5.3.2用函数观点求解方程与不等式教学设计-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

课题 5.3（2）用函数观点求解方程与不等式 科目 数学 课型 新授课 授课对象 高一年级学生 课时 1 课时 核心素养 逻辑推理、直观想象 教材分析 本课时选自沪教版高中数学教材必修一第 5 章第 3 节第2 课时，随着课程标准的调整，本教材将“用函数观点求解方程与不等式”作为一个重要组成部分，使学生明白如何从分析的角度审视方程与不等式，也是函数思想在代数领域的一个具体应用.教材首先从简单的一元一次方程和一元二次方程出发，引入任意一个含有一个未知数的方程总可以化简为一个一定范围 D 内的函数等于 0 的情形，进而用函数的观点求解方程，并得到函数零点的定义.例 5 旨在呈现如何利用函数的单调性证明一个方程无整数解.接着教材重提如何借助二次函数的性质求解一元二次不等式，为学生学会利用函数的性质求解更为一般的不等式作铺垫.最后，例 6 供学生学习利用函数的单调性求解更为一般的不等式. 本课时教材遵循从直观到抽象、特殊至一般的认知规律，先通过一元一次方程、一元二次方程的实例，引导学生观察方程的解与对应函数零点的关系，再提炼出 “方程的解、对应函数的零点以及其图像与 x 轴交点横坐标三者等价关系 ”的一般结论；进而引导学生探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结用函数的观点求解一般的一元二次不等式的方法和步骤，层层递进，符合高一学生的思维发展特点. 学情分析 1.已有的知识储备：学生已经掌握了函数的概念与函数的奇偶性、单调性及最值等内容，认识了函数的整体性质；能熟练使用静态的观点求解一元一次方程和一元二次方程及不等式. 2.学生的学习特点：本节课的教学对象是高一年级学生，他们已经具备了一定的数学抽象思维和逻辑推理能力，但学生尚未全面建立 “函数-方程-不等式”三者的内在联系. 教学目标 1. 了解零点的概念， 能理解函数的零点、函数图像与 x 轴交点横坐标和方程的解的关系，发展直观想象素养； 2.结合函数与方程、不等式的关系，在较简单情形下会借助函数的图像及性质求解方程和不等式，发展逻辑推理素养； 3.通过观察、探究、讨论，经历“从具体实例到一般规律”的推导过程，形成数形结合、转化与化归的数学思想，提高运用数学思想和方法解决问题的能力. 教学重点 了解函数的零点与方程的解的关系； 在较简单的情形下，能借助函数的图像及性质求解方程和不等式. 教学难点 将方程和不等式的问题转化为函数的问题，即用动态的观点审视方程和不等式的求解. 教学方法 教法：情境教学法、范例教学法、讲练结合法 学法：探究法 信息化手段 希沃白板、PPT 、DeepSeek 5.3（2）用函数观点求解方程与不等式——教学设计 1 学科网（北京）股份有限公司 教 学 过 程 教学环节 教师活动——教学内容 学生活动 设计意图 情境导入 利用已有知识求解下列含一个未知数的方程： ① 2x −1 = 0 ；② x2 − 5x + 4 = 0 . 【问题 1】如果我们把方程左边看成一个函数表达式， 即记f (x) = 2x −1 ，g (x) = x2 − 5x + 4 ，那么这两个方程的解和函数y = f (x)、y = g (x)分别有什么关系？ 解：方程2x −1 = 0 的解即为函数y = f (x) 图像与x 轴交点的横坐标；方程x2 − 5x + 4 = 0 的解即为函数 y = g (x) 图像与x 轴交点的横坐标. 由此，我们可以用函数的观点考察方程的求解. 回顾一元一 次 方程、 一元 二次方程 的解法， 学生代表回答. 学生画图 观察函数 图像与 x 轴的交点 坐标，尝 试总结规律. 以旧知为 起点， 顺 应学生认 知发展的特性,让新知学习建 立在旧知 基础上， 降低认知难度. 从熟悉的方 程 入手， 搭建“方程-函数” 的桥 梁， 激发 学生探究 兴趣，并 自然引出课题. 新知探究 一般地，对于含有一个未知数的方程，经过适当地化简，总可以化为在一定的范围D 内形如f (x) = 0的方程，这里y = f (x), x ∈ D 是一个与之对应的函 数． 1.函数零点的定义 对于函数y = f (x), x ∈ D ，如果存在实数c ∈ D ，使得 f (c) = 0 ， 就把c 叫做该函数的零点（zero）． 【问题 2】函数的零点是该函数图像上的点吗？ 解：不是. 零点是 “实数”，不是 “点”，是函数图像 理解函数零点的定义. 学生思考,辨析巩固. 从特殊到 一般， 将 更一般的 方程问题 转化为函数问题. 给出函数 零点的定 义， 从而 进一步搭 建起方程 与函数之间的桥梁. 2 学科网（北京）股份有限公司 与x 轴交点的横坐标. 2. 方程与函数的关系 总结：方程f (x) = 0 在集合D 中的解 艹 函数y = f (x), x ∈ D 的图像与x 轴的交点的横坐标 艹 函数y = f (x), x ∈ D 的零点 这就将方程f (x) = 0 的求解与函数 y = f (x), x ∈ D 的零点问题联系起来. 学生代表回答. 整理三者 之间的关系. 讲练结合 练习 1.求函数 y = f (x) 的零点. （1） f (x) = x -3 ；（2）f (x) = x2 - 4, x ∈ (3, +∞ ) .解：（1 ）令 f (x) = x - 3 = 0 ，解得 x = 3 ，即函数y = f (x) 的零点是3 . （ 2 ） 令 f (x) = x2 - 4 = 0 ， 解 得 x = ±2 ， 因 为x ∈ (3, +∞ ) ，所以函数 y = f (x)在 (3, +∞ ) 上没有零点. 例 1. 方程x3 + 2x = 99 是否有整数解？说明理由. 解：【法一】直接求解，并判断是否为整数解.——“静态的观点”. 【法二】（解的存在问题就可以转化为函数是否有零点的问题.而本题判断函数是否有整数解即判断函数是否有整数零点. ）不直接求解,利用函数的图像及性质求出解的范围，进而根据解的范围来判断是否有整数解.—— “动态的函数观点”. 对任意给定的x, X ER,当x<x:时,根据不等式的性质,有 （解题步骤：构造函数—借助函数的图像及性质—研究函数的零点和方程的解之间的关系.） 学生独立 完成，学 生代表回答.加深对函数零点 概念的理解与辨析. 思考有哪 些求解方法.利用函数观点求 解时借助 计算器观 察所构造 函数的特 征，并尝 试用代数 的方法解答. 及时巩固 函数零点 的定义， 强化对定义的理解. 呈现如何 利用函数 的单调性 证明一个 方程无整 数解，用 动态的观 点求解方程. 3 学科网（北京）股份有限公司 知识进阶 3.不等式与函数的关系 学习了用函数的观点审视方程的求解，现在我们同样可以用函数的观点来审视不等式的求解. 在第 2 章中，我们已经学习了如何通过因式分解求解一元二次不等式（在判别式非负的情形下），以及如何通过配方法求解一元二次不等式（在判别式为负的情形下） .现在我们尝试用函数的观点求解一元二次不等式. 例 2.用函数的观点求解不等式： x2 - 5x + 4 > 0 . 【问题 3】求解形如f (x) = 0 的方程是找对应函数的零点，那么求解形如f (x)> 0 （或 ≤0 ）的不等式是找函数的什么？换而言之，不等式和函数有什么关系？ 解：求解形如f (x) > 0 的不等式是找函数值大于0 时对应自变量x 组成的集合，即不等式f (x) > 0 的解集为函数 y = f (x), x ∈ D 的图像在 x 轴上方部分的所有点的横坐标组成的集合. 例 2.解：设y = x2 - 5x + 4 ，函数的大致图像如下图所 ( x = 2 ，严格单调减区间是 |( -∞ , 2 」| ，严格单 调增区间是 )示. 该一元二次函数的零点是 1 和 4 ，对称轴是直线5 ( 51 ( |L 2 , +∞ , l . 因此，根据函数的零点的位置和单调性， 参照 函数的图像，可得原不等式的解集为 ( -∞ , 1 ) ( 4, +∞ ) . )「5 ) 【变式】 用函数的观点求解不等式： -x2 + 5x - 4 > 0 . 这样，我们可以借助函数的图像及其性质，将二次项系数为正的一元二次不等式的解集总结如下. 回顾一元 二次不等 式的定义及解法. 类比用函 数的观点求解方程,思考如何 将函数和 不等式结合起来. 结合变式,总结如何 用一元二 从特殊的 一元二次 不等式出 发， 帮助 学生理解 根据函数 的图像及 性质求解不等式. 通过总结 如何借助 二次函数 4 学科网（北京）股份有限公司 次函数的观点求解一元二次不等式. 的性质求 解一元二次 不 等式，为学 生学会利 用函数的 性质求解 更为一般 的不等式作铺垫. 迁移运用 例 3.用函数的观点在区间(0, +∞) 上解不等式x4 + x > 2 . 解： （解题步骤：构造函数—求函数的零点—借助函数的图像及性质解不等式） 练习 2.用函数的观点解不等式： 2x + log2 x > 2 . 结合上述规律及例1 思考解题方法. 利用函数的单调性求解更为一般的不等式. 课堂小结 本节课我们学习了函数零点的概念以及函数与方程、不等式的关系，将本章所学函数的相关知识与方程和不等式的求解结合起来.通过特殊的一次函数、二次函数的零点与对应方程和不等式的关系，抽象出一般的方程和不等式与对应函数的关系. 实现了用动态的函数观点审视方程和不等式的求解问题，对所学的函数图像及性质进行了学以致用， 体会到了数形结合、转化与化归的数学思想. 学生代表分享收获. 培养独立思考和归纳总结的能力. 布置作业 校本练习 5.3（2） 5 学科网（北京）股份有限公司 $