考点四 不等式（组）的应用 知识点一、用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 知识点二、一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 16．（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． (1)求A，B玩具的单价； (2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 17．（2024·广东·二模）A超市要用不超过元的资金采购进货价每千克4元的番茄和每千克8元的油豆角共计千克（重量取整数），且油豆角的重量不少于番茄重量的3倍．该超市计划将所进蔬菜加价进行销售． (1)求A超市有多少种进货方案； (2)求获利最多的方案及最多获利多少元； 18．（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 19．（2025·广东深圳·三模）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等．请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务： 材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人． 材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元． 型号 每辆载客量 每辆租金 甲型号 30 320 乙型号 45 400 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务． (1)请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场． (2)有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？ 20．（2025·广东深圳·二模）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元． 信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用． 命题点一 不等式的有关概念及性质 ►题型01 不等式的性质 性质1 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 互逆性 若a＞b，则b＜a，若a＜b，则b＞a 传递性 若a＞b，b＞c，则a＞c 【典例1】（2025·广东·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东广州·一模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽宿州·一模）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东清远·模拟预测）若 ，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·广东广州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 命题点二 一元一次不等式 ►题型01 解一元一次不等式 【典例1】（2024·广东·模拟预测）不等式的解集为（        ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东东莞·模拟预测）关于x的不等式中，某个不等式的解如图所示，则这个不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东广州·二模）不等式的解集为 ． 【变式2】（2025·广东广州·一模）解不等式：． 【变式3】（2025·广东广州·一模）规定：时，表示两数中较大的一个，如，则方程的解为 ． ►题型02 求一元一次不等式的整数解 【典例1】（2025·广东汕头·一模）满足不等式的最小整数解是 ． 【典例2】（2025·陕西西安·二模）写出一个满足不等式的正整数的值 ． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的正整数m的值为 ．（只需要填一个） 【变式2】（2025·广东广州·一模）不等式的非负整数解共有 个． 【变式3】（2025·广东阳江·一模）关于、的方程组的解与满足条件，则的最大整数值是 ． ►题型03 数轴上表示不等式的解 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 【典例1】（2024·广东·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【变式3】（2024·天津南开·二模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______． ►题型04 一元一次不等式的新定义问题 【典例1】（2025·广东广州·二模）对于实数、，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东汕头·一模）定义一种新运算“”，规定当时，；当时，．例如：．如果，那么的值为 ． 【变式1】（2023·广东广州·二模）定义运算“”为：当时，；当时，．例如：．若则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】定义＝ad﹣bc，例如：＝1×4﹣（﹣3）×2＝10，若≤7，则非负整数x的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．0 【变式3】定义一种法则“”如下：，例如：，，若，则m的取值范围是 命题点三 一元一次不等式组 ►题型01 解一元一次不等式组 【典例1】（2024·广东·模拟预测）解不等式组 【典例2】（2024·广东·模拟预测）解不等式组： 【变式1】（2024·广东·二模）已知点在第四象限，且m为整数，则m的值是（    ） A．3 B．1 C．2 D．0 【变式2】（2025·广东中山·一模）若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 ． 【变式3】（2024·广东东莞·二模）解不等式组，并写出它的所有整数解． ►题型02 解特殊不等式组 【典例1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下： 解不等式：． 解：∵， ∴原不等式可化为． ∵两数相乘，同号为正， ∴①或② 由①得，由②得， ∴原不等式的解集为或． 请用以上方法解下列不等式： (1)； (2) 【典例2】（2025·广东广州·一模）对于有理数，我们规定表示不大于的最大整数，例如：，，，若，则整数的取值是 ． 【变式1】已知的解集为，则的解集为 ． 【变式2】【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【变式3】（2025·广东东莞·一模）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． ►题型03 求一元一次不等式组的整数解 解题方法：解不等式得到的最终形式有：，，，，对应有解或无解的情况如下表： 【典例1】（2025·广东清远·三模）关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有 个． 【典例2】（2025·广东揭阳·一模）不等式组的最小整数解是 ． 【变式1】（2025·广东揭阳·一模）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·河北邯郸·二模）关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是 ． 【变式3】（2025·广东深圳·一模）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ． ►题型04 不等式组和方程组相结合的问题 【典例1】（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式1】若关于，的二元一次方程组的解为正数，则的取值范围为 ． 【变式2】已知数m使关于x的不等式组至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程有不大于5的整数解，则所有满足条件的整数m的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型05 不等式组的新定义问题 【典例1】（2025·四川南充·模拟预测）定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有 个． 【典例2】（2023·广东东莞·一模）定义新运算：．例如，，则不等式组的解集为(    ) A． B． C．无解 D． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）定义：x*y＝x－my，如2*3＝2－3m，已知1*2≤5，则m的取值范围是 【变式2】定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数． 例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣1.5]=﹣2． （1）[﹣]=　 　； （2）如果[a]=3，那么a的取值范围是　 　； （3）如果[]=﹣3，求满足条件的所有整数x． 【变式3】（2024·山东德州·二模）对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 命题点四 不等式（组）的应用 ►题型01 列不等式（组） 【典例1】（2025·广东佛山·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2024·浙江杭州·三模）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于．据此情境，可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【变式1】检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（    ） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 【变式3】（2025·广东汕头·一模）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． ►题型02 不等式（组）的实际应用 【典例1】（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【典例2】（2025·广东深圳·二模）据以下素材，探索完成任务． 如何设计销售方案？ 素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元． 素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． 素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍． 问题解决 任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题：_____（用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价． 任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润． 【变式1】（2025·广东清远·一模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额． 【变式2】（2025·广东惠州·一模）根据以下素材，完成“问题解决”中的任务1和“问题拓广”中的任务2． 怎样知道某文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个 调查 活动 素材1 某校数学兴趣小组在学习了“分式与分式方程”的内容后进行“综合与实践”活动． 素材2 该数学兴趣小组成员小明同学收集到如下信息： ①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元； ②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同． 交流 质疑 小明同学把收集到的信息和组内同学交流后，小刚同学表达了自己的看法，他认为小明同学没有收集到“A、B两种商品具体的购进数量”这一重要信息，没法进行系统研究． 问题 解决 任务1 你对此有何看法？请你根据上述信息，就“该文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个”这一问题，提出一个解决该问题的方案，并写出解答的过程．（只写出解答的过程即可） 问题 拓广 任务2 该文具店计划购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个．要使这批A、B两种商品全部售完后，该文具店获取的利润最大，应怎样安排A、B两种商品的购进数量？并求出最大利润是多少元？ 【变式3】（2024·广东中山·二模）为了响应“建设绿美中山”的号召，我市某学校计划从某苗木基地购进A、B两种树苗共200棵绿化校园．已知购买3棵A种树苗和4棵B种树苗共需620元；购买2棵A种树苗和3棵B种树苗共需440元． (1)每棵A种树苗、B种树苗各需多少元？ (2)学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元，设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系． (3)在（2）的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 突破一 一元一次不等式（组）的含参问题 【典例1】（2025·广东深圳·三模）若关于的一元一次不等式组无解，则的值可以是 ．（写出一个答案即可） 【典例2】（2025·广东东莞·一模）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·广东揭阳·一模）若关于的不等式组的解集只有4个整数解，则的取值范围是 ． 【变式2】如果关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（2023·广东江门·一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ． 突破二 不等式组与方程组的综合 【典例1】（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【典例2】若数 使关于 的一元一次不等式组 的解集是，且使关于 的分式方程有非负整数解，则符号条件的所有整数的值之和为 ． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； (3)若，求p的最大值与最小值． 【变式2】已知且，则k的取值范围为 ． 【变式3】（2025·河南商丘·一模）已知点P的坐标满足方程组． （1）若，则点P的坐标是 ； （2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，则b的取值范围是 ． 突破三 不等式（组）的新定义问题 【典例1】（2023·广东深圳·模拟预测）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【典例2】（2023·广东东莞·模拟预测）定义向下取整记号，其表示不超过实数的最大整数．已知，且，求得的值为 ． 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东汕头·一模）定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【变式3】（2025·广东东莞·一模）若定义一种新运算例如：；，下列说法： ①； ②若，则或； ③若，则或 ④与直线（m为常数）有2个交点，则． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 突破四 不等式（组）的实际应用综合 【典例1】（2025·广东阳江·一模）东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 (1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【典例2】（2025·广东惠州·一模）某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式 ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【变式1】王老板预定了一批羊排、羊腿、精品单肉，第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为，若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部实完，总利润率为，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的，则精品羊肉的单价最低为 元． 【变式2】（2024·广东深圳·二模）某新能源汽车经销商购进A、B两种型号的新能源汽车，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元． (1)求A、B两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进A，B两种型号的新能源汽车60辆，已知A型车的售价为25万元/辆，B型车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进B型车的数量不少于A型车的2倍，设购进a辆A型车，60辆车全部售完获利w万元，该经销商应购进A，B两种型号车各多少辆，才能使w最大？w最大为多少万元？ 【变式3】（2025·广东潮州·一模）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同． (1)求A，B两种型号汽车的进货单价； (2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价xA（万元台）满足函数关系yA＝﹣xA+18；B型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝﹣xB+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元． ①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？ ②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？ 1．（2025·广东韶关·二模）不等式组的解集为（    ） A．无解 B． C． D． 2．（2025·广东·三模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·三模）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东汕头·一模）如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 5．（2025·广东深圳·模拟预测）不等式组的解集为 ． 6．（2025·广东东莞·一模）若点在第四象限，则m的取值范围是 ． 7．（2025·广东惠州·二模）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 8．如果关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是 ． 9．（2025·广东广州·三模）解不等式组： 10．（2025·广东深圳·模拟预测）综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用：______元． 素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． 任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 11．（2025·广东广州·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（2023·广东深圳·模拟预测）如果是一个不等于的负整数，那么，，，这几个数从小到大的排列顺序是（    ） A． B． C． D． 14．不等式组无解，则的取值范围是 ． 15．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则x的取值范围是 ． 16．（2025·广东深圳·模拟预测）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4250元购买了红、蓝两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 红色文化衫 25 45 蓝色文化衫 20 35 (1)学校购进红、蓝文化衫各几件？ (2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫200件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的3倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 17．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 19．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 22．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是 ． 23．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ． 24．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 25．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 26．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 27．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 28．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 29．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 30．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 31．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 32．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 33．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． (1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 34．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 35．（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 36．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 37．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 38．（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 39．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 40．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第04讲 不等式（组）及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 22 命题点一 不等式的有关概念及性质 题型01不等式的性质 命题点二 一元一次不等式 题型01解一元一次不等式 题型02求一元一次不等式的整数解 题型03数轴上表示不等式的解 题型04一元一次不等式的新定义问题 命题点三 一元一次不等式组 题型01解一元一次不等式组 题型02解特殊不等式组 题型03求一元一次不等式组的整数解 题型04不等式组和方程组相结合的问题 题型05不等式组的新定义问题 命题点四 不等式（组）的应用 题型01列不等式（组） 题型02不等式（组）的实际应用 05·重难突破·思维进阶难 76 突破一一元一次不等式（组）的含参问题 突破二不等式组与方程组的综合 突破三不等式（组）的新定义问题 突破四不等式（组）的实际应用综合 06·优题精选·练能提分 59 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 不等式的有关概念及性质 掌握不等式的相关概念；理解不等式的基本性质，并学会用不等式的基本性质解不等式； 一元一次不等式 掌握一元一次不等式的解法与应用；了解一元一次不等式的含参问题的解法； 一元一次不等式组 广州卷T17 深圳卷T15 广东卷T12 广东卷T8 广州卷T5 掌握一元一次不等式组的解法；熟练掌握一元一次不等式组的含参问题；了解不等式组和方程组的相关联问题； 不等式（组）的应用 深圳卷T17 深圳卷T17 广东卷T14 深圳卷T19 掌握不等式（组）的实际应用问题； 命题预测 本专题包含不等式的基本性质、一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题时注意不等式与等式性质的区别，试题多以选择题、填空题的形式出现，难度一般，题目中经常出现非负整数、正整数等名词，注意其含义. 对于不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 用不等式(组)解决实际问题，多以解答题形式出现，难度一般，其多与二元一次方程组或分式方程等结合，解题的一般步骤类比列方程解应用题的步骤，依次为审、设、列、解、答.需要注意的是找出重要的数量信息，确定不等关系，以及“不超过”“不少于”等词语与不等号间的转化，问题中的“不超过”“不少于”“至少”“最多”等表示不等关系的词语在设未知量的过程中不体现，体现在列不等式上. 针对2026年广东的中考数学来说，本专题内容的考查难度不大，建议学生加强对不等式（组）基础概念的理解，掌握一元一次不等式（组）的解法，并注重实际应用和综合题型的练习. 考点一 不等式的有关概念及性质 知识点一、不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点二、不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点三、不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 1．（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·广东广州·三模）若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由可得，，，无法得出，选项错误； B、由可得，，选项错误； C、由可得，，选项正确； D、由可得，当时，；当时，；当时，，选项错误； 故选：C． 3．（2025·广东惠州·二模）若，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了不等式的性质，首先由得到，然后根据不等式的性质逐项求解分析即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A正确； ∴，故B，C错误； ∴ ∴，故D错误． 故选：A． 4．（2025·广东汕头·一模）已知，下列不等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式变形正确，不符合题意； B、由可得，原式变形正确，不符合题意； C、由可得，原式变形错误，符合题意； D、由可得，则，原式变形正确，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·广东河源·一模）若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴，即， ∴，故A选项错误，不符合题意； B． ∵，， ∴，故B选项错误，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故D正确，符合题意． 故选D． 考点二 一元一次不等式 知识点一、一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 知识点二、一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 知识点三、解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 6．（2023·广东·中考真题）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折． 【答案】8.8 【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设打x折，由题意得， 解得：； 故答案为8.8． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 7．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 8．（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． (1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ (2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 【答案】(1)购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元 (2)至少买乙种快餐20份 【分析】（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元； （2）解：设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份， 依题意得：， 解得：． 答：至少买乙种快餐20份． 9．（2024·广东·模拟预测）某商场计划购进、两种新型节能风扇共100台，这两种风扇的进价、售价如表所示： 类型/价格 进价（元/台） 售价（元/台） 型 60 80 型 80 110 (1)若商场预计进货款为6500元，则这两种风扇各购进多少台？ (2)若商场规定型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批风扇时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1)型风扇购进75台，则型风扇购进25台 (2)型风扇购进34台，型风扇购进66台时获利最多，此时利润为2660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；找出等量关系式是解题的关键． （1）设型风扇购进台，则型风扇购进台，列出方程，即可求解． （2）设总利润为元，列出关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设型风扇购进台，则型风扇购进台， 由题意，得， 解得， 则型风扇购进台． 答：型风扇购进75台，则型风扇购进25台； （2）解：∵型风扇的进货数量不超过型风扇数量的2倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴（元）． ∴型风扇购进34台，型风扇购进66台时获利最多，此时利润为2660元． 10．（2024·广东深圳·二模）冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进A款玩偶个， B款玩偶个 (2)购进A款玩偶个，购进B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用， 对于（1），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据题意可以列出相应的方程，然后求解即可； 对于（2），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据题意可求出，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得出的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个， 由题意可得：， 解得：， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个； （2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元， 由题意可得：． ∵， 随的增大而增大． 网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半， ， 解得：， 当时，取得最大值，此时， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元． 考点三 一元一次不等式组 知识点一、一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 知识点二、一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三、解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 11．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集． 【答案】，画图见解析 【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 则不等式组解集为． 12．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；；；见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 13．（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 14．（2023·广东广州·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为：    故选：B． 【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点． 15．（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 由不等式组有且只有两个奇数解，得到， 解得：， 即整数，3，4，5，6，7，8，9， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程解为非负整数， 得到，6，8，之和为16， 故选：B． 考点四 不等式（组）的应用 知识点一、用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 知识点二、一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 16．（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． (1)求A，B玩具的单价； (2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元； (2)最多购置100个A玩具． 【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解； （2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元； 由题意得：； 解得：， 则B玩具单价为（元）； 答：A、B玩具的单价分别为50元、75元； （2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个， 由题意可得：， 解得：， ∴最多购置100个A玩具． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系． 17．（2024·广东·二模）A超市要用不超过元的资金采购进货价每千克4元的番茄和每千克8元的油豆角共计千克（重量取整数），且油豆角的重量不少于番茄重量的3倍．该超市计划将所进蔬菜加价进行销售． (1)求A超市有多少种进货方案； (2)求获利最多的方案及最多获利多少元； 【答案】(1)有6种进货方案 (2)购进番茄千克，油豆角千克获利最多，获利元 【分析】本题考查了一元一次不等式组实际应用中的经济问题，一次函数的性质，分析题目列出不等式组和利润函数表达式是解题关键． （1）根据蔬菜总量表示出油豆角的重量，再结合资金的不等关系与油豆角重量的不等关系列出不等式组求解即可． （2）分别计算番茄和油豆角的利润，写出总利润的函数表达式，利用一次函数的增减性判断最值即可． 【详解】（1）解：设购进番茄x千克，则购进油豆角千克， 依题意得：， 解得：． 又∵x为整数， ∴x可以取120，121，122，123，124，125． ∴A超市共有6种进货方案． （2）设获利w元，则． ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当，w取得最大值，最大值为； 此时． 答：购进番茄120千克，油豆角380千克获利最多，获利880元． 18．（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元 (2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，根据“需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆”列出一元一次不等式组，解不等式组，即可得到租车方案；写出所有设计方案，再求出每个方案的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元， 由题意得， 解得． 答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元； （2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆， 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x为7或8或9， ∴有三种租车方案； 方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）； 方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）； 方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）； ∵， ∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算． 19．（2025·广东深圳·三模）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等．请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务： 材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人． 材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元． 型号 每辆载客量 每辆租金 甲型号 30 320 乙型号 45 400 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务． (1)请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场． (2)有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？ 【答案】(1)在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆 (2)有三种租车方案供学校选择，最少租车费用为7040元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用. （1）方法一：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆，根据题意列二元一次方程组计算即可； 方法二：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆，根据题意列方程求解即可； （2）设学校租用型号客车辆车，租用型号客车辆，求出，根据为整数分情况讨论即可. 【详解】（1）方法一： 解：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆． 根据题意，得： 解得： 答：在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆． 方法二： 解：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆． 根据题意，得： 解得： 答：在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆． （2）解：设学校租用型号客车辆车，租用型号客车辆． 根据题意，得： 解得：， 为整数， 的整数解为10、11、12，即：学校有3种租车的方案． ①租用A型号10辆，租用B型号10辆，租金为：（元）； ②租用A型号11辆，租用B型号9辆，租金为：（元）； ③租用A型号12辆，租用B型号8辆，租金为：（元）． ， 最少的租车费用为7040元． 答：有三种租车方案供学校选择，最少租车费用为7040元． 20．（2025·广东深圳·二模）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元． 信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用． 【答案】任务一：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元；任务二：方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车；方案一的花费最少，比预算节省200元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是： （1）设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元，根据“校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元”列方程组求解即可； （2）设租用辆大型客车，租用辆中型客车，根据总载客量不少于460人且总租金不超过4900元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租车方案，然后求出选择各租车方案所需总租金，比较即可得出结论． 【详解】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元．根据题意得： ， 解得 所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元． 任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车， 根据题意得： ， 解得， 为正整数，所以可以为8或9． 方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车 方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车． ∵方案一的费用为：（元） 方案二的费用为：（元） ∴方案一的花费最少，比预算节省200元． 命题点一 不等式的有关概念及性质 ►题型01 不等式的性质 性质1 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 互逆性 若a＞b，则b＜a，若a＜b，则b＞a 传递性 若a＞b，b＞c，则a＞c 【典例1】（2025·广东·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质．根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：A、∵，∴，本选项错误，故本选项不符合题意； B、∵，∴，本选项错误，故本选项不符合题意； C、∵，∴，正确，故本选项符合题意； D、∵，∴，本选项错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 【典例2】（2025·广东广州·一模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，熟记不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、则，原写法错误，不符合题意； B、则，原写法正确，符合题意； C、则，原写法错误，不符合题意； D、则，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025·安徽宿州·一模）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．由得，代入，即可求得，同理可求得，再根据不等式的基本性质，可逐步求得，的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 选项A错误； ， ， ， ， ， ， 选项B错误； ，， ， ， ， 选项C正确； ，， ， ， ， 选项D错误． 故选：C． 【变式2】（2025·广东清远·模拟预测）若 ，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． 【详解】解：若， ，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项正确，符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式3】（2025·广东广州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、不等式的性质、二次根式的性质，由题意可得，从而可得，结合题意得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴或． ∵，， ∴． ∴的最小值为． 答案为：． 命题点二 一元一次不等式 ►题型01 解一元一次不等式 【典例1】（2024·广东·模拟预测）不等式的解集为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题关键是掌握大于或大于等于向右边，小于或小于等于向左边，有等号的用实心点表示，不含等号的用空心点表示，公共部分为解集，无公共部分表示无解．根据空心圆圈向右表示大于，实心圆圈向左表示小于等于．先解不等式，再根据不等式的解集在数轴上的表示方法确定答案即可． 【详解】解：， ， 在数轴上表示如下： ， 故选： 【典例2】（2025·广东东莞·模拟预测）关于x的不等式中，某个不等式的解如图所示，则这个不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；是定方向，定方向的原则是∶“小于向左，大于向右”．根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论． 【详解】解∶处是实心圆点，且折线向右， 这个不等式的解集为． 故选 ∶A． 【变式1】（2025·广东广州·二模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故答案为：． 【变式2】（2025·广东广州·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求出不等式的解集是解题的关键． 根据解一元一次不等式的方法解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴． 【变式3】（2025·广东广州·一模）规定：时，表示两数中较大的一个，如，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查对新定义运算的理解和应用，解一元一次方程，解一元一次不等式，掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法是正确解答的关键．分两种情况，即和分别解答即可． 【详解】解∶当时， 即时，有， 解得 (不合题意，舍去)， 当时，即时，有， 解得． 故答案为∶ ►题型02 求一元一次不等式的整数解 【典例1】（2025·广东汕头·一模）满足不等式的最小整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解．先求出不等式的解集，再求出整数解即可． 【详解】解：解不等式，得， 所以最小整数解是． 故答案为：． 【典例2】（2025·陕西西安·二模）写出一个满足不等式的正整数的值 ． 【答案】1（答案不唯一，填2，3，4，5也正确） 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 解得， ∴满足不等式的正整数的值为1，2，3，4，5， 故答案为：1（答案不唯一，填2，3，4，5也正确）． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的正整数m的值为 ．（只需要填一个） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键． 由方程两个不相等的实数根，得到，再求不等式的解集即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 则满足条件的正整数m的值有：6，5，4，3，2，1， 填写一个即可， 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式2】（2025·广东广州·一模）不等式的非负整数解共有 个． 【答案】6 【分析】先求出不等式的解集，然后再求出不等式的非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：， ∴非负整数解有5、4、3、2、1、0共6个． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了解不等式，求不等式的非负整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤，得出不等式的解集． 【变式3】（2025·广东阳江·一模）关于、的方程组的解与满足条件，则的最大整数值是 ． 【答案】 【分析】解方程组得到，由得出关于的不等式，解之可得的取值，即可得出的最大整数值． 【详解】解：解方程组， ①②得，即， ， ， 解得：， 则的最大整数值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键． ►题型03 数轴上表示不等式的解 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 【典例1】（2024·广东·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上，根据解一元一次不等式的步骤分别求出两个不等式的解集，再把它们的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式， 移项得：， 合并同类项得：， 把不等式的解集表示在数轴上如下图所示： 故选：D． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解法并把解集表示在数轴上，解题的关键是正确的解不等式；先根据解不等式的步骤分别得到两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间”得到不等式组的解集，表示在数轴上即可得到答案； 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 故选B． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求解不等式组中的两个不等式，再确定不等式组的解集，最后判断其在数轴上的表示．本题主要考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得． 解不等式，得． 所以不等式组的解集为，在数轴上的表示为 故选：C． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再取两个不等式的解集的公共部分即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解：解不等式①，可得， 解不等式②，可得， 在同一数轴上表示不等式①②的解集， 所以，原不等式组的解集是 【变式3】（2024·天津南开·二模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示不等式和不等式组的解集等知识点，正确求得各不等式的解集成为解题的关键． （1）根据不等式的性质解不等式即可； （2）先去括号，然后根据不等式的性质解不等式即可； （3）在数轴上分别表示出两不等式的解集即可； （4）根据（3）的数轴表示直接写出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）解： ． 故答案为：． （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）解：根据（3）的数轴表示可知： 该不等式组的解集为：． 故答案为：． ►题型04 一元一次不等式的新定义问题 【典例1】（2025·广东广州·二模）对于实数、，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，根据新定义可得不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：由题意得，不等式组即为不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ， 故选：A． 【典例2】（2025·广东汕头·一模）定义一种新运算“”，规定当时，；当时，．例如：．如果，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键． 根据新定义运算，分两种情况得到方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：当即时， ，解得：， 当即时， ，解得：， 综上可得：的值为或 故答案为：或． 【变式1】（2023·广东广州·二模）定义运算“”为：当时，；当时，．例如：．若则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据定义新运算的运算法则，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：当,即时，，即； 当，即时，，即，无解，舍去； 综上所示，， 故选：． 【点睛】本题主要考查定义新运算，不等式的综合，掌握定义新运算的运算法则，不等式的性质是解题的关键． 【变式2】定义＝ad﹣bc，例如：＝1×4﹣（﹣3）×2＝10，若≤7，则非负整数x的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据新定义的运算法则进行化简，然后根据一元一次不等式的解法可求出x的范围，从而可求出非负数x的个数． 【详解】解：由题意可知：（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣2）≤7， ∴x2﹣1﹣x2+2x≤7， ∴2x﹣1≤7， ∴2x≤8， ∴x≤4， ∴非负数x可取0，1，2，3，4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，明确新定义的运算法则． 【变式3】定义一种法则“”如下：，例如：，，若，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据新定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 命题点三 一元一次不等式组 ►题型01 解一元一次不等式组 【典例1】（2024·广东·模拟预测）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不了”的原则是解答本题的关键； 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：，解得， 由②得：，解得， ∴不等式组的解集为． 【典例2】（2024·广东·模拟预测）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组组的解法，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解答本题的关键．先解出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，即可作答． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 【变式1】（2024·广东·二模）已知点在第四象限，且m为整数，则m的值是（    ） A．3 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的解集，已知点所在的象限求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据点在第四象限，列出关于m的不等式组求解，再结合m为整数，得出m的值． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，解得：， 又m为整数， ∴m的值是3， 故选：A． 【变式2】（2025·广东中山·一模）若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，先解方程组，用m表示出x，y的值，然后根据x，y都是正数列关于的不等式组求解即可． 【详解】解： ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 关于x、y的方程组的解是正数， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（2024·广东东莞·二模）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集是， 不等式组的整数解是 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解． 【详解】 由①得：得 由②得：得， 所以不等式组的解集是：， 则不等式组的整数解是：． ►题型02 解特殊不等式组 【典例1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下： 解不等式：． 解：∵， ∴原不等式可化为． ∵两数相乘，同号为正， ∴①或② 由①得，由②得， ∴原不等式的解集为或． 请用以上方法解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意可得两个不等式组: 或，解不等式即可求解； （2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵，        ∴． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ①或② ∴解不等式组①，得 解不等式组②，得， 故原不等式的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （2）解：由题得不等式， 根据“两数相除，同号得正，异号得负” 得①，或②， ∴解不等式组①得，， 不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，分式不等式以及整式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型. 【典例2】（2025·广东广州·一模）对于有理数，我们规定表示不大于的最大整数，例如：，，，若，则整数的取值是 ． 【答案】-17或-16或-15 【分析】根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】∵[x]表示不大于x的最大整数， ∴-5≤＜-5+1， 解得-17≤x＜-14． ∵x是整数， ∴x取-17，-16，-15. 故答案为：-17，-16，-15． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，关键是根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，求出不等式组的解集． 【变式1】已知的解集为，则的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，利用换元法，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴则的解集为， ∴； 故答案为：． 【变式2】【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了不等式的性质，求一元一次不等式，解特殊不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （2）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （3）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ， 又， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （2）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （3）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ， ∵， 同理， 由得， ∴， 即取值范围是． 【变式3】（2025·广东东莞·一模）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． ►题型03 求一元一次不等式组的整数解 解题方法：解不等式得到的最终形式有：，，，，对应有解或无解的情况如下表： 【典例1】（2025·广东清远·三模）关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有 个． 【答案】3/三 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的整数解．根据数轴得到不等式组的解集为，据此即可得到该不等式组的整数解的个数． 【详解】解：由数轴可知关于的不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解有，共3个， 故答案为：3 【典例2】（2025·广东揭阳·一模）不等式组的最小整数解是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的最小整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而可得不等式组的最小整数解． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的最小整数解为3， 故答案为：3． 【变式1】（2025·广东揭阳·一模）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，列出关于的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故选：D 【变式2】（2023·河北邯郸·二模）关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵不等式组有3个整数解， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键． 【变式3】（2025·广东深圳·一模）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】1≤m＜4 【分析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x≤，根据不等式组有且只有三个整数解得出1≤＜2，解之可得答案． 【详解】解不等式，得：x＞﹣2， 解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴1≤＜2， 解得：1≤m＜4， 故答案为：1≤m＜4． 【点睛】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法． ►题型04 不等式组和方程组相结合的问题 【典例1】（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 【典例2】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， 故选：C． 【变式1】若关于，的二元一次方程组的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，根据题意得出关于k的不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解方程组 得：， 关于，的二元一次方程组的解为正数， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于k的不等式组是解此题的关键． 【变式2】已知数m使关于x的不等式组至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程有不大于5的整数解，则所有满足条件的整数m的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别解不等式组的两个不等式，根据“关于x的不等式组至少有一个非负整数解”，得到关于m的一元一次不等式，解之，解分式方程，结合“该分式方程有不大于5的整数解”，得到关于m的不等式，解之，经判断后即可得到m的值，即可得到答案． 【详解】解不等式﹣11x﹣5≤6得： x≥﹣1， 解不等式＞x﹣m得： x＜2m， ∵关于x的不等式组至少有一个非负整数解， ∴2m＞0， 解得：m>0， 解分式方程得： x＝，且x≠2， ∵关于x的分式方程有不大于5的整数解， ≤5且≠2， 解得：m≤13且m≠1， 则符合要求的m的值为：5，9，13，共3个， 故选：C． 【点睛】此题考查解不等式组，解不等式，根据不等式组及不等式的解的情况确定未知数的值，正确求解很关键. 【变式3】（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． ►题型05 不等式组的新定义问题 【典例1】（2025·四川南充·模拟预测）定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 利用题中的新定义运算化简不等式组，求出解集，即可求出整数解的个数． 【详解】解：， 将不等式组化简得， 解得， 解得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共个， 故答案为：． 【典例2】（2023·广东东莞·一模）定义新运算：．例如，，则不等式组的解集为(    ) A． B． C．无解 D． 【答案】B 【分析】根据新定义得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，根据题意列出一元一次不等式组是解题的关键． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）定义：x*y＝x－my，如2*3＝2－3m，已知1*2≤5，则m的取值范围是 【答案】m≥-2 【分析】根据新定义1*2＝1-2m，再列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵1*2=1-2m，1*2≤5， ∴1-2m≤5， 解得m≥-2． 故答案为：m≥-2． 【点睛】本题考查新定义运算问题，仔细阅读题干，掌握运算法则，根据运算法则把1*2转化为1-2m，然后列不等式是解题关键． 【变式2】定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数． 例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣1.5]=﹣2． （1）[﹣]=　 　； （2）如果[a]=3，那么a的取值范围是　 　； （3）如果[]=﹣3，求满足条件的所有整数x． 【答案】(1)-4;(2) 3≤x＜4;(3) 满足条件的所有整数x的值为﹣3、﹣2 【分析】（1）根据新定义即可得； （2）根据新定义即可得； （3）由新定义得出-3≤＜-2，解之可得x的范围，从而得出答案． 【详解】解：（1）[-]=-4， 故答案为-4； （2）如果[a]=3，那么a的取值范围是3≤x＜4， 故答案为3≤x＜4； （3）由题意得-3≤＜-2， 解得：-3≤x＜-， ∴满足条件的所有整数x的值为-3、-2． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解． 【变式3】（2024·山东德州·二模）对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有3个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为： ，解得：， ∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3， ∴ 故选：B． 命题点四 不等式（组）的应用 ►题型01 列不等式（组） 【典例1】（2025·广东佛山·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键．根据题意用表示出，即代入，即可判断A，进而得出，代入，即可判断B，进而判断C，根据，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∴，则，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故D选项正确 ，不符合题意； 故选：C． 【典例2】（2024·浙江杭州·三模）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于．据此情境，可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式组，解题的关键是理解题意，根据酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于，列出不等式组即可． 【详解】解：∵脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于， ∴， 故选：A． 【变式1】检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，从而得出答案． 【详解】解：根据题意知7.2≤≤7.8， ∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握平均数的定义． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（    ） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得种植的树木的数量为（7x+9）棵，再根据关键语句“每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵”列出不等式组即可． 【详解】解：设同学人数为x人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，关键是根据题意设出未知数，然后得出相应的不等式组即可． 【变式3】（2025·广东汕头·一模）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． ►题型02 不等式（组）的实际应用 【典例1】（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【答案】(1)匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元 (2)①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个 【分析】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元． （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个． 由题意得：， 又取正整数， 可取5，6 当时，匹克球数量为：个； 当时，匹克球数量为：个． 答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个． 【典例2】（2025·广东深圳·二模）据以下素材，探索完成任务． 如何设计销售方案？ 素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元． 素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． 素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍． 问题解决 任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题：_____（用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价． 任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润． 【答案】任务1：；任务2：每千克茶叶50元，每千克花生10元；任务3：当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的实际应用． 任务1  根据每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，用x表示出y值即可． 任务2  根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 任务3  设花生销售m千克，茶叶销售千克获利最大，利润w元，根据题意列出关于m的一元一次不等式组求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数，根据函数的性质即可得出答案． 【详解】解：任务1：假设每千克茶叶的售价为元/千克， 每千克花生的售价为元/千克， 任务2：根据题意得：， 解得：， 则（元）， 答：每千克茶叶50元，每千克花生10元； 任务3：设花生销售m千克，茶叶销售千克获利最大，利润w元， 由题意得：， 解得：， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，利润最大， 此时花生销售30千克，茶叶销售（千克）， ∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大． 【变式1】（2025·广东清远·一模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额． 【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨； (2)与的函数关系式为，最少购买金额为46.4万元． 【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用； （1）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物为吨，然后根据题意可列分式方程进行求解； （2）由题意可得购买型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式，由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物为吨，由题意得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； ∴（吨）， 答：每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物为吨． （2）解：由题意可得：购买型机器人的台数为台， ∴； 由题意得：， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，即为， 即：与的函数关系式为，最少金额为万元． 【变式2】（2025·广东惠州·一模）根据以下素材，完成“问题解决”中的任务1和“问题拓广”中的任务2． 怎样知道某文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个 调查 活动 素材1 某校数学兴趣小组在学习了“分式与分式方程”的内容后进行“综合与实践”活动． 素材2 该数学兴趣小组成员小明同学收集到如下信息： ①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元； ②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同． 交流 质疑 小明同学把收集到的信息和组内同学交流后，小刚同学表达了自己的看法，他认为小明同学没有收集到“A、B两种商品具体的购进数量”这一重要信息，没法进行系统研究． 问题 解决 任务1 你对此有何看法？请你根据上述信息，就“该文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个”这一问题，提出一个解决该问题的方案，并写出解答的过程．（只写出解答的过程即可） 问题 拓广 任务2 该文具店计划购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个．要使这批A、B两种商品全部售完后，该文具店获取的利润最大，应怎样安排A、B两种商品的购进数量？并求出最大利润是多少元？ 【答案】任务1：文具店A种商品的进价为20元/个，B种商品的进价为16元/个；任务2：购进A种商品105个，购进B种商品95个时，最大利润是1010元， 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出分式方程；任务2：找准关系，正确列出一元一次不等式组． 任务1：设文具店A种商品的进价为元/个，B种商品的进价为元/个，根据“①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元；②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同”，列出分式方程求解即可； 任务2：设购进A种商品个，购进B种商品个，根据“购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个”，列出不等式组，再求解即可． 【详解】解：任务1：设文具店A种商品的进价为元/个，B种商品的进价为元/个， 依题意可得：， 解得 经检验是方程的解， ， 答：文具店A种商品的进价为20元/个，B种商品的进价为16元/个； 任务2：设购进A种商品个，购进B种商品个， 由题意得， 解得， ， 利润为：， ， 利润随着的增大而增大， 当时，利润的最大值为1010元， 答：购进A种商品105个，购进B种商品95个时，最大利润是1010元 【变式3】（2024·广东中山·二模）为了响应“建设绿美中山”的号召，我市某学校计划从某苗木基地购进A、B两种树苗共200棵绿化校园．已知购买3棵A种树苗和4棵B种树苗共需620元；购买2棵A种树苗和3棵B种树苗共需440元． (1)每棵A种树苗、B种树苗各需多少元？ (2)学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元，设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系． (3)在（2）的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)每棵A种树苗需要100元，每棵B种树苗需要80元 (2) (3)当购进100棵A种树苗，100棵B种树苗时，总费用最少，最少费用为22000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每棵种树苗需要元，每棵种树苗需要元，根据“购买了3棵种树苗和4棵种树苗共需620元；购买2棵种树苗和3棵种树苗共需440元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由购进两种树苗的总棵数及购进种树苗的棵数，可得出学校购买种树苗棵，利用购买两种树苗及运输、种植所需的总费用单价数量每棵树苗的运输及种植费用，即可找出与的函数关系式； （3）根据“购买种树苗的数量不少于种树苗的数量，且学校用于绿化的总费用在22400元限额内”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每棵种树苗需要元，每棵种树苗需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：每棵种树苗需要100元，每棵种树苗需要80元； （2）解：学校计划从某苗木基地购进、两种树苗共200棵绿化校园，且学校购买种树苗棵， 学校购买种树苗棵． 根据题意得：， 即； （3）解：根据题意得：， 解得：． ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值，此时． 答：当购进100棵种树苗，100棵种树苗时，总费用最少，最少费用为22000元． 突破一 一元一次不等式（组）的含参问题 【典例1】（2025·广东深圳·三模）若关于的一元一次不等式组无解，则的值可以是 ．（写出一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式组无解，可得出a的范围，进而在范围内选出一个数即可． 【详解】解：若关于的一元一次不等式组无解，则， 的值可以是， 故答案为：答案不唯一． 【典例2】（2025·广东东莞·一模）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据恰好有3个整数解可得，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴这个不等式组的3个整数解为， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1】．（2025·广东揭阳·一模）若关于的不等式组的解集只有4个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，先求出一元一次不等式组的解集，再根据原不等式组有4个整数解得． 【详解】解：， 解不等式①得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组的解集只有4个整数解， ∴， 故答案为：． 【变式2】如果关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，正确的掌握这两个知识点是解题的关键．解分式方程可得，求出a为1、3、6，由不等式组至少有两个偶数解可求出a的取值范围，则满足条件的整数a有两个． 【详解】解： 当时， 解得：， ∵方程有正整数解，且即， ∴、3、6， 解不等式组， 解得， 关于y的不等式组至少有两个偶数解， ∴， ∴， ∴满足条件得整数a有两个， 故选：C． 【变式3】（2023·广东江门·一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出两个方程的解，再解不等式组，根据题意可得且，即可解答． 【详解】解：解方程，得：， 解方程，得：， 由，得：， 由，得：， 均是不等式组的解， 且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解题意，熟练解一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 突破二 不等式组与方程组的综合 【典例1】（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 【典例2】若数 使关于 的一元一次不等式组 的解集是，且使关于 的分式方程有非负整数解，则符号条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查不等式组与分式方程的求解综合，先根据不等式组的解集为求出m的取值，再根据分式方程有非负整数解得到m的取值，故可得到符合条件的所有整数m的值，即可求解． 【详解】解 由①得， 由②得， ∵解集是， ∴， 解， 去分母得， 解得y=， ∵有非负整数解， ∴且， ∴且， 解得，且， ∴且， ∵m为整数，为非负整数， ∴， 1，3，5， 故， 故答案为6． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； (3)若，求p的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)p的最大值是5，最小值是 【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足 为非正数， 不大于 0 ，就可以得出 的范围； （2） 解不等式 ，再根据即可求解； （3）分，，三种情况进行分类讨论； 【详解】（1）解原方程组得：， 因为 为非正数， 不大于 0 ， 所以可得：， 解得： ； （2）解不等式 得： ， 因为 ， 所以 ， 解得: ， 所以 ， 所以整数 的值为 或 ； （3）因为 ， 当 时，， 因为 ， 所以当 时， 有最大值是 5 ； 当 时， 有最小值是 ， 当 时，， 综上所述， 的最大值是 5 ， 最小值是； 【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解；求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 (无解) 【变式2】已知且，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由得：，再代入，再解不等式组即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是方程组与一元一次不等式组的综合题，熟练的利用整体未知数法解题是解本题的关键． 【变式3】（2025·河南商丘·一模）已知点P的坐标满足方程组． （1）若，则点P的坐标是 ； （2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）将a、b的值代入方程组，解方程即可得解； （2）解方程组求出P点坐标，再根据P点在第二象限求解出a、b的范围，根据a只有三个整数满足要求即可求解． 【详解】（1）代入a、b的值， 可得，解得：， 则P点坐标为(-3,0)； （2）解方程组：，得：， ∵P点在第二象限， ∴有不等式，，解得， ∵a只有三个整数满足要求， ∴a可以取的数为1、2、3， ∴b的取值范围为：， 故答案为：①(-3,0)，②． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、坐标的特点、一元一次不等式的解法等知识，理解题意及掌握相关知识是解答本题的关键． 突破三 不等式（组）的新定义问题 【典例1】（2023·广东深圳·模拟预测）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可． 【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为： 解不等式①可得： 解不等式①可得： 因为该不等式组的解集为 ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算． 【典例2】（2023·广东东莞·模拟预测）定义向下取整记号，其表示不超过实数的最大整数．已知，且，求得的值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意可知或，再根据已知条件得到不等式组，求出，即可得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了新定义的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意得到是解题的关键． 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，概率公式，解一元一次不等式，难度较大，正确运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意可知，则．①当时，；②当时， ，；③当时，，分别求解计算即可． 【详解】解：由题意可知． ∵，m，n均为正整数， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴n的值可以是1，2，3，4，对应的m的值分别为3，4，5，6， 此时的值可以是8，12，16，20． ②当时， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ③当时，， ∴， ∴，不符合题意． 综上可知，不超过20的智慧数有5个，分别为8，12，15，16，20，其中是奇数的有1个，故所求概率为． 故选：D． 【变式2】（2025·广东汕头·一模）定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值； （2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，若，， ∴， 解得； （2）解：关于的不等式组， 整理得， 解得， 解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 整理得， ∵的解集为， ∴且， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 将代入得， ∵， ∴． 【变式3】（2025·广东东莞·一模）若定义一种新运算例如：；，下列说法： ①； ②若，则或； ③若，则或 ④与直线（m为常数）有2个交点，则． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据新运算可判断①正确；根据新运算分两种情况结合一元二次方程可判断②正确；根据新运算分两种情况结合一元一次不等式可判断③正确；根据新运算分两种情况结合一次函数的性质可判断④正确，即可． 【详解】解：①，故①正确； ②若，即， 则， 解得：，不符合题意，应舍去； 若，即， 则， 解得：，不符合题意，应舍去，故②错误； ③若，即， 此时， 解得：， 若，即， 此时， 解得：， ∴， ∴若，则或，故③错误； ④若，即， 此时， 此时与直线（m为常数）不可能有2个交点； 若，即， 此时， 此时与直线（m为常数）不可能有2个交点 综上所述，正确的个数有1个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，一次函数的图象和性质，理解新运算，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 突破四 不等式（组）的实际应用综合 【典例1】（2025·广东阳江·一模）东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 (1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1) (2)当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：单价与单价和数量的关系，正确列出二元一次方程组；列出w关于a的函数关系式． （1）设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的增减性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元， 根据题意得：， 解这个方程组得： （2）根据题意，得 由已知，得， 解得：． 是正整数， 可取18，19，20． ， 随的增大而增大， 当a取最小值18，时，取得最小值， 即． 答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元． 【典例2】（2025·广东惠州·一模）某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式 ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)普通练习本：元；精装练习本：元 (2)；②普通练习本进本，精装练习本进本，利润最大，最大为元 【分析】（1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据等量关系式：本普通练习本销售总额精装练习本销售额元；本普通练习本销售额精装练习本销售额元，列出方程，解方程即可； （2）①购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可； ②先求出的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案． 【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元． （2）解：购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据题意得： ； 普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍， ， 解得：， 中， 随的增大而减小， 当时，取最大值， （个）， （元）， 答：当购买个普通练习本，个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式． 【变式1】王老板预定了一批羊排、羊腿、精品单肉，第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为，若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部实完，总利润率为，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的，则精品羊肉的单价最低为 元． 【答案】40 【分析】设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为斤，羊腿数量为斤，设第二批总重量为y斤，则第二批羊腿重量为斤，根据题意，得，求得，从而求得第二批羊排重量为斤，精肉重量为斤，总成本为，设羊排价格为m元，精肉价格为n元，则总利润为，根据题意，得，，求n的最小值即可． 【详解】解：设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为斤，羊腿数量为斤，设第二批总重量为y斤，羊排重量为a斤，则第二批羊腿重量为斤， 根据题意，得， 解得， ∵羊排和精品羊肉的总数量之比为， ∴，解得， ∴精肉重量为斤， ∴总成本为元， 设羊腿价格为m元，精肉价格为n元， 则总利润为元， 根据题意，得： ，解得， ∵羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的， ∴， 解得，∴n的最小值为40． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用（利润问题），最值问题，正确理解题意，合理设未知数，列出符合题意的等式，不等式是解题的关键． 【变式2】（2024·广东深圳·二模）某新能源汽车经销商购进A、B两种型号的新能源汽车，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元． (1)求A、B两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进A，B两种型号的新能源汽车60辆，已知A型车的售价为25万元/辆，B型车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进B型车的数量不少于A型车的2倍，设购进a辆A型车，60辆车全部售完获利w万元，该经销商应购进A，B两种型号车各多少辆，才能使w最大？w最大为多少万元？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为16万元． (2)该店应购进A型汽车20辆、B型汽车40辆时，利润最大，最大利润是260万元． 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，然后根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元”列二元一次方程组求解即可； （2）根据“利用总利润=每辆车的销售利润×购进数量”可得，然后再根据“购进B型车的数量不少于A型车的2倍”列出不等式求得a的取值范围，然后再根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元． 依题意，得：，解得：． 答：A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为16万元． （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝20时，． 答：该店应购进A型汽车20辆、B型汽车40辆时，利润最大，最大利润是260万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组以及列出w关于a的函数关系式是解答本题的关键． 【变式3】（2025·广东潮州·一模）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同． (1)求A，B两种型号汽车的进货单价； (2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价xA（万元台）满足函数关系yA＝﹣xA+18；B型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝﹣xB+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元． ①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？ ②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元 (2)①B型汽车的最低售价为万元/台，②A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元 【分析】（1）设未知数，用未知数分别表示A型汽车、B型汽车的进价，然后根据花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同列分式方程求解即可． （2）①用利润公式：利润=（售价-进价）×数量，分别表示出A、B型汽车利润，然后列不等式求解即可；②B型号的汽车售价为t万元/台，然后将两车的总利润相加得出一个二次函数，求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得： ＝， 解得x＝8， 经检验x＝8是原分式方程的根， 8+2＝10（万元）， 答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元； （2）设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为（t+1）万元/台， ①根据题意，得：（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]≥（t﹣8）（﹣t+14）， 解得：t≥， ∴t的最小值为，即B型汽车的最低售价为万元/台， 答：B型汽车的最低售价为万元/台； ②根据题意，得： w＝（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]+（t﹣8）（﹣t+14） ＝﹣2t2+48t﹣265 ＝﹣2（t﹣12）2+23， ∵﹣2＜0，当t＝12时，w有最大值为23． 答：A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，二次函数的应用，理清数量关系，明确等量关系是解题关键． 1．（2025·广东韶关·二模）不等式组的解集为（    ） A．无解 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 故选：D． 2．（2025·广东·三模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键，分别解两个不等式，再求其解集的公共部分，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， 故选A． 3．（2025·广东深圳·三模）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 故选C． 4．（2025·广东汕头·一模）如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，设出未知数，列出不等式． 设数学书还可以摆m本，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设数学书还可以摆m本，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴数学书最多还可以摆47本． 故选：C 5．（2025·广东深圳·模拟预测）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 6．（2025·广东东莞·一模）若点在第四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特点，求不等式组的解集，熟练掌握象限内点的坐标特点，是解题的关键．根据第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：点在第四象限，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 7．（2025·广东惠州·二模）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式中对应不等式的解集，再根据大大小小找不到（无解）的口诀求解即可． 【详解】解： 解不等式②得：， ∵原不等式组无解， ∴， 故答案为：． 8．如果关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：解决此类问题的关键在于正确解不等式组，求得x的范围，根据不等式组有4个整数解即可得到关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：， 解得：， 则不等式组的解集是：， ∵不等式组有4个整数解， ∴． 故答案为：． 9．（2025·广东广州·三模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分，来确定出不等式组的解集． 【详解】解：∵ ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 10．（2025·广东深圳·模拟预测）综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用：______元． 素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． 任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】任务1：；任务2：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元；任务3：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 任务1：根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； 任务2：根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； 任务3：根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】解：任务1：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：；； 任务2：由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元． 任务3：设每年行驶里程为， 由题意，得， 解得． 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 11．（2025·广东广州·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 根据题意将方程组相减得，然后代入不等式求解即可即可得到m的最小整数解． 【详解】解：， 得：， ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为4， 故选：B． 12．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，反比例函数的图象和性质，求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，利用反比例函数的图象和性质，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组无解， ∴，，， 令， ∵， ∴反比例函数的图象在第四象限，随着的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 故选B． 13．（2023·广东深圳·模拟预测）如果是一个不等于的负整数，那么，，，这几个数从小到大的排列顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出m和的差，根据m的取值范围确定m和的大小关系和正负，再根据不等式的性质确定和的大小关系和正负，即可得出这四个数的大小关系． 【详解】解：． ∵是一个不等于的负整数， ∴m<0，m+1<0，，． ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 14．不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可． 【详解】不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， 解得：， 则的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键． 15．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】表示不大于x的最大整数，， ， 解得，， 故答案为． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 16．（2025·广东深圳·模拟预测）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4250元购买了红、蓝两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 红色文化衫 25 45 蓝色文化衫 20 35 (1)学校购进红、蓝文化衫各几件？ (2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫200件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的3倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)学校购进红文化衫50件，蓝文化衫150件 (2)学校购进红色文化衫150件时获得最大利润，最大利润是3750元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设学校购进x件红色文化衫，y件蓝色文化衫，利用进货总价=进货单价×购进数量，结合该学校从批发市场花4250元购买了红、蓝两种颜色的文化衫200件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校再次购买a件红色文化衫，件蓝色文化衫，全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每件红色文化衫的销售利润×购进红色文化衫的数量+每件蓝色文化衫的销售利润×购进蓝色文化衫的数量，可找出w关于a的函数关系式，由学校再次购进红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件， 依题意，得：， 解得：． 答：学校购进红文化衫50件，蓝文化衫150件； （2）解：设学校再次购进红文化衫a件，则蓝文化衫件，获得的利润为w元， 则， 由题意得， 解得， ∵，， ∴w随a的增大而增大． 当时，最大利润为3750元． 答：学校购进红色文化衫150件时获得最大利润，最大利润是3750元． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 18．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集是； 故选：A． 19．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 20．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 21．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】C 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求解两个一元一次不等式，然后确定不等式组的解集为两个解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ． 所以不等式组的解集是 ． 故答案为：． 23．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过两点，则，，由可求得的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点， 则， 即， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 24．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 25．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 26．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 27．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 28．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 29．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 30．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 31．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 32．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且x为整数 ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， 答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 33．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． (1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 【答案】(1)购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元 (2)至少购买A款材料包份 【分析】（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各是元和元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买A款材料包份，根据题意列出不等式求解即可． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式． 【详解】（1）解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元， 则，解得， 答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元． （2）解：设购买A款材料包份， ， 解得， ∵a为整数， ∴a最小为， 答：至少购买A款材料包份． 34．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 【答案】(1)一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶 (2)至少需要安装3条A型生产线 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解； （2）设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，根据“4个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶， 由题意得：， 解得：， 答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶； （2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小取， 答：至少需要安装3条A型生产线． 35．（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 【答案】(1)8 (2)至少需要6个这样的机器人 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴的值为8； （2）解：1小时， 设需要个这样的机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人． 36．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 37．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元 (2)共有6种购买方案，最低费用为900元 【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键． （1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为，再根据题意列出w与a的函数关系式为，根据一次函数的增减性可得时，w有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 由题意得． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 38．（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】(1)选用A、B两种食品分别为份和2份； (2)应选用A、B两种食品分别为2份和份； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用A、B两种食品分别为份和份，结合选用A、B两种食品分别为份和份，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份食品的质量为，每份午餐选用这两种食品共，则选用B种食品份，再列出不等式，得，然后设能量为，则，运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设选用A、B两种食品分别为份和份， ∵这两种食品中摄入能量和蛋白质， ∴， ∴， ∴选用A、B两种食品分别为份和2份； （2）解：设选用A种食品份， 依题意，， 即选用B种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时能量最低， 即， ∴应选用A、B两种食品分别为2份和份． 39．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例： (2)见解析 (3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 40．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 【答案】任务一：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元；任务二：有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；任务三：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 【分析】任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解； 任务三：由种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据此解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； 任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱， ∴最低购买费用为元， 答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $