5.1.1 变化率问题（3大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 题型一 平均速度 1.（2025高二·全国·专题练习）某质点的运动规律为s=t2+3,则在时间(3,3+Δt)内,质点的位移增量等于(　　) A.6Δt+(Δt)2 B.6+Δt+C.3Δt+(Δt)2 D.9+Δt 【答案】A 【解析】位移增量=s(3+Δt)-s(3)=(3+Δt)2+3-(32+3)=6Δt+(Δt)2.故选A. 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得平均速度是. 故选：A 3．（25-26高二上·江苏·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 题型二 瞬时速度 1 （24-25高二下·江西九江·期末）某物体的运动方程为s(t)=3t2(位移单位:m,时间单位:s),若v==18 m/s,则下列说法中正确的是(　　) A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的速度 C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度 【答案】C 【解析】v=是物体在3 s这一时刻的瞬时速度.故选C. 2．（24-25高二下·青海西宁·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足关系式，则质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，当时，， 故质点在时的瞬时速度为. 故选：B. 3．（24-25高二上·福建南平·期末）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【解析】， 所以． 故选：D． 4．（25-26高三上·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 【答案】 【解析】， 则火箭在时的瞬时速度为. 5. （2025高二·全国·专题练习）航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度为h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s. (1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么? (2)求第2 s内的平均速度; (3)求第2 s末的瞬时速度. 【解析】(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度; h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度; h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度. (2)航天飞机升空后第2 s内的平均速度为== =170(m/s). (3)第2 s末的瞬时速度为 = = ==225(m/s). 因此,第2 s末的瞬时速度为225 m/s. 题型三 抛物线的割线、切线的斜率 1．（24-25高二·全国·课后作业）已知函数图象上四点，，，，割线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， ∴．故选：A． 2. （24-25高二·全国·课后作业）若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为　　　　.  【答案】4 【解析】抛物线在点P处切线的斜率为k== ==-5, 因为点P的横坐标是-2, 所以点P的纵坐标是6+c, 故直线OP的斜率为-, 根据题意有-=-5,解得c=4. 3. （25-26高三上·上海·期中）过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率为　　　　;当Δx=0.001时,割线的斜率为　　　　.  【答案】2.1;2.001 【解析】∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,∴=2+Δx, ∴割线斜率为2+Δx, 当Δx=0.1时,割线PQ的斜率为2+0.1=2.1. 当Δx=0.001时,割线PQ的斜率为2+0.001=2.001. 4．（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2)2.1，2.001，2.00001． (3)2，几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”． (4) 【解析】（1）. （2），当，0.001，0.00001时，分别为2.1，2.001，2.00001． （3），几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”. （4）切线方程为，即. 1．（24-25高二下·全国·课后作业）过曲线上两点和作曲线的割线，当时割线的斜率为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】求出，计算割线斜率即可． 【解析】∵， ∴， ∴割线斜率为， 当时，割线的斜率为. 故选：A． 2. （25-26高二上·江苏苏州·月考）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为(　　) A.v2=v3<v1 B.v1<v2=v3 C.v1<v2<v3 D.v2<v3<v1 【答案】C 【解析】由题意得,v1=kOA,v2=kAB,v3=kBC, 由题图易知kOA<kAB<kBC, ∴v1<v2<v3,故选C. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【解析】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正，所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4．（24-25高二上·湖北荆州·期末）已知点为曲线上的一点，为曲线的割线，当时，若的极限为，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即在点P处切线的斜率为-2， 所以在点处的切线方程为，整理可得. 故选：B 5．（多选）（25-26高二上·江苏连云港·月考）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 【答案】AD 【解析】对于A，在内质点的平均速度为，故A正确； 对于B，时质点的瞬时速度为，故B错误； 对于C，质点运动的速度为，故C错误； 对于D，质点运动的加速度为，故D正确. 故选：AD. 6.已知某物体的运动方程是s=则该物体在t=1时的瞬时速度为　　　　;在t=4时的瞬时速度为　　　　.  【答案】6;6 【解析】当t=1时,Δs=3(1+Δt)2+2-3×12-2=3(Δt)2+6Δt, ∴=3Δt+6,∴=6, 即当t=1时的瞬时速度为6. 当t=4时,Δs=29+3(4+Δt-3)2-29-3(4-3)2=3(Δt)2+6Δt, ∴=3Δt+6,∴=6, 即当t=4时的瞬时速度为6. 7. （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1)，(2)． 【解析】（1）由题意得，割线的斜率为 由，得． 又因为，所以的取值范围是． （2）由（1）可得函数的图象在点(2，)处的切线的斜率为． 又，所以所求切线方程为，即． 8．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【解析】（1）因为该物体在内的时间变化量， 该物体在内的位移变化量， 所以该物体在内的平均速度为． （2）求该物体的初速度即求该物体在时的瞬时速度． 因为该物体的位移在附近的平均变化率． 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体的初速度为． （3）该物体在时的瞬时速度即为位移在处的瞬时变化率． 因为该物体的位移在附近的平均变化率， 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体在时的瞬时速度为． 1．（25-26高二上·江苏·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【解析】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解析】对于A，由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对于B，由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对于C，由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对于D，由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选D. 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 题型一 平均速度 1.（2025高二·全国·专题练习）某质点的运动规律为s=t2+3,则在时间(3,3+Δt)内,质点的位移增量等于(　　) A.6Δt+(Δt)2 B.6+Δt+C.3Δt+(Δt)2 D.9+Δt 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 题型二 瞬时速度 1 （24-25高二下·江西九江·期末）某物体的运动方程为s(t)=3t2(位移单位:m,时间单位:s),若v==18 m/s,则下列说法中正确的是(　　) A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的速度 C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度 2．（24-25高二下·青海西宁·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足关系式，则质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建南平·期末）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 4．（25-26高三上·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 5. （2025高二·全国·专题练习）航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度为h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s. (1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么? (2)求第2 s内的平均速度; (3)求第2 s末的瞬时速度. 题型三 抛物线的割线、切线的斜率 1．（24-25高二·全国·课后作业）已知函数图象上四点，，，，割线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 2. （24-25高二·全国·课后作业）若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为　　　　.  3. （25-26高三上·上海·期中）过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率为　　　　;当Δx=0.001时,割线的斜率为　　　　.  4．（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 1．（24-25高二下·全国·课后作业）过曲线上两点和作曲线的割线，当时割线的斜率为（    ） A． B．3 C．1 D． 2. （25-26高二上·江苏苏州·月考）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为(　　) A.v2=v3<v1 B.v1<v2=v3 C.v1<v2<v3 D.v2<v3<v1 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 4．（24-25高二上·湖北荆州·期末）已知点为曲线上的一点，为曲线的割线，当时，若的极限为，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二上·江苏连云港·月考）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 6.已知某物体的运动方程是s=则该物体在t=1时的瞬时速度为　　　　;在t=4时的瞬时速度为　　　　.  7. （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 8．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 1．（25-26高二上·江苏·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 2．（25-26高二上·江苏·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $