1.3.4 完全平方公式的验证与应用同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3 乘法公式 第4课时 完全平方公式的验证与应用 一、选择题 1．与式子(a－b＋c)(－a＋b－c)相等的是( ) A．－(a－b＋c)2 B．c2－(a－b)2 C．(a－b)2－c2 D．c2－a＋b2 2．计算：(－a＋2b)2－(－a－2b)2＝( ) A．－8ab B．－4ab C．8ab D．4ab 3．化简(m－2n)2－(m＋2n)(m－2n)的结果是(　　) A．8n2－4mn　　B．－4mn C．3n2－2mn　　D．2m2－2mn＋3n2 4．计算(2x＋1)2－4x(x＋1)的结果是(　　) A．8x＋1　　B．1 C．4x－3　　D．1－4x 5．如图，在长为3m＋2n，宽为3m－2n的长方形铁片上，挖去边长为2(m－n)的小正方形铁片，则剩余部分的面积为( ) A．5m2 B．5m2＋8mn C．5m2－8mn D．5m2＋8mn－8n2 6．计算(2x＋1)2－4x(x＋1)的结果是(　　) A．8x＋1　　B．1 C．4x－3　　D．1－4x 7．小刚把(2025x＋2022)2展开后得到ax2＋bx＋c，把(2024x＋2023)2展开后得到mx2＋nx＋q，则a－m的值为(　　) A．1　　B．－1 C．4049　　D．－4049 二、填空题 8．化简：(a＋1)2－(a－1)2＝__________． 9．若m＋n＝10，mn＝5，则m2＋n2的值为__________． 10．如图，在面积为4a2的正方形中央剪去一个边长为a＋2的小正方形(a>2)，将剩余部分沿虚线剪开并拼成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为______________． 11．若(x－1)3＝x3＋mx2＋nx－1，则(m＋n)2 026＝__________． 12．若(x＋1)4＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，则a－b＋c－d＋e的值为_________． 13．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为________． 三、解答题 14．利用完全平方公式进行计算： (1)5012； (2)(19)2. 15．计算： (1)(1＋a)(a－1)－(a＋3)2； (2)(x－1)2－x(x－2)； (3)(y＋x＋6)(y－x＋6). (4)(x2＋4)2－16x2； (5)(a－b)2(a＋b)2； (6)(2x＋y－1)2； (7)(a＋3b)2－2(a＋3b)(a－3b)＋(a－3b)2. 16．先化简，再求值：(1)(x＋y)2＋x(x－2y)，其中x＝1，y＝－2. (2)(x－2)2－10x(x－1)＋(3x－1)(3x＋1)，其中x＝－. (3)［(a＋3b)(3b－a)－(2a－b)2＋5a2］＋a2－4b2，其中a，b的值满足(a－1)2＋|2a－b|＝0. 17．两个边长分别为a和b的正方形如图1放置，其未重叠部分(阴影)面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形重叠部分(阴影)面积为S2. (1)用含a，b的代数式分别表示S1，S2； (2)若a＋b＝10，ab＝20，求S1＋S2的值. 18．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图①可得到(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (1)写出图②所表示的数学等式：________________________________________． (2)利用上述结论，解决下列问题：已知a＋b＋c＝11，bc＋ac＋ab＝38，求a2＋b2＋c2的值． 19．将完全平方公式：， 进行适当变形，可以解决很多数学问题。例如：若，，求 的值。 解：因为， ， 所以， 。 所以 。 所以 。 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)①若，，则 ____； ②若，，则 的值为___； ③若，，则 ____； ④若，则 _____； (2)如图，点是线段上的一点，以， 为边向两边作正方形，已知，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积。 20．【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c(a≠b≠c)满足a2＋b2＝c2，那么a，b，c称为一组“完美数”．例如，32＋42＝52，则称3，4，5是一组“完美数”． 【问题解决】(1)下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是“完美数”的有________(填序号)； (2)“完美数”有很多的构造方法．试说明：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2－n2，2mn，m2＋n2一定是一组“完美数”； (3)若按(2)中的方法构造出的一组“完美数”中最大数是2t2＋14t＋25(t是任意正整数)，求这组“完美数”中的最小数(用含t的代数式表示)． 参考答案 一、选择题 1．与式子(a－b＋c)(－a＋b－c)相等的是( ) A．－(a－b＋c)2 B．c2－(a－b)2 C．(a－b)2－c2 D．c2－a＋b2 【答案】A 2．计算：(－a＋2b)2－(－a－2b)2＝( ) A．－8ab B．－4ab C．8ab D．4ab 【答案】A 3．化简(m－2n)2－(m＋2n)(m－2n)的结果是(　　) A．8n2－4mn　　B．－4mn C．3n2－2mn　　D．2m2－2mn＋3n2 【答案】A 4．计算(2x＋1)2－4x(x＋1)的结果是(　　) A．8x＋1　　B．1 C．4x－3　　D．1－4x 【答案】B 5．如图，在长为3m＋2n，宽为3m－2n的长方形铁片上，挖去边长为2(m－n)的小正方形铁片，则剩余部分的面积为( ) A．5m2 B．5m2＋8mn C．5m2－8mn D．5m2＋8mn－8n2 【答案】D 6．计算(2x＋1)2－4x(x＋1)的结果是(　　) A．8x＋1　　B．1 C．4x－3　　D．1－4x 【答案】B 7．小刚把(2025x＋2022)2展开后得到ax2＋bx＋c，把(2024x＋2023)2展开后得到mx2＋nx＋q，则a－m的值为(　　) A．1　　B．－1 C．4049　　D．－4049 【答案】C 二、填空题 8．化简：(a＋1)2－(a－1)2＝__________． 【答案】4a 9．若m＋n＝10，mn＝5，则m2＋n2的值为__________． 【答案】90 10．如图，在面积为4a2的正方形中央剪去一个边长为a＋2的小正方形(a>2)，将剩余部分沿虚线剪开并拼成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为______________． 【答案】3a2－4a－4 11．若(x－1)3＝x3＋mx2＋nx－1，则(m＋n)2 026＝__________． 【答案】0 12．若(x＋1)4＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，则a－b＋c－d＋e的值为_________． 【答案】0 13．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为________． 【答案】8 【解析】由题图①可得(a＋b)2－4ab＝35，即a2＋b2＝2ab＋35①，由题图②可得(2a＋b)(a＋2b)－5ab＝102，即a2＋b2＝51②，由①②得2ab＋35＝51，所以ab＝8，所以每个白色长方形的面积为8. 三、解答题 14．利用完全平方公式进行计算： (1)5012； 解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12＝250 000＋1 000＋1＝251 001 (2)(19)2. 解：原式＝(20－)2＝202－2×20×＋()2＝400－5＋＝395 15．计算： (1)(1＋a)(a－1)－(a＋3)2； 解：原式＝a2－1－a2－6a－9＝－6a－10 (2)(x－1)2－x(x－2)； 解：原式＝x2－2x＋1－x2＋2x＝1 (3)(y＋x＋6)(y－x＋6). 解：原式＝[(y＋6)＋x][(y＋6)－x]＝(y＋6)2－x2＝y2＋12y＋36－x2 (4)(x2＋4)2－16x2； 解：原式＝(x2)2＋2×4×x2＋42－16x2＝x4＋8x2＋16－16x2＝x4－8x2＋16 (5)(a－b)2(a＋b)2； 解：原式＝[(a－b)(a＋b)]2＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4 (6)(2x＋y－1)2； 解：原式＝(2x＋y)2－2×(2x＋y)×1＋12＝(2x)2＋2×2x×y＋y2－4x－2y＋1＝4x2＋4xy＋y2－4x－2y＋1 (7)(a＋3b)2－2(a＋3b)(a－3b)＋(a－3b)2. 解：原式＝a2＋6ab＋9b2－2(a2－9b2)＋(a2－6ab＋9b2)＝a2＋6ab＋9b2－2a2＋18b2＋a2－6ab＋9b2＝36b2 16．先化简，再求值：(1)(x＋y)2＋x(x－2y)，其中x＝1，y＝－2. 解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－2xy＝2x2＋y2，当x＝1，y＝－2时，原式＝2×12＋(－2)2＝6 (2)(x－2)2－10x(x－1)＋(3x－1)(3x＋1)，其中x＝－. 解：原式＝x2－4x＋4－10x2＋10x＋9x2－1＝6x＋3. 将x＝－代入，得原式＝6×＋3＝0. (3)［(a＋3b)(3b－a)－(2a－b)2＋5a2］＋a2－4b2，其中a，b的值满足(a－1)2＋|2a－b|＝0. 解：原式＝(9b2－a2－4a2＋4ab－b2＋5a2)＋a2－4b2＝(8b2＋4ab)＋a2－4b2＝(2b＋a)2. 因为(a－1)2＋|2a－b|＝0， 所以a－1＝0，2a－b＝0， 解得a＝1，b＝2， 所以原式＝(2×2＋1)2＝25. 17．两个边长分别为a和b的正方形如图1放置，其未重叠部分(阴影)面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形重叠部分(阴影)面积为S2. (1)用含a，b的代数式分别表示S1，S2； (2)若a＋b＝10，ab＝20，求S1＋S2的值. 解：(1)由图可得S1＝a2－b2， S2＝a2－a(a－b)－b(a－b)－b(a－b)＝2b2－ab. (2)S1＋S2＝a2－b2＋2b2－ab＝a2＋b2－ab. 因为a＋b＝10，ab＝20， 所以S1＋S2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝100－3×20＝40. 18．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图①可得到(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (1)写出图②所表示的数学等式：________________________________________． 【答案】(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac (2)利用上述结论，解决下列问题：已知a＋b＋c＝11，bc＋ac＋ab＝38，求a2＋b2＋c2的值． 解：由(1)可得a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2bc＋2ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝112－2×38＝45 19．将完全平方公式：， 进行适当变形，可以解决很多数学问题。例如：若，，求 的值。 解：因为， ， 所以， 。 所以 。 所以 。 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)①若，，则 ____； ②若，，则 的值为___； ③若，，则 ____； ④若，则 _____； 【答案】13 7 12 124 (2)如图，点是线段上的一点，以， 为边向两边作正方形，已知，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积。 解：设，，则， 。 因为，所以 。 因为，所以，所以 ，所以 ，所以 ， 所以，即 ， 所以阴影部分的面积为 。 20．【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c(a≠b≠c)满足a2＋b2＝c2，那么a，b，c称为一组“完美数”．例如，32＋42＝52，则称3，4，5是一组“完美数”． 【问题解决】(1)下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是“完美数”的有________(填序号)； 【答案】③ (2)“完美数”有很多的构造方法．试说明：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2－n2，2mn，m2＋n2一定是一组“完美数”； 解：因为m，n为任意正整数，且m＞n，(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4＝(m2＋n2)2，所以m2－n2，2mn，m2＋n2一定是一组“完美数”． (3)若按(2)中的方法构造出的一组“完美数”中最大数是2t2＋14t＋25(t是任意正整数)，求这组“完美数”中的最小数(用含t的代数式表示)． 解：由题意得m2＋n2＝2t2＋14t＋25＝t2＋8t＋16＋t2＋6t＋9＝(t＋4)2＋(t＋3)2. 因为t是正整数，所以t＋4＞t＋3. 所以m＝t＋4，n＝t＋3. 所以m2－n2＝(t＋4)2－(t＋3)2＝2t＋7，2mn＝2(t＋4)(t＋3)＝2t2＋14t＋24＞2t＋7. 所以这组“完美数”中的最小数为2t＋7. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $