精品解析：黑龙江哈尔滨市第三十一中学校2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

哈三十一中2025-2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题) 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知正数满足，则最小值是（ ） A. B. C. D. 4 设向量，，若，则（ ） A B. C. 5 D. 10 5. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线和分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，且，若与所成角为60°时，则与侧面ADD1A1所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 设函数的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 二、多选题 9. 在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 10. 设是非空的实数集，若，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数值域为 D. 函数无极值 11. 如图，棱长为1的正方体中，分别为中点，分别为线段，（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（　　） A. B. 直线与底面所成角的正切值为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 线段的长度最小值为1 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 张先生正在为一个小镇建一个模型.这个小镇有一座水塔，水塔高40米，顶部是一个可以装10万升水的球体.如果小镇模型中的微型水塔可以容纳0.1升水，那么微型水塔的高为___________米. 13. 若等差数列的前n项和，则实数t的值为________； 14. 已知f(x)是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为________． 四、解答题 15. 在中，内角的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且这样的有两解，求的取值范围． 16. 数列的前n项和为，,数列满足，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn. 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使平面与平面所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 18. 已知点，，O为坐标原点，函数． （1）求函数解析式和最小正周期； （2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，AD为BAC的角平分线，，，若，求△ACD面积． 19. 已知函数. （1）求证：当时，； （2）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三十一中2025-2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题) 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得出集合为，再计算即可. 【详解】不等式等价于，解得或，所以集合为；； 故选：. 2. 复数在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标后即可得到答案． 【详解】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A． 3. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号， 故选：C. 4. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标表示求解向量的模长，再利用平面向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【详解】由向量的模长公式得，， 因为，所以， 则，解得（负根舍去），故B正确. 故选：B． 5. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线和分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，且，若与所成角为60°时，则与侧面ADD1A1所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，根据题意设出直线的方向向量，利用空间向量，根据异面直线所成的角的公式求得的方向向量的坐标关系，进而利用线面所成角的向量公式求得直线与平面侧面ADD1A1所成角的大小. 【详解】 以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，如图所示： 直线分别在上下底面内且互相垂直，设直线的方向向量为,则直线的方向向量可以为, 直线的方向向量为, 侧面ADD1A1的法向量, 与b所成角为60°, 即，, 故a与侧面ADD1A1所成角的大小为45°. 故选：B. 【点睛】本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题，属创新题，难度一般.关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行有关计算. 6 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系求出，再根据两角差的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，， 所以. 故选：B． 7. 已知数列的前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】先求出数列的通项公式，得到2024在数列中的项数，再根据第n组有项求出前组所含项数，即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，符合， 所以，故由得， 将依原顺序按照第n组有项的要求分组， 故第一组项，第二组项，第三组项，，第组有项， 故前组共有， 又， 故2024所在的组数为. 故选：B. 8. 设函数的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数化简，利用奇函数的对称性，可得选项. 【详解】， 设，因为，所以为奇函数， 所以，则， 所以， 故选：B． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，一般像这种较为复杂函数求最大值与最小值和相关问题，常会考虑函数本身或者能否构建成奇偶函数相关问题，属于中档题. 二、多选题 9. 在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ） A 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 【答案】BC 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】根据题意可得：满足条件的有两个，可得， 故选:BC 10. 设是非空的实数集，若，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数值域为 D. 函数无极值 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数定义可判断A和B，令，可判断C，对求导可判断D. 【详解】由函数的定义可知，集合中的任意一个数， 在集合中都有唯一确定的数和它对应， 所以函数的定义域为，值域为集合的子集，故A正确，B错误； 对于C，当，时，值域不为，故C错误； 对于D，，所以单调递增，无极值，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，棱长为1的正方体中，分别为中点，分别为线段，（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（　　） A. B. 直线与底面所成角的正切值为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 线段的长度最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】建系标点，设，，.对于A：利用空间向量判断线线垂直即可；对于B：可知底面的一个法向量为，利用空间向量求线面夹角；对于C：利用转换顶点法可得三棱锥的体积，进而分析最值；对于D：根据空间中两点间距离公式运算求解. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，. 设，，，则. 对于选项A：因为，可知与不垂直，故A错误； 对于选项B：因为底面的一个法向量为， 设直线与底面所成角为， 则， 可得，， 所以直线与底面所成角的正切值为，故B正确； 对于选项C：因为平面平面，且点平面， 可知点到平面的距离， 又因为，且点，可知点到直线的距离， 则三棱锥的体积， 当且仅当，即点与点重合时，等号成立， 所以三棱锥的体积最大值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以线段的长度最小值为1，故D正确； 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 张先生正在为一个小镇建一个模型.这个小镇有一座水塔，水塔高40米，顶部是一个可以装10万升水的球体.如果小镇模型中的微型水塔可以容纳0.1升水，那么微型水塔的高为___________米. 【答案】0.4## 【解析】 【分析】由球体体积公式求出球体半径比，再由模型与实物成比例，列式计算作答. 【详解】设微型水塔顶部球半径为，实际水塔顶部球半径为，则，解得， 设微型水塔的高为米，而模型与实物成比例，因此，，解得米， 所以微型水塔的高为0.4米. 故答案为：0.4 13. 若等差数列的前n项和，则实数t的值为________； 【答案】-1 【解析】 【分析】由，得到，又因为是等差数列，再利用等差中项求解. 【详解】因为 所以 又因为是等差数列 所以 解得 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查了等差数的前n项和及等差中项，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14. 已知f(x)是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为________． 【答案】7 【解析】 【详解】当时，，所以函数的图象在区间上与轴的交点横坐标为 共7个 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 四、解答题 15. 在中，内角的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且这样的有两解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理化角为边，再根据余弦定理求角； （2）先根据正弦定理得，再根据角范围以及正弦函数图象性质得的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 所以，， 因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 因为这样的有两解，即关于的三角方程在时有两解， 所以，所以． 16. 数列的前n项和为，,数列满足，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【详解】（1）由，可得 当时，， 当时，符合上式，所以； 由可得，解得． （2） ∴ ① ② ①-②可得 ， ∴． 考点：求数列的通项公式，错位相减法求和． 【思路点睛】该题考查的是数列的综合问题，在求数列的通项公式时，需要应用数列的项与和的关系，在求解的过程中，需要对时对的式子是否成立，求数列的通项公式时需要对指对式的互化要熟练掌握，第二问，在对数列进行求和时，应用错位相减法求和，而应用错位相减法对数列求和的步骤是比较关键的，需要加强． 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使平面与平面所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线性质，结合线面平行的判定定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 证明：因为分别为的中点，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，且，所以平面， 因为四边形为正方形，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 由图可得， 由为的中点，则，由为的中点，则， 得，，设，其中. 在平面内，取，，设该平面的法向量， 则，即，令，解得， 所以平面的一个法向量，即为平面的一个法向量. 在平面内，取，， 设该平面的法向量，则， 即，令，解得， 所以平面的一个法向量. 可得，， ， 由题意可得， 化简得，因式分解得，解得或， 故存在坐标为或，使得平面与平面所成角为. 所以的长为或 18. 已知点，，O为坐标原点，函数． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，AD为BAC的角平分线，，，若，求△ACD面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积坐标表示求出，并利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式变形为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数周期性可得周期； （2）由（1）求出角，由余弦定理求得边长的可得面积，利用面积关系可得面积． 【小问1详解】 ∵，， ∴，， ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 即∴， ∴， ∵△ABC为锐角三角形， ∴ 如图， ∵AD为BAC的角平分线，， ∴， ∴，， 设，∴， 由余弦定理可知，， ∴， ∴， ∴． 19. 已知函数. （1）求证：当时，； （2）求证：. 【答案】（1）证明详见解析 （2）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）令，利用导数求得，从而证得不等式成立. （2）结合（1）以及放缩法证得不等式成立. 【小问1详解】 令， ，令， ，所以即在区间上单调递增， ，所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，由于， 所以在区间上恒成立， 所以当时，. 【小问2详解】 由（1）得当时，， 令，则， 所以 . 【点睛】利用导数证明不等式，可先将要证明的不等式一边化为零，然后利用构造函数法，结合导数来求所构造函数的最值，由此来证得不等式成立.当一次求导无法求得函数的单调区间时，可考虑多次求导来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $