1 平均变化率和瞬时变化率（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

2.1 平均变化率与瞬时变化率 题型一 平均变化率 1．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为k2，则（    ） A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．不确定 2．在区间上，函数①；②；③中平均变化率为定值的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若函数f（x）=2x2﹣1的图像上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（    ） A．4 B．4x C．4+2△x D．4+2△x2 4．（多选题）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（ ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为 5．（多选题）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（    ） A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 6．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 ． 7．已知某病人服用他克莫司t h后血药浓度的一些对应数据如下表所示. t 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3 (1)当和时，都是增加的，哪个时间段的增加更快？ (2)当时，平均每小时的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际意义？ 题型二 瞬时变化率 8．某物体的运动路程(单位：)与时间(单位：)的关系可用函数表示，则此物体在时的瞬时速度(单位：为（    ） A．1 B．3 C． D．0 9．如图，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点O匀速旋转(到OB处为止)时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为（   ）      A．      B．C．  D．   若把图中的圆改成如图（1）所示的半圆，正确的答案是哪个？如果改成图（2）中的三角形呢？    10．（多选题）如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（    ）    A．在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B．在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 11．（多选题）物体自由落体的运动方程为（单位：m），当时，m/s，则下列说法错误的是（    ） A．9.8 m/s是物体从0s到1s这段时间内的速度 B．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的速度 C．9.8 m/s是物体在s这一时刻的速度 D．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的平均速度 12．已知物体运动的速度（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该物体在时间段内的平均加速度是 ，在时的瞬时加速度是 ． 13．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为 cm/s. 14．已知函数，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率： （1）自变量x从1变到1.1； （2）自变量x从1变到1.01； （3）自变量x从1变到1.001． 估算当时，该函数的瞬时变化率． 1．已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 3．（多选题）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中，则经过分钟后物体的温度将满足且.用表示在时刻的瞬时变化率现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（    ）（参考数值） A．若，则. B．若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟 C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降 D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多 4．物体的运动方程为位移单位：；时间单位：，求物体在到这段时间内的平均速度． 5．已知长方形的周长为10，一边长为x，其面积为S． (1)写出S关于x的函数关系． (2)当x从1增加到时，面积S改变了多少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？解释它的实际意义． (3)当长从x增加到时，面积S改变了多少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？ (4)在处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义． (5)在处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义． 6．有一个长方体的容器（如图），它的宽为10cm，高为100cm．右侧面为一活塞，容器中装有1000mL的水．活塞的初始位置（距左侧面）为，水面高度为100cm．当活塞位于距左侧面xcm的位置时，水面高度为ycm． (1)写出y关于x的函数解析式，； (2)活塞的位置x从1cm变为2cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8cm变为10cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？ (3)试估计当时，水面高度y的瞬时变化率． 1．已知函数， (1)比较与在区间上的平均变化率的大小； (2)若，恒成立，求的取值范围. 2．若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中．一名同学以初速度竖直上抛一个排球． (1)若，求排球在离抛出点不少于10m且不超过15m的位置的停留时间； (2)若要使排球能够在离抛出点不少于5m的位置停留2s以上，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 平均变化率与瞬时变化率 题型一 平均变化率 1．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为k2，则（    ） A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．不确定 【答案】A 【分析】利用平均变化率的求法计算即可. 【详解】∵，， 又由题意知Δx>0，故 故选：A 2．在区间上，函数①；②；③中平均变化率为定值的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义求三个函数的平均变化率即可判断. 【详解】对于①，； 对于②，； 对于③，． 故只有③的平均变化率为定值． 故选：B. 3．若函数f（x）=2x2﹣1的图像上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（    ） A．4 B．4x C．4+2△x D．4+2△x2 【答案】C 【分析】明确△y的意义，根据函数的解析式求出△y的表达式，即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故选C． 4．（多选题）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（ ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为 【答案】BC 【分析】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项. 【详解】前内，，，故A错误； 此时球在垂直方向上的平均速度为，故C正确； 在时间内，，，故B正确， 此时间内球在垂直方向上的平均速度为，故D错误. 故选：BC． 5．（多选题）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（    ） A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【答案】ABC 【分析】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可． 【详解】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业， 而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同， 故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确； 由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确； 由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误． 故选：ABC． 6．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】求出体积的增加量，求出体积膨胀率，根据已知，列出，求解即可得出答案. 【详解】体积的增加量， 所以，. 由已知可得，， 所以，，解得或（舍去）. 故答案为：. 7．已知某病人服用他克莫司t h后血药浓度的一些对应数据如下表所示. t 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3 (1)当和时，都是增加的，哪个时间段的增加更快？ (2)当时，平均每小时的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际意义？ 【答案】(1)变换更快 (2)；在这段时间内，任意1个小时血药浓度平均减少. 【详解】（1）当时，的平均变换率为， 当时，的平均变换率为， 因为，则 变换更快. （2）当时，平均每小时的变化量为， 实际意义为任意1个小时血药浓度平均减少. 题型二 瞬时变化率 8．某物体的运动路程(单位：)与时间(单位：)的关系可用函数表示，则此物体在时的瞬时速度(单位：为（    ） A．1 B．3 C． D．0 【答案】B 【分析】先根据求解出平均速度，然后利用求解出瞬时速度. 【详解】解析：物体在时的平均速度为 , , 因为， 故此物体在时的瞬时速度为， 故选：B. 9．如图，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点O匀速旋转(到OB处为止)时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为（   ）      A．      B．C．  D．   若把图中的圆改成如图（1）所示的半圆，正确的答案是哪个？如果改成图（2）中的三角形呢？    【答案】D；把图中的圆改为图（1）半圆时，选B；把图中的圆改为图（2）三角形时，选C. 【分析】观察得出阴影部分面积的变换规律即可选出答案． 【详解】    当直线转动时，若某时刻直线被圆所截得的弦较长，S的瞬时变化率就较大，此处的导数也较大，图象中这里的切线较陡，曲线就较陡. 所以曲线开始由平缓变陡；到过程进行到一半时，截得的弦最大，曲线最陡；以后弦又渐渐变短，曲线由陡变缓，4个图中只有D具有上述特点. 故选D.    将原题中的圆改为如图（1）半圆时，当射线匀速旋转时，射线被半圆截得的弦长逐渐变长，所以扫过的半圆内阴影部分面积S的瞬时变化率逐渐变大，即曲线的切线逐渐变陡，曲线也变陡，故选项B符合；    将原题中的圆改为如图（2）三角形时，当射线匀速旋转时，射线扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，即图像上切线的斜率先逐渐减小后又逐渐增大，故选项C符合. 10．（多选题）如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（    ）    A．在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B．在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】AC 【难度】0.94 【分析】对AB，根据导数的物理意义判断即可；对CD，根据平均速度的定义判断即可. 【详解】对AB，由图象可得在处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误； 对CD，在到范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误. 故选：AC 11．（多选题）物体自由落体的运动方程为（单位：m），当时，m/s，则下列说法错误的是（    ） A．9.8 m/s是物体从0s到1s这段时间内的速度 B．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的速度 C．9.8 m/s是物体在s这一时刻的速度 D．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的平均速度 【答案】ABD 【分析】由瞬时变化率的概念判断即可. 【详解】由题意，得9.8m/s是物体在s这一时刻的速度，故C正确，A，B，D错误. 故选：ABD 12．已知物体运动的速度（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该物体在时间段内的平均加速度是 ，在时的瞬时加速度是 ． 【答案】 4 【分析】根据平均加速度和瞬时加速度的定义可得答案. 【详解】解：该物体在内的平均加速度为 时， 当无限趋近于0时，无限趋近于4， 故该物体在内的平均加速度为，在时的瞬时加速度是． 故答案为：；4. 13．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为 cm/s. 【答案】4 【分析】根据体积公式求出函数，再求导函数可以求得瞬时速度. 【详解】杯中水的体积为 设在该过程中水面高度为h，则 即 令函数    则 故在时刻， 水面上升的瞬时速度为4 cm/s. 故答案为：4. 14．已知函数，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率： （1）自变量x从1变到1.1； （2）自变量x从1变到1.01； （3）自变量x从1变到1.001． 估算当时，该函数的瞬时变化率． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】利用平均变化率与瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以自变量x从1变到1.1的平均变化率为； （2）， 所以自变量x从1变到1.01的平均变化率为； （3）， 所以自变量x从1变到1.001的平均变化率为； 所以可估算当时，的瞬时变化率为，证明如下： 而，则， 所以在处的瞬时变化率为. 1．已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得. 【详解】作出函数的图象，如图所示.    由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小. 由，得，即. 故选：C. 2．一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】表示，计算，利用可计算出 时的瞬时速度. 【详解】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 3．（多选题）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中，则经过分钟后物体的温度将满足且.用表示在时刻的瞬时变化率现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（    ）（参考数值） A．若，则. B．若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟 C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降 D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多 【答案】ABC 【分析】由题知，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解． 【详解】由题知， A：若，即，所以， 则，A正确； B：若，则，则， 两边同时取对数得，所以， 所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B正确； C;表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C正确； D;，设红茶温度从下降到所需的时间为，则，设红茶温度从下降到所需的时间为，则 ，则红茶温度从下降到所需的时间为；由于所以，故 可得红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D错误． 故选：ABC． 4．物体的运动方程为位移单位：；时间单位：，求物体在到这段时间内的平均速度． 【答案】． 【分析】利用平均速度定义即可求得物体在到这段时间内的平均速度． 【详解】物体在内的平均速度为 ． 即物体在到这段时间内的平均速度为． 5．已知长方形的周长为10，一边长为x，其面积为S． (1)写出S关于x的函数关系． (2)当x从1增加到时，面积S改变了多少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？解释它的实际意义． (3)当长从x增加到时，面积S改变了多少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？ (4)在处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义． (5)在处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义． 【答案】(1)， (2)详见解析； (3)； (4)详见解析； (5)详见解析； 【分析】（1）利用矩形面积公式即可求得S关于x的函数关系； （2）利用平均变化率定义即可求得当x从1增加到时，面积S关于x的平均变化率，进而得到其实际意义； （3）利用平均变化率定义即可求得当长从x增加到时面积S关于x的平均变化率，进而得到其实际意义； （4）利用瞬时变化率定义即可求得在处，面积S关于x的瞬时变化率，进而得到其实际意义； （5）利用瞬时变化率定义即可求得在处，面积S关于x的瞬时变化率，进而得到其实际意义. 【详解】（1）长方形的周长为10，一边长为x，则该边的邻边长为， 则此长方形的面积，； （2）当x从1增加到时，面积S改变为 ，， 此时，面积S关于x的平均变化率是3， 它的实际意义是在处，长度改变1个单位，面积改变3个单位. （3）当长从x增加到时，面积S改变为 ， 此时，面积S关于x的平均变化率是. 它的实际意义是在处，长度改变1个单位，面积改变3个单位. （4）由（2）可得，当时，，即面积S关于x的瞬时变化率是3， 它的实际意义是在时，面积的增加速度为3； （5）由（3）可得，当时，， 即面积S关于x的瞬时变化率是， 它的实际意义是在时，面积的增加速度为. 6．有一个长方体的容器（如图），它的宽为10cm，高为100cm．右侧面为一活塞，容器中装有1000mL的水．活塞的初始位置（距左侧面）为，水面高度为100cm．当活塞位于距左侧面xcm的位置时，水面高度为ycm． (1)写出y关于x的函数解析式，； (2)活塞的位置x从1cm变为2cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8cm变为10cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？ (3)试估计当时，水面高度y的瞬时变化率． 【答案】(1) (2),，前一个过程变化快 (3) 【分析】（1）根据题意，由水的体积恒定不变，列出方程即可； （2）根据题意，分别求出活塞位置为1cm、2cm和7cm、8cm时的水面高度，计算可得答案； （3）根据瞬时变化率的公式，求导计算可得答案. 【详解】（1）水的体积恒定不变，那么就有 ， （2）活塞位置为1cm时， 活塞位置为2cm时， 水面高度改变为 活塞位置为8cm时， 活塞位置为10cm时， 水面高度改变为 可见，前一个过程变化快 （3） 瞬时变化率：如果当时，有极限， ，即时，瞬时变化率为 1．已知函数， (1)比较与在区间上的平均变化率的大小； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)在区间上的平均变化率比大； (2). 【分析】（1）根据平均变化率的定义分别求出与在区间上的平均变化率，进而结合指数函数的单调性比较大小即可； （2）转化问题为在时恒成立，令，则，可得恒成立，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）在区间上的平均变化率的为： ， 在区间上的平均变化率的为： ， ，， 又在上单调递增， ，， 在区间上的平均变化率比大. （2）由题意可知：，恒成立， 即在时恒成立， 令，则，恒成立， 又函数在上单调递增， 则在上恒成立，所以， 所以满足题意的的取值范围为. 2．若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中．一名同学以初速度竖直上抛一个排球． (1)若，求排球在离抛出点不少于10m且不超过15m的位置的停留时间； (2)若要使排球能够在离抛出点不少于5m的位置停留2s以上，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出和的解，求出的解，求出排球在离抛出点不少于10m且不超过15m的位置的停留时间； （2）列关于的一元二次不等式，求出方程的两个实数根，求出的最小值. 【详解】（1）由解得或， 由，解得， 综上的解为或， 即排球在离抛出点不少于10m且不超过15m的位置的停留时间为； （2）由题意，即， 对于方程，令即， 方程的两个实数根为，， 所以不等式的解集为， 由于要使排球能够在离抛出点不少于5米的位置停留2s以上， 则，即， 解得，所以的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 平均变化率与瞬时变化率 题型一 平均变化率 1．A 2．B 3．C 4．BC 5．ABC 6． 7．【详解】（1）当时，的平均变换率为， 当时，的平均变换率为， 因为，则 变换更快. （2）当时，平均每小时的变化量为， 实际意义为任意1个小时血药浓度平均减少. 题型二 瞬时变化率 8．B 9．D；把图中的圆改为图（1）半圆时，选B；把图中的圆改为图（2）三角形时，选C. 10．AC 11．ABD 12． 4 13．4 14．【详解】（1）因为， 所以， 所以自变量x从1变到1.1的平均变化率为； （2）， 所以自变量x从1变到1.01的平均变化率为； （3）， 所以自变量x从1变到1.001的平均变化率为； 所以可估算当时，的瞬时变化率为，证明如下： 而，则， 所以在处的瞬时变化率为. 1．C 2．B 3．ABC 4．【详解】物体在内的平均速度为 ． 即物体在到这段时间内的平均速度为． 5．【详解】（1）长方形的周长为10，一边长为x，则该边的邻边长为， 则此长方形的面积，； （2）当x从1增加到时，面积S改变为 ，， 此时，面积S关于x的平均变化率是3， 它的实际意义是在处，长度改变1个单位，面积改变3个单位. （3）当长从x增加到时，面积S改变为 ， 此时，面积S关于x的平均变化率是. 它的实际意义是在处，长度改变1个单位，面积改变3个单位. （4）由（2）可得，当时，，即面积S关于x的瞬时变化率是3， 它的实际意义是在时，面积的增加速度为3； （5）由（3）可得，当时，， 即面积S关于x的瞬时变化率是， 它的实际意义是在时，面积的增加速度为. 6．【详解】（1）水的体积恒定不变，那么就有 ， （2）活塞位置为1cm时， 活塞位置为2cm时， 水面高度改变为 活塞位置为8cm时， 活塞位置为10cm时， 水面高度改变为 可见，前一个过程变化快 （3） 瞬时变化率：如果当时，有极限， ，即时，瞬时变化率为 1．【详解】（1）在区间上的平均变化率的为： ， 在区间上的平均变化率的为： ， ，， 又在上单调递增， ，， 在区间上的平均变化率比大. （2）由题意可知：，恒成立， 即在时恒成立， 令，则，恒成立， 又函数在上单调递增， 则在上恒成立，所以， 所以满足题意的的取值范围为. 2．【详解】（1）由解得或， 由，解得， 综上的解为或， 即排球在离抛出点不少于10m且不超过15m的位置的停留时间为； （2）由题意，即， 对于方程，令即， 方程的两个实数根为，， 所以不等式的解集为， 由于要使排球能够在离抛出点不少于5米的位置停留2s以上， 则，即， 解得，所以的最小值为． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $