精品解析：广东省广州市海珠区2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷

2025学年第一学期质量监测 九年级数学 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ） A. (3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. (4，1) 5. 游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，，，则大摆锤的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，随的增大而减少 C. 图象的顶点坐标是 D. 图象与y轴的交点坐标为 8. 如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和是两个相距米且高度都为米的路灯，身高米的小明（）晚上在路灯下沿线段来回散步，则他身体前后的两个影子之和的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 11. 点A（﹣6，3）与A′关于原点对称，则点A′的坐标是_____． 12. 在一个不透明的口袋内只装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是0.3，摸到白球的概率是0.4，那么摸到黑球的概率是____． 13. 如图，二次函数：与一次函数：的图象交于、两点，则当时，的取值范围是______． 14. 如图，圆锥形的烟囱帽的侧面积是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______cm． 15. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距的长为______． 16. 在中，，，，点是的内心，直线经过点，过点作，连接，则的最大值是______． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，分别是边和上的点，其中，，，． （1）求证：； （2）记的面积为，的面积为，则______． 19. 某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为______． （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率． 20. 抛物线经过点． （1）求m的值以及此抛物线最低点（或最高点）P的坐标． （2）已知点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧，有一小球沿着抛物线从左侧向点P运动的过程中，判断小球经过A、B、C三点的先后顺序，并说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值． 22. 如图，是的直径，且，为上的点（不与点、重合），过点作的切线交延长线于点，点为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，请比较周长与阴影部分周长的大小． 23. 如图，在中，，，点是线段上一动点（点不与，重合），连接． （1）尺规作图：将绕点顺时针旋转得到，连接，．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）周长的最小值是______； （3）点，分别是，中点，连接，探究与的数量关系． 24. 如图，在矩形中，． （1）如图1，过点D作，垂足为E，求证：； （2）如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 25. 某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象 与图形表 示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规 范整理 如图当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据 采集 棚顶最高点到地面距离为米，棚顶与立柱交点到地面距离为米，两点水平距离为米． 已知车身长约米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： （1）如图，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线解析式； （2）如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； （3）如图，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期质量监测 九年级数学 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，掌握轴对称图形、中心对称图形的判定条件是解题关键． 依据轴对称图形、中心对称图形的定义对选项依次判断即可． 【详解】解：选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，也是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：． 2. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解．根据一元二次方程解的定义，将代入方程求解m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， ∴． 故选B． 3. 抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移性质，掌握平移前后值不变是解题的关键．根据二次函数二次项系数决定开口大小和方向，平移过程中不会改变开口大小即可判断． 【详解】解：∵平移后二次项系数不变，原抛物线中的， ∴选项B、C、D的二次项系数均为，可能通过平移得到， 选项A的二次项系数为，与原抛物线不同，不可能通过平移得到． 故选：A． 4. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ） A. (3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. (4，1) 【答案】A 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标． 【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半， ∴端点C的坐标为：（3，3）． 故选A． 5. 游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，，，则大摆锤的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．熟练掌握垂径定理是解题的关键．由，且点为的中点，可得，，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，点为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴大摆锤的长度为． 故选：C． 6. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由，，得，又四边形内接于，所以，则，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，随的增大而减少 C. 图象的顶点坐标是 D. 图象与y轴的交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 通过二次函数的性质，判断各选项的正确性 【详解】解：∵ 抛物线为， ∴，开口向下，A正确； ∵对称轴为，开口向下， ∴当时，随增大而减少， ∵， ∴当时，随增大而减少，B正确； ∵顶点坐标为，C正确； 当时，， ∴ 与轴交点为，不是，D错误； 故选：D． 8. 如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机闭合开关中的两个的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合开关中的两个共有6种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有4种， 则灯泡发光的概率为， 故选：B． 9. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．如果设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程． 【详解】解：设小路的宽度为， 那么草坪的总长度和总宽度应该为，； 根据题意即可得出方程为：， 整理得：． 故选：C． 10. 如图，和是两个相距米且高度都为米的路灯，身高米的小明（）晚上在路灯下沿线段来回散步，则他身体前后的两个影子之和的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，线段的和差转化，掌握方程思想是解题关键． 由题可知，路灯、身高与影子构成两组相似三角形，利用相似比得到线段比例关系，再结合线段和差建立方程，从而求出影子之和的长度． 【详解】解：根据题意可知，，，，， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 解得． 故选：． 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 11. 点A（﹣6，3）与A′关于原点对称，则点A′的坐标是_____． 【答案】（6，﹣3） 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横坐标、纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点A（﹣6，3）与A′关于原点对称，则点A′的坐标是（6，﹣3）， 故答案为（6，﹣3）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 12. 在一个不透明的口袋内只装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是0.3，摸到白球的概率是0.4，那么摸到黑球的概率是____． 【答案】0.3 【解析】 【分析】根据摸出三种球的概率的和是1列式计算即可得解． 【详解】∵摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.4， ∴摸出黑球的概率是1-0.3-0.4=0.3． 故答案为0.3． 【点睛】本题考查了概率的意义，理解总概率之和是1是解题的关键． 13. 如图，二次函数：与一次函数：的图象交于、两点，则当时，的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查函数交点的意义，函数图像与不等式的关系，把不等式关系转化为图像的位置关系是解题关键． 把不等式转化为函数图像的上下位置关系，找到交点横坐标作为分界点，再观察图像走势确定满足条件的取值范围． 【详解】解：由图可知，二次函数与一次函数的交点的横坐标为，交点的横坐标为， 则时，的取值范围为或． 故答案为：或． 14. 如图，圆锥形的烟囱帽的侧面积是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设母线的长为，则侧面展开图的半径为， ∵圆锥形的烟囱帽的侧面积是， ∴， 解得：．（负值舍去） 故答案为： 15. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆和含的直角三角形的性质，掌握正六边形的性质是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及含的直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：正六边形是的内接正六边形， ． ，， ． 在中，，， ，， 即正六边形的边心距是． 故答案为：． 16. 在中，，，，点是的内心，直线经过点，过点作，连接，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过分别作垂线，垂足分别为，由勾股定理得，又，所以，因为点是的内心，所以求得，则，通过，得，从而可知点在以为直径，中点为圆心的圆上运动，如图，当三点共线时，有最大值，为，最后由坐标系中两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过分别作垂线，垂足分别为， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径，中点为圆心的圆上运动，如图， ∵，， ∴，， ∴， 如图，当三点共线时，有最大值，为， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，坐标系中两点间的距离，勾股定理，三角形内心，建立平面直角坐标系等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解； （2）移项后用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴或 ∴， 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴， 18. 如图，在中，，分别是边和上的点，其中，，，． （1）求证：； （2）记的面积为，的面积为，则______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题关键． （1）先计算两组对应边的比例，得出，再结合公共角，根据两边对应成比例且夹角相等的判定定理，证明； （2）由第（1）问的相似结论得出与相似比为，运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，计算出面积比． 【小问1详解】 证明：∵，，，， ，， ， ∵， ． 【小问2详解】 解：∵，且， ． 答：． 19. 某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为______． （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式的应用，利用列表或画树状图求解随机事件的概率； （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率，从而得出答案． 【小问1详解】 解：抽到数学家韦达的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是中国数学家的情况有2种， ． 故两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为． 20. 抛物线经过点． （1）求m的值以及此抛物线最低点（或最高点）P的坐标． （2）已知点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧，有一小球沿着抛物线从左侧向点P运动的过程中，判断小球经过A、B、C三点的先后顺序，并说明理由． 【答案】（1） （2）先后顺序为A、C、B 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，将一般式化为顶点式，即可得到点P的坐标； （2）根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得：， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，， ∵点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧， 又∵小球从左侧向点P运动，横坐标逐渐增大，且三点的横坐标满足， ∴小球经过三点的先后顺序为A、C、B． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与x轴交于点A，B，且，求a的值． 【答案】（1）见解析 （2）或7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式的应用． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式判别即可； （2）令，得：，利用根与系数的关系，结合完全平方公式得出，再由得出，即可得出关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， 该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简得：， 解得：或7． 22. 如图，是的直径，且，为上的点（不与点、重合），过点作的切线交延长线于点，点为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，请比较周长与阴影部分周长的大小． 【答案】（1）见解析 （2）周长小于阴影部分周长 【解析】 【分析】（1）连接，，由直径推出，结合直角三角形斜边中线性质得到，再结合推出两组相等角，根据，通过角的等量代换推出，从而判定为切线； （2）连接，先证明为角平分线，再根据弧长关系推出两个圆心角，进而得到为等边三角形，根据勾股定理算出，然后算出的周长，之后再结合的角平分线性质，算出、和弧的长度，得到阴影部分周长，最后比较两者大小． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， 是的直径， ， 点为中点， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， ， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知， ，，， 平分，平分， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 的周长为， 平分和， ，， ，， 圆心角，半径， ， 阴影部分的周长为，， 周长小于阴影部分周长． 答：周长小于阴影部分周长． 【点睛】本题考查圆的基本性质，弧、圆心角的关系，弧长公式，直角三角形的性质，掌握圆的性质是解题关键． 23. 如图，在中，，，点是线段上一动点（点不与，重合），连接． （1）尺规作图：将绕点顺时针旋转得到，连接，．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）周长的最小值是______； （3）点，分别是，中点，连接，探究与的数量关系． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）作，然后在上截取，连接，即可； （）由作图可知，，，然后证明，所以，由周长为，所以根据垂线段最短可得，当时，周长有最小值，为，再由勾股定理即可求解； （）连接，先证明，同理，所以，然后证明，根据性质可得，从而求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由作图可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长为 ， ∴当最小时，周长有最小值，即当最小时，周长有最小值， 根据垂线段最短可得，当时，周长有最小值，为， 如图， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（）得，是等边三角形， ∴，， ∵是中点， ∴，， ∴， 同（2）可得：， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 24. 如图，在矩形中，． （1）如图1，过点D作，垂足为E，求证：； （2）如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据垂直的定义得到，则，通过证明，得到，再利用比例的性质即可证明； （2）先证明，得到，结合（1）中的结论得到，再证明，得到，结合垂直的定义得到，则有，即可得出结论； （3）根据题意可知点在以为圆心，半径为1的圆上运动，作交延长线于点，与交于点，连接，先证明，得到，再证明，得到，得出，则点在过点且与垂直的直线上运动，当时，线段取最小值，此时四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理即可求出线段的长． 【小问1详解】 证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴； ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点F为上一点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 作交延长线于点，与交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是定点， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， ∴当时，线段取最小值， ∵矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、圆周角定理、勾股定理、动点轨迹问题，添加适当的辅助线构造相似三角形，探究出点的运动轨迹是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 25. 某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象 与图形表 示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规 范整理 如图当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据 采集 棚顶最高点到地面距离为米，棚顶与立柱交点到地面距离为米，两点水平距离为米． 已知车身长约米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： （1）如图，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线解析式； （2）如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； （3）如图，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方，计算见解析； （3）钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式等知识点，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （）由题意得，，设抛物线解析式为，然后求出的值即可； （）令，则，解得或（舍去），因为，所以钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方； （）先求出解析式为，设，则，则，由，即，所以，由（）得当时，，所以，从而可判断可完全停入，可完全遮挡，又，当时，的最大值为，此时点纵坐标为，从可判断钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ，解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 令，则， 解得或（舍去）， ， 钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方； 【小问3详解】 设解析式为， ，解得， 解析式为， 设，则， ， ， ， ， 由（）得：当时，， ， 可完全停入，可完全遮挡， ， 当时，的最大值为，此时点纵坐标为， ， 钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $